ただし、f(y) は y の関数にすぎず、g(x) は x の関数にすぎません。 1.9) の形式の微分方程式は、次のように「変数を分離」することで積分できます。 μ が x の関数にすぎない場合。
3 初等積分法とその応用２
x について 0 を解くことができれば、それは微分方程式です。 y について 0 を解くことができれば、それは微分方程式です。
4 初等積分法とその応用３
次の微分方程式の一般解を求めよ：
5 初等積分法とその応用４
キルヒホッフの法則によれば、次の関係式が成り立ちます。 。
この形式の方程式は、一次の常一次微分方程式に相当する均一方程式です。 まず、次の均一方程式 (5.17) の意味で線形独立である 2 つの解 y1(x) と y2(x) です。 。 、R またはその区間 I で定義される n 次の均質線形常微分方程式 dny。
6 初等積分法とその応用５
7 微分方程式の級数解法
方程式に代入して得られるべき級数も、収束半径内で項ごとに微分できるため、正の収束半径を持ちます（微分・積分Ⅰ・Ⅱ １年教科書［斉藤雅彦］、p.156参照）。このようにして得られた , y(x) が元の方程式の解になります。
は収束性の優れた級数であり、(7.9) は絶対的に収束します。 （１年微分積分Ⅰ・Ⅱ教科書［斉藤雅彦］169ページ参照）。式 1− はテイラー展開することもでき、すべての係数は正になります (1 年生微分積分 I および II 教科書 [斉藤 [正彦] ページ 80 を参照)。これらの両方が真である限り、y は次のようになります。テイラー展開され、h 係数はすべて正になります。特異点を含む一般的な微分方程式については、[島倉] を参照してください。
8 Legendre 培関数と Bessel 関数
8.12) の最初の式は V(r) に応じて変化するため、ここでは議論を省略します。また、左辺はθのみの関数、右辺はφのみの関数なので両辺とも定数とし、これをνとする。 8.14) の 2 番目の方程式では、Φ は極座標の角度変数であるため、Φ の周期は 2π です。
したがって、ある非負の整数 l については、λ=l(l+1) が成り立つ必要があります。この場合、解は多項式になるため、x = 1 で値が 1 である各 l の解は Pl(x) と書かれ、ルジャンドル多項式と呼ばれます。特定の周波数で振動し続けるソリューションを見つけてください。したがって、形式の微分方程式をベッセルの微分方程式と呼び、その解をベッセル関数と呼びます。
第 II 部
常微分方程式の理論
9 常微分方程式の解の存在と一意性
これを一般的に考えると、常微分方程式: 2 つの変数 f(x, y) を持つ関数は、変数 y に関して一様にリプシッツ連続であると言えます。
この場合、常微分方程式の初期値問題は次のようになります。 2 変数連続関数 f(x, y) がクラス Ck であると仮定します。この場合、常微分方程式 dy.この場合、常微分方程式の初期値問題は次のようになります。
10 連立常微分方程式
最初に平均値定理を使用することを除いて、有界閉集合上の連続関数の一様連続生成とグロンウォールの不等式を使用して同じ議論を繰り返すだけなので、証明は省略します。 【金子】96～98ページなどをご覧ください。テストはご自身で行ってください。 （１年生の微積分Ⅰ・Ⅱのねらい） 定理15. 証明は定理10と同様に逐次近似法を用いますが、損失を避けるために同じ議論を繰り返します。一般定理にまとめた連続法を覚えておくと便利です。
この定理を使用して定理 15 を証明するには、完全計量空間となるような解の候補となる x のベクトル値関数 y(x) のセットを選択し、(10.5) の右辺の積分によって定義します。 ) ) 。そのカードをその上の縮小カードにします。具体的には、上記手順の具体的な計算は定理10とほぼ同じですので省略します。詳しくは【金子】87ページ以降をご覧ください。リダクションマップが連続であることを証明します。 （クイズ範囲）。
11 定数係数連立線型常微分方程式
次の連立微分方程式を解け：
この係数行列の固有値と固有ベクトルは、行列を使用して次のように記述されます。ノルム化されたベクトル空間では、収束はこの距離によって定義されます。言い換えると。
A が n 次元の正方行列の場合、行列集合は E+A+1 になります。これにより、行列の指数関数の微分式が得られます。さらに、係数行列の固有値を λ とすると、固有ベクトルは次のようになります。
第 III 部
Appendix
12 振り子の方程式の解
12.11) の左辺は F(k, θ) と書かれて第一種不完全楕円積分と呼ばれ、θ = π のものは K(k) と書かれて次の完全楕円積分になります。最初のタイプ: 2. 振り子が最大スイング角度 φ = α、θ = π 2 に達すると、振り子の周期は 4.12.14) になります。これはアームの長さ l だけでなく、最大スイング角度にも依存します。スイング角度。 α ですが、α = 0 のときの極限では... ヤコビの楕円関数は、三角関数とよく似た性質を持っています。詳細は【武部】を参照。
13 定性的理論
以下に位相空間の構造を解析する方法を紹介します。上記において、f(x) = 0となる点{x}は1つだけであり、それを除いた回路とRが回路となります。開いた区間の結合は次のようになります。 f(x) の符号はどの開区間でも一定なので、正の区間では x が増加する方向に、負の区間では x が減少する方向に矢印を引くと位相空間 を形成できます。が完全に表現されるので、位相空間は下図のようになります。
この場合、位相空間は下図のようになります。この場合、位相空間は下図のようになります。この場合、近傍 U と V は何らかの起源を持ち、それらの間の同相写像は φ : U → V です。
参考文献
平衡点付近では、平衡点におけるテイラー展開の一次項の係数行列の固有値は、n= 2 の直積を形成します。 原点を平衡点とする自励系の常微分方程式: では、f(x) の原点におけるヤコビ行列 Df(0) には実部 0 の固有値がないと仮定します。
