電気ダイポールと 電気二重層

電気ダイポールと 電気二重層

1^st. 2016/05/10 L^st. 2021/11/07

単極子と多重極子

z P

Q

Q

r1

r2

 r l x y

双極子（ダイポール）

４重極子（クアドルポール）

z P

Q

Q r

 l x y

Q

Q l

８重極子（オクタポール）

z P

Q

Q

r y

Q

Q

 x Q

Q

Q Q l

P

Q

 r x y

単極子（モノポール）

z

O

H H

有極性 分子

e v ^{} 陽子

電子（公転・

スピン）

電気力線の描画例

³

2重極（双極子） 4重極 8重極

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2 -2

-1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

y

Q

Q x

l Q

Q l

Q

Q l y

x

Q

Q

Q

Q

Q

Q

QQ l

y

x

1 1

grad , ,

sin

V V V

E V V

r r  r  

   

         



 

 

2 2 1

2 2 2

cos 2

cos 2

r r rl l

r r rl l





   



   



電気ダイポール

z P

Q

Q

r1

r2

 r l x y

0 1 0 2 0 1 2

1 1 1 1

4 4 4

Q Q Q

V  r  r  r r

 

     

 

4

電位（ポテンシャル）は点電荷の重ね合わせより

電界は電位の勾配より

1 1

ˆ ˆ

ˆ sin

V V V

r r  r r

  

  

   

  

r₁とr₂を原点からの距離rとz軸からの傾斜角度θ のみで表現したい。余弦定理を使えば、r₁とr₂は原 点を基準にした関数(r, θ)によって次式になる。

(1)

(2)

(3)

余弦定理（復習）

 

2 2 2

2 2

1

2 2 2

1

sin cos cos

2 2 2

cos 2 1 cos

2

l l l

r r r rl

l l

r r rl l r

r r

  

 

         

       



         

  



 

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2

cos sin cos

2 2 2

cos 2 1 cos

2

l l l

r r r rl

l l

r r rl l r

r r

  

 

         

       



         

  

 r1

2 l

2cos rl 

 2sin

l 

2cos

l 

 2 l

r2

r

2cos

l 

2sin

l 

(4)

(5)

Q

Q

P

P

球座標における勾配

1 1

ˆ ˆ

ˆ sin

V V V

E r

r r r

  

  

   

  



ˆ ˆ

ˆ V V V

E V r

r  l_  l_

  

     

  



ˆ V ˆ V ˆ V

E V x y z

x y z

  

     

  



, sin

dl_ rd dl_ r  d

ˆ ˆ

ˆ sin

dldr r rd  r   d

dr

sin r  d rd ^dl

ˆ  r

ˆ

ˆ

球座標における微小長さベクトル

r, , 

x  y

r 

球座標 Spherical coordinate

d

dr d

であるから z

デカルト座標における勾配

球座標における勾配

0

( , , ) ( , , ) 1

lim sin sin

V V r V r V

l_ ^ r r

    

   

 

      

  

0

( , , ) ( , , ) 1

V limV r V r V

l_ ^ r r

    

 

 

      

  

従って、球座標における勾配は

θとφは長さの単位ではないので、長さにすると (6)

(7)

(8)

(9) (10)

遠方近似表現

 ^{2 2}

2

1 cos 2 1 cos 1 cos

2

l l l

r r rl l r r

r r r

  ^{ } 

        

 ^{2 2}

2 2

cos 2 1 cos 1 cos

2

l l l

r r rl l r r

r r r

  ^{ } 

       

  

1 1

2 2

1 2

1 1 1 1 1 1

1 cos 1 cos

1 cos 1 cos

l l

r r l l r r r r

r r

r r

 

 

 

   

         

   

 



2

1 2

1 1 1 1 cos 1 1 cos cos

2 2

l l l

r r r^  r ^r^  r ^r 

   



2

0 1 0 2 0 1 2 0

1 1 1 1 cos

4 4 4 4

Q Q Q Q l

V r r r r r 

   

 

     

 

7

2 2

1 2

1 1 1 1

1 cos 1 cos

2 2

r r l l l l

r r

r  r r  r

  

   

     

距離減衰項の重ね合わせは、

2乗の項を無視して近似 すると

x<<1のとき，(1+x)ⁿ≒1+nx を使ってさらに近似すると 最終的に電気ダイポールがr離れた位置に作るポテンシャルは、

(11)

(12)

(13)

(14)

電気ダイポールの遠方近似表現

⁸

2 0

4 cos Q l

V r







3 0

3 0

cos 2

sin 4

0

r

E Ql

r E Ql

r E

















 z P

Q

Q

r1

r2

 r l x y

Er

E_

N Ql E     p E 

電位

電界

外部電界Eを加えたときのトルク

p Ql 

電気ダイポールモーメント

双極子（ダイポール）

(1)

(2)

(3) (4)

(5) (6)

電気モノポールの場合

0

1 4 V Q



r



2 0

1 4 0 0

r

E Q

r E

E





 





0 N   p E 

電位

電界

外部電界Eを加えたときのトルク

0 p Ql  

電気ダイポールモーメント

P z

Q

 r x y

単極子（モノポール）

Er

(1)

(2)

(3) (4)

(5) (6)

（参考）多項式による厳密解①

2

( , ) 1 , | | 1, | | 1

2 1

G x tL t x

t xt

  

  ルジャンドル多項式の母関数

, cos 2

t l x

r 

 

2 2

0

1 1

(cos , ) (cos )

2 2

2cos 1 1 cos

2 2 2

n

L n

n

l l

G P

r l l l l r

r r r r

 

 





 

           

   



とおくと

, cos 2

t l x

r 

 

2 2

0

1 1

(cos , ) (cos )

2 2

2cos 1 1 cos

2 2 2

n

L n

n

l l

G P

r l l l l r

r r r r

 

 





     

 

      

   

   



とおくと

0

( , ) ( ) , | | 1, | | 1ⁿ

L n

n

G x t ^ P x t t x







  ^{ルジャンドル多項式}

新田，``物理と特殊関数－入門セミナー－，’’ pp.39-43, 共立出版, 1997.

(1)

(2)

(3)

（参考）多項式による厳密解②

¹¹

2 2

1 2

1 1 1 1

1 cos 1 cos

2 2

r r l l l l

r r

r  r r  r

  

   

     

0 0

1 (cos ) (cos )

2 2

n n

n n

n n

l l

P P

r ^  r ^  r

 

     

 



  



  

 

0

1 1 ( 1) (cos ) 2

n n

n n

P l

r ^  r



 





   

3

1 3

1 0 2 (cos ) 0 2 (cos )

2 2

l l

P P

r^  ^ r^  ^ r^{ }

        

3 5

1 3 5

2 (cos ) (cos ) (cos )

2 2 2

l l l

P P P

r^  ^ r^  ^ r^  ^ r^{ }

         

3 5

1 3 5

0 1 2 0

1 1 2 (cos ) (cos ) (cos )

4 4 2 2 2

Q Q l l l

V P P P

r r r  r  r  r

 

 

       

             したがって、近似を含まないポテンシャルは

川村，梅村，加藤，北原，坂田，鈴木，鳥塚，本間，``わかりやすい理工系の電磁気学，’’ p.42, 講談社, 2012

(4)

(5) これで、1/r₁-1/r₂を近似を含めずに原点からの距離rで表現することができた。

デカルト座標への変換方法

P( , )y z z

Q

Q

r1

r2

 r

sin y r  cos

r 

2 2

tan 1

r y z

y



^ z

 



3 0

3 0

cos 2

sin 4

0

r

E Ql

r E Ql

r E















 l 

デカルト座標系への置き換え x

Er

E_

12

sin cos

cos sin

y r

z r

E E E

E E E





 

 

 

 

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

(6) (7)

デカルト座標における厳密解①

P

0 1 2

1 1 4

V Q

r r



 

   

 

2 2

1

2 2

2

( )

( )

r x d y

r x d y

  

  

デカルト座標で電界Exを求めると ˆ V ˆ V ˆ V

E V x y z

x y z

  

     

  



0 1 2 0 1 2

1 2

2 2 3 3

0 1 2 0 1 2

1 1 1 1

4 4

4 4

x

V Q Q

E x x r r x r r

r r

Q Q x d x d

r r r r

 

 

   

  

           

       

       

 

 

2 2 1/2 1

2 2 1/2

2 2

1

( )

1 ( ) 2( )

2

( )

r x d y

x

x d y x d

x d x d

x d y r



    



   

 

 

 

 

 

2 2 1/2 2

2 2 1/2

2 2

2

( )

1 ( ) 2( )

2

( )

r x d y

x

x d y x d

x d x d

x d y r



    



   

 

 

 

ただし、

P

Q x Q 



r1

r2

r y

2d

Ex

電位の重ね合わせより、

(1) (2)

(3)

(4)

(5) (6)

P

0 1 2

1 1 4

V Q

r r



 

   

 

2 2

1

2 2

2

( )

( )

r x d y

r x d y

  

  

デカルト座標で電界Eyを求めると ˆ V ˆ V ˆ V

E V x y z

x y z

  

     

  



0 1 2 0 1 2

1 2

2 2 3 3

0 1 2 0 1 2

1 1 1 1

4 4

4 4

y

V Q Q

E y y r r y r r

r r

Q Q y y

r r r r

 

 

   

  

           

     

       

 

 

2 2 1/2 1

2 2 1/2

2 2

1

( )

1 ( ) 2

2

( )

r x d y

y

x d y y

y y

x d y r



    



  

 

 

 

 

2 2 1/2 2

2 2 1/2

2 2

2

( )

1 ( ) 2

2

( )

r x d y

y

x d y y

y y

x d y r



    



  

 

 

ただし、

デカルト座標における厳密解②

P

Q x Q 



r1

r2

r y

2d Ey

電位の重ね合わせより、

(7) (8)

(9)

(10)

(11) (12)

点電荷が作る電場のイメージ

¹⁵

ダイポール厳密解の電位分布

¹⁶

True [V]

V

[m]

y

[m]

-2.0 z -0.9

0.2 1.3

-1.0E+11 -7.5E+10 -5.0E+10 -2.5E+10 0.0E+00 2.5E+10 5.0E+10 7.5E+10 1.0E+11

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0 1 0 2 0 1 2

1 1 1 1

4 4 4

Q Q Q

V  r  r  r r

 

     

 

ダイポール近似解の電位分布

Approx. [V]

V

-2.0 -0.9

0.2 1.3

-1.0E+11 -7.5E+10 -5.0E+10 -2.5E+10 0.0E+00 2.5E+10 5.0E+10 7.5E+10 1.0E+11

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0[m]y

[m]

z

3 5

1 3 5

0 1 2 0

1 1 2

(cos ) (cos ) (cos )

4 4 2 2 2

Q Q l l l

V P P P

r r r  r  r  r

 

 

       

            

2 0

4 cos Q l

V r 

 

多重極展開（n=3）の電位分布

3 Legendreⁿ [V]

V ^

-2.0 -0.9

0.2 1.3

-1.0E+11 -7.5E+10 -5.0E+10 -2.5E+10 0.0E+00 2.5E+10 5.0E+10 7.5E+10 1.0E+11

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0[m]y

[m]

z

3 5

1 3 5

0 1 2 0

1 1 2

(cos ) (cos ) (cos )

4 4 2 2 2

Q Q l l l

V P P P

r r r  r  r  r

 

 

       

            

多重極展開（n=5）の電位分布

¹⁹

-2.0 -1.1

-0.2 0.7

1.6

-1E+11 -8E+10 -6E+10 -4E+10 -2E+10 0 2E+10 4E+10 6E+10 8E+10 1E+11

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0[m]y

[m]

z

5 Legendreⁿ [V]

V ^

3 5

1 3 5

0 1 2 0

1 1 2

(cos ) (cos ) (cos )

4 4 2 2 2

Q Q l l l

V P P P

r r r  r  r  r

 

 

       

            

ダイポール近似の誤差分布%

²⁰

-2.0 -0.9

0.2 1.3

-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

-100--75 -75--50 -50--25 -25-0 0-25 25-50 50-75 75-100

Approx. True

True

100 [%]

V V

V

 

[m]

y

[m]

z

多重極（n=3）の誤差分布%

-2.0 -0.9

0.2 1.3

-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

-100--75 -75--50 -50--25 -25-0 0-25 25-50 50-75 75-100

3 Legendre True

True

100 [%]

Vn V

V

 



[m]

y

[m]

z

多重極（n=5）の誤差分布%

-2.0 -0.9

0.2 1.3

-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

-100--75 -75--50 -50--25 -25-0 0-25 25-50 50-75 75-100

5 Legendre True

True

100 [%]

Vn V

V

 



[m]

y

[m]

z

電気ダイポールモーメント

²³

N Ql E        p E  

電場Eの中に電荷±Qで距離lの電気ダイポールを置くと，次のトルクN が発生する。ここで，p=Qlを電気ダイポールモーメントと呼ぶ。

モーメントとは？

原点を中心に回転 運動を起こす能力の 大きさ、能率を表す。

p Ql 

 等価

Q

Q 外部電界

回転 中心

[N・m] = [C] × [m] × [V/m] = [C・m] × [V/m]

F F

E Ex ˆ

x y

sin

F 

sin

F 

l 

r

Q

Q z





トルク（力のモーメント）とは？

マーク・レヴィ著, 森田由子訳，ひらめきの物理学，pp.304-305, SBクリエイティブ

24

回転軸

作用点 z

l 

F 

 

cos

F 

sin F  F 

（支点）

 

l 

同じトルクN（エネルギー）なら、距離l が 大きいほど加える力Fは小さくて済む

[N・m] = [m] × [N]

sin ˆ

N lF    z l F    

ノート： https://www.kusamalab.org/lecture/em2/B2_magnetic_dipole.pdf

支点 力点

作用

点 _{短い 長い}

小さな力で 持ち上がる kg

トルク

角運動量とは？

マーク・レヴィ著, 森田由子訳，ひらめきの物理学，pp.304-305, SBクリエイティブ

sin ˆ

L lp    z l    p 

回転軸

質点 m [kg]

z

l 

p mv   

 

cos p  sin

p  p 

（支点）

 

l 

同じ角運動量Lならば、距離lが小さいほど 運動量 p は大きくなる。（速度vが大きくなる

＝高速回転）

L 

^上面図

v

大

v

小

[J・s] = [m] × [kg・m/s] = [m] × [N・s]

伊藤，図でわかる電磁気学，p.23, 講談社サイエンティフィク

平面角と立体角

L

L

L

L L

  r^

S

S

2

S S r

 

  

O O

S

x y

z

x y

1 r

1 r 任意の線分

単位円

半径rの円 r倍

任意の面

半径rの球 単位球

r²倍

L’: Lを半径ｒの円に投影した線分 L”: Lを半径1の円に投影した線分

S’: Sを半径rの球に投影した面積 S”: Sを半径1の球に投影した面積

平面角 [rad] 立体角 [Sr]

①【平面角度θ[rad] の定義】：任意の線分L [m]を単位円に射影したときの弧の長さL”

・・・半径r [m]の円に射影された弧の長さはL’= rL”= rθ

②【立体角Ω [Sr]の定義】：任意の面S[m²]を単位球に射影したときの球面上の面積S”

・・・半径r [m]の球に射影された面積はS’= r²S”= r²Ω

（即ち、半径r [m]の球面上の面積S’の立体角はΩ = S’/r²となるから、dΩ = dS’/r²）

 _

ステラジアンと読む

電気二重層の立体角

²⁷

【解答】 半径r=1の球面上において、z軸からの角度θが0からθで切り取られる部分 の面積が立体角Ω（半径1の球面への投影面積が立体角の定義）になる。まず、半 径rの球面上で切り取られる部分の面積をS’とすると、

 

2

0 0

2 2 2

0 0 0

2

0 2

sin

sin 2 sin

2 cos

2 (1 cos )

S r rd d

r d d r d

r r

 

 

  

 



  

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

ここでr=1を代入すると、

2 (1 cos ) S

 

  

 

【例題】 円錐形の立体角Ωは、円錐の中心軸と円錐母線とのなす角θに対して次式 となることを示せ。（教科書、p.32）

2 (1 cos ) 

  

( , , )r  

x

 y r 

球座標 Spherical coordinate

d  dr

z

r z

O y



S

d 

電気二重層（面状ダイポール）

²⁸

P 2 2

0 0

cos cos

4 4

ds l l ds

dV r r

   

 

 

0 P 0 0

0 0

4 4

l l

V dV  d  d

 

  









 





【解答】 半径aの円板のうち、微小面積dsあたり がP点に作る電位は、電気双極子の結果より

P点から二重層全体を見込む立体角をΩ

（半径r=1の球への投影面積）とすると、

2 2 2 3/2 0

ˆ ˆ

2 ( )

V l a

E x x

x a x





   

 



電界は電位の勾配より

(2) (3)

(1)

P



 r1

r2

r



l y a







ds z ds

x

1 r d

r r

2 2

r a x P

 l a x r

【例題】 電荷密度±σ[C/m²]の等量異符号の面電荷が半径a [m]の円板の表裏に 微小間隔l [m]で一様に分布しているとき、中心軸上でxの距離にある点Pの電位と電 界を求めよ。（教科書、p.32）

2

0 0

4 4

l ds l

r d

 

 

  

2 2

0

2 1

l x

a x





 

   

  

0 0

2 (1 cos )

4 4

l l

   

 

   

電気 双極 子