Made by R. Okamoto (Kyushu Institute of Technology)

(1)

量子力学における軌道角運動量

量子力学における軌道角運動量演算子の定義軌道角運動量演算子の正準交換関係

軌道角運動量演算子の固有値と固有関数

(

固有状態）

軌道角運動量演算子の極座標表現

(

固有状態）

軌道角運動量演算子の行列表現

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filename=angularmom-summary80611.ppt

(2)

量子力学における軌道角運動量演算子の定義

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,

i

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,

i

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i

x z y

y x z

z y x

yp zp y z

z y

zp xp z x

x z

xp yp x y

y x

⎛ ∂ ∂ ⎞

≡ − = ⎜ ⎝ ∂ − ∂ ⎟ ⎠

∂ ∂

⎛ ⎞

≡ − = ⎜ ⎝ ∂ − ∂ ⎟ ⎠

⎛ ∂ ∂ ⎞

≡ − = ⎜ ⎝ ∂ − ∂ ⎟ ⎠ A =

A =

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) )

2 2 2

2

2 2

ˆ ( ˆ , ˆ , ˆ ),

ˆ ˆ ˆ ˆ ,

ˆ ˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ / 2, ˆ ˆ ˆ / 2i

x y z

x y z z

x y

± + −

+ − + −

≡

≡ + +

≡ ± → = + −

→ = + = −

G

A A A A G

A A A A

G

A A A A A A A A

A A A A A A

, , ,

(

_z _y _x _z

,

_y _x

)

r p yp zp zp xp xp yp p mv

≡ × = − − −

≡ G G G A G G

古典物理学：「回転する勢い」として角運動量

昇降演算子

(3)

軌道角運動量演算子の正準交換関係

2 2 2

ˆ , ˆ i ˆ , ˆ , ˆ i ˆ , ˆ , ˆ i ˆ ,

ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ , 0,

ˆ , ˆ ˆ , ˆ , ˆ 2 ˆ

x y z y z x z x y

x y z

z ± ± + − z

⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ = ⎤ ⎡ = ⎤ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

→ ⎣ ⎦ = ± ⎣ ⎦ =

A A =A A A =A A A =A

G G G

A A A A A A

A A = A A A = A

軌道角運動量のｘ、ｙ、ｚ成分はお互いに同時固有状態を持たないこと軌道角運動量の二乗とｘ、ｙ、ｚ成分のどれかひとつは

お互いに同時固有状態を持つこと

通常は軌道角運動量の二乗とｚ成分の同時固有状態を考える

(

量子化軸としてｚ軸に選ぶこと）

軌道角運動量演算子の数学的性質は、正準交換関係により一義的に決まる。

(4)

sin cos , sin sin , cos

x = r θ φ y = r θ φ z = r θ θ

φ

波動関数の方向依存性としての

(

軌道）角運動量直交直線座標と極座標の関係

x

z

y r

i

1 e i ( )

tan

φ

θ θ φ

±

=

±

⎛ ⎜ ⎝ ± ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎞ ⎟ ⎠

A =

複合同順

i φ

= ∂

∂ A

^ｚ

=

2 2

2

2 2

1 1

sin sin θ sin

θ θ θ θ φ

⎛ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞

= − ⎜ ⎝ ∂ ⎜ ⎝ ∂ ⎟ ⎠ + ∂ ⎟ ⎠

A =

(5)

(

固有状態）

2 2

' '

ˆ ( 1) ,

ˆ ,

ˆ ( 1) ( 1) 1 ,

' ' |

0,1, 2,

, 1, , 1, ( )

z

mm

m m

m m m

m m m m

m m

m

δ δ

±

= +

=

= + − ± ±

= ⋅

=

= − − + −

AA

G

A A = A A A

A A = A

A A = A A A

A A

A "

A A " A A A

の各値につき

( , ) : m ⇔ Y _A m θ φ

A

球面調和関数

軌道角運動量の量子化方向量子化

2 *

0 0 ' '

' m ' | m

^{θ π φ π}

Y

_m

( , ) Y

_m

( , ) sin d d

θ ⁼ φ ⁼

θ φ θ φ θ θ φ

= =

⇔ ∫ ∫

^A ^A

A A

(6)

軌道角運動量演算子の行列表現

2

1 0 1 0 0 0 0

ˆ 2 0 0 1 , ˆ 2 1 0 0

0 0 0 0 1 0

1 0 0

ˆ 0 0 0 ,

0 0 1

1 0 0

2 0 1 0

0 0 1

z

+ −

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ + ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

⎡ + ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ + ⎥

⎢ + ⎥

⎣ ⎦

A =

A = A =

A =

A G =

の場合

m=

－

1 m=

＋

1 m=0

(7)

参考文献

M.E.

ローズ「角運動量の基礎理論」

(

みすず書房

)

、

1974

年

Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics(?)

、

?

D. A. Ｖａｒｓｈａｌｏｖｉｃｈ , A. N. Moskalev, V.K.Khersonskii,

Quantum Theory of Angular Momentum (World Scientific )

、

1988