一般の角運動量とその性質

一般化角運動量と角運動量の合成

一粒子のスピン軌道結合効果、多粒子系の全角運 動量とそれに関連した物理的性質を定量的に議論 するには

一般化角運動量を合成する必要がある。

軌道角運動量演算子の数学的性質は、その間の交換関係 により決まる。

軌道角運動量演算子の交換関係を基礎にして、

角運動量の概念を一般化できる。

Made by R. Okamoto (Kyushu Institute of Technology)

filename=angularmom-coupling080611.ppt

電子における軌道角運動量とスピン角運動量の結合

一般の角運動量とその性質

2 2

' '

ˆ ( 1) ,

ˆ ,

ˆ ( 1) ( 1) 1 ,

' ' |

0,1, 2, (or 1/ 2, 3 / 2, ),

, 1, , 1, ( )

z

jj mm

j j m j j j m

j j m m j m

j j m j j m m j m

j m jm j

m j j j j j

δ δ

±

= +

=

= + − ± ±

= ⋅

=

= − − + −

G

=

=

=

" "

" の各値につき

2 2 2

ˆ ˆ, i ˆ , ˆ , ˆ i ˆ , ˆ ˆ, i ˆ ,

ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ 0,

ˆ ˆ, ˆ , ˆ , ˆ 2 ˆ

x y z y z x z x y

x y z

z z

j j j j j j j j j

j j j j j j

j j_± j_± j₊ j₋ j

⎡ ⎤= ⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡= ⎤ ⎡= ⎤ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

→⎣ ⎦= ± ⎣ ⎦ =

= = =

G G G

= =

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2

2 2

ˆ ( , ˆ ˆ , ˆ ),

ˆ ˆ ˆ ˆ ,

ˆ ˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y z

x y z z

j j j j

j j j j

j

j j j j j

j j

≡

≡ + +

≡ ± → = + −

G G

G

( , ) : m ⇔ Y

θ φ

A

' '

2 2

' '

' ', 1

' ' | ˆ | ,

' ' | ˆ | ( 1) ,

' ' | ˆ | ( 1) ( 1)

z jj mm

jj mm

jj m m

j m j j m m

j m j jm j j

j m j j m j j m m

δ δ

δ δ

±

δ δ

=

= +

= + − ±

= G

=

=

2 *

0 0 ' '

'm' | m ^{θ π φ π}Y _m( , )Y_m( , ) sin d d

θ⁼ φ⁼ θ φ θ φ θ θ φ

= =

⇔

∫ ∫

A A

一般の角運動量演算子の行列表現

一般の角運動量演算子の固有値と固有関数(固有状態）

角運動量の合成（１） ; ベクトル模型

( )

1 2

ˆ ˆ, 0 ˆ_a,ˆ_b 0,{ , } , ,

j j j j a b x y z

⎡ ⎤= ⎡⎣ ⎤⎦= =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

G G

( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ_x, ˆ_y, ˆ_z ˆ_x ˆ _x, ˆ_y ˆ _y,ˆ_z ˆ _z JG ≡ +Gj Gj JG= J J J = j + j j + j j + j

R

(

)

ˆ

ˆ ˆ ˆ

x y z

J G ≡ J + J + J

可換な角運動量演算子 角運動量の和の演算子

の固有値

J ˆ

G

ˆ j

G ˆ j

G

2

J J ( + 1)

=

1 2

,

1, ,

J = + j j j + − j " j − j

, 1, , 1, ( )

M = − − + J J " J − J J

ˆ

J

_{= M}

"

max 1 2

J = + j j

min 1 2

J = j − j

j 1

j 2

角運動量の合成（２） ;Clebsch-Gordan 係数

2

1 1 1 1

2

2 2 2 2

ˆ , ˆ ( :

ˆ , ˆ ( :

z

z

j j j m

j j j m

G

G

の同時固有関数 状態）

ˆ

, ˆ

( :

J J JM

G

の同時固有関数 状態）

1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

,

|

m m

JM = ∑ j m j m JM j m j m

Clebsch-Gordan 係数

1 1 2 2

|

j m j m JM

2

1 1 2 2

| | :

j m j m JM

JM

j m

j m

クレブシュ・ゴルダン係数の性質

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

| 0 for ,

| 0 for ,

j m j m JM m m M

j m j m JM j j J j j J

= + ≠

= + < − >

1 2

' '

1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 ' '

,

' '

1 1 2 2 1 1 2 2

| | ' ' ,

| |

JJ MM m m

m m m m J

j m j m JM j m j m J M

j m j m JM j m j m JM

δ δ

δ δ

= ⋅

= ⋅

∑

∑

1 2

1 2

1 1

2 2

1 1 2 2 2 2 1 1

1 1 2 2

1 1 2 2

1

2 2 1 1

2

| ( 1) |

( 1) |

2 1

( 1) |

2 1

2 1

( 1) |

2 1

j j J

j j J

j m

j m

j m j m JM j m j m JM

j m j m J M

J j m J M j m j

J J M j m j m j

+ − + −

−

+

= −

= − − − −

= − + − −

+

= − + − −

+

三角条件

直交規格性

対称性

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2|1 1 1, 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2|1 1 1,

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2| 0 0 1/ 2, 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2| 0 0 1/ 2, 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2|1 0 1/ 2, 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2|1 0 1/ 2

=

− − − =

− =

− = −

− =

− =

, 1/ 2 1/ 2 | 1/ 2, 1/ 2 , ( 1/ 2),

2 1

, 1/ 2 1/ 2 | 1/ 2, 1/ 2 , ( 1/ 2),

2 1

, 1/ 2 1/ 2 | 1/ 2, 1/ 2 , ( 1/ 2),

2 1

, 1/ 2 1/ 2 | 1/ 2, 1/ 2 , ( 1/ 2)

2 1

m m m m m

m m m m m

m m m m m

m m m m m

+ = + + = +

+

− + = − + = −

+

− = − − + = +

+

− = + + = −

+

A A

A A

A A

A A

A A A

A

A A A

A

A A A

A

A A A

A

２つのスピン角運動量（

S=1/2

Clebsch-Gordan 係数の具体例

スピン角運動量

(s=1/2)

A

参考文献

M.E.

(

)

1974

Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics

D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii,

Quantum Theory of Angular Momentum (World Scientific )

1988