光弾性効果による光変調とその応用研究 第6報 : 理論解析と有限要素法の結合によるAT-Cut水晶振動子の新解析方法
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(2) . 北海道教育大学紀要 （第２部Ａ） 第３０巻 第２号 ｌｏ ｆＨｏｋｋａ Ｊ ｉｄｏＵｎ ｉ ｉ ｆＥｄｕｃａ ｏｕｒ ｎａ ｉ ｔ Ｓｅ ｉ ｒ ｔ ｖｅ ｓ ｔ ｌ ｏｎ（ ＩＡ）Ｖｏ ｙｏ ｃ ｏｎ ｌ ．３０ ．２ ，Ｎｏ. 昭和５５年３月 Ｍａ ｒ ｃｈ ，１９８０. 光弾性効果による光変調とその応用研究 第６報 理論解析と有限要素法の結合に ｔ水 晶振動子の新解析方法 よる ＡＦ−Ｃｕ. 山. 形. 積. 治. 北海道教育大学旭川分校物理学教室. ｉｃａｔ ｉｏｎｓｏｆｔｈｅ Ｌｉｇｈ Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ Ａｐｐｌ ｉｏｎ ｂｙ ｔ ハ４ｏｄ ｕｌａｔ ‐ ｉｃ Ｐｈｏｔｏ‐Ｅ１ａｓｔ ｔｈｅ Ｄｙｎａｎ・ ｉｃ Ｅｆ ｆｅｃｔ Ｒｅｐｏｒｔ Ｎｏ ６ Ｎｅｗ Ｎ １ ｔｈｏｄ ｔｏ Ａｎａｌｙｅｓ Ｖｉｂｒａｔ ｉｏｎ Ｎ１ ｆ ＡＴ−Ｃｕｔ ｅ ｏｄｅｓ ９ ． ｔｚ ＣｒｙｓｔａＩ Ｒｅｓｏｎａｔｏｒ ｂｙｔｈｅ Ｃｏ ｉｏｎ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｔ Ｑｕａｒ ｉｃａ Ｉ ｌｎｂｉｎａｔ ｉｏｎ ａｎｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅ１ｅｍｅｎｔ Ｎ Ｅｑｕａｔ １ ｅｔｈｏｄ ｓｅｋｉ ｉ ＹＡＭＡＧＡＴＡ ｉ Ｐｈｙｓ ｉｃｓＬａｂｏｒ ｉｋａｗａ Ｃｏ ｔｏ ｌ ｌ ｉｄｏ Ｕｎ ｉｖｅｒ ｉ ｆＥｄｕｃａ ｉ ｒｙ ａ ｔｙｏ ｔ ｅｇｅ ｓ ｏｎ ，Ａｓａｈ ，Ｈｏｋｋａ ， ＡＳ Ｅ Ｕ ｈ ｉｋａｗａ０７０. Ａｂｓｔｒａｃｔ. Ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｎ ｌ ｉｓ ｏ ｆ ａ ｐｉａｎｏ‐ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ‐ｃｕｔ ｑｕａｒｔｚ ｃｒｙｓｔａｌ ａ ｙｓ ‐ ｉ ｌ ｌ ｉｎｇ ｗｉ ｔ ｔｈｉ ｌ ｒｅｓｏｎａｔｏｒ ｏ ｔｓ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａ ｓＣ ａ ｔｈ ｏｖｅｒｔｏｎｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ−ｓｈｅａｒ ｒｅ− ーｄ ５ ，３ｒｄ ｏｖｅｒｔｏｎｅ， ａｌ ｉｂｒａｔ ｉｏｎｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ， Ｔｈｅ ｕｎ１ｍｅｒｉｃａｌｒｅｓｏｎａｎｔｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓａｎｄｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｆｏｒｍｓ ｓｏｎａｎｔｖ ’ ｅ ｕａｔ ｌ ｉｃａ ｌ ｌｙ ｂｙ ｕｓ ｉｎｇ ａ ｓｃｈｒｂｄｉｎｇｅｒ ｉｎｉ ｔｈ ａｆ ｔｅｅｌ ｃａ ｃｕｌａｔｅｄ ｎｕｍｅｒ ｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓｈｏｗ ｇｏｏｄ ｓ ｑ ｌｏｎ ｗｉ ｉｎｎｅｎｔａｌ ｌ ｉｎｅｄ ｅｘｐｅｒ ｔｈｔｈｏｓｅ ｏｂｔａ ａｇｒｅｅｍｅｎｔ ｗｉ ｙ，. 登 １．. 緒. 豊. 水晶振動子等の振動体の振動モー ドを数値的に解析する場合， いかなる手法を用いるにせよ， 固 有値問題に帰着する， 現状の大型計算機のサ ブルーチンとして手軽に利用 できる固有値マトリッ ク ２元程度 であり 特殊な プロ グラムを工夫 しても 高々 （２ ∼ ３） ×１０ ３ 元程 度 の プ スはせいぜい１ ０ ， ， ｔ水晶振動子の厚味たりモー ドを立体的 （３次元） に解析する場合 ロ グラムが限度である， ＡＴ−ｃｕ ４ は少くとも１０ のオー ダーの元が必要となる．理論上計算機のメモリーを無制 限に利用 でき， 大型計 算機を長時間に渡っ て， 独占使用することが可能 であれば， ３次元の解析も可能となるが， 現実の 問題として不可能 である． （１ ２ ） ７.
(3) . 山 形. 積. 治. 第５報 で報告した有限要素法による解析の結果をみても元の数を制 限内に納めるために， 節点の ｌ ｔ水晶振動子の厚味たりモ」 ドの解析は行え 取 り 方 に 相 当 の制 約力功ロえ ら れ，ｐ ａｎｏｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃ ｕ ３ ）の解析に対しては誤差 が大 １ ０ ２ ６ ２ ７ ） ’ たが ’’ ，屈曲モ ー ド等の他の振動成分が含まれているような振動１ きくなる． 一方， 発想を改めて， 理論的な解析が可能な限り， 解析的な取扱いを行い， 最終の段 階 で有限要 素法による数値的な手法によっ て固有値（共振周波数を与える） ， 固有関数（振動のモー ドを与える） を計算すれば元の節約になる であろう， このことは 汎用サブルーチンの固有マトリ ックスの制限範 囲内 で計算処理を行っ ても， 直接的に有限要素法で解いた場合よりも， 精度が高くなる． ｉ ‐ ａｎｏ ｃｏｎｖｅｘ 本 研 究 では 振動 体 の 資料 と し て， ＡＴ−ｃｕｔ水 晶 振動 子 を用 い て 解 析 を加 え た， 即 ち，ｐ. ＡＴ−ｃｕ ｔ水 晶振動 子を無限障壁ポテンシヤル井戸を有する 振動 体とみなせ ば振動に対する微 分方 ２ １ ） ’”’ 程式は Ｓｃｈｒｂｄｉｎｇｅｒの 方 程 式 と な る６ ． Ｗｉ ｉ ｓ ｏｎはこの式を放物面ポテンシヤル井 戸を有する振動体として近似的な解析解を得たが， 大胆 ） 他方 得られた Ｓｃｈｒｂｄｉｎｇｅｒ の 方 程 式 を 近 似 的 な な近似 であるために解の精度はあまり高くない５ ， ． 処理を行うことなく， 物理的意味を考慮しつつ， 有限要素法を用いて解く 手法が本解析方法 である． ３ ）厚味たり振動に伴う ２ ）厚味ヒリ振動の変位分布， （ １ ）水晶振動子の共振周波数，（ この方法によっ て（. 勢断応力の分布， （ ４ ）蒸着電極が振動子に与える影響等について計算を行い， 実験値との比較・検討 を加 えた． その結果， 高い精度で解析することができた．. 登 ２． 弾強体中での波動 ） の各軸方向に （仏， 坊， 儀） な ｒ（尤 弾性体内部に波動 が生じ各点が直角座標 （尤 ， ，“ｚ ，物，為）ｏ る変位を示したものと仮定すると， 変位は場所 （座標） の関数として示される． ここで取扱う範囲 ｋｅの 法則が成立する線形な場合に 限る， 弾性体内部に変形が生ずれば， 変形に対応する内部 は Ｈｏｏ ｉｇ 応力 が生ずる． 弾性体内部に Ｆ ．１ で示すような微小６面体をとれば， その各側面に垂 直な応力 （ ，７１，７１） と平行に働く 応力 （れ，７１，７１） とが生ずる． 弾性体が振動をともなっ ている場合， 変位（仏， 坊， 仏）は場所の関数 であると共に時間の関数と ） 方向の加 速度は の関係ともなるの で， 各座標軸 （ェ ， ２ ３ ，尤 ，尤 ２ ２ ａ２ロ１ ． ａ び２ ６胆ワ２. （１）. ｒ ａ云２ ’ ａ云２ ’ β云２. ｉ 示され， Ｆ と示され ｇ ．１の微小６面体に対して， 力はつり合いの状態に あるの で運動方程式をたてれ ば. . β２ び. ． . β． 越三一 錯 . . ６２ Ｕ. ３ ３一 寿 ぎ 勺だ. ｉｎ の 表 記 法 を用 い る と ｔｅ と な る． た だ し ｐ は 密 度 であ る． Ｅｉｎｓ （１２ ８ ）.
(4) . ＡＴ−ｃｕ ｔ振動子の新解法. ） な（危２. ； 店砲ー ）. 記（較３ ）. “議 臨一日 ＸＩ ＦＮｇ．Ｉ Ｎｏｔａ ｉｏｎ ｏｆ ｎｏｍａ ｌｓ ｔ ｔ ｒ ｅｓｓｅｓ ａｎｄ ｓｈｅａｒ ｔ ｒｅｄ ｔ ｏ ・ｒｅｃｔａｎｇｕｌ ｒ ａｒ ｓ ｅｓｓｅｓ ｒｅｆｅｒ ｉｎａｔ ｔｅｍ． ｃｏｏｒｄ ｅｓｙｓ. ｐ仏‐ 諸. ば ， ね，２ ，３. （３）. と示される． 振動の変位が小さ い場合， 即ち， 線形な変形の場合， ひずみテンソルは. ｓ ，一（警ｒ十箸）. もた コ ２ ，３. （４）. と な り， 一 方， 応 力 テ ン ソ ル Ｔ， ｉ ｆ ｆｎｅｓｓ ｔ “ と ひ ず み テ ン ソ ル Ｓｚ た は ４ 次 の 弾 性 定 数 を テ ン ソ ル （ｓ ｔａｎｔ） ｃぎ晒た で 結 合 さ れ ｃｏｎｓ ｒ‘加＝ ｃ乙蹴た ｓぎ た. （５）. ２ １. ５. となる． 上式の添字に対して短縮記号 の約束を適用すれば１１→ １， ２２ ２， ３３←テ３， ２３ｏｒ３２→ ４， １３ｏｒ３１ ÷→５， １２ｏ ｒ２ト→６ と な る か ら 餐 ｃｌ Ｉ Ｃ． ２ ｃ１ ３ ｃ１ ４ Ｃ１ ５ Ｃ・ ６. ７ ÷ ２. ｃ２ １ ｃ２ ２ Ｃ２ ３ Ｃ２ ４ Ｃ２ ５ Ｃ２ ６. ７３. ｃ３ １ Ｃ３ ２ ｃ３ ３ Ｃ３ ４ Ｃ３ ５ Ｃ３ ６. 云. ７ ÷ ．. 一 ー. ｃ４ １ ｃ４ ２ ｃ４ ３ Ｃ４ ４ Ｃ４ ５ Ｃ４ ６. . ７５. ｃ５ １ ｃ５ ２ Ｃ５ ３ ｃ５ ４ Ｃ５ ５ Ｃ５ ６. ６び，／β為 十βＵ３ ／ａ尤，. ７ ÷ ６. 、. 箕た. ７ ÷ ４. ａ坊／β尤 ／伽 １十βひ１. ｃ６ １ ｃ６ ２ Ｃ６ ４ Ｃ６ ３ Ｃ６ ５ Ｃ６ ６. （６）. となり， （６） 式を （２） に代入すると基本式は ｐリＦＣ一 が 仏 β尤 尤た） 〆 ，々＝１ ，２ ，３ れｓ＝１ ，２ ，…，５ ，６ ２左＝γ （１ ２ ９ ）. （７）.
(5) . . 山. 形. 積. 治. ︶・. お. ） 水 晶 のｓ ｉｘ は ｉ ｆ ｆｎｅｓｓ ｍａｔ ｔ と な る１ ｒ ． Ｃ. ｃ１ ４. Ｃ． ２ Ｃ１ ３. ＣＩ ２. ＣＩ ４ Ｉ Ｃ． ３ 一 Ｃ１. Ｃ. ＣＩ Ｉ Ｃ. ＣＩ ３ １ ｃ３. Ｃ. Ｃ１ ３. ０. Ｃ１ ４ ４ 一 ｃ１. ０. Ｃ４ ４. ０. ０. ０. ０. ０ ′. ０. ０. ０. ０. ０. ０. ０ ｃ４ ４. ０. ０. ０. ０ ｃ１ ｃ １ ４ ÷（ ｌ ．−ｃ. （８）. α４. ４ ） この式を （７） 式に代入すると 水晶に対する波動方程式が得られる 一方 平面波 と示され２ ， ， ， ． が座標軸 （尤 ） と方向余弦 （α ） をなす任意の方向に伝播すると仮定し， この時， 波 ． ２ ， ３ ２ ３ ，尤 ，ｘ ，α ，α ′ ′ 動に関する式が誘導し易いように新しい座標系（ェ ．， ず ３）をとり， 波面の法線が尤丁 軸と一致す ，尤 るようにとれば， 波動は角周波数 の で振動 しながら尤／ 方向に速度 りで伝播 する． この時， 変位の大 きさは時間と空間の関数. （９）. ワ＝αｅｘｐ〔勉（云−ギ／〃）＋が〕 となる． ６は位相定数 である． ところが回転の場合の座標変換公式に従えば 糠 ＝ 尤１α１＋ 尤２α２＋ 尤３α３. （１０）. となるから， これを （９） 式に代入して び；α ｅｘｐ［ブの｛Ｚｆ（α，尤，十α“２十α３尤３）／〃｝＋ブ６］ ；αｅｘｐ じ２汀｛しｚ−（α，尤．十 の尤２十 ぬ尤３）／ぇ｝＋ が］. （．・）. ）＋が］ （だ打／ ｛〆‐（の ．十α”２十α３ ３ ＝α ｅｘｐ［ ］ ｛メ ー（α．尤，十α２尤２十α３尤３）｝ ；Ａ ｅｘｐ［ （ブ２汀以） 第４式 と変形される． 但し し ，入はそれぞれ結晶中の波動の 振動数， 波長 である． 上式の第３式から ）を用 いている． 又， 第２式は波動 ベ クト ル ｉ８ への変形には複素 振幅Ａ＝αｅｘｐ（ ／え １たｉ＝１ （１２ ）. た ＝ 左，ｅ，十々２ｅ２十 々３ｅ３. ＝α，／え ｅ．十α パｅ 十 ぬ な ｅ３. を導入することによっ て， （１３ ）. ］ Ｕ＝ Ａ ｅｘｐ じ２ｍ メ ー元・ｒ）. ）式 でｅは単位ベ クトルで，ｒは位置ベ クトルであっ て， 次の関係がある． ２） と書ける， 但し（１ ，（１３ ｒ＝ 尤ｌｅ・十 尤２ｅ２＋ 尤３ｅ３ γ. ） （１４. ｒ ド α，工，十 α２尤２十 α３尤３. ） 式を （７） 式に代入して 整理すれば （１３. ） （１ ３０.
(6) . ６２ひ２. . ｒｌ ｌ. ｒ１ ３ ２ ｒ１. 方２ ．. 刀２ ３ ２ だ２. だ３ ，. だ３ ２. ６２Ｕ３. . 扉嵐 期 が凶 が. ＡＴ−ｃｕ ｔ振動子の新解法. （１５ ）. だ３ ３. と な る． ｒｖ は. ハ．ニメ ｃｌ ６十α孝 ｃ５５十２α２ α３ ｃ５６十２α３α・ Ｃ５・十２α・α２ ｃ・６ ｌ＋”署 ｃ６ ｄ メ だ２ ニ 十 ｃ６ ｃ２ ２ ６ ２十 婿 ｃ４４十２α２ α３ ｃ２４十２α３α， ｃ４６十２α・α２ ｃ２６ 刀３ ４十 姓 ｃ３３十２α２ α３ ｃ３４十２α３α， ｃ３５十２α・α２ ｃ４５ ３＝ 〆 ｃ５ ５十 ｄ ｃ４ メ （Ｃ２ ） ；ｒ 十 ｒも ｃ５ ４十α２α３ ３十ｃ４ ４ ６ 瞬 ｃ２ ４十α吾 ｃ３ ２ニ ３ も 十α３α１ ）十α１α２ （ｃ４ ） （ｃ４ ６ ６十ｃ２ ５ ５十ｃ３ 婿 好 ） （ｃ４ 召３＝ 鳥，＝ 〆 ｃ， ｃ３ ｃ４ ５十 α３ ５十 ６十 ５十 Ｑ６ ） ）十α１α２ （Ｃ５ 十α３α１ （ｃ３ ６十Ｃ １ ４ １十ｃ５ ５. （１６ ）. （ｃ４ ） 万２＝ｒを ５ ５十α２α３ ６十ｃ２ ．ニ メ ｃ１ ６＋ ｄ ｃ２ ６十 婿 ｃ４ ） 十 ） 十 （ 十 十α３の に５ Ｃ ｃ α Ｇ α １２ １ ２ ６ ６ ６ ４. となる． 基準位置からの変位を ひとみれば， 各座標軸方向の成分を（１） 式 で定義したように （仏 ， 坊， 倭） とすれば Ｕ＝α Ｕ，十βワ２十γひ３. （１７）. とおくことができる．但しα，β，γは方向余弦を示 す， Ｃｈｒ ｉ ｆ ｌ は Ｆｉｇ ｔｏｆ ｓ ｅ ． ２ に示すよう な結晶モ デル. における共振周波数は. ｆに 芳. 信. ◎. で示され， 厚味ｙ方向に波面 をもつ定在波は３通 り存在し， 各々に対する弾性係数 々は次の永年方 ｌ 程 式 （ｓｅｃｕ ｉ ｔ ａｒｅｑ ｕａ ｏｎ） を満足する解として与え ０ ） ら れ る こ と を 示 した２ ．. Ｐ：ｄ ｉ ｔ ｅ ｎ ｓ ｙ. ｆ＝＊. 係. ｑ ： 蜘邸 一ｔ ｔ ｄ ｖ ｅ １ ｏ ｎ ｅｏ ｚ ｅ ｒ ｍ：ｏ. αハ，十β ハ２十γ 君３＝αｑ α召２十β乃２十γ 鳥３−βｑ. Ｘｓ. （１９）. αハ３十β乃３十γ 鳥３＝γｑ. （１９ ） の３つの解は全て実数になり. （１ ３１ ）. ＦＩｇ．２ Ｃａｒ ｉａｎ ｃｏｏｒｄ ｉｎａ ｔｅｓ ｔｅ ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉ ｌ ａｎａ ｓ ｏｆ ａ ｒｅｃｔａｎｇｕｌ ａｒ ｒｅｓｏｎａｔｏｒ ｙｓ ， ｌｔｏＰ口ｎｃ ＩＰａ ｌｓｕｒ ｆａｃｅｓ ｘ２ ‐ａｘｉ ｓｉ ｓｎｏｒｍａ ｏｆｔｈｅｒ ｅｓｏｎａｔｏｒ ，.
(7) . 山. ｒ， ．− ｑ. ｒ． ２. ｒ， ３. ｒ， ２. だ２ ２− ｑ. 刀２ ３. ｒ． ３. だ２ ３. だ３ ３− ｑ. 形. 積. 治. ） （２０. ＝Ｏ. ｔ板も含めて板面が尤 を解けば求められる． 今， ＡＴ−ｃｕ ，軸（電気軸）に平行な水晶振動子について 軸に垂直であるから法線への方向余弦 α 検討を加えると，板面の法線は常に％ ・ ２ ３ の 中 で α・ は ． ，α ，α ） 式に （８） 式の定数の関係を考慮して ６ 常に０になる． （１. た → 〆（鉱一 ㈲ 冴 ｃ αぬｃ １ ４ ４ ４十２ Ｚ１ ４ ４十２α２α３ｃ， ２ ２＝ 霧 ｃ， ．十 婿 ｃ４. だ３ ４十α化３ ３ ３＝α化４ ） （ｃ， 珪２＝ 乃３＝ 一 瞬ｃ”＋α２α３ ４ ３十ｃ４. （２１ ）. ２＝ 打２ ．＝０ ． ３＝ だ３ ，＝ ｒ．. となり， 方程式は ｒ， ．− ｑ. ｏ. ｏ. ０. だ２ ２− ｑ. 打２ ３. ０. だ３ ２. だ３ ３− ｑ. − ハ ） ｛事ｉ子 声 ｑ ．. ｝−ｏ. ） （２２. となり， 三次方程式の１つの根は. 一鍍 一 如 如 噸，一 瞬に， ，. ＋２α ぬ ｃ，. （２３）. と示され， 他の２根は （２４）. （鳥２−ｑ）（鳥３−ｑ）− 鳥も＝０. なる二次方程式の根となり， ２根とも実数で ｑ（ ２ ）；. ２＋４鳥を ） ）十ノ（乃２十 島３ （乃２十 島３ ２. ） （２５. ２＋４薦ゑ ） ）−ノ（鳥２十 島３ （昆２十 島３ ＝. ｑ（ ３ ）. ２. ） と な る．今，秋． ． ２ ｝ （ ２ ） 〉 ． （ ） ｛ （ ） ， 箕２ ， 貧り） ，β ） ）に 対 す る 変 位 の 方 向 余 弦 を（１７）式 に よ り（α ，β ，（α ， ， 飲め， 頃３ 式 入 し （ １ ９ ） 代 ） 式 に な （ ２ ３ を用 い て す ず ＝ｒ る ） と れ ば ま （α β ． ． ） ， ３ ３ （ 〉 ） ） （ ， ， （ ， 質３ ， ｑ ， ， ｝ ０ ＝α ， ）ハ， （ α ， ） ０ 十 γ（ （ ． ）召，十β （. ） （２６. ， α（ ）君， ， （ ）鳥３＝β（ ， ， ）鳥２十γ ）０ 十β （ ， ｝ハ， α（ （ ， ）た３＝γ （ ， １ ）０ 十β （ ）琵３十 γ. ２ ） （１ ３.
(8) . ＡＴ−ｃｕ ｔ振動子の新解法. ２ ２ ２ と な る． こ こ で α ． ． （ ） 十β （ ） 十 ％． ） ＝ １ を用 い て 上 式 を 整 理 す れ ば α ． ． ）＝ ％． ）＝０であ る こ と が （ ）＝１ （ ，β 知 ら れ る． 又， 会２ な 考 同 様 察 を加 え ＝ ０ に て ＝ ０ な 結 破２ ） ） ３ ｝ （ ） ．と る 果 を 得 る． 従 っ て， 上 記 ３ ，象３ ，α. ） ７ ３） 式より 条 件による変位を 仏． ） ） ）とすれば （１ ， 仏２ ， 仏３ ， （１ び｛ ） ・ｒ． ・ ． ）＝ ぴ・＝ Ａ， ｅｘｐ 逆 メ レ （ ）Ｚ一元．. 仏２ ２ （ ） ２ ）＝ ひ２β （ ）十 Ｕ３γ ） ＝Ａ２ ｅｘＰ ブ２打（し ‐ｒ２ ２ ）Ｚ‐た２ （. （２７ ）. Ｕ（ ３ ３ ３ （ ）十 Ｕ３γ （ ） ）＝ Ｕ２β ‐ｒ３ ） ＝Ａ３ ｅｘＰ ブ２打（し ３ （ ）Ｚ一元３. となり， 各々に対する固有周波数は （１８ ） 式により. （２７ ）. となる，但 し上式 でｙは定在波が乗る一端面からもう 一方 のこれに平行な端面間の路離 である．ｍは 倍振動の次数 である． さて，（２７ ） 式で示される３種類の弾性波の内 でいずれのものが圧電的に実現 し 得 る か を調 べ て み る．. この場合，振動子の板面は ，軸に平行であるから，振動子を平行電極間に置いて電界を加えた時， 板に働く電界には 為 方向の成分が存在せず，為 軸方向の電界成分Ｅ２とｘ ３軸方向の電界成分Ｅ３の みが存在する． しかし， 水晶は−軸性の結晶であるから， 結晶の性質上， Ｅ３によっ ては全くひずみ を生 ぜ しめ る こ と は でき な い か ら， Ｅ２ のみが水晶振動子の励振に有効な成分となる． 水晶結晶の圧 ｉ兄弟によっ て調 べられて 電的特性は Ｃｕ ｒ Ｓ．＝ 仏，Ｅ， ，. Ｓ２＝ −〆， ．Ｅ． ，. ｓ５ニ ー メ． ４Ｅ２ ，. ｓ６＝ −２グ， ．Ｅ２ ，. Ｓ４＝ ｄ， ４Ｅ，. （２８ ）. と な っ て い る． 従 っ て， Ｅ２によっ て与えられるひずみは （２ ８ ） 式の第２行目の成分のみとなる． 故 にひずみは. １ ｓＦ畿÷＋ 語，ＳＦ 餅 十３髭. （２９ ）. の２種類に限られる．（２７ ） 式からも明らかなように共振周波数を決定するのは板の厚味ｙ（ｘ ２軸方 向） なの で電気軸方向ｘ ９） 式の各項 ，には無関係となる． 従っ てＥ２によっ て発生可能なひずみ （２ の中 でａワ． ２） 式の方程式の第１番目の根 頃． ） 式を弾 ／み２ のみが実現する．これは （２ ） ， 即ち， （２３ 性定数として振動するもの で， 変位 仏 は× ，軸方向 で振動 し， 定在波はｘ ２軸方向に乗る横波とな ｉ ｉｂｒａｔ ｉｏｎ ｍｏ ｄｅ） となる． その共振周波数は （２７ り， 厚 味 ヒ リ 振 動 （ｔｈ ｃｋｎｅｓｓｓｈｅａｒｖ ３ ） ） 式に （２ 式を代人して. （１３ ３ ）.
(9) . 積. 形. 山. 治. Ｘ３. ｘき. γ. ′ ′. . . ′ ′ ，. Ｘ２. ＸＩ 五￥ｇ．３. ｉ ＩＰ １ ＡＴ −ｃｕｔ ｑｕａｒ ｔｚ Ｃｒｙｓ ｔａ ‐ ａｔｅ ｃｏｏｒｄ ′ ′ 尤′ え ｆ ｄｔ ） ｔｅｍ （尤１ ｏ ｒ ｅ ｅ ｒ ｒ ｅ ｎａｔｅｓｙｓ を ２ ， ， ｌ ｌ ｔｚ Ｃｒｙｓ ｔａ ‐ Ｃｒｙｓ ｏｇｒａｐｈｉｃ ａｘｅｓ ｏｆ ｑｕａｒ ｌ ｔａ ．. ）十αた４ ｛１／２ ‐ｄ（ｃ． ル ニれ／２γ 在 ｒ１ ４ ２ ・‐ｃ・ １ ２ ／ ｝ 十２α２α３ｃ， ４. ｉ ）ｓ ・ （Ｃ １ ｉ Ｅ 了） ・ ｛１／２ （ ／ノ ｎ２β ＝（れ／２ｙ） ・ ２ ， ．−ｃ. （３０ ）. １ ２ ′ ｉｎ２６｝ 十 α ｃｏｓ２６十ご ， ４ｓ ′ と な る．但 し βは 水 晶 板 の 法 線 尤 ２ と尤 ３ 軸 と の 作 る角 で， こ の 様 子 を ＡＴ−ｃｕｔ 板に つ い て Ｆｉｇ ．３ に. 示す． ′ ｉ 通常， 切出し角は実用的に水晶結晶の光軸尤 ｇ ３と板面とが作る角（Ｆ ．３ で 尤３ で表 示）γニターガ／２ で示す．. 登 ３． Ｐ１ａｎｏ‐Ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃｕｔ 水 晶 板 の 解 析 へ の 方 向 前節で論議した結論は無限平板近似 できるような条件下 での振動子について であっ て， 現実の水 ｔ水晶振動 子に対する振動解析には方形板の 晶振動子は必ずしも前述の条件に 一致しない↓ＡＴ−ｃｕ ｌ ） ）らの解析的な方法が有名 である 又 ｌ ｉｎ， 古賀２ ように境界が明確な形状のものに対しては Ｍｉ ｎｄ ． ， ） 円板状の ＡＴ−ｃｕｔ水晶ｔ震動一 Ｍａｎｄ ｌ ｉ 子の変位分布は福与 ｎは円板状の振動子の解析も行っ ている３ ． ） らによっ て研究されて， 探針法による実測値と解析解との比較 を行っ ている４ ， 現 実 の ＡＴ−ｃｕｔ 水 晶 振薄ヵ子 の 利用 と し て，ｃｏｎｖｅｘ 形 の 振動 子 が 多 い に も か か わ ら ず， 解 析 例 が 少. ６ ）があり 曲率をもっ た振動子の な い．ｂｉｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃ ｔ振動子の基本振動の解析に福与らの報告１ ｕ ，. ７ ） Ｗｉ 厚味すべり振動 についての一般的な取扱いに尾上らの報告がある１ ｓ ｏｎは 前節において述べた ． ｌ ｌ ように ｐ ｔ水晶振動 子 で板が薄く直径が大きな場 合， これが放物面状のポテン ‐ ａｎｏ ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃｕ ） （１ ３４.
(10) . ＡＴ−ｃｕ ｔ振動子の新解法. ） Ｗｉ シャ ル井戸を有する振動体であると仮定して解析を加 えている５ ｓ ｏｎの取扱い方は普遍化 が可 ． ｌ 能 であるが， 現状 で広く用いられている振動子の形状 で， 板の周辺を適当な直径 で切断し， 直径に ｌ 対 し て 厚 み を 比 較 的 厚 く して， 倍 振動 で用 い る よ う な ｐ ‐ ｔ水晶振動 子に適用す ａｎｏ ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃｕ ２ １ ） ると誤差が大きくなる ． 本研究においては上記の難点をカバーする解析 方 法 を み つ け だ して 行 く． 比較 の た め に Ｆｉｇ ．４ に. ｈｏ. ｌ Ｗｉ ｓｏｎ の 近 似 が よ く 成 立 す る ｐｌａｎｏ‐ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃｕｔ 水 晶 振動 子 と Ｗｉ ｌ ｓｏｎの解 法 では誤差が. 大きくなる形状の振動子を示しておく． 同図において，（ａ）は曲率半径の大きい球体の. ←. 〔 約. − ｄ Ｒ. 一 部 を 切 り 取 っ て 得 た ｐｌ ａｎｏ ‐ｃｏｎｖｅｘ 板 で あ り，. ｈ。 》 ｄ. 》 ｈ。. ｄ. 〉 ｈ ｏ. Ｗｉ ｌ ｓｏｎ の 解 法 で 十 分 シ ュ ミ レ ー シ ョ ン 可 能 な タ. イ プ， （ｂ） は厚味 あ に比較して板の直径 α がそ. − −ー. （ａ）. ｌ れ程 大 き く な い ｐ ‐ ａｎｏ ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃｕｔ 水 晶 振動. １ ２ ７ ） ’ 子で本研究で解析の対象とするものである２ ， ｔ振動 子は （ｂ） のタイ プの板が 通常， ＡＴ−ｃｕ 多く， ３次か５次の倍振動モー ドで用いられてい る．. 振動子に対する解析的な解 を得よう とする場 合， （７） 式を境界条件を満足しつつ解き， （１３ ） 式 の具 体 的 な 値 を 得 る こ と に つ き る が ｐｌ ‐ ‐ ａｎｏ ｃｏｎ. ｅｘ のように凸レンズ状にして横方向の境界にあ ｖ いまいにした点に特色がある板に対しては （１３ ） 式 で示される具体的な厳密解を得ることは不可能 に 近 い． 従 っ て， 著 者 が 試 みよ う と し て い る． 理. （ｂ）. 論的解析と有限要素の結合による振動体の解析方. 拒 ｇ・ ４ Ｔｗｏ ｔｙＰｅｓｏｆ ａｎｏ‐ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ一Ｃｕｔ. 法は計算機のメモリーの節約 と言う ばかり でな. ｌｐ ｌ ｔ ｔａ ｔｃａｎ ｂｅａｎａ ）ｌ ｚＣｒｙｓ ‐ ａｔｅ ａ ｑｕａｒ ，（ ｌ ｉｃ ｐｏ ｉａ ｌ ｗｅ ｌ ｌ ｔｅｎｔ ｙｚｅｄ ｂｙｔｈｅ ｑｕａｄｒａｔ ｉｍａｔ ｉｏｎ ａｎｄ（ ｂ ｈ ｉ ）ｔ ａｐｐｒｏｘ ｓｔｙｐｅ ｈａｓ ｌ ｉｃｔｐｏｔｅｎｔ ｉａ ｌ ｗｅ ｌ ｌ ｔ ｔｏａｎａ ｒ ｙｓｅｓ ．. く， 計算の精度を上げる方法とも言える。. 登 ４． Ｐ１ａｎｏ‐ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃｕｔ 水 晶 振動 子 の 運動 方 程 式 無限平板近似が可能な ＡＴ−ｃｕ ｔ振動 子が厚味たり振動を行う場合， 座標系を ＡＴ−ｃｕ ｔ板に固定. ′ 尤′ 尤′ ′ ｉｎａ ｔ した ＡＴ−ｃｕｔｃｏｏｒｄ ｅ（劣． ， ２， ３） に 対 し て， 変 位 成 分 仏 が 為 方 向 に あ り， 定 在 波 が 尤ず に. 乗っ ているケースについての運動方程式を 巷 ２ で議論した．今，ＡＴ−ｃｕ ｔ板が厚味たり振動を行う 場合の運動方程式をたてる， 仏 に比較 して 坊， 偽 は極めて小さく， 無視 できるならば （７） 式は ａ２″１ ↓. β２ ひ１. 上. β２ ″１. 上. β２ ひ，. − ハ ハ （ １ト詞召す Ｔし ５ ５ 扇「 Ｔし ６さ ５ ６罫ヌ溺死ｒ− 発 言ｒＴし. β２ び．. 濁 声 「 ÷. と 示 さ れ る． 水 晶 結 晶 に お いて は ｃ５ ６ であるから， 上式の第４項が無視されて ５＞ ＞ｃ５. ３５ ） （１. （３１ ）.
(11) . 山. ａ２ び．. β２Ｕ‐ ・. . 形. 治. 積. . ↓（ ユハ ー＾ １ １ ６ 三 谷舶ｒ Ｔし ５５ 〆を ÷Ｔし６ 「需零 す ÷−〆扉月「. （３２ ）. と更に簡略化さ れる． 上式を境界条件を満足させつつ解けば問題はないの であるが， 直接解をみつ ′ けることはまず不可能 である． しかし， ここ で 仏 が尤 ２ 方向 （厚味方向） において， 中央部 で余弦 ） 式は更に簡略化 できる可能性がある． 関係状に分布すると言う事実が確認 できれば （３２ 事実， 先の研究 で明らかになっ たように， 偏光光線走査法で測定した応力分布及び有限要素法に １ １ ５ ２ １ ２ ６ ０ ） こ の 結 果 を Ｆｉｇ ５ ６ ７ に 示 す 変 位 仏 ’ ’ ’ ’ ｉｍｕ ｌ ｉｏｎ の値 も 正 弦 関 数 状 であ っ た９ ｔ よる ｓ ａ ． ， ， ． ． ′ ′ ７ 仏 １ 幼子の中心部分で％ は振ョ は応力 ｉ のズメ 方向の積分値と相似になるの で， ２ 方向に余弦関数状 に分布していることが確認 できた． 即ち ご ひ．＝ α（れ 垢）Ｃｏ ） ．〆の ｓ（粥刀滋／γ。. ） （３３. ′ ′ ′ ′ となる． 但しｙ ２ 方向の厚味で， 粥 は倍振動の次数である． 上式は 仏 伝．， 為 ） の 項 を 含 。は板の尤 ′ ′ ′ ′ ｌ ‐ ａｎｏ んでいるので変位・の分布 仏 は （尤 ，−為 ） 平面内 で 仏 α，う尤３ノの 形 で分布 す る． 球 面 状 の ｐ Ｃｏｎｖｅ× では. ）一 尺十力。 ｙｏ＝／尺２−（豹２一 瞬２. （３４ ）. ｉ ａｎｏｃｏｎｖｅｘ 板 の 曲 率 半 径， 板 の 中 心 の厚 味 と お く こ と が でき る． 兄 ね。 は Ｆｉｇ ，４ に 示 し た よ う に ｐ. を示す． ） 式を 今後の取扱いが容易に行えるように （３３ Ｕ，＝ びｉ （垢，垢） お（れ尤も膿）. に でβ 臨 も◎ 棚. （ ３ ） ５. 謡 為 〆ご. ） 式を （３２ ） 式に代人すれば とおく， （３５. （畿をβ十瀞 帯十鴛 十誓誓） Ｇ ，. . ＋偏 （畿をβ 十嘉雪針畿をα十帯 箸）. （３６ ）. ′ ′ と ｘ′ の 関 数 であ る か ら ａ仏′／流〆＝ ０ ２ Ｕｉ ／β霧 ＝０であり， 又，β は 為′ と な る． 仏′ は 尤， ３ ，為 に ′ ′ ２ 関して一定値をとるよう な調和振動 であるから ａβ／流， ＝ ０， ａ β／流・ ＝ ０， ａβ／総３ ＝ ０， ａ２β／. 流言２＝０となり， これらの条件を （３６ ） 式に代入すれば. （茎影）痴 優 ◎ 痴 場を ｃ ， ，. −. となる． 上式に （３５ ） 式の β の値を代入すると 左辺は （１ ３ ６ ）. Ｓ影 ）. ＠）.
(12) . . の 一. ．. Ｏ. Ｏ. Ｎの○の？一 エー い﹁ Ｑ一 ︷ Ｎ、 ﹁＝いｈ︶. の×ｎニラぬ 鋪くむ . . Ｏ. 〇 ‐. ・ −−七′ ー − − −− ．・. . . . Ｏトー . Ｏ十Ｎ . ｃｏｍｐｔｅ. 明占的・金 一′ ゴー ︵” 粁ロのめのめ口の鴎Ｈのげ ”コげロロ○ロ ０怖 け ﹁ のののロー の Ｄ ｒ ｌ ﹁ー， ｍＨ 一 ０︷ｕ ｏｂくの× ▲ ＯＣ什口紅誉の． ロー. 扇武的．ｑ 一′ ロー ０折ロのののめけのｍ﹁の［ の［ コロロ立︵ ︶ べ のののＱ− ロ ０晴 ｍｂｏ︷ｕ Ｄ ︵Ｈｒーｎこげけー ｍｈの． ｏｂくの× ー ロー. Ｑ一 ︿、 ﹁ のｎ二０コ. ○ −. −−．・ 、、、 、 ′ − ｎ − ｎｎｅｑｓｕｒｅ. ｓ ｘｌｏ ｄｙｎ／ｃｍ２ ｓｔｒｅｓｓ 蔭. ｅ ｇ ０ い ８ ｐ 一. 。 Ｏ. ＥＥ Ｑ −. て . ， ，ｇ 。 . 均病 ゴー ︵ ｕ 丙のロののめけの鋲﹁の［ ”ュけに立︵ あげ ︶ ﹁ ののめＱ− ｂ ｏ軸 的・鎖 一′. ０ 〈 、か Ｋ ｏ 、 ｇ ｘｌが ｄｙｎ／ｃｍ２ ｓｔｒｅｓｓ 超 い ー Ｎ 鎖 の い 。. − ｏ ， ｂ 「ｅーＱｔｉｖｅ ｓｈｅｑｒｓｔｒｅｓｓ ｆｏｒｃｏｍｐｕｔ ．. ｓｔｒｅｓｓ Ｔ も ｘ１０５ｄｙｎ／Ｃｍ２.
(13) . 山 形. ←（場釣十. 治. 積. ２ 〆 裂豹−偏ば （テ） ｝鮎 鵬 ｙｏ. となり， 右辺は . が （卿 . 十 ２署 帯十帯び り （著Ｐβ. . と な る． β仏′／所＝ ０， ａ２仏′／説２＝ ０ であるから結局， 右辺は更に簡略化されて. ） 式は となる． 従っ て （３６. ２ ｉ ‐ｆ） ｝ （ ｛ ＋ （鎖帯冬＋節誓吾） ｐダル 偏り ２ ・ − ｏ ） 悌 ば（要）（奇−. ８） （３. ） 式の誘導で と変形される． 但し （３８ −. ２ ２ ・−勢−・ ） テ） 繍 （署）（. （ ３ ９ ）. なる関係を用 いた． 更に. も （ も劣 ） ザ ー，＝ 尤 ｇ 僻. 選 仙２ め. 燭 ２. −１ （◎. ） 式に代入すると なる近似式を （３８. − Ｃ ， ，瀞ー＋偏 瀞；＋［卿２. ２ 署）＋. テ） 箸 謄）］ひとｏ. （ ４ １ ）. ｌ ｌ と な る． こ の 式 は Ｗｉ ａｎｏ ‐ ｓｏｎ が 彼 の 論 文 の 中 で示 し た，〉放 物 面 ポテ ン シ ャ ル 井 戸 近 似 で導 い た ｐ. ｔ水 晶振動子に対する運動方程式 である ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃ ｕ. ） 式は回転放物面をポテンシャ ル項と ．（４１ ）（４１）式 に お い て ｃ とｃ する ２ 次 元 調 和 振 動 子 を 表 わ す 」 ÷ Ｓｃｈｒｂｄｉｎｇｅｒ方 程 式 と 同 等 に なる２１ ． ． ５ ５ ． とは等しくないの で非等方性弾性体の振動を示し， このことから固有値の縮退は起らないものと考 ′ え ら れ る． し か し，ｃ． ， と ｃ５ ５は単純な有理数の比にならないの で尤／ と尤 ３ 方向に無限に続く解が予 想される．（４１ ）式の解は１価連続， １次微係数が連続かつ解の２乗積分が可能 であると言う条件の. 下で変位の振幅は α（為. ） ／２αの．ｅｘｐ（−尤茅／２αｇ ．ｅｘｐ（− 頒２ ＝″ −，（尤 α．）″ｐ−，（滋／α）. となり， 上式 で （１ ３８ ）. （４２）.
(14) . ＡＴ−ｃｕ ｔ振動子の新解法. を表わし， 角周波数は. １ ／ ２ １ ２ ／ ２ ２ ｐ−・ ）需旨（冊） メー テ （帯 ）＋テ 』−・ ）需旨（誉） ＋テ（ （ ４ ３ ） ２３４ ……… こ こ で、れ ＝１ ，，，， Ｐ ＝１ ２ ３ ４ … … ，，，，. ′／αノ 互 ′ ｔｅ の 多 項 式 であ り ２） 式の 旦 −， 食． ｒｍｉ で示される． （４ ．， ｐ −， α３／α５力ま Ｈｅ ″○α）＝１. ″３ （尤）＝８が −１２尤. 甘式尤）＝２. ″４６）＝１６. −４８尤２＋２. ″２（尤）＝４尤２ー２. ″５ （ ）＝３２. −１６０. （４４）. 十１２０尤. ２ ） 例 え ば ”＝Ｐ＝ １ の 場 合 互 の ＝ １ と な り （４２） 式 は で与 え ら れる１ ， 。 ． ２ ２ ／２ｄ） ／２αの．ｅｘｐ（一尤も α（れ 尤も ）二ｅｘｐ（−尤ｉ. （４５）. ′ ｉｇ となり， 変位の振幅の分布は 為′ ３ 方向に各々 ガウス分布 を示し Ｆ ．８のようになる． こ れ は ，尤 ｌ ＡＴ ｔ −ｃ ｎ − ｃ ｎ ｘ ｕ ｉ ｌ ａ ｏ ｏ ｖ ｅ Ｗ 水晶振動子の基本厚味たり ｐ ｓ ｏｎの近似解による表面変位の ，振動に対する 分布 を 示 す．イ ンハ ー モ ニ ッ ク 振動 は Ｈｅｒｍｉ ｔｅ 多 項 式 の 高 次 の 場 合 に 相 当 し，れ＝ ３，Ｐ＝ １ では（４２）. 式は （４４ ） 式を用いて ２−１｝ｅｘｐ（−頒／２αの．ｅｘＰ（一 渚／２α ｇ ） ｉ ） ／” は（れ 滋）＝｛（尤 ，. （４６ ）. となる．（４５ ） 及び（４６ ） 式で示される解は変数が分離していて簡潔な形式になっ ている． 実測との １ ） こ 比較 では， 変位の分布は中央部 でよく合うが周辺部では実測値とのづれが大きくなっ て来る２ ． ′ 尤つは放物面を示し この近似はα′ 尤′ ）式の ｇα． ）式 で行っ た近似に問題がある．（４ ０ の原因は（４０ ，， ３ノ ，３ ，. ・ 、 、. ｉ. . . 方１ｇ．８ Ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｓｈｅａ ｉｂｒａｔ ｉｏｎ ｍｏｄｅ ｏｆ ｒ ｖ ｌａｎｏ ‐ ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃｕｔ ｑｕａｒ ｌ ｔ ｔａ ｐ ｚｃ ｒｙｓ ｔｏｒ ｗｉ ｔｈ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａ ｌ ｏｓｃ ｉ ｌ ｒｅｓｏｎａ ｌａ ‐ ｉｏｎｆｅｒｅｑｕｅｎｃｙ（ ｔ ， つめニー ） ． ， “ニー ， かニー. （１ ３ ９）.
(15) . 山. 形： 積. 治. ｔｈ ｅｏｒ ｔ ｉ ｌ ｅ ｃａ. ．. ． 亀 ｈ. ２ （ Ｊ仔爾雨‐Ｒ化）. × . ！ . １. ｍ一 １ ２２ｍ ｍ ト ÷. ′ Ｘ. 基盤＆ Ｒｒ ｂ. ｎ感 ｒ鞘１ 加Ｕ ａ ｒｙ. ｒ＝１１. ０ ５ ．. １ ０ ．. ｌｏ ｍ ｍ. カ グ言 ｄｉ５ｔｑｌｘ；ｅ ｆｒｏｍ ｏｒ ｌ９ｌｎ ｘぬｒ Ｘ Ｓ＝「 ｉｂｒａ ｉｏｎ ｏｆ ａｎｏ ｌｆｏｒｔｈｅ ｖ ｌ ｔ ｉ副 Ｗｅ ‐ ｌ ｉｖｅ ｄｅＰｔｈ ｏｆＰｏｔｅｎｔ Ｆｉｇ．９ Ｒｅ ｔ ａ ｌｒｅｓｏｎａｔｏｒ ｔｚｃｒｙｓ ｔａ ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ −ｃｕｔ ｑｕａｒ ．. ′ ２十尤′ ２ ′ ２十尤ざ２ ノで展開した第１項に相当し，尺＞＞ α． を α， ３ 」の 場 合 によい近 似 となるが， 実用されて ｉｇ ｔ水晶板 ではこの近似条件に合致しないものも多い． Ｆ い る ｐｌａｎｏ‐ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃ ｕ ．９に実用さ れ ′ ′ ている振動子に対するｇ（尤 ．，尤 ３）の厳密な計算値と放物面近似の比較を示す． 周辺部に行くに従っ ） 式 で示される角周波数についても， 実測値と数％の誤差 て， 両者の差が開くことが知られる，（４３ １ ） 従っ て解析値の誤差を小さくするためには （４０ ） 式を完全な形 で用 いたい． しかし， そ を伴う２ ． ） 式が容易に解けないと言う 重大な障害に直面する． そこ で Ｓ ３ で述べた手法 のようにすると（３８. を導入して解析を加 える．. （１ ４０ ）.
(16) . ＡＴ−ｃｕ ｔ振動子の新解法. 登 ５． 理論解析と有限要素法の結合 ５．１ 理論的背景 ′ ′ ２ ′ ｌ Ｗｉ ｓｏｎ が仮 定 した 放 物 面 ポテ ン シ ャ ル 井 戸 ｇ （尤 ，う 尤 ３） ＝ 伝， 十 為 ）／尺ね。は. （４２） ， （４３） 式 で. 動子の直径が尤云 為′方向に無限に連続して いると言う条件下のものである． これに対して， 通常 用 さ れて い る ｐｌａｎｏ‐ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃ ｔ水晶振動 子は適当な直径をもたせて， 周辺部分が切取られ ｕ ４ い る． Ｆｉｇ を再度 見るとその相違 が明瞭になる． ． ， 波動を扱う一般的な手法として， ある定められた頒域の中に波動エネルギーが存在するか否かを 討する場合， その点の波の振幅の２乗が正 で有限な値をとるか否かを調べてみればよい 即ち， ． 立関数を検討することである． 水晶振動子の直径が有限な大きさ であると言う条件で解を求める 合， 解に対する制 限は次のようにしなければならない． （１） 解の絶対値の２乗は直径以内の領域でネ責分が可能， （２）（１） の領域の外側においては解は存在しない． 水晶振動 子の直径を αとするならば波動が閉 じ込められている ポテンシャ ル井戸の障壁の境界 ′ ２ 尤′ ２＝ ｄ／２） ２ 尤１ ・ ＋尤 ３ ＝（. （４６）. ぃ示される （４ ） 式の外側 では解はゼロになる． ． ６ ｌ Ｗｉ ｓ ｏｎが仮定した放物面 ポテンシャ ル井と厳密な取扱いでのポテンシャ ル井戸（無限障壁ポテン 、 ャ ル井戸） とそこでの確立関数の比較図をＦ ｉ ０に示す． 同図 （α ） では障壁の外側にも！Ｕ１２ ｇ ．１ ゞ存在し， （ｂ） では存在しない， これは （３ Ｓ ｈ ８ ） 式の最右項， 即ち ｃ ｒｂｄｉｎｇｅｒ 方 程 式 の ポテ ン シ ャ ２ ） レ項は αの外側では 無限大になることに相当する１ ． 現実の水晶振動子 では振動子を構成している水晶結晶以外のところ では弾性波が存在し得えない. Ｘ′. ｘ′. ）／ （ｂ）. （ｑ） Ｆｉｇ．１Ｏ. ＴＷ０ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｐｏｔｅｎｔ ｉａ ｌ ｗｅ Ｉ Ｌ （ ） ａ ｉｃ ｐｏｔｅｎｔ ｉａ ｌ ｗｅ ｔ ｌ ｌ ａｎｄ （ Ｑｕａｄｒａ ｂ ）ｉひ ｆ ｉｎ ｉ ｉａ ｌ ｗｅ ｌ ｌ ｔｅ ｄｅｐｔｈ ｐｏｔｅｎｔ ．. （１ ４１ ）.
(17) . 山. 形. 治. 積. の であるから （ｂ） のようなポテンシャ ル井戸を考えなければならないのは当然である． 即ちポテ ） 式 で示される領域の内， 外で各々 ンシャ ル項は （４６. ２ 卿 膨（キ）一‐ ｇ（尤）。“ご＝ 閃. 兎。. 唇餅薪. 撫. ２ ）−１. （４７ ）. ） 式が直接解ければ申し分ない． しかし， 前述したように解析的手法 となる．−この条件の下で （３８ ） 式を有限要素法によっ て数値的に解くことに ） 式を解くことは不可能に近い． 従っ て （３８ で （３８ 主目的を置く． 有限要素法は解くべき領域内をいくつかの小領域に分割して， 分割した小領域を適 当な補間関数 で近似して， 全体を表わし解を得ようとするものである− 解の根拠となる のは系の汎 ｉ ｎｇ ａｎ 関数をまず導出し， その汎関数が最小になる解を求める手法 である． 汎関数として系の Ｌａｇ ｒａ を作り， その変分 △Ｌ をゼロならしめる値が解になる． （３８ ） 式の第一項， 第３項に関するエネ ルギーをまとめ て Ｔとすれば， 第１項， 第３項に 仏′を ３ ） を用 い て 整 理 す る と− か け て， 積 分 を 実 行 し， Ｇｒｅｅｎ の 定 理１. ２滋 蘇 ２ ＋ 醤） ｒ一 肌一 帯） ＋★″. ２ 署）ｇ嫡尤捌 け 赦き. （４８ ）. （運動エネルギー） を Ｋ とすれば と示される． 次に第２項目の慣性力に関するエネ ルギー．. . ２ − にで 『の. ） （４９. ２ テ）. と な る． こ の 系 の Ｌａｇｒａｎｇ ｌｎ は ＝. ．. −. （５０）. であるから，（５０ ） 式を最小ならしめる 仏′を求めればこれが解になる． この手 続を進めるために Ｌ の変分 △Ｌ を求める． 変分の定義に従っ て誘導すれば. ”−″（ 仙 誓 箸各 愉 誓 誓子）如嫡. ５ １ ） （. ＋ ″ ヂ（も垢〃 辺 ぴー伽 鹸 ” 〃 は４び 伽 妬， ここ で. ２ｇ（れ 尤 も ） ） （伽〃／ね。 ／（尤も鱗）＝ｃ ６ ６. ４ ）△ｚ＝０の時に』は最小値をとり この時入は固有値（共振周波数） を与え 仏′は固有関 となる１ ， ， ． 数 （振動の変位） を与える．（５１ ） 式 で変分を求める計算の途中 で境界を含むような積分も出て来る が， 境界条件をディ リクレ型の固定境界条件 で解くために， これらの項は全てゼロになり， 式の中 に 示 し て い な い． （１ ４ ２ ）.
(18) . . ＡＴ−ｃｕ ｔ振連動子の新解法. Ｚ′ （ｘ当）. Ｕｉ. （ ｘ ｉ） Ｘ′. Ｆｉｇ．１Ｉ Ｄｉａｇｒａｍ ｓｈｏｗｉｎｇ ａ ９８一ｎｏｄｅ １６０一 ， ｌ ｔｅｍ ｃｏｖｅｄｎｇ ａ ｑｕａ ｔｅｒ ｅｍｅｎｔ ｓｙｓ ｅ ｉ ｌ ｌ ｔ ｒｃｕ ｃ ａｒｑｕａｒ ｚｐ ａｔｅ ，. Ｕ. ｋ 国ｇ．１２. Ｕ コ ｉｎａｎｇ ｌ Ａｔ ｌ ｒ ｅｅ ｅｍｅｎｔ ，. 曇 ６． 有限要素性による解 ６。１. 計算の実行. ′ ′ ） 式から 仏′を求めるために有限要素法を用いる， 領域は振動子の主面 （尤 （５１ ，−尤 ３） で点対称 三角形 の 要素に分割する． このように要素の分割を行うと振動子の１ ／４を検討すればよく， 計算機 ｉ のメモリーの節約になる． 分割結果を Ｆ １ １に示す これは自動節点の計算で自動分割を行 ｇ っ て画 ． ， ′ ′ い た も の であ る。 こ の場 合，ズ ． 軸， 為 軸 上 では ノイ マ ン の 境 界 条 件 は 自 動 的 に 満 足さ れ板 の １／４ を. 検討すればよいことになる． 要素として三角形を選んだ理由は， 三角形は形状上の自由度 が最も大 き い た め であ る． 三角 形 の頂 点を節 点と言い， それぞれ乙Ｚたなる記号をもたせる 三角形要素の図 ． を Ｆｉｇ ，１２ に 示 す． 三角形内部の変位 集 は各々の節， 点の変位 法， 坊， びたの一次関数 で補間することができる． 要素 内 の ポテ ン シ ャ ルエ ネ ル ギー は. ｒ凱〔獅. ］赫 吋 がり 胸 毛三 ５ ２ ） ，坊 モードｚ（. となる． 上式 で. . . β‐寺尾仝 〕. （５４ ）. ′ ′ である。 但 し添 字 が 複 雑 化 する の で 為′＝尤′ ３ ＝ｚ とお き か え て あ る。 △ は 三角 形 要 素 面 積 の ２ 倍 ，尤. である． 更に第２項目 で， 三角形要素の節点‘ こおける. （１ ４ ３ ）. ５３.
(19) . 山. 積. 形. 治. ２ ２ − ・ （誉） ｝ ｛ テ）. た. （５５ ）. を方 ，方 ，ん とすれば ←ｍ. 充た十充た 壕 ん ０ ←３. だ ふた壕 溺. ＋夢ブ壕ｆ 夢ご た 充た十ふん＋ふん. た ふた十素方十瀞 た ふた＋ 彰ブ壕ｆ. ０ ・３. た 涜 ん 壕 た ふた壕ｆ 壕た. （５６ ）. 夢〆 十兆 針 金左. となる． 次に要素の運動エネルギーを Ｋ８とすれば １ １ １２ １２. ルー令 〃〔仏ひゑ〕毒 さ 占 １ １ １２ ６. . . ワた. ）式の積 分は容易に実行できる． ） ７ のようになる．要素内の変 位 隻 は一次の関数 であるから（５２ ，（５ ） 式に代入すると 積分を行っ て （５１. ） （５８. 』の は各々 ＺＰ， 〔 となる． 但 し上式 で 〔 １ ／２４ １ ／１２ １ ／２４ （５９ ）. ／１２ １ ／２４ 【脳〕＝４ １／２４ １ ／２４ １ １／２４ １ ／１２ ２ ２十ｃ （尤 −尤） （ｇゴー２た） ｃ５ ｌ ． た ！ ５. 〔に〕＝. ｃ ５豊三 ；誓願；三筋 ， ） （之ご一２ゾ （ｚゴー２た） Ｃ５ ５ （尤ゴー尤ご ） 十ｃｌ （尤た−尤ブ） ．. （２ゴー２た） （２た− み） ｃ５ ５ （尤ぎ‐ 々） 十 ｃｌ ．（尤ブーエ々）. ） （２ぎ−ｚノ ｃ５ ５（ＺゴーＺた） − ） 十ｃｌ （ ） （ ． 尤た 尤ブ 尤ゴー尤ぎ. 偏磁 ガ＋ｃ ， ，鎗 ㈱２ 三宝三驚Ｌ詰も， ， ） （２た一 み） （２ご一２ゾ ｃ５ ５ （尤ブー尤ご ） ＋ｃｌ （尤ご−尤た） ｌ. ＋ず ｆ. （１ ４４ ）. ２ ２ ｃ ５ ５（み − β ブ） 十 ｃ ｌ ・（尤ゴー 尤ご）. ） （６０.
(20) . ＡＴ−ｃｕ ｔ振動子の新解法. ）式は一つの要素に ついての関係式 であるが， この関係は全要素について成立するので， である．（５８ 全要素を網羅した連立固有方程式を作り， 固有値， 固有ベクトルを求めると解になる． 計算の方法 としては ＱＲ 法を利用した． 無限障壁のポテンシャ ル井戸を仮定しているので， 周辺の境界上で解がゼロ であるように固定す る． この場合， 節点に対応するマトリッ クスの行と列から境界上に対応する節点をぬきとればよ い． ′ ′軸上の節点は全て自由 で 何の束縛 ４のみを扱っ ているために， ェ 要素モデルは振動子板の１／ ．，尤 ３ ，. ′ も加 え ら れ て お ら ず， 従 っ て ノイ マ ン の 境 界 付 件 ａ仏′／ａ“＝ ０ が 満 足 さ れ る よ う に す る． 故 に ｘ ，，. ′ 尤ざ に対称な偶関数の解が得られるであろう． 為′軸上の節点を固定すると，尤 ３ 軸にそっ て奇関数に なる解が得られるであろう． ｉ ｆ ｆｎｅｓｓ 定 数 は Ｍａｓｓｏｎ に よ っ て 与 え ら れ て い て ｔ 水 晶のｓ ０５ ０５ ｃｆ ，＝８６ ２＝５ ３＝１０ ， ． ．４５ ，ｃＰ ， ｃＰ ，. ｄ４＝１８ ．２５. ぱ３ニーＯ７ ／２；４Ｏ ２） ．１ ・６５ ， ｄ４；５８ ， ぱ６；（パー−ｃＰ ．７３. （６１）. ｏｄ れた 粥２ ＡＺ Ｚ×１０１ ｙ. となるこれを ＡＴ−ｃｕ ｔ板に変換すると ｄ１二８６ ∼２ニ ニ− −１０ ニー２９ ニ６７ ．Ｉ ５ニ ，０５ ，４９ ．９ ， ，‘ ， ｄ２； ， ｃ６ ｏ ｄｙれ／創− ２ ＝２９ ＡＺＺ×１０１ ３４ Ｃふ ２ ６＝ ，. （６２ ）. ） 密度は となる１ ． ３ ６５ｇ／ｃ’ ー ． ， ２ ｐ＝２. （６３）. ） 但し変換は次の公式 である１ ．. 〔 〕＝〔凡〕に懸〔Ｄ２ 〕 ｃも. （６４ ）. ６ ｝ に よ っ て 行 っ た２ ．. １ ） ６．２ 実測値と計算値との比較２ （ａ） 共振同波数の比較 直 径 α＝１，５ｃｍ， 曲 率 半 径 ９．５ｃｍ， 中 心 部 の 厚 み ぁ。＝０ １６８ｃｍ の ｐ ｌ ‐ ａｎｏ ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃｕｔ水 晶 振 ．. ｌ 動子を用いて， 共振時における実測値と計算値との比較 を行っ た． 参考のため に Ｗｉ ｏｎ の近似公 ｓ 式を用いて計算した共振周波数の値も並記する． こ れ ら の 値 を Ｔａｂｌ ｅ ｌに示す． 表中 で 粥 は厚知 ′ ′方向のインハーモニ ク倍振動 の次数 である すべり振動 の次数を示し，”とＰはそれぞれ尤 ，， ３ ッ ． 百分率表示は実測値に対する計算値の誤差を示し， ｛（実測値） − （計算値）！ ”実測値） ×１０ ０％ で示されている． （５１ ） 式に対する有限要素法による解法は極め て高精度であることが知 られる ． ′（為′ ′ （ｂ） 変位分布 Ｕ， ， ３） の比較 ′ 尤′ 次に厚味たり振動 の変位の振幅分布 仏′ α， ）式を有限要素法を ， ３）について実測した値と（５１ 用いた固有関数とお比較する． 仏′の分布については飯島らがレーザ干渉計を用 いて測定 したもの ８ ） 実 測 値 と して そ の 結 果 を用 い る 飯 島 ら は 尺＝９５ｍｍ ｄ＝２２ｍｍ ゐ ＝ ’ が 報 告 さ れ て い る の で７ ， ． ， ， 。 （１ ４５ ）.
(21) . 山 Ｔａｂｌ ｅｌ. ”か. ） 共振周 波数 の比較 （単 位ｋＨｚ. 実 測 値 計 算 値. Ｉ. １／ １. １，０５２，Ｏ. Ｉ. １／ ３. １，１８９．３. Ｉ. ３／ １. １，２２２．３. Ｉ. ５／ １. １，５０３，６. Ｉ. １／ １. ３，０２４，６. Ｉ. １／ １. ４，９９９．８. 治. 形， 積. ウイルソンの式. １，０４４．５. （０． ７％） １，１８７．Ｉ. １ （０， ６％） １，２２３，２. （０， ０ ７％） １，５０４．８. （ ８％） ｏ， ｏ ３，０１３．３. ３％） （０． ４，９９４．８. １％） （０．. １，０３０．９. ｏ％） （２．. 考. 備. 基本厚みすべり振動. １，１０３．２. （０． ７％） １’１１１．６. ３ 次イ ンハ ー モニ ッ ク. １，２７６．９. ５ 次イ ンハ ー モニ ッ ク. ３，００６，７. ３次倍振動. ４，９７４，６. ５次倍振動. （９，０％） １％） （１ ５．. （０．６％） （０．５％）. ６８ｍｍ ５ｍｍ，ｂ二１４ｍｍ，ｈ ｔ Ｐ １ ｔｑｕａ ｔ ｒ ｚｒ ｅｓ ｏｎａ ｏ ｃｕ ｒ ；Ｒ＝９ ‐ ａｎｏ ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ‐ ｏ≠１ ．. Ｔａｂｌｅ ２. 共振周波数の比較 ｋＨ多 Ｗｉ ｌ ｌ ｓｏｎの式（. 粥. れ／ゑ. ｋＨり 実測値（. ｋＨり 計算値（. Ｉ. １／１. １，２８６．Ｏ. １，２８１，Ｏ. １，２７５．８. Ｉ. １／ ２. １，３４９．Ｏ. １，３４７，５. １，３４０，２. ｅ ２ のように １．３８ｍｍ の ｐｌ ‐ ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ−ｃｕｔ 板 を用 い て 実 験 を 行 い 共 振周 波 数 の 実 測 値 は Ｔａｂｌ ａｎｏ. ｌ ｌ ｓｏｎ の近似式による共振周波数の値も並記しておく． ｅ １と同様 Ｗｉ なっ た事を示している． Ｔａｂ ′ ′ ′ ｉ ３に 示す． 同図の分布は ｇ 厚味たり振動の変 位の振幅 仏 の尤 ．１ ，，％ ３ 軸方向の分布の様子を Ｆ 粥＝ １；れ ，Ｐ＝１， １の基本厚味たり振動の値を示し， 丸印は測定値 で実線は本 方法によっ て計算し ｌ ２ ）によっ て計算した値である． 予想したよ うに右側は実測値と極 た値 で点線は Ｗｉ ｓ ｏｎの近似式（４ めてよい一致を示し， 左側 では周辺部に移るに従っ て， 計算値は実測値から隔 れる． 即ち， 理論解 析と有限要素法のコン ビネーショ ンによる解 析方法は高い精 度を有することがわかる． 粥＝ １；偽 Ｐ＝ １， ２ のイ ン ハ ー モ ニ ッ ク 振動 に つ い て の 実 測 値 （飯 島 ら に よ る） と 本 方 法 に よ る. ′ ｉ ｒズ′軸） 方向の値では両者はよい一致を示す． 計算値との 比較を Ｆ ｇ ， 軸 （ｏ ．１４に示す． × ′（尤う尤′ （ｃ） 振動子内部 での ７ｉ ， ３） 分布の比較. 飯島らの 仏′の分布は 振動子の表面上 での変位の測 定であり， この値は著 者が試みた新解析方法 で適確に再現できることが先 記の検討 で明らかに なっ た． しかし， 内部の振動の様子がどのように なっ ているかは， これだけでは何んとも結論づけられない． 内部の振動の情報が得られてはじめて， 振動子全体の様子が実験的に把握できるのである． 特に， 自然現象を解明しようと する場合， ガリ レオ等自然科学の先駆者がたどっ た道程， 即ち，「自然科学においては実験事実に 立却しなければ， どんな発言も意味がない」 と言うところま でさかのぼっ てみるのも基礎的な発展において形要なこ と であ る．. ′ ｘ′ Ｕ′ ′ 好都 合 なことに， 振動 子内 部 の厚 味た り応力 ７ｉ′ α， ， ３） の 分 布 と 振動 子 表 面 の 変 位 Ｉ α・， ４ ６ ） （１.
(22) . ＡＴ−ｃｕ ｔ振動子の新解法. Ｃｏｎ ｒ ｌｐｕｔｅｄ ｂｖｖｖ ｉ ーｓｏｎ’ ｓ 十. 〆？０ ′ ▼． ′ ８ きふ ０ ， ′ ′ 号 ゴ ６ ０ふ ” ○ ，. ｅｑｕａｌｉｏｎ. ノメ. . ノ夕◎ １０. ８. ６. ４. ＣｏｍＰｕ鞭旨よ ｇｎ ー ｔ ｅ ｅｍ ・ ・ る ｉ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｐｏｉｎｔｓ ′ａｘｉｓ ｏ ｏｎ Ｘ ′ ◎ ｏｎ ｚ ａｘｉｓ. ム ‐ 彩ｏ . 巻 Ｑ２ ２. ０. ２. ム. ｒａｄｉｕｓ ｘ∼ｚ′. ６. ８. １０ ｍｍ. 五∼ｇ．１３ ＣｏｍＰａｒ ｉｓｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｅｘＰｅｒ ｉｍｅｎｔａ ｌａｎｄｔｈｅＣａ ｌ ｌ ｃｕ ａｔ ｅｄ ｉｃｋｎｅｓｓｓｈｅａｒｄ ｔｈ ｉｓｐ ｌ ｌｍｏｄｅ ａｃｅｍｅｎｔｉｎｆｕｎｄａｍｅｎｔａ ． Ｔｈｅ ｌｕｅｓａｒｅｔａｋｅｎｆ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｖａ ｉ ｉｍａｅｔａ ｌ ｉ ｒｏｍ ｌ ．. ｉｄ ー ｉｎｅｓ ｓｏー ー ｕｅｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｕａ. ｏ ８ ．. ーｅｍｅ ｂｙｆ ｉｎｔｅ ｅ. Ｐｏｉｎｔｓ. ｍｅｔｈｏｄ. ′ａｘｉｓ ｏ ｏｎ Ｘ. ｉ ｔ− ｒ ｅｃ ◎ ｏｎ Ｚｄ ｉｏｎａｔ ５ｍ ｍ ｘヒ２ ，. １０. ８. ６. ４. ２. ０. ２. ４. ′ ｒａｄｉｕｓ ｘ′ ，Ｚ. ６. ８. １０. ｍ ｍ. Ｆｉｇ．１４ Ｃｏｍｐａｒ ｉｓｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｅｘｐｅｒ ｉｍｅｎｔａ ｌａｎｄｔｈｅＣａ ｌ ｌ ｃｕ ａｔ ｅｄ ｉｃｋｎｅｓｓ ｓｈｅａｒ ｄ ｌ ｉ ｔｈ ｉｃｋｎｅｓｓ ｓｐ ａｃｅｍｅｎｔ ｉｎ ｉｎｈｒ ｒ ｎｒがｎｃ ｔｈ ｌｕｅｓａｒ ｓｈｅａｒ ｍｏｄｅ ｉ ｉｍａ ｅｄ ｖａ ｅｔａｋｅｎｆ ｒｏｍ ｌ ｉ ． Ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒ ｌ ｅｔａ ．. ′ ′ ｒｙ′軸方向）で前者は板面を基準にし 尤 ３） の分布は， 厚味方向 （ｘ て正弦関数状に分布し，後者は ２ｏ ′−ズ′面内 での分布は相似形になる 故に （ 余弦関数状に分布する 従っ て両者の最大振幅 の× ． ３ １） ． ， ，５ ′ の ′ ′ 式を有限要素法を用 いて解いた値は水晶振動 子内 部 での中心層（ ′ ｒ６ Ｚ け に お る ，，尤 ３）ｘ ２峨。 ２ ／ ′は偏光光線 走査法９ １ ０ １ ５ 分布と み なすこと が できる。 振動 子内部 の応力７ ）‘ ｉ ’ ’ こよっ て実測するこ と が でき る。 実 験 に 用 い た 資 料 は Ｔａｂｌ ｅ ｌ で共振周 波数 を測定 したものと同一の形状 のものを用 ′ い， 基本振動， ３倍振動， ５倍振動の周波数 で励 振し ７ｉ′（為′ ３） 〆＝。 。獅ｔの 分 布 を 測 定 した． ，尤 ′ ′ ０傾け て入射 Ｚざの測定を行う場合， ７ ｉ に関する応力−光学系 数の関係から， 光線を尤 ３ 軸より約 ３０ ｌ ｏ １ ５ ２ ６ ） 従 っ て Ｆｉｇ １５ に 示 すよ う させると最も能率よく ７ｉ′に よ っ て 光 変 調 を 行 う こ と が でき る９ ’ ’ ’ ， ． 。 ′ ０ に， 尤 ０ 傾む いた方向の円周の一部 を切 断した資料振動子を作っ た 切断による共振周波 ３ 軸 か ら３ ， 数への影響はインハーモニッ ク・モー ドにおいて 若干みられた が， 基本振動 ３次倍振動 ５次倍 ， ， 振動においてはほとん ど影響がみられなかっ た． （１４ ７ ）.
(23) . 山 形. 積. 治. ０傾むいた光線を入射させて 今， 尤ざ 軸から３０ ， ′を測定すると Ｆ ７ ｉ ｉ ｇ ．１５の振動子の図からも明ら かなように， 振動の方向が 為′軸方向にある応力 ″ を尤 ， の方向におきかえてその成分を観測してい ることに相当する．従っ て有限要素法による計算 ′ ″ も尤 ． 軸上の応力 ７ｉ におきかえて， 実行しなけ ればならない．応力 の実測は Ｆｉ ｇ ．１５の資料に付さ れている. ５， ４， … … ０， … … ５″. …ム ２ ０ ２ ４： … ； ，←÷ １１ＯＣｍ ÷→，. の各点 を. ｉｇｈｔｂｅａｍ ：ー. ％〆（ｙ′ ）軸方 向に光線を走査して，その最大値を用. … ｚ′. い た．最 大 値 は どの 振 動 に お い て も ｙ′＝ぁ。／２ の 中. ） 図 央層にあることは別の研究で明らかである節 ． あ 中， 上記の各点はｌ ｍｍ 毎 に と っ て る． 振動体による光変調の理論から光変調に有効な 応力は光線が通過 している光路長について積分し １ ５ ） 従っ て応 がこ ’ ≦ 励 になる９ （尤も尤 た値 だ ≧ ． よっ て光線が変調を受ける量は先記の積 分値に比 例する． 但しこの式 でねは水晶中における光線の 光路長を示す．Ｆｉ ｇ ．１５に示して あるように資料水 ″ 晶は尤 ． 軸に平行に幅 ゑ で円周を切 断してあっ て， ′は 切 断範囲内 では光路長は不変 である． 又， ７ ｉ ′ 尤丁軸方向及び％ ３ 軸方向にガウス分布 しているな. . . . ，← − ÷１ ，ムＯＣｍ. ÷ ÷ →：. ｌ ｔａ Ｆ∼ｇ．１５ Ｐ１ａｎ０ 一Ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ −ｃｕｔｑｕａ元ｚｃｒｙｓ ｌ 【 ・ ｅａｓｕｒｅｎｔ ９ｆ ｉｎｔｅｒｎａ ｒｅｓ。ｎａｔｏｒ ｆｏｒ ｎ ｉ ｔ ｄ ｉ Ｎ １ ｉ ｎ ｓ ｂ ｉ ｏ ｔ ｄ ｕ ｒ ｔ ｎ ｅ ａ ｓ ｔ ｏ ｓ ｐ ｒ ｕ ｓ ｅｓｓ ｓｒ ． ４ ． ． ・０ ． ．”． ａｒｅ ５ ． ， ，５ ，４…，. らば. ｉｄ ー ｉｎｅｓ ｓｏー Ｃｏｍｐｕｔｅｄ. ｍ ｅａｓｕｒｅ ｍｅｒ ゴ. ６. ４. ・ ｆｕｎｄ． ９ ３ｒｄ ｏｔ ，．. ①﹂ 掃ー 辿 ののん祈 ①＞一. ＶａＬｕｅｓ. ｄ. ２. ｔ． 。 ５ｔｈ ｏ．. 一. ６ ｍ ｍ. ｌ Ｆ ｉ ｉｇ．１６ ＣｏｍＰａｒ ｉｓｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒ ｔｅｄ ｃｕｌ ａ ｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ Ｃａ ｌ ｉｃｋｅｓｓｓｈｅａｒｓ ｉ ｉｂｕｔ ｉｏｎｓｉｎｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａ ｄ ｔｈ ｔ ｒｅｓｓ ｄ ｓｒ ｒ ，３ ｔｏｎｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｓｈｅａ ｔｏｎｅ ｒ ｒｅｓｏｎａｎｔ ｏｖｅｒ ｒ ， ａｎｄ ５ｔｈ ｏｖｅ ｆ ｉｅｓ ｒｅｑｕｅｎｃ ．. （１４ ） ８.
(24) . ＡＴ−ｃｕ ｔ振動子の新解法. （６５ ） ″ ″ とみなすことが可能 である． 但し 鍔 は平均値を意味する． 尤 ， α ）軸上 で た と 鍔′の分布は相 ′ 似とみなし得るので， 館 を求めれば 髭 の分布の形状が知ら れる．前述 したように 各点む こおいて光 ′（ｙ′ 線は 尤 ） 軸の方向に走査し光変調の最大値をとっ た． その結果を Ｆ ｉ ２ ｇ ．１６に示す． 図中， 丸印 は実測値を示し， 実線は計算した値を示す． 実測値， 計算値ともに最大値が１ であるように規格化 し て 示 して あ る． 双 方 のよ い 一 致 が み ら れ る 。. 登 ７． 電極の影響を考慮した解法 ７ ．１ 圧電の基本的検討 前節ま での検討においては， 電極の影響は一切考慮しなかっ たが 実際の振動子には一 対の蒸着電 ， 極が付されている場合が多い， この電極が振動のモー ドや共振周波数に どのような効果を示すかを 本解析法によっ て分析を加 えてみる．. ７． ２ 圧電反作用効果の検討 水晶等の圧電結晶において， 電界 氏 ． ， 電束密度 Ｄｆ ， 応力 ｒｍ ， ひずみ Ｓれの 間には相互に可逆的 な関係が存在し， 結晶に圧縮又は張力をかけると電荷が生 じ， この逆過程として 結晶に電界をか ， けると結晶が変形を起す． これらの間の基本式は， 非磁性結晶， 等温変化であると言う条件下 で ，. Ｄガ. ル Ｔｍ十ご各 氏. ） （６６. 、 ↑↑↑↑お・”ｔ＊ ↓ｅ ′ｏ…………−. Ｌｅ ↓. ” ＝１∼３ ，”，粥 ＝１∼６. ｘ，. ｌ ｉａｎｃｅ で， ｄ鳥 と な る． 上 式 で Ｓ為 は 弾 性 ｃｏｍｐ. は圧電定数， ｅｓ は 誘 電 率 であ る． 今， 水 晶 振動 子 ｔ板の場合， 励振 に上式を適用 してみる． ＡＴ−ｃｕ 用電極は 物′ （添字がまぎらわしい場合ｙ′とする） 面に蒸着する． 現在， 最も多く 利用さ れているｐ ＡＴ−ｃｕ ｔ水晶振動 子においても同様. ｌａｎｏ ‐ｃｏｎｖｅｘ. （ ａ） ＡＴ‐ｃｕｔ ｐｌａｔｅ. ｙ・ . . 、 ↑“ ”. な方 式 で電極 が付さ れ て い る． ｐｌ ‐ｃｏｎｖｅｘ 板 は ａｎｏ. 版面が曲面であるために厳密に言うと平行電界と はならないが取扱い上， 平行電界で近似して解析 を加 え る．Ｆｉｇ ．１７に 平 行 平 板，ｃｏｎｖｅｘ 面 を 有 す る. 振動子の電極と電界の様子を示しておく． 上述し たように電界は Ｅ２ の み と 考 え る． 電 極 に 電 源 か ら電荷が供給されている場合の電束密度は （６６） の第２式から. ） ４ ９ （１. Ｒ. ｂ （ ｝ Ｐ１ａｎ. ｃｏｎｖｅｘ ＡＴ‐ｃｕｔ ｐｌａｔｅ. 晒ｇ ．１７ ＴｗｏｔｙｐｅｓｏｆＡＴ −ｃｕｔｑｕａｌｔｚｃｒｙｓｔａｌ ｌ ｉｃｋｎｅｓｓｏｆｐ ｌ ｔｅ ａ ａｔ ｅ ｐ ，ｈ ａｎｄ Ｌｅａｒｅｔｈ ｉ ｉｃｋｎｅｓｓｏｆｅ ｌ ｔ ａｎｄｔｈ ｒｏｄｅｓ ‐ ａｃｔ ，ｒｅｓｐｅｃ ｌ ｖｅ ｙ．.
(25) . 山 形・積. 治. （６７ ） となる． 結晶中の音波の波長に比較して， 波束の 面積の平方根が十分大きい場 合には， 圧電気的に ′面が十分 生じた電荷は結晶内に反電界を作る． 本研究で取扱う振動子の場合， 厚味に 比較して， ｙ に大きな素子 であるために反電界 （圧電反作用） を考慮しなければならない． 水晶は絶縁結晶体で ある ために . . （６８ ）. 上式で 爺 ＝１たり ２ ５ ３ ） 圧電反作用はこの 反電界によっ て生ずる （６８ ６ ） の第 ） 式を（６ ’ で示される反電界を形成する２ ． ， １式に代入して ） （６９. ｓ ＝ｓ弄 ヱ ｄｆ ｍ／ｓ＃ｍ）ｒｍ ｍｅゐｄｚ. ｔ水晶振動子の厚 を得る」 但し１は６行１列 で全ての要素が１であるマトリッ クス である． ＡＴ−ｃｕ ′ ′ ） 式は 味たりず辰圭矧ご伴う主な応力は ７ｉ であ り， ひ ず み は Ｓ ６ である． 故に （６９ （７０ ）. ｓにｓ品（１−ｄ為 ”“ 品）髭. ２. と書 き 改め ら れる． 上式 の物理 的 意 味は 反電 界を考 慮する と弾性 定数 ｓＥが Ｓ６ざ＝ （１ −ｄ２６／ ｅ２ 晶） に置き変っ た事になる． 従っ て反電界を考慮した場合としない場合の共振周数はわずかに ２ｓ 異り， 計算においてはｓ謎 を用いた方が実測値に近いことは言うま でもない，この事は古賀によっ て ４ ） 詳 細 に 研 究 さ れ て い る２ ．. 今， 振動子に電極 が付けられていて， 電極が外部回路によっ て短落されている場合， 電界は Ｅ２＝ ） 式で ０となり反電界も生じない． 従っ て （７０ （７１ ）. ，ｓ姦 ｓ６ ６ ６−. ） 式 がそのまま成立しているはずである となる． 一方電極が付けられていない部分においては，（７０ ｔ水晶振動子 なる． ＡＴ−ｃｕ 数で形成されていることに ２種類の弾性係 から， 水晶振動子は部分的に にお いては. ２ ） （７. も／ｅ“＝１；０ ｓ品；〆者 ．○０８８. ｉ ｆ ｆ 〕 は電界を考慮して， 純 ｉａｎｃｅ 定数 〔 ｔ ｎｅ ｓ ｓ定数 〔ｃ 〕 の 逆 マ ト リ ッ ク ス で あ るｓ ｓ であるから ｃｏｍｐｌ 機 械 的 なｃ６ ６ の 約 １．００８８倍 に な る も の と して 扱 う こ と が でき る．. ７． ３ 電極の厚味効果の検討 に止振動の Ｆｉ ｇ ．１７に示すように蒸着してある電極は振動子と一体となっ て振動する． 従っ て厚味 電極金属中と水晶結晶 場合， 振動の解析に当っ ては 電極の厚味も十分考慮しておかねばならない− 中の音速の比をりＲとして， 電極の厚味を Ｌｅとすれば， 電極が付着している部分の振動の等価的厚 味は. ．. １. ． −. ）も；２りた乙 十 ねｏ. ．. −. ・. （１ ５ ） ０. ，. 一 （７３）.
(26) . ＡＴ−ｃｕ ｔ振動子の新解法. Ｔａｂｌ ｅ３. 音速の比較. 材 料. ｉ Ｓ ｆ ｆ ｔ ） ｎｅ ｓ ｓ定数（Ｎ／粥２. 水 晶. ９ Ｃ６ ６＝２９．２５×１０. ３ ２，６４×１０. ３，３３×１０３. 銀. ９ ｃ４ ４＝ ４６．１×１０. ３ １０．４９×１０. ２．０７×１０３. 金. ９ じ４ ４＝ ４２．０×１０. ３ １９，３２×１０. １．４７×１０３. 密度〆ｋｇ ／ｍ３ ）. 音速ノｃｕ／ｐ（ｍ／ ） ｓ. となる． 劾 は振動子の最大厚味 である． 電極は通常， 板の両面的に蒸着されているので係数２を付 する． 音波は音速の異っ た材料の間 では反射・屈抜を生ずるの で単純に （７ ３ ） 式のように置く こと は厳密な意味では問題があるが， ここ で取扱う近似と比較すると十分その傾向をとらえている ． Ｔａｂ ｌ ｅ ３に水晶結晶及び ， その電極材料として用 いられる金， 銀の弾性定数， 密度， 音速を示して. おく． 例えば水晶に金電極を蒸着してある振動子においては ”Ｒ＝２ ２ ７ であるから （７ ３ ） 式は ． ＝ ．５４Ｌｅ＋れｏ “ ｙ ２＝４. （７４）. となっ て， 従っ て， 等価的な厚味は厚くなり， 厚味たり栃＝ 重 力の場合， 共振周波数は低下する．. ７ ．４ 電極質量効果の検討 ＡＴ−ｃｕ ｔ水晶振動子 が厚 味た り 振動 を行っ て いる場合， 無限平板近似 での共振角周波数は. 婚 署. 厚. ３. 性，（ ９／ ｃｍ ）. （乃）. ３. ／』（９／ Ｃｍ を／／. で与えられる． これは振動変位の方向と位相が同 一平面内 では一様 であると仮定した一次元モデル の解 である． 定在波は電極の両表面間に半波長の 整数倍 の関係 で乗る， これを周期的に重りついて. ー ー キ テ. い る 弦 であ る と み る な ら ば Ｆｉｇ ．１８ に 示 す よ う に. なる。 この振動に対する境界条件は ′ ｙ ＝ｏで ′ ｙ ＝２飯 」 ＋ ち で. β の み ヒＯ βひ／ａダニ。. ｈ。. （７６）. ｗｈｅｒｅ. り（ｙ）＝ 物. Ｌｅ. ｙ』＝２Ｌｅ 十 ｈ。. ＊ 牛. となる． この弦の密度を位置の関数 で示せ ば. 乙 ＜ｙ′＜Ｌ“＋ な. ）. （７７）. ７ り・一 “２＝７. と な る．ガは 両 者 の 密 度 差 を 示 す 一 般 に 電 極 金属 。. の密度は大き いが， Ｌ が 鶴 に 対 して 極 め て薄 い （１ ５１ ）. Ｆ ｉｇ ｉｏｎａ ｌ ｗｅｉｇｈｔ ｏｎ ｔｈｅ ｅ ｏｆ ａｄｄｉｔ ．１８ Ｆｉｇｕｒ ｌ ｉ ｄ ｉ ｌ ｒｄ Ｃｈｏ ｒ ｅ ｏ ｃ ａ Ｐ ｙ ， ，.
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