確率

第

2 学年○組 数学科学習指導案

指導者 ○○ ○○ １ 単元名 「確 率」 ２ 単元の構造 ○ 私たちが未来のことを予測する際には，「一定の速度で走っているとき，１時間後に進む距離」の ような確定できる事象だけではなく，「天気予報の降水確率」など不確定な事象が数多く存在する。 例えば，外出する際，雨が降っていなくても雲が多い場合，傘を持って行くか行かないか迷うこと が多い。このような時，傘を持っていくべきかどうかを天気予報の降水確率を基に判断することが 多い。このように，確率を学習することは，自然現象や社会現象などにおける不確定な事象を，降 水確率などのような数値で表すことができ，どのように行動したらよいかなど判断の基準にもなる と考える。そのような意味において，確率を学習することは大変意義がある。 そこで本単元では，具体的な事象についての観察や実験を通して，確率について理解し，起こり 得る場合を順序よく整理する能力を育てること，さらに確率の考えを用いて考察し，説明すること ができるようになることをねらいとしている。小学校第４学年において，資料を分類整理したり特 徴を調べたりすること，第５学年において，百分率を用いたりすることを学習しているが，確率は 中学校第２学年で初めて学習する内容である。学習内容は，確率について具体的な事象の観察や実 験から確率を求める（統計的確率），樹形図や表を用いて場合の数を求める，場合の数の割合から確 率を求める（数学的確率）等の確率の利用がある。これは，高等学校における確率・統計分野の数 学の内容の理解に重要な役割を果たす基礎的な内容である。これらの学習を行うことで，確率とは 不確定な事象の起こり得る程度を表す数であることを，観察や実験，調査をもとに確率の意味を理 解することのできる重要な単元であると考える。 ○ 本単元の指導にあたっては，具体的な事象についての観察や実験を通して確率の意味を理解させ， 樹形図や表などを用いることによって起こり得る場合を順序よく整理する能力を育てるとともに，確 率の考えを用いて考察し，論理的に説明する授業を心がけていきたい。そのためには，まず，身の周 りの事象について，観察や実験，資料などをもとに考察し，確率の意味について考えさせる。具体的 には，確率の意味について捉えさせるために，２枚の硬貨投げの実験を行い，１枚は表，１枚は裏の 出る割合が，試行回数が多くなるにつれて，0.5 の値に近づいていくことに気づかせたい。さらに， 社会現象などの中には，観察や実測の結果としてしかその確率を考えることのできない事象があるこ とに気づかせるために，過去 10 ヵ年分の出生児数の資料から，わが国における女児の生まれる確率 について考えさせる。次に，ものの並べ方や組み合わせについての場合の数を順序よく整理する方法 について考えさせる。ここでは，場合の数をもれや重なりがないように数え上げさせるために，樹形 図や表を用いることの有効性に気づかせるようにしたい。次に，実験ではなく，計算によって確率を 求めさせるために，場合の数から確率の求め方を考えさせる。ここでは，どの場合も同様に期待され る，すなわち，同様に確からしい場合について，樹形図や表よりすべての起こり得る場合の数を求め， 確率を求めさせる。最後に，確率を利用する問題を考える。ここでは，賞品として車がもらえる，あ るアメリカのテレビ番組について取り上げ，扉を変えるべきか変えるべきでないか，樹形図や表を用

いて考えさせる。この場面では自分の考えを他に説明する交流活動を行い，樹形図や表などを用いて 不確定な事象を考察させ，確かな根拠をもとに解決させるようにしたい。このことは言語活動の充実 につながり，論理的に考える力を育てることにつながると考える。 ３ 内容の系統 ４ 単元指導計画（総時数 ７時間） 本時 ７／７ (１) 単元の目標 ○ 身のまわりの起こりやすさを数として表すことに関心を持ち，確率について実験や調査をして 調べようとする。（数学への関心・意欲・態度） ◎ 樹形図や表をもとにして，不確定な事象を考察することができる。(数学的な見方や考え方) ○ 樹形図や表を利用して，場合の数や確率を求めることができる。（数学的な表現・処理） ○ 同様に確からしい，確率の求め方，確率の範囲について理解することができる。(知識・理解) (２) 単元及び評価計画 配 時 主な学習活動・内容 自主的活動（□個・◆集団）の 場の工夫 評価規準 １ ○２枚の硬貨投げの実験を 通して，確率の意味につ いて考える。 ・確率 ◆確率の意味について捉えさせ るために，１枚は表，１枚は 裏の出る割合が，試行回数が 多くなるにつれて，0.5 の値に 近づいていくことを，実験を 行うことで気づかせる。 ◇身のまわりの事象の起こりや すさを数として表すことに関 心を持たせるために，実験や 調査をして，その特徴をワー クシートにまとめることがで きる。【関心・意欲・態度】 １ ○観察や実測の結果から， わが国における女児の生 まれる確率について考え る。 ・多くの資料から求める確率 ◆社会現象などの中には，観察 や実測の結果としてしかその 確率を考えることのできない 事象があることに気づかせる ために，過去10 ヵ年分の出生 児数の資料から，わが国にお ける女児の生まれる確率につ いて考えさせる。 ◇確率の意味を導くことができ るようにするために，実験や 多くの資料をもとに，ある値 に近づいていくという特徴を 見いだすことができる。 【数学的な見方や考え方】 【既習事項】 ・資料の分類・整理 Ⅰ期（小４） ・百分率 Ⅱ期（小５） 【本単元の内容】 ・確率の意味 ・統計的確率，数学的確率 ・場合の数，樹形図 ・確率の求め方，範囲 ・確率の利用 【発展事項】 ・ヒストグラム ・代表値 ・標本調査 Ⅲ期（中３）

１ ○２枚の硬貨投げにおける 表，裏の組み合わせにつ いての場合の数を調べる 方法について考える。 ・場合の数 ・樹形図 □硬貨の表，裏の組み合わせの 場合の数をもれや重なりがな いように数えさせ，樹形図や 表を用いることの有効性に気 づかせる。 ◇場合の数を求めるために，正 確な樹形図や表を書くことが できる。 【表現・処理】 １ ○ ２ 枚 の 硬 貨 投 げ に お い て，表と裏が出る確率の 求め方を考える。 ・同様に確からしい ・確率の求め方 □どれが起こることも同様に確 からしい場合，実験ではなく 計算によって確率を求めさせ るために，場合の数から確率 の求め方を考えさせる。 ◇２枚の硬貨投げ実験から，１ 枚が表，１枚が裏の出る確率 が0.5 になる理由が，場合の数 から表裏，裏表の２通りの組 み合わせがあるからとワーク シートに記述することができ る。【数学的な見方や考え方】 １ ○必ず起こることがらの確 率や，決して起こらない ことがらの確率について 考える。 ・確率の範囲 □必ず起こることがらの確率は １，決して起こらないことが らの確率は０であることに気 づかせるために，さいころを 投げるとき，６以下の目が出 る確率と７以上の目が出る確 率などについて考えさせる。 このことから，あることがら の起こる確率ｐは０≦ｐ≦１ であることに気づかせる。 ◇あることがらの起こる確率 ｐの範囲は，０≦ｐ≦１であ ると記述することができる。 【知識・理解】 １ ○樹形図や表を用いて，硬 貨やさいころ，カードな ど を 使 っ た 確 率 を 求 め る。 ・３枚の硬貨を投げたときの 確率 □場合の数のもれや重なりがな いようにするために，樹形図 や表を用いて，それぞれの確 率を求めさせる。 ◇いろいろなことがらの確率を 求めることができるために， 硬貨やさいころ，カード，く じ引きなどにおける確率を樹 形図や表を用いて求めること ができる。【表現・処理】 １ 本 時 ○賞品として車がもらえる あるアメリカのテレビ番 組について，扉を変えるべ きか，変えるべきでないか 考える。 ◆扉を変えるべきか，変えるべ きではないか，その理由を説 明することができるようにす るために，樹形図や表を用い て，自分の考えを他者に説明 する交流活動を行う。 ◇日常生活における確率を，樹 形図や表を用いて，確かな根 拠をもとに考察することがで きる。 【数学的な見方や考え方】 ５ 本時 (１)主眼 起こり得る場合の数をすべて求めることを通して，扉を変えた方の確率が２／３となり当たりやす いことを樹形図や表を用いて説明することができる。 【手だて】 ○実験を行うことで，扉を変えた方がよいことに気づかせるようにする。 ○自分の考えがもてない生徒のために，ヒントカードを用意する。 ◆確かな根拠をもとに説明させるために，交流の視点，さらには交流するときの留意点を与える。 (２)準備 ①学習プリント，②問題を書いた模造紙，③ヒントカード， ④３つの扉にみたてた紙コップとあたりくじ，⑤実験用集計用紙

(３)展開 過程 学習活動・内容 自主的活動への支援・援助 配時 評価の観点 つ か む さ ぐ る 個 で 学 ぶ １ 問題を把握し，本時の めあてを確認する。 (１)扉を変えるべきか，変 えるべきではないか予 想する。 ・変える（最初選んだ扉が はずれの場合が多い） ・変えない（最初の扉があ たりの可能性がある） ・どちらも同じ（選択権を 与えられたとき，当たる 確率は1/2） (２)実際に 50 回の実験を 行う。 (３)めあてを確認する。 ２ 扉を変えたほうがよ い理由を考える。 (１)個人で考える。 ○問題を把握させるために，実際に 用意したゲームを生徒に行わせ， 扉を変えるべきか，変えるべきで はないか予想させる。 ○扉を変えた方がよいことに気づ かせるために，実際に50 回実験 を行わせる。 ○本時のめあてを印象づけるため に，めあては常に可視化してお く。 １５ ３０ 問題 あるテレビ番組で３つの扉から１つを選んで賞品を獲得するゲームが行われている。扉の うち１つはアタリで高級車が入っており、残り二つはハズレとして山羊が入れられている。 さっそく挑戦者が１つの扉を選んだ。司会者はそれぞれの扉の中に何が入っているのか知っ ており、挑戦者が選ばなかった扉のうち山羊が入っている扉を開けてみせた。ここで司会者 は挑戦者に扉を変更するか否の選択権を与えた。さて挑戦者は扉を変えるべきだろうか？ それとも変えるべきではないだろうか？ めあて 扉を変えた方がよい理由を説明しよう。 予想される生徒の考え (ア) 扉Ａを選択して扉を変える場合 扉Ａ 扉Ｂ 扉Ｃ 車 山羊1 山羊2 はずれ 車 山羊2 山羊1 はずれ 山羊1 山羊2 車 あたり 山羊1 車 山羊2 あたり 山羊2 山羊1 車 あたり 山羊2 車 山羊1 あたり 上の表より，6 通りのうち，4 通りがあたりで， 扉Ｂ，扉Ｃを選択して変える場合も同様にいえる。 よって，扉を変えた方が，2/3 の確率であたる。 (ウ) 余事象を使って考える 扉を変えないと決めた場合，あたる確率は １/３である。よって，扉を変えてあたる 確率は，1－１/３＝２/３となる。 (イ) 樹形図を使って考える。 (ア)の考えを樹形図で考える。

集 団 で 学 ぶ ま と め る (２)班で交流する。 (３)学級で交流する。 (４)各自の考えを修正し， ペアで交流する。 ３ 本時のまとめを行う。 ○個人の考えが持てない場合には， 「確率を計算で求める場合には 何が必要か」と発問し，表や樹形 図を用いて考えられるすべての 組み合わせを見いだせばよいこ とに気づかせる。 ○確率を求めることが困難な生徒 には，すべての組み合わせを求め させるためのヒントカードを提 示する。 ○確かな根拠をもとに説明させる ために，交流の視点「扉の中に隠 された組み合わせをすべてあげ ているか」を与え，次のことに留 意して交流を行わせる。 ・自分の考えを分かりやすく他者に 説明すること ・説明に不明な点がある場合には， なぜそうなるのか質問すること ○筋道立った説明にするために，学 級での交流後，修正や説明の不足 している点を加え，まとめなおさ せ，ペアで交流を行わせる。 ○確率が判断する材料になること に気づかせるために，本時の問題 は実際に1990 年頃にアメリカで 放送されていたテレビ番組で，ア メリカの多くの数学者が扉を変 えても変えなくても同じと勘違 いをして有名になった問題であ ることを告げ，本時の学習内容を 振り返らせる。 ５ ◇樹形図や表などを用 いて，確かな根拠を もとに説明すること ができているか。 【数学的な見方や考え 方】（学習プリント）