論 文
有限帯板法によるI形ばりの弾塑性横倒れ座屈解析
岡村美好 深沢泰晴
（平成2年8月31日受理）
Finite Strip Analysis of Elastic and Inelastic
Lateral Buckling Strength of I-Members
MiyoshiOKAMURA YasuharuFUKASAWA Abstract This paper presents a study of the interaction of local and overall buckling of I・beams which were subjected to uniform bending about major axis． The finite strip method is used to analyze the elastic and inelastic buckling strength of I・beams taking into account the effect of the cross−sectional distortion． In inelastic range， the initial residual stress is considered． The results obtained from this analysis are compared with the values produced using the extended beam theory derived previously by authors． It is recognized that the extended beam theory presents higher buckling load than the presented method in I・beam with narrow flanges and thin web．1．はじめに
従来，薄肉断面部材の座屈は断面形不変の仮定のも とに解析され，部材を構成する板要素の局部座屈は全 体座屈と切り離して板要素の座屈解析として検討され てきた。しかし，各板要素はそれぞれ独立に座屈する のではなく相互に連成しあうため，板要素として解析 する場合には拘束条件が必ずしも明確にならず，厳密 には全体座屈と局部座屈の連成問題として解析するこ とが必要となる。 曲げを受ける1形ぽりの全体座屈と局部座屈の連成 問題としての解析は，近年，有限要素法1）・2），有限帯板 法3），および拡張したはり理論4）・5）などにより弾性座屈 を対象として行われてきており，その座屈特性は明ら かにされつつある。これらによると，1形ぽりの弾性 横倒れ座屈は3つの基本モード ＊土木環境工学科，Department of Civil and Environmental Engineering ①圧縮フランジの面外曲げ座屈 ②圧縮フラソジのねじれ座屈 ③ウェブの局部座屈 の連成現象として捉えることができる。そして，スパ ンの長いはりでは従来の全体座屈に対応する圧縮フラ ンジの面外曲げ座屈が生じ，断面形不変を仮定した場 合に比べて座屈荷重の低下はわずかであること。また， スパンの短いはりでは圧縮フランジのねじれ座屈，あ るいはウェブの局部座屈が生じ，フランジの幅厚比が 大きい断面で圧縮フランジのねじれ座屈に，ウェブの 幅厚比が大きい断面ではウェブの局部座屈に支配され て座屈荷重が大きく低下することなどが明らかになっ ている。 非弾性座屈解析については，有限帯板法により中心 軸圧縮力を受ける1形ばり座屈の局部座屈と曲げ座屈 の連成問題の解析6）・7）が行われてる。しかし，曲げを受 けるはりについてははり理論の拡張として断面変形を 考慮した解析8）−11）は行われているものの，これらにおいては座屈モードの仮定に制約があるため，局部座屈 の影響は必ずしも明確になっているとはいえない。 本研究では，吉田6）の用いた弾塑性有限帯板法を等 曲げを受ける1形ぽりの座屈解析に適用し，弾塑性横 倒れ座屈における全体座屈と局部座屈の連成問題につ いて検討する。また，著者ら5）・11）が先の文献に示した拡 張したはり理論による横倒れ座屈強度と比較し，その 有効性についても検討する。 2．解 析 方 法 弾塑性座屈解析を行うにあたり，以下を仮定する。 ①材料の応カーひずみ関係は完全弾塑性体である。 ②座屈時にひずみの反転は生じないものとし，塑性領 域においてはBijlaardの塑性変形理論12）が成り立 つものとする。 ③フラソジおよびウェブ面内の初期変形はない。 ④1形断面の残留応力は図一1に示す圧延形残留応力 を考慮する。 有限帯板法を用いる場合，1形ぽりはフランジおよ びウェブを部材軸方向に細長い帯板要素に分割した図 一2のようなモデルで表すことができる。図一3に示 すように，その1つの帯板の幅をb，長さを1として， 部材軸方向の辺を節線1，2とする。また，座屈前の 帯板には，部材軸方向および板厚方向には一定である が，節線1から2へは任意に変化する面内応力σが作 用するものとする。局所座標系は，部材軸方向にκ軸， 幅方向にy軸，x−y平面に鉛直にz軸をとり，載荷辺 x＝0，x＝1は単純支持されているものとすれば， x， y，z軸方向変位u， v， wはつぎのように表される。
r
u＝Σ WU．cos（lemX）…・……・…∴…・……・・…・・…（1）a 初：1 v＝Σur V．sin（編κ）………・・………・…・…・・（1）b m＝1 w＝Σφ玩sin（kmX）………・・………・・………・・…（1）c m＝1 ここに，mは座屈モード次数に対応し， ど一」・・tσ，，．．，，，．。．、σY σ，、：圧縮残留応力 σ，t：引張残留応力 σ，：降伏応力 図1 残留応力分布 mπ km＝ 1 ●＝｛（1一η） （m＝1，2，… ，r） ・・・・・… 一・・・・・・・・・・・… （2） η｝ ・・・・・・・・・・・・・・・・・… 一・一・・・・・・・・・・・・・・… （3）a ￠一｛（仁3η2＋2η3）丁（・−2η＋η2） （3η2−2η3）丁（η2−・）｝…・…・………・………（3）b η＝y／b， あ：基準板幅 Um＝｛Ul，M u2，m｝T・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… ■■・・・・・… （4）a Vm＝｛Vl，m 仇，加｝T………・………・……・（4）b Wm＝｛w1，M ム） Oi，m w2，M 力oθ2，m｝T ・・・・・・・・・・・・・・・… （4）c ここに，〃i，m， Vi，m， Wi， m，θi，．は節線iの第m項に対 する節線変位パラメータを表す。 板理論より，ひずみと変位の関係は弍｝
砦 ∂v晋＋袈
∂2w ∂κ2 ∂2w一z−
Oγ2 ∂2w ∂x∂y ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… @（5） 座屈時にひずみの反転は生じないと仮定したことか ら平面応力場における応カーひずみマトリクスは板厚 方向の積分には無関係となり，非弾性域での座屈に よって生じる応力とひずみの関係はBijlaardの塑性 変形理論より，つぎのように表すことができる。 図2 帯板要素モデルy
図3 有限帯板要素X
板厚：t｛諮当聞一一一・・・・・…（6）
ここに， （1＋3τ） ・… 一一一一・・一■t■■■・・‥… 一一一一・・… 一… ■一・｝・… ‥・（7）aX1＝ β x2−2｛1−（1−2レ’@ β）τ…・…・…・………・・……・（7）・b 4 1炉万・x・＝2＋2。・＋、…’……’…’…’’’”（7）・・d である。さらに β＝5−4〆＋3e−（1−2〆）2τ τ＝E，／E，θ＝εP／εγ で与えられ，ここに，vtは非弾性域でのボアソン比， E， は材料の応カーひずみ曲線の接線弾性係数，ερはひず みの塑性成分，εYは降伏ひずみである。 板の変形は小さく，面外変形と面内変形は互いに連 成しないと仮定すれば，式（5），（6）より，内力の仮想仕 事式は次のようになる。 δσ一辜ﾂ｛・｝・｛・｝dV −∫（・・δ・・＋・・δey＋r・yδ7・y）・dV −Et！l［x・（；…δ砦）＋x3（；…δ晋） ＋x2（｛裟δ晋＋駕δ；…） ＋x4｛（∂za∂vOy∂x）δ（｛㍑晋）｝］dA＋芸ル（黎δ豊）
＋x3（夢δ砦） ＋・x2（漂δ黎＋砦δ漂）画蒜δ蒜）｝dA…一・一……一（8）
式（8）に式（1）を代入し，級数の直交条件を考慮すれぽ次 式が導かれる。 δσ一隠［6場・1δU’．1［・，W’TdyU＋6τ1δγ・ル・卿ぴ
一6副δ呼・q・’uayU
＋δu・1・・w・W・dyV｝＋6τ1δぴか卿⑳σ
＋6輪21δγ・かψ・蜘γ＋6副δ可鯉卿σ
＋δぴル・ur・・WdyV｝＋響1δw・か輌醐
＋亨δ吋・・ぴ⑭醐
一τ3警21δ弓∫・・（￠ttT￠ ＋φ・の⑳｝w＋2蹴吋泊θ・鋤叫・・………（9）
ここに，（）’はd（）／⑳を意味する。式（9）をマトリ クス表示して rδσ＝Σ 6dmTKmdm m＝1 ＝δdTKd…・……・…・・…・・………・…・…………・…（10） ここにKは帯板の剛性マトリクス，dは節線変位パラ メータベクトルでdmよりとなり， dm＝｛Ul，m Vl，m Wl，m bbθ1，m za2，m z，12，m zv2，M あ仇η｝T…………・……・…・…（11） 部材軸方向および板厚方向には一定の面内応力σ が作用する場合，面内力による仮想仕事は δ▽一嚮ｳ・δ｛（3／）2＋（☆y＋（；ξ）2｝dA………⑫ 式⑫に式（1）を代入し，級数の直交条件を考慮すれぽ δw一?h；1｛δ吋・ザ蜘σ
＋δ可・T・TdyV
＋δ吋・輌づ］
＝Σ 6dmTKcd！m m＝1 ＝・δdTKcd…………・…・………・・………・・…（13） ここに，KGは帯板の幾何剛性マトリクスである。 式（1》，⑬を座標変換し，全帯板要素についてそれぞ れ重ね合わせることにより，部材全体の剛性マトリクスK，幾何剛性マトリクスKGを求めることができ，座 屈条件はつぎのように表される。 det（」K十KG） ＝0 ・．．・．．・・窃．．・．・・●・・・… ．・・．… ．・．・．．・．・・・… ．・（14） 弾性域では，式（14）は荷重λ＝ Mcr／M．をパラメータと する固有値問題として書き直すことができる。 det（K十AKG＊）＝0……・………・…・………・……・…・⑮ ここにMcrは座屈曲げモーメント，M．は降伏モーメン トである。
非弾性域ではKおよびKGの要素は直接積分が不
可能となるため，本研究では，帯板要素を板幅方向に 分割した1形ぽりについて座屈荷重を仮定して降伏領 域を求め，分割点での応力およびひずみの値を計算し， 数値積分によりκおよびKGの各要素を求める。そし て，繰り返し計算により式⑭を満足する最小座屈荷重 を決定する。 3．数値計算例と考察 図一4に示す2軸対称1形ぽりが等曲げを受ける場 合について，拡張したはり理論5）・11）との比較を行う。な お，ここでいう拡張したはり理論とは，通常の薄肉ぽ り理論において断面形不変の仮定をウェブについて解 除したものである。また，以下では簡単のために座屈 モード次数m＝1の結果のみを示す。 （a）←b・一→
↑ 図4 1形断面ぽり （b） 図5 要素分割 （c） 3．1 弾性横倒れ座屈解析 有限帯板法における要素数の影響を調べるため，図 一5に示す3つの帯板要素モデルについて計算を行っ た。図一6は拡張したはり理論5）および有限帯板法 （FSM）による座屈曲線を両対数グラフで示してい る。縦軸は座屈曲げモーメントと降伏モーメントの比 Mcr／M．，横軸はスパンと桁高の比1／hである。座屈曲 線は1／h＝2．5を境に全体座屈領域と局部座屈領域に 分けることができるが，拡張したはり理論は両領域を 通じて要素数5の場合とほぼ一致した結果を与えてい る。要素数6，7の場合は全体座屈領域では拡張した はり理論とほぼ一致しているが，局部座屈領域では座 屈強度が低下し，1／h＝0．5において拡張したはり理論 に比べ要素数6で50％，要素数7で63％の低下を示し ている。また，図一7は，1／h ＝・ 2．5，1／h＝0．5のはり についてウェブの要素数と座屈曲げモーメントの関係 MCt／Mv 100 10 1 0．1 まり理論 FSM（a） FSM（b） FSM（c）’v／’
b／d＝：10．14 h／b＝：2．31 h／t：＝68．0 1．0 図6 要素数による弾性横倒れ座屈曲線の違い M。，／MY 20 15 10 5 0 一69一 9／h lO 0 2 2 ／h＝2．5 ／ 〆 4 6 図7 要素数と収束の関係 8 ウェブの要素数を示したものである。1／h＝2．5は全体座屈，1／h＝O．5 は局部座屈であり，前者では座屈曲げモーメントはほ ぼ一定であるが，後者ではウェブの要素数が4以上で ほぼ一定値となり，ウェブの局部座屈を考慮した解析 を行うためにはウェブの要素数を4以上にする必要が あることがわかる。これより，以下の計算は図一5（c） の要素分割で数値計算を行う。 図一8は，ウェブの幅厚比は同じであるがフランジ の幅および幅厚比の異なる2つの断面についての横倒 れ座屈曲線を示している。点線は拡張したはり理論に よる結果，実線は有限帯板法による結果である。また， A，B， C点での座屈モードを図一一 9に示す。断面1 は1／h ・＝ O．7において拡張したはり理論よりも36％の 低下を示し，A点の座屈モードは圧縮フランジとウェ ブの座屈に支配されている。断面IIは1／h＞0．8におい て拡張したはり理論とほぼ一致した値を示している が，1／h＜0．8において再び座屈荷重が低下し，拡張し たはり理論とは異なった結果を示している。B点の座 屈モードは圧縮フランジのねじれ座屈，C点の座屈 モードはウェブの局部座屈に支配されており，断面II では局部座屈領域が複数のモードの座屈に支配されて いることがわかる。 3．2 非弾性横倒れ座屈解析 非弾性域の剛性マトリクスおよび幾何剛性マトリク スの数値積分における帯板の板幅方向の分割数を変化 させた場合の最小座屈値の比較を表一1に示す。これ より，分割数を40として計算を行う。また，材料は完 全弾塑性体であることから式（7）における接線弾性係数 E，＝0とし，非弾性域でのボアソン比〆＝0．5とした。 図一10は図一8の断面IIの弾塑性横倒れ座屈曲線を 片対数グラフで示したものである。点線は拡張したは り理論11）による結果，実線は有限帯板法による結果を 表す。1／h＞1では，1／h＝3で3％の座屈荷重の低下 が生じているが，拡張したはり理論とほぼ同様の曲線 となっており，圧縮フランジのねじれ座屈に支配され ていると考えられる。また，1／h＜0．8において生じて いる座屈荷重の低下はウェブの局部座屈に支配されて いるものと考えられる。 表1 分割数と精度 分割数 g。．！HY 20 30 40 0，796 0，792 0，791 （ h／b＝ 1．0， b／d＝40， h／t＝ 120， 2 ／h＝2．4 ） M。，／M， 10．0 1．0
FSM
O．1 はり理論 断面1 断面皿 b／d＝32 b／d＝40 h／b＝3．4 h／b二＝1◆O h／t＝150 h／t＝150 0．01 0．1A
M。r／Mγ 1．2 1．0 0，8 0、6 0．4 0．2 0・0 O．1 一70一 1 10 図8 弾性横倒れ座屈曲線 B 図9 座屈モード 100 2／h C h／b＝1．O h／t：＝150 b／d＝40 1．0 10 図10 弾塑性横倒れ座屈曲線 （h／b＝1．0） 100 2／h図一11，12，13はフランジの幅厚比およびウェブの 幅厚比は図一10で対象とした断面と同じであるが，桁 高とフランジ幅の比h／bを1．5，2．0，2．5とした断面に ついての弾塑性横倒れ座屈曲線である。h／b＝1．5，2．0 の断面ではフランジ幅の減少にともなって局部座屈領 域における拡張したはり理論との差が大きくなり，h／ ろ＝1．5で最大6％，h／b＝2．0で最大15％の低下を示 し，はり理論よりも長いスパンで局部座屈が生じるよ うになっている。h／b＝2．5の断面ではその傾向がさら に顕著となり，1／h＜2において急激に座屈荷重が低 下して最大で32％の低下を示している。フランジ幅の 大きい断面の局部座屈は拡張したはり理論とほぼ一致 M、ノMγ 1．2 1．0 O．8 0．6 0．4 0．2 0・00．1 M。ノM， 1．2 1．0 0．8 0．6 0．4 0．2 0・00．1 h／b＝15 h／t＝150 b／d＝40 1．0
＼’FSM
＼ はり理論 10 図11弾塑性横倒れ座屈曲線 （h／b＝1．5） 100 2／h h／b＝2．O h／t＝150 b／d＝40 1．0 、＼はり理論 ＼FSM 10 図12 弾塑性横倒れ座屈曲線 （h／b＝2．0） 100 2／h M、．／Mv l．2 1．0 O．8 0．6 0．4 0．2 0・00．1 h／b＝25 h／t＝150 b／d＝40 ／ r・ξ、 1．0 10 図13 弾塑性横倒れ座屈曲線 （h／b＝2．5） 100 2／h した結果を示すことから，圧縮フランジのねじれ座屈 に支配されると考えられる。しかし，フランジ幅が小 さくなるのにともなって局部座屈強度は低下し，拡張 したはり理論との差は大きくなることから，フランジ 幅の小さい断面の局部座屈はウェブの局部座屈に支配 されているものと考えられる。 4．ま と め 弾塑性有限帯板法により等曲げを受ける1形ぽりの 弾塑性横倒れ座屈解析を行い，全体座屈と局部座屈の 連成問題について検討した。また，拡張したはり理論 で計算した横倒れ座屈値と比較することにより，その 有効性についても検討し，以下のような結果を得た。 （1）弾性座屈解析において，フランジの幅が大きく， ウェブの幅厚比が大きい断面のはりでは，スパン が短くなると圧縮フランジのねじれ座屈だけでな く，ウェブの局部座屈も生じる。また，フランジ の幅厚比が大きい断面およびウェブの幅厚比の小 さい断面では，局部座屈が圧縮フランジのねじれ 座屈に支配され，拡張したはり理論による近似が 有効となる。 （2）弾塑性座屈解析において，フランジ幅の大きい 断面では，局部座屈は圧縮フランジのねじれ座屈 およびウェブの座屈に支配され，拡張したはり理 論による近似が有効となる。また，フランジ幅が 小さい断面では，局部座屈はウェブの局部座屈に 支配され，座屈荷重の低下は拡張したはり理論よ 一71一 りも大きくなり，けた高とフランジ幅の比h／bが 大きくなるほどその傾向は顕著になる。参 考 文 献 1）Johnson， C． P． and Will K． M．：Beam Buckling of Finite Element Procedure， Journal of the Structual Division， ASCE， Vol．100， No． ST3， pp．669・683，（1974） 2）Hancock， G． J．：Local， Distortiona1， and Lateral Buckling of I・beams， Journal of the Structural Division， ASCE， Vol．107， No． ST11， pp．1787・1798，（1978） 3）Rajasekaran， S． and Murry， D． W．：Coupled Local Buck・ 1ing of Wide・flange Beam・colmns， Journal of the Struc・ tural Division， ASCE， Vol．99， No． ST6， pp．1003・1023， （1973） 4）彦坂煕，高海克彦，丸山義一：薄肉断面部材の断面変形を考 慮した有限変位理論と弾性安定問題への応用，構造工学論文 集，Vo1．32A， pp．265∼275，（1986年） 5）深沢泰晴，杉原美好：1形ぽりの弾性横座屈に及ぼすウェブ の変形の影響，構造工学論文集，Vol．31A， pp．15−23，（1985 年） 6）吉田博：H型鋼柱の局部座屈と曲げ座屈の連成座屈強度，土 木学会論文報告集，第243号，pp．19−32，（1975） 7）Hancock， G． J．：Interaction Buckling in I・setion Colmns， Journal of the Structural Division， ASCE， Vol．108， No． ST1， pp．166・179，（1981） 8）丸山義一，彦坂煕，Mian Amar Mahmood：断面変形を考 慮した1形部材の非弾性安定解析，土木学会第42回年次学術 講演会講演概要集，1−79，（1987年） 9）丸山義一，彦坂煕，Mian Amar Mahmood：軸力と曲げを 受ける1形断面部材の断面変形を考慮した非弾性横座屈，土 木学会第43回年次学術講演会講演概要集，1−47，（1988年） 10）彦坂煕，丸山義一，Mian Amar Mahmood：棒理論の拡張 による薄肉開断面部材の断面変形を考慮した弾塑性座屈解 析，構造工学論文集，Vo1．35A， pp．67−74，（1989年） 11）深沢泰晴，杉原美好：ウェブの変形を考慮した1形ばりの弾 塑性横倒れ座屈強度，構造工学論文集，Vo1。33A， pp．93−102， （1987年） 12）Bijlaard， P． P．：Theory of Plastic Stability of Thin Plates， IABSE Publications， ZUrich， Vo1．6，（1940） 一72一
