YouTubeの映像を使ったブランコ運動の解析 : Pythonによる非線形大振幅運動シミュレーション

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(1)YouTube の映像を使ったブランコ運動の解析. 1. YouTube の映像を使ったブランコ運動の解析～ Python による非線形大振幅運動シミュレーション山本. 郁夫. 横浜国立大学教育人間科学部. Large Amplitude Pumping of a Swing Ikuo YAMAMOTO. 論文要旨系の非線形性を考慮した数値シミュレーションにより，ブランコの大振幅励起運動を調べた。実際の運動と比較するために，YouTube の映像を用いた。視覚化支援ライブラリモジュールである VPython を組み込んだ Python を使って数値解析を行うことによって，漕ぎ手の運動とブランコの振幅の変化との関係を視覚的に理解することができた。１．はじめに YouTube では，あらゆる種類のビデオ映像を見ることができる。それらの中には，非常に面白い科学的な映像もかなり存在している。米国物理教育学会誌では，2009 年から数年間，興味有る映像を提供しているウェブサイトを紹介する YouTube Physics というコラムを設けたほどである 1)。ビデオ映像の物理教育的な利用の仕方として，力学運動の解析. 2). がある。これは，インターネッ. ト環境とコンピューターさえあれば可能である。映像素材としては，演習として学生が自宅で解析できるようなものから，高度な解析方法を必要とするようなものまで様々である。また，ビデオ素材の中には，「extreme catapult」3)や「Massive 360 degree swing!」4)のような“過激な” 挑戦を撮した映像もある。前者の“人間カタパルト”は，明らかに細工を施した虚偽映像であるが，後者の 360 度回転するブランコの運動は驚異的な映像である。これらの映像の真偽を，力学の法則を使って明らかにすることは，力学の演習問題を解く以上の教育的効果を持っていると考えられる。本論文では，ブランコに乗った人が支点の周りに１回転する YouTube の映像，「Massive 360 degree swing!」を使い，有限な振れ幅のブランコの運動を調べた。ブランコの運動を扱った教科書 5)や多くの文献 6)などでは，教育的な目的，あるいは，励起機構の本質的な面に焦点をあてるという観点から，ほとんどの場合，振れ幅が小さいと仮定して運動方程式は線形化される。一方，単振り子やブランコの周期は振幅に依存して変化するので，ブランコが支点の周りに１回転するまで励振するような極端な場合については，より複雑な取り扱いが必要となり，あまり報告がない。. －1－.

(2) 山本郁夫. 2. 本研究では，系の非線形性を考慮した数値シミュレーションにより，ブランコの励起運動を調べ，「Massive 360 degree swing!」に見られるような運動の可能性を検証した。また，ブランコの運動を表すアニメーションを，視覚化支援ライブラリモジュールである VPython を組み込んだ Python を使って作成し，漕ぎ手が行う励起運動のタイミングと励振の様子を理解する助けとした。２．ブランコの励起運動ブランコの運動は基本的には単振り子の強制振動である。このような単振動や強制振動は，力学分野だけでなく，音の共鳴，電気回路における共振，原子・分子による光の吸収などの多岐にわたる物理分野の基本的な現象である。しかしながら，人体の運動を介して行われるブランコの励振運動は，振り子や電気回路などにおいて見られるような，周期的な外力により引き起こされる比較的単純な強制振動励起に比べるとやや複雑である。ブランコの漕ぎ方には，立ち漕ぎと座り漕ぎの２つの方法がある。前者ではひざの屈伸運動にともなう上下方向の重心の移動により，後者では主に腰付近を支点とした身体の前後の揺さぶり回転運動によりブランコの振れ幅を増大させている。この２つの励起方法のなかで，特に，重りを吊したひもの長さを周期的に変化させた振り子と等価であると見なせる立ち漕ぎによる励起振動モデルは，通常のブランコの運動の説明にしばしば使われる。このような重心位置やひもの長さなどの系を特徴付けるパラメーターが周期的に変化することにより振動が増大する現象は，パラメーター励振. 7)とよばれる。パラメーター励振では，励起振動数が系の固有振動数の２倍に一. 致するときに，最も強い共鳴が起こり系の振幅が指数関数的に増大することがわかっている。有限の振れ幅の振動運動では，線形近似で現れるこれらの振動数を一定値として扱うことができない。そこで，数値シミュレーション的な取り扱いが必要となる。ひざの屈伸運動にともなう上下方向の重心の移動によりブランコを漕ぐ運動は，ひもの長さが周期的に変化する振り子によってモデル化することができる. 5). 。ブランコの支点を原点として図. １のように座標系を定義すると，ブランコに対するラグランジアンは. O. y.  l. m. x. 図１. 座標系の定義. －2－.

(3) YouTube の映像を使ったブランコ運動の解析. L. 1 1 m( x 2  y 2 )  mgx m(l 2 2  l2 )  mgl cos  2 2. 3. (1). ただし，m はおもりの質量，l はブランコのひもの長さ， はブランコのひもと鉛直方向とのなす角を表す。また，運動方程式は. l  2l  gl sin   0. (2). となる。さらに，ひもの長さが正弦的に変化するとして，最も効率良くブランコを漕ぐような位相を考慮すると. l l0  l1 sin 2t. (3). とおける 5)。ただし，l1 は重心の変動幅振幅である。このとき，運動方程式は.  (1   sin t )  2 cos t     02 sin   0. (4). ここで，. l1 g 02  ,  l0 l0 である。 2.1 線形近似解 7) この様な力学系を解析する場合に良く使われる (i)線形近似，θ≪1，(ii)パラメトリック励起， ω = 2ω0，(iii)摂動的励起，ε≪1，および，解として振動解.   a(t ) sin 0 t を式(4)において仮定すると.  sin  0 t  2a 0 cos  0 t  a. 1 a02 (3 cos  0 t  5 cos 3 0 t )  0 2. を得る。また，速い変化を含む項 cos3ω0t を一周期にわたって平均すると 0 となることを理由に無視し，さらに. a ~  ， a ~  2 であることが結果的に成立することから，a(t)について. 2a . 3  3 a0  0 ，すなわち， a (t )  a 0 exp  0 t  2 4 . が得られ，摂動パラメトリック励起に対して線形近似解. 3   (t )  a0 exp  0 t  sin  0 t 4 . (5). が得られる。－3－.

(4) 山本郁夫. 4. 2.2 数値解有限の大きさの振幅に対して，パラメトリック励起（ω = 2ω0）のみを仮定して式(4)を数値的に解くことができる。図２に，ω0 = 2，ε = 0.10，a0 = 0.05（これは，ブランコの支点－重心間距離（l0 ）が 2.45m，重心の変動幅振幅（l1）が 0.25m に相当する値）に対して計算した結果を示した。. 図２. ブランコの振れ角（線形近似と数値解の比較）. この図から，漕ぎ始めてから約 20 秒くらいまでは，パラメトリック励振に特徴的な指数関数的な振幅増大を示しながら両者は良く一致することがわかる。しかしながら，それを過ぎると，線形近似解では，急速に振れ角が増大するのに対して，数値解では 25 秒過ぎくらいから減速し始め，両者の不一致が顕著になる。これは，周期が振れ角とともに増大し，励起運動がブランコの振動と同期しなくなるのが原因である。一方，線形近似解では，この点を考慮していないので振動運動の振幅が増大し続け，ブランコの位置が最上点を越えても途中から反転するという意味のない解になってしまう。 2.3 改良した数値解析モデル上に見たように，大振幅のブランコの運動を数値的に調べるためには，励起振動数を固定した単純なパラメトリック励起では不可能であることがわかった。本節では，通常，人がブランコを漕ぐのと同じように，励起振動数を振れ角の変化とともに変化させながらブランコを漕ぐ運動を調べる。2.2 節の計算との相違点は，振れ角が各周期の最大振幅の位置に達したときに，続く半周期（反対側に振れた最大振幅の位置まで）は，単振り子の振幅と周期との関係 7)を使い，その振幅に対応した周期で漕ぐようにすることである。図３に，2.2 節の数値計算と同じ条件を用いて Python により求めた数値解の結果を示した。また，図４には， Python に組み込んだ描像機能 VPython を使って描いた重心の運動の軌跡を示した。この結果から，励起運動（重心の上下運動）がブランコの振動とうまく同期している場合，振れ. －4－.

(5) YouTube の映像を使ったブランコ運動の解析. 角がおよそ 110°を越えるとその後の一漕ぎでいっきに最上点に達することがわかる。VPython を使うことにより，漕ぐ人の動きと振幅の変化との同期関係を，単なる数値計算によるものより視覚的に理解することができる。2.2 節で扱った線形近似モデルを同様に VPython で表現して比較すると，その違いがより一層鮮明になった。. 図３ブランコの振れ角（励起周波数を振幅に応じて調節した場合）. 図４. 重心の軌跡. ３．ブランコ運動のビデオ解析つぎに，実際の大振幅運動と数値計算結果とを比較するために，YouTube の「Massive 360 degree swing!」（図５）を使って実際のブランコの大振幅運動の振れ角の時間変化を求めた。. －5－. 5.

(6) 山本郁夫. 6. 図６にビデオ映像から求めたブランコ下端板部分の軌跡を示した。ビデオカメラのぶれ（回転および並進）は，ブランコの支柱を参照物体として用い補正した。図６の軌跡の原点はブランコの支点にあたる。軌跡が真円からひずんでいるのは，ビデオカメラが運動円の正面ではなく，やや斜め下方に位置していることによる。回転運動が 360°以上にわたることを反映して，軌跡が最上部にまでおよんでいる。図７にはブランコの振れ角の時間変化を示した。指数関数的な増大を示す理論的な予測と異なり，実際の運動では振幅はほぼ線形に増加している様子がわかる。図８には，振動の周期を周期毎の最大振れ角に対してプロットした。図中の実線は，長さが 6.2m の単振り子の理論的な周期 7)を示している。実験値は，この理論曲線とよい一致を示している。. 図５. Massive 360 degree swing!より. －6－.

(7) YouTube の映像を使ったブランコ運動の解析. 図６. 図７. 運動の軌跡. 振れ角の時間変化. －7－. 7.

(8) 山本郁夫. 8. 図８. 周期と振れ角. ４．まとめ大振幅ブランコ運動のような実際に自分で行うことが難しい運動であっても，YouTube のような誰でも容易に入手できる映像をもとに，ビデオ映像の解析を通じて，十分な精度で理論的な予測値と比較し，論ずることができた。実際にこのような大振幅非線形運動を解析した結果，通常，ブランコの立ち漕ぎで予測されている指数関数的な振幅の増大は，解析した範囲内では見られなかった。これは，主として，空気抵抗が原因であると考えられる。ひざの屈伸運動により系に注入される励起エネルギーのかなりの部分が，空気抵抗によって散逸してしまう。振幅が大きくなるほど，最下点を通過するときの速度が大きくなり，その影響が大きくなったと考えられる。結果として，最大振幅は時間にほぼ比例するような依存性を示した。それと対照的に，振動周期と最大振幅との関係は，ほぼ理論的な予測とほぼ同様な振る舞いを示した。また VPython を使って運動を解析することによって，漕ぐ人の動きと振幅の変化との同期関係を，単なる数値計算プログラムによるものより視覚的に理解することができた。. 参考文献 1）D. Riendeau: “YouTube Physics,” Phys. Teach. 47 (2009) 317. 2）M. J. Ruiz: “Kinematic Measurements from YouTube Videos,” Phys. Teach. 47 (2009) 200. 3）Extreme Catapult, http://www.youtube.com/watch?v=6k4z3PsGvWM 4）Massive 360 degree swing!, http://www.youtube.com/watch?v=KP7IBUWdeZg 5）戸田盛和: 一般力学３０講（朝倉書店，1994 年）; 戸田盛和: いまさら一般力学？（丸善， 1996 年） 6）W. B. Case: “The pumping of a swing from the standing position,” Am. J. Phys. 64 (1996) 215. 7)戸田盛和，渡辺慎介: 非線形力学（共立出版，1984 年）－8－.

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