数理科学基礎演習 II
（ S1 ターム月曜 3 限、理 2,3 1–7 組）
第 1 回解答
土岡 俊介 2016 年 4 月 18 日
(A1) 1. √ 2 2. 3π
4 3. 1 + 4i 4. −3−2i 5. −5−i 6. 1 + 5i
13 (A2) 1. 2
( cosπ
6 +isinπ 6 ) 2. 2
( cos3π
2 +isin2π 2
)
3. 3 (cosπ+isinπ) 4. √
2 (
cos5π
4 +isin5π 4
)
(A3) 1. f(x)をx2+x−2 = (x−1)(x+2)で割った商をQ(x)、余りをax+bとする。f(1) =a+b, f(−2) =
−2a+bである。一方で、剰余の定理と問題の仮定よりf(1) = 8, f(−2) = 2である。つまり {
a+b= 8
−2a+b= 2
だが、これからa= 2, b= 6と求まるので、求める余りは2x+ 6である。
2. xnをx2−3x+ 2で割った商をQ(x)、余りをax+bとすると、
xn = (x2−3x+ 2)Q(x) + (ax+b) である。x2−3x+ 2 = (x−1)(x−2)なので、x= 1,2を代入すると
{
2n = 2a+b 1 =a+b
となる。よって求める余りは(2n−1)x+ (2−2n)である。
(A5) 有理数係数の範囲 1. x4−x2−2 = (x2+ 1)(x2−2) 2. x4+x2+ 1 = (x2+x+ 1)(x2−x+ 1) 3. x4−3x−2 = (x2−x−1)(x2+x+ 2)
1
実数係数の範囲 1. x4−x2−2 = (x2+ 1)(x−√
2)(x+√ 2) 2. x4+x2+ 1 = (x2+x+ 1)(x2−x+ 1)
3. x4−3x−2 = (x2+x+ 2) (
x−1 +√ 5 2
) (
x−1−√ 5 2
) 複素数係数の範囲 1. x4−x2−2 = (x+i)(x−i)(x−√
2)(x+√ 2) 2. x4+x2+ 1 =
(
x−−1 +√ 3i 2
) (
x−−1−√ 3i 2
) (
x−1 +√ 3i 2
) (
x−1−√ 3i 2
)
3. x4−3x−2 = (
x−1 +√ 5 2
) (
x−1−√ 5 2
) (
x−−1 +√ 7i 2
) (
x−−1−√ 7i 2
)
(A6) 1. 1 2. −2 3. 2
√3 4. −15
8 5.
( π+ 1
π )
/2 6. 4
5 7. π 3 8. π 4 9. π 3 (A7) 1. ±π
4 + 2nπ（nは整数）
2. ±2π
3 + 2nπ（nは整数）
3. π
3 + 2nπ,2π
3 + 2nπ（nは整数）
(A8) 定義式sinh(x) = (ex−e−x)/2,cosh(x) = (ex+e−x)/2,tanh(x) = cosh(x)/sinh(x)から容易に示せ る（詳細略）
(A9) 1. cosx 2. −sinx
3. 1
cos2x 4. coshx 5. sinhx
6. 1
cosh2x
2
