学習内容のつながりを意識しながら追究するための学習活動の工夫

平成２０年度 理数教育ステップアップ研修 実践記録

学習内容のつながりを意識しながら追究するための学習活動の工夫

− 中学校第３学年「関数 ＝ y ax

」の指導を通して −

（ 実践者 十日町市立十日町中学校 山本 俊介 ）

本単元「関数 y ＝ ax

」では，生徒は２学年までの「一次」から「二次」へと関数の学習の範 囲を広げていく。本実践にあたっては，このことに関連して 「生徒が既習の関数とのつながり ， が十分にとらえられず，関数の学習の広がりを実感するに至っていない」という従来の指導での 問題点を指摘した。この解消を図るために，生徒が新しい関数 y ＝ ax

と出会い，追究を始める

， 。

単元の導入に注目し 既習の関数と関連づけながら追究するたの課題と学習活動の工夫を試みた 課題については，生徒が既習の関数の学習を想起できるように１・２学年時で用いた水槽モデ ルを使った。また，関数の特徴を追究する場面においては，イメージ図を用いて，対応表と具体 的事象場面での変化や対応の様子を関連づけて考察できるような活動を設定した。このことによ り，既習の関数の見方や考え方を生かしながら，新たな関数を追究する生徒の姿が見られた。

１ 本単元における「理数の面白さや深く追究する楽しさなどを味わわせる」構想 ( )数学のつながりや広がりを実感すること 1

系統性の強い数学科の学習内容において 「今学習していること」が既習のどの内容とつながっ ， ているかを生徒に実感させることはとても重要である。それは，このことにより，生徒が「今学習 していること」の意義に気づき，より深く追究する意欲へとつながるものと考えるからである。ま た同時に，つながりが見いだせた既習の内容を「今学習していること」に組み込み，自分のもつ数 学の広がりを実感することで，次のような追究へとつながることも期待できる。

・新たな発展の可能性を見いだし，さらに追究しようとする。

・得られた視点や追究方法で今まで学習したことを見直し，新たなつながりを見いだそうと追究 する。

本単元の指導にあたり，中学３年間で学習する関数のつながりを次の図のように捉えた。

〈１学年〉 〈２学年〉 〈３学年〉

一 次 関 数 二 次 関 数 一般の一次関数 （一般の二次関数）

特別な一次関数 特別な二次関数 に比例する関数 に比例する関数

x に比例する関数 x x

反比例する関数 （有理分数関数の一種）

※片側方向の矢印は「とらえ直し ，双方向の矢印は「対比」を示している。」 括弧（ ）内は，中学校後の発展学習事項を含んでいるもの。

本単元では２学年での「一次」の世界から，さらに「二次」の世界へと関数の対象を広げていく

ことになる。その際，単に「二次」という新しさを見せるだけでなく，２学年で学習した一次関数

と比例する関数の「一般の場合と特別な場合」の構造と対比させながら追究を進め，同じ構造が二

次の世界にもあることに気づかせる。その上で，既習の関数の見方や考え方を活用しながら二次の 世界での関数の考察へとつなげていく。そして，１・２学年で学習した関数のつながりを踏まえた 上で，それぞれの関数を学習した意味を改めて見つめさせたい。また，上記のような関数のつなが りを明らかにした上で，新たな関数が存在する可能性にも目を向けさせ，数学のさらなる広がりへ の見通しをもたせ，高校数学での学習への橋渡しをしたいと考える。

( )数学の有用性を実感させること 2

身近な事象などを考察する際に，何気なく使っている見方・考え方は数学によるものが多い。

本単元の「関数」も，自然現象をはじめ様々な身のまわりの事象を考察する上では欠かせないも のであり，対象となる事象は数学の分野にとどまらない。例えば，３学年理科の「物体の運動」で は，本単元で学習する関数の見方や考え方を活用しながら物体の運動の様子を考察する。

本単元の学習にあたっては，身近な事象や自然現象等の中に見られる関数を考察することなどを 取り入れながら，数学が様々な事象の考察に活用されているという「数学の有用性」の一面に触れ させ，数学で追究することの面白さや楽しさにつなげたいと考える。

２ 本単元の導入における指導の構想 ( )関数 ＝ 1 y ax

の導入時における問題点

関数 y ＝ ax

の導入時では，次のような流れで新しい関数である「関数 y ＝ ax

」の導入を図 っている。

具体的な事象 ２変量の抽出 ２変量関係の表・式による表現 関数 ＝ y ax

及びそれらの考察 の定義，特徴

※１ ※２

（図中の※印は以下に述べる問題点の所在の箇所を示している）

この導入時において，次の２点を問題ととらえ，指導のあり方を検討することにした。

①導入モデルに関わる問題点（※１）

教科書では，導入時のモデルとして，ボールや球を斜面で転がす実験モデルが多く用いられ ている。このモデルは，身近で関数 y ＝ ax

の顕著な事象ではあるが，導入モデルとしては，

次の点で検討が必要である。

・実際に実験を行うと誤差が生じるため，データがあらかじめ示されていること。また，そ のデータの分析から見える特徴を事象に戻して追究することが困難である。

・伴なって変わる量を事例以外に見いだすことができず，既習の関数との関連を見いだしづ らい。

例えば，本校が使っている教科書では，各学年の関数の導入時に扱われるモデルは次の図の ようになり，３年時において既習の関数との関連が見いだしにくくなっている。

１学年 ２学年 ３学年

水槽モデル 水槽モデル 斜面での球の運動モデル

比例する関数 ・あらかじめ水が入っている場合

x

・水が入っていない場合 特別な一次関数

３年間の関数学習のまとめとなる本単元では，既習の関数とのつながりを考えながら，本習 事項である関数 y ＝ ax

を捉えていけるような導入モデルが有効であると考える。そのために は，伴なって変わる数量が複数設定することができ，それらの数量の中には既習と本習の関数 を含むモデルを考えていく必要がある。

②対応表の分析における問題点（※２）

， 。 ，

関数 ＝ y ax

の変化や対応の様子は 既習の一次関数と異なる この相違点を捉えることで 関数 y ＝ ax

を新たな関数として認識し，さらに追究していこうとする意欲にもつながってい くものと考える。

①で述べたように， 関数 y ＝ ax

のデータはあらかじめ示されている場合が多い。そのた め，すでにまとめられた対応表の分析を通して，既習の関数とのつながり（共通点や相違点）

を捉えることになる。

対応表による分析は既習の関数とのつながりを見いだすために大変重要ではある。しかし，

まとめられた数値を追うだけの活動に終始するようでは，追究する関数の新しさを実感をもっ て学ぶまでには至らないと考える。そこで，具体的な事象場面での変化や対応の様子をイメー ジ図などで考察しながら，そこで見えてきたことと，対応表の分析を関連づけながら，既習の 関数とのつながりをより深く追究できるような手だてを講じる必要があると考える。

( )導入における問題点を解消するための手だて 2

上記の問題点を踏まえ，導入時における指導の流れを大まかに次のように考えた。

具体的な事象 ２変量の抽出 対応表による２変量の変化，対応についての分析

多様な関数が 生徒による２変 具体的事象場面での 既習の関数の場合 見いだされる 量の抽出と考察 ２変量の変化，対応 と比較しながらの モデルの提示 対象の決定 についての考察 分析

それぞれの場面での，構想は以下の通りである。

①課題における工夫

本単元の導入に当たっては，次のように水槽を通常においた場合(課題１)と，４５°に傾け た場合(課題２)の２つを示し，それぞれの場合の「水面の高さ」を x ㎝ 「水が入っている部 ， 分を正面から見た図形の面積」を ㎝ とし， と の関係を考察する。 y

x y

〈課題１〉 〈課題２〉

縦が５㎝，横が１５㎝，高さが２０㎝ 直方体の水槽を４５°傾けた状態で の直方体の水槽がある。この水槽に水を 水を入れるとき， と

x y

入れるとき， と

x y

(図)

傾けると

前時で課題１について考察し，本時はその結果をもとにして課題２を追究していく。考察す る対象は２つの課題で同じであるが 「傾ける」という条件変更をするだけで，既習内容には ， ない新たな関数が見いだせることに，生徒の関心や興味を喚起することができると考える。ま た，課題１での考察結果と対比することで，難易度の高い課題２の考察の手がかりを生徒自身 が見つけ，追究の意欲が高まるものと考える。

②イメージ図を使った考察

課題の追究に当たっては， と x y の変化や対応の様子をイメージ図を描きながら考察する活 動を設定する。

具体的には，次のようなイメージ図をもとにしながら，適宜，図を描き加えたり，描き変え たりしながら考察することにする。

〈水槽を通常においた場合〉 〈水槽を傾けておいた場合〉

この場合，それぞれにおいて，表１のような視点等で考察することにより，イメージ図をもと に既習の に比例する関数や一次関数と関数 ＝ x y ax

の特徴を対比することができる。

， ， ，

イメージ図を使った考察で 課題２の数量の変化が 課題１と異なっている点を把握しながら 数量の変化の様子を対応表にまとめ，分析を行うことにする。このことにより，具体的な事象場 面での考察が，対応表をより多面的に分析する上で有効な手がかりとなる。また，対応表の分析 で得られた特徴を具体的な事象場面にもどって考えることで，より理解が深まるものと考える。

この後，見つけた特徴を既習の関数のものと対比しながら整理し，共通点や相違点を明確にし た上で，関係を式で表し，新しい関数の定義へとつなげていく。

(表１)イメージ図による考察の視点と関連する対応表の分析

考察の視点 課題１のイメージ図より 課題２のイメージ図より

＝１のときの 高さが２倍，３倍，…と変化す 高さが２倍，３倍，…と変化す x

面積との比較 るのにともなって，面積は２倍， るにともなって，面積は４倍，９ ３倍，…と変化する （底辺は一 。 倍，…と変化する （高さ，底辺 。 定で，高さのみ変化するため） ともに変化する）

３倍 ４倍 ９倍

２倍

対応表での倍比例による分析

・ の値が２倍 ３倍 …となると， x , , ・ の値が２倍 ３倍 …となると， x , , の値も２倍 ３倍 …となる。 の値は２ 倍 ３ 倍 …となる。

y , , y

,

,

面積の増加量の 高さが１㎝増すごとに，面積は 高さが１㎝増すごとに，面積の

。 様子 一定の値ずつ増加している。 増加量は一定の値ずつ増えている

対応表での階差に注目した分析

。 。

・ の値の第１階差が一定である y ・ の値の第２階差が一定である y

面積の求め方 高さに一定の底辺の長さのをか 正方形に変形すると高さ(正方形 けると面積が求められる。 の一辺)を平方すると面積が求めら

れる。

a a a

対応表での対応・商一定による分析

・ ＝ y ax である。 ・ ＝ y ax

である。

・ ／ の値が常に一定である。 y x ・ ／ の値が常に一定である。 y x

３ 授業の実際

単元導入の１時間目では，水槽を通常においた場合の課題１について，表１のように対応表の分 析から得られた特徴とその根拠をイメージ図をもとにしてまとめた。その後，２時間をかけて水槽 を傾けて置いた場合の課題２について追究した。

( )「対応」の見方による特徴をイメージ図で考察する場面 1

課題２の （水面の高さ）と （水が入っている部分を正面から見た図形の面積）の関係を対応 x y 表で表す際に 「対応」の見方をしたという生徒がほとんどっであった（ 階差」の見方で対応表 ， 「 をうめた生徒が１名であった）ため，まず，全体で「対応」の見方による分析の結果について，そ の根拠をイメージ図で考えることにした。

Ｔ： 前時の『対応』の見方で対応表を分析したとき，どのような特徴がありますか 」 「 。 Ｓ： 「 y の値がいつも の値の２乗となっている 」 x 。

０ １ ２ ３ ４ ５

x

２乗 ２乗 ２乗 ２乗 ２乗 ２乗

y ０ １ ４ ９ 16 25

Ｔ： 「 y の値がいつも の値の２乗となる理由を図にかいて説明してみよう 」 x 。

Ｓ： 正面から見たときの直角二等辺三角形を図のように合わせると，一辺が 「 の正方形がで きる。したがって，面積は

となる 」 。

x

Ｔ： 正方形をつくるというアイディアを生かしながらも， 「 1/2 をしなくても説明できる図はかけ ないだろうか 」 。

Ｓ： 図のように変形すると一辺が 「 x と x なる正方形になる。したがって，

面積は x

となる 」 。

(生徒のかいた図) Ｔ： 「 x と y の関係を式で表すとどうなるだろうか 」 。

Ｓ： 「 y ＝ x

となる 」 。

( )「階差」の見方による特徴をイメージ図で考察する場面 2

「階差」の見方をもとに対応表をうめていった生徒が１名いた。その生徒の考察をもとに全員で の追究を進めることにした。

Ｔ： 階差の見方でどのように対応表をうめましたか 」 「 。 Ｓ： 階差を１，３，５，…，と２ずつ増やして考えました 」 「 。

０ １ ２ ３ ４ ５

x

16 25

y ０ １ ４ ９

１ ３ ５ ７ ９

２ ２ ２ ２

Ｔ： 階差が常に２ずつ増えていく理由を図にかいて説明してみよう 」 「 。 Ｓ 1 ： １つ前の増加部分の図形に常に面積２㎝ の平行四辺形 「

が加わった台形が増加した部分となっている 」 。 １つ前の増加分 面積２ 太線の平行四辺形

増加分

Ｓ 2 ： 増加部分を正方形と直角二等辺三角形に分割してみると 「 １つ前の増加分に面積１㎝ の正方形２つ分が加わった

図形が増加した部分となっていることがわかる 」 。

太線の正方形が 増加分

Ｓ 3 ： 増加した図形の端の直角二等辺三角形を移動させて考え 「 ると，１つ前の増加分に面積２㎝ の長方形が加わって

増加した部分となっている 」 。

太線の長方形が増加分 (上の写真は生徒のかいた図) 2 x

2 x

2 x × 2 x × １

２ ＝x

Ｔ： いずれの説明においても，面積２の図形が加わって，増加した部分の図形が新たにできてい 「 ることがわかりますね 」 。

授業のまとめでは，階差をそれぞれ「第１階差 「第２階差」と名付け，一次関数の特徴を「第 」 １階差が一定である ，新たな関数の特徴を「第２階差が一定である」とした。 」

( )「倍比例」の見方による特徴をイメージ図で考察する場面 3

「対応 「階差」の見方についての追究後 「倍比例」の見方による考察を行った。 」 ， Ｔ： 倍比例の見方で対応表を分析したとき，どのような特徴がありますか 」 「 。 Ｓ： 「 x が２倍，３倍…，となると， は４倍，９倍…，となっている 」 y 。

０ １ ２ ３ ４ ５

x

16 25

y ０ １ ４ ９

×４ ×９ ×１６

Ｔ： 「 y が４倍，９倍…，となる理由を説明してみよう 」 。

Ｓ 1 ： (対応の見方のように)直角三角形を正方形に変形すると，面積は一辺の長さ(高さ)の２乗 「 になるので，一辺の長さが２倍，３倍，…，になると，面積は２ 倍，３ 倍…，となる 」

。 Ｓ 2 ： 三角形の底辺と高さがそれぞれ２倍，３倍，…，とな 「

， ， ，

るので それらをかけて求める面積は２ 倍 ３ 倍…

となる 」 。

(写真は生徒のかいた図)

まとめでは，生徒の挙げた根拠から「 は４倍，９倍…」を「 は２ 倍，３ 倍…」とする方が y y

関係をより適切に表現していることを確認した。

４ 実践の考察とまとめ ( )課題に関わっての考察 1

①課題１(水槽を通常に置いた場合)と課題２(水槽を傾けた場合)を扱ったこと

「水槽を傾けただけなのに，今まで学習したことがない と の関係が見えてくる 」 x y 。

このように，身近な事象の変化の中から意外性が見えてくるような場面設定をしたことで，生 徒に既習の関数との違いを大まかにとらえさせるとともに，直面した新たな関数を追究すること の必要性を感じさせることができた。

また，課題１で既習事項を振り返る際に得られた対応表における「倍比例 「階差 「対応」 」 」 の見方が，課題２の追究にも生かされ，生徒は見通しをもって新出事項を含む難易度の高い課題 ２の追究を進めることができた。特に，２学年の学習で獲得した「階差」による分析が自然な形 で生徒から出てきて，対応表の分析においてその有効性を実感できたことは，学習内容のつなが りという点で大きな成果であったと考える。

さらに，同じ見方で２つの関数を追究できたことで，新しい関数と既習の関数の分析結果を 対比させながら類似点や相違点を明確にすることができた。このことにより，既習の関数の特徴 をもとにしながら，生徒自らが新たな関数の特徴をまとめることができた。

②関数 ＝ y ax

の導入において水槽モデルを扱ったこと

ボールや球を斜面で転がす実験モデル等では 「データがすでに与えられている 「対応表の ， 」

分析結果を事象に戻して考察することができない」という点が問題であった。本実践で水槽モデ

ルを扱うことによって，次のような一連の活動を組むことができ，対応表の分析結果を事象と結 びつけながらより深く追究することができた。

事象からデータを求め，対 ２変数の変化や対応の特 分析した結果の根拠を事象を 応表にまとめる。 徴を対応表から分析する 。 再度考察し，明らかにする。

本実践では，変数を「高さ」と「正面から見た図形の面積」として追究したが，この他の変数 の設定も可能である。これにより，関数 y ＝ ax

だけでなく，多様な関数を見いだし，比較しな がら追究することもできる。

また，正面から見た図形の面積を求める際に，多様な見方で追究する生徒の姿が見られた。図 形を多面的に考察し，必要な情報やデータを自ら求めていくという点でも有効なモデルであった と考える。

( )イメージ図による活動に関わっての考察 2

本実践では，対応表の分析で見つけた変化や対応の特徴について，その根拠をイメージ図を使い 生徒自らが追究した。その過程では，図を目的に応じて加工しながら，変化するものと一定のもの を明確にし，視覚的に根拠を明らかにし，説明しようとする生徒の様子がうかがえた。自分なりの 図をかいて視覚的に根拠を確認していき，説明する活動を取り入れたことは，対応表の分析で得ら れた事柄に対する関与度を高めるとともに，理解をより深めることにつながったと考える。

反面，イメージ図をかき，説明する活動に不慣れで，始めは活動の滞る生徒も多く，教師主導で 追究活動を進めていく場面も多かった。イメージ図を用いた活動に関わっての適切な支援のあり方 について検討するとともに，各学年の関数学習の導入において，水槽モデルを使い，イメージ図を 使った活動を継続的に行うことの必要性があると考える。

( )まとめ 3

本実践の後，生徒は「関数 y ＝ ax

の変化の特徴はどのような場合でも成り立つのか」という問 題意識のもと，文字式による証明を試みた。そして，既習の関数の特徴についても改めて文字式で 証明することにした。学習内容のつながりを意識させることで，上述のように「既習事項での学習 もとに新出事項について追究する」だけでなく 「新出事項の学習をきっかけに，既習事項の学習 ， を改めて振り返り，理解を一層深める」という双方向の活動が期待できるものと考える。

本実践を通して，中学校数学の学習内容のつながりを他校種間との関連も踏まえながら，適切か どうかを見直すことの重要性を改めて感じた。そして，学習内容のつながりを生徒に意識させるた めには，それを阻害している要因を明らかにした上で，解消に向けた具体的な手だてを講じていく 必要があると考える。

〈参考文献〉

『学びの数学と数学の学び −参加･協働と「生きる力」の実現を求めて− 』 金子忠雄 監修 明治図書