— OP アンプ (2) — 電子回路設計

電子回路設計

— OP アンプ (2) —

小林春夫・桑名杏奈

Email: [email protected] Tel: 0277-30-1788

オフィスアワー : AM9:00 ～ AM10:00( 平日 )

作成： 群馬大学 電気電子 教員

授業の内容

•

1

•

2

•

3

•

Bipolarトランジスタの基礎(1)

•

5

Bipolar

(2)

•

6

MOS

(1)

•

MOSトランジスタの基礎(2)

•

8

•

9

MOS

(3)

•

10

OP

(1) OP

(2)

•

OPアンプ(3) OP

(4)

・ 第

1

・ 第13回 高周波回路

オペアンプの使用法 (6) ２入力電圧の加算

Vout =

A ^-

+

Rin

Ro VinA

VinB Rin

A→∞

I

I

Ro R ⁱⁿ

Vout = - (V ^inA + V ^inB )

オペアンプの使用法 (6) ２入力電圧の加算

A ^-

+

Rin

Ro VinA

VinB Rin

A→∞

) I (I

R V

R I V

R I V

B A

o out

in inB B

in inA A











I

I

Vout =

オペアンプの使用法（ 7 ）２入力電圧の減算

A ^-

+

R1

R2 VinA

R2 VinB R1

A→∞

I

I

v

v

R ² R ¹

Vout = － (V ^inA - V ^inB )

オペアンプの使用法（ 7 ）２入力電圧の減算

A ^-

+

R1

R2 VinA

R2 VinB R1

A→∞

y x

2 x 1

x inB

B

2 out y

1 y inA

A

V V

R V R

V I V

R V V

R

V I V



 



 

 

I

I

v

v

Vout =

オペアンプの使用法 (8) 複数入力電圧の積和演算

A ^-

+

RA

Ro VinA

RB VinB

RC VinC

RD VinD

A→∞

V ^inA R ^A

Vout = - Ro ( + + + ) V ^inB

R ^B V ^inD

R ^D V ^inC

R ^C

オペアンプの使用法 (8) 複数入力電圧の積和演算

A ^-

+

RA

Ro VinA

RB VinB

RC VinC

RD VinD

A→∞

I

オペアンプの使用法 (9) 積分回路

A

+

R

C Vin(t)

Vim Vip

A→∞



Vout

Vout (t) =

I

オペアンプの使用法 (9) 積分回路

A

+

R

C Vin(t)

Vim Vip

A→∞





Vin t d RC 1

( ) 

RC Vin Vin j

R C Vout j



 1

1  





オペアンプの使用法 (10) 微分回路

A

+

R

C Vin(t)

Vim Vip

I

A→∞



Vout

d dt

Vout (t) = - RC Vin ^(t)

オペアンプの使用法 (10) 微分回路

A

+

R

C Vin(t)

Vim Vip

I

A→∞

RCVin j

C Vin j

Vout R 

 ^{ }



 1

フィルタ（ Filter) ：

必要とする周波数帯域の信号のみを通過させ、

それ以外の帯域の信号を減衰させる回路である。

通過域 (Pass Band): 通過させる周波数範囲

減衰域 (Attenuation Band): 通過させない周波数範囲 .

従来、 LC フィルタは広く実用されたが

近年、集積化のため、 Tr,R,C など IC か可能な素子 と AMP を用いたフィルタが実用されてきている。

このようなフィルタはアクティブ・フィルタという。

OP-Amp によるアクティブ・フィルタ

ゲイン

周波数

通過域 減衰域

通過域に範囲によって、

フィルタは４種類に分類される：

1. 低域通過フィルタ (Lowpass Filter) 2. 高域通過フィルタ (Highpass Filter) 3. 帯域通過フィルタ (Bandpass Filter)

4. 帯域除去フィルタ (Band Elimination Filter)

フィルタの種類

ゲイ ン

ゲイ ン

ゲ イン

ゲイ ン

1 2 3 4

フィルタの特性は、伝達関数を用いて表される。

) n k

) ( j ( a )

j ( b )

j ( b b

) j ( a )

j ( a )

j ( a a

) j ( D

) j ( ) N

j (

G

k 2

2 1

0

n n

2 2

1

0

























 



 

 



N(jω) は分子多項式、

D(jω) は分母の多項式である。

N(jω)=0 の解は伝達関数のゼロ点で、

D(jω)=0 の解は伝達関数の極である。

N(jω) と D(jω) の次数により、フィルタの種類が決められる。

フィルタの伝達関数

Frequency

|G(jω)|

0 fc

通過域 減衰域

実際の 理想の LPF

LPF

近似の LPF

伝達特性

直流からある周波数までは ゲインは一定の値である。

周波数が

fc

fc

3dB

遮断周波数（カットオフ周波数

)

0 2 2

2 0 0

0 0 0

j )

j ( H )

j ( G

H j )

j ( G







 





 









 



1次LPF伝達関数

低域通過フィルタ (LPF)

復習

^-

+

Vin

Z1

Z2

Vin 

Vout

1 Z

2 Z Vin

Vout  

復習

^-

+

Vin

Z1

Z2

Vin  Vout

- +

Vin Vout

R

C R

1 次 LPF 回路

Vin  Vout

- +

Vin Vout

R

C R

C R j 1

1 R

R C

R j

1

R R

1

) C j

1 ( R

) C j 1 ( R R

1 R

) C j

1 //(

R

2 1

2 2

2 1

2 2 1

1 2



 



 

 











 



 



1 次 LPF 回路

Vin

R Vout C

CR j

1

1 Vin

Vout



 

1 次 LPF 回路（比較）

- +

Vin Vout

R

C R

Vin  Vout

C R j

R R

2 1

2

1

1



 



log(ω) log(ω

)

Log(ω) -3 dB

H₀ [dB]

ゲイン

20 log A[dB]

位相 θ

-π/4 0

2 0

0

0 0 0

, 1 1 2

CR R

H R

H j Vin

Vout







 









一次 LPF のボード線図

-20dB/Dec

log(ω) log(ω

)

Log(ω) -3 dB

H₀ [dB]

ゲイン

20 log A[dB]

位相 θ

-π/4 0

2 0

0

0 0 0

, 1 1 2

CR R

H R

H j Vin

Vout







 









一次 LPF のボード線図

-20dB/Dec

 

 









 

 

 



 







exp exp 4 2

1

0

0 0 0 0

0 0

0 0























j H

H Vin j

Vout

H j j H Vin

Vout Vin H Vout

のとき

③

のとき

②

のとき

①

まとめ

 OPアンプによる演算回路

 OPアンプによるアクティブフィルタ

※講義資料：

https://kobaweb.ei.st.gunma-u.ac.jp/lecture/lecture.html

周波数応答法

● 安定な線形時不変システムの解析・設計に 強力な手法。

● 制御だけでなく電子回路、通信分野等 他分野でも広く用いられている。

● 周波数領域からのアプローチ。

● 数学的には Fourier 変換と密接な関係。

● システム表現として、周波数伝達関数、

ボーデ線図、ベクトル線図と密接な関係。

付録

周波数応答法

安定な線形・時不変システム

余弦波を入力し十分時間が経つと、

出力 y(t) は余弦波となる。

入力 システム x(t)=k ・ cos (ωt)

出力

y(t)= A ・ k ・ cos (ωt+θ)

周波数応答法

出力周波数 ω ： 入力と同じ

出力振幅 A ・ k ： 一般に入力と異なる（ A =1), また、 ω の関数 A(ω ）

出力位相 θ ： 一般に入力と異なる（ θ=0) 入力： x(t)=k ・ cos (ωt)

出力： y(t)= A ・ k ・ cos (ωt+θ)

出力振幅 A ・ k

入力振幅 k = ゲイン A

システムの周波数応答表現

ある安定・線形・時不変システムの特性を

そのシステムの 全ての ω (0<ω<∞) に対する A(ω ）、 θ(ω) で表す。 周波数応答表現

入力 システム 出力

全ての ω (0<ω<∞) に対する A(ω ） ,θ(ω) ^のデータ

（注）余弦波、正弦波は電気的・機械的に発生しやすいので便利。

ネットワーク・アナライザによる

電子回路の周波数伝達関数測定

周波数伝達関数

周波数伝達関数とガウス平面 (1)

F. Gauss

周波数伝達関数とガウス平面 (2)

周波数伝達関数 直交座標と極座標

オイラーの公式

レオンハルト・オイラー

Leonhard Euler 1707-1783

スイス生まれの数学者・物理学者、天文学者。

ロシアのサンクト・ペテルブルクや ドイツのベルリンで活躍。

18 世紀最高の数学者。

ガリレオ・ガリレイ、アイザック・ニュートン、

アルベルト・アインシュタインとも比較される。

物理学者ファインマン： オイラーの公式を

「宝石」かつ「数学においてもっとも特筆すべき公式」と評価。

オイラーを読め、オイラーを読め、オイラーは我々すべての師だ !

周波数伝達関数の図表現

ボーデ線図 (Bode chart)

H. Bode

ラプラス変換の使用

問１ . 次のシステムの伝達関数を求めよ。

問 2. インパルス応答を求めよ。

問３ . ステップ応答を求めよ。

入力 x(t) y(t) R

+ +

- -

C 出力

初期値 y(0) = 0

宿題

Pierre-Simon Laplace 1749-1827

伝達関数の求め方

入力 x(t) + R y(t) + - -

C 出力

I(t)

I(t) = x(t) – y(t) R

Q(t) = C y(t)

Q(t) = I(p) dp t

y(t) + CR y(t) = x(t) d dt

Y(s)+ CR s Y(s) = X(s)

∴ Ｇ (s) = = 1 1+s CR Y(s)

X(s)

インパルス応答の求め方

Ｇ (s) = 1 1+s RC x(t) = δ(t) のとき X(s) = 1

∴ Y(s) = G(s) X(s)

=

=

1 1+s RC

(1/RC) (1/RC) +s

∴ y(t) = exp (- t/(RC)) 1 RC

(t>0) 0 (t<0)

y(t)

0 t

1

RC

ステップ応答の求め方

Ｇ (s) = 1 1+s RC

x(t) = 0 (t<0) のとき 1 (t>0)

X(s) = 1s

∴ Y(s) = G(s) X(s)

=

=

1 1+s RC

1

(1/RC) +s 1

s 1

s

∴ y(t) = 1- exp (- t/(RC)) (t>0) 0 (t<0)

y(t) 1

0 t