太郎 次郎 １
太郎と次郎が， 間 の往復を同時に走り始めた。太郎は時速 で 地点か ら出発し， 地点で休けいして折り返し，次郎は 地点から時速 で出発し， 地 点で休けいせずに折り返した。 人が初めて出会った地点 と，再び出会った地点 は
離れていた。
地点は， 地点から何 離れているか。
太郎が休けいしたのは何分か。
地点は 地点から 離れているとすると， 地点は 地点から 離れていることになる。
よって
両辺に をかけると よって
したがって， 地点は 地点から 離れている。
太郎が休けいしたのは 分であるとする。
よって
人が再び出会った地点 までの時間について
両辺に をかけると
よって 分
したがって，太郎が休けいしたのは 分である。
全長が のコースにおいて， 君と 君は自転車で， 君はバイクで， 君，
２
君， 君の順番にスタートした。 君はスタートしてから 分後に 地点を通過 した。 君は， 地点で 君を追い越し， 君より 分早くゴールした。また，
君は， 地点を 君より 分遅れて通過し， 君より 分早くゴールした。次 の問いに答えよ。
君の速さは時速何 か。
君は 君の何分後にスタートしたか。
君が 君に追いついたのは何 地点か。
君の速さは， より 時速
君が の地点から 地点のゴールまで進むのにかかる時間は 時間
同じ距離を 君は 時間 で進むから， 君の速さは，
より 時速
君がスタートしてからゴールするまでにかかる時間は
分
君が 地点から 地点のゴールまで進むのにかかる時間は
分
君は 君より 地点を 分遅れて通過し， 分 早くゴールするから，
君が 地点から 地点のゴールまで進むのにかかる時間は
分
よって， 君の速さは より 分速
君がスタートしてからゴールするまでにかかる時間は 分 であるから，
より， 君は 君の 分後にスタートした。
君がスタートしてからゴールするまでにかかる時間は
分
より， 君は 君の 分後にスタートした。
よって， 君は 君の 分後にスタートした。
より， 君の速さは 分速 君が 君に追いついたのが 地点とすると
よって 地点
ある幼稚園で園児を長いすに座らせたところ， 脚に 人ずつ座ると 人が座れなかった。
３
また， 脚に 人ずつ座ると 脚だけ 人となり，誰も座らない長いすが 脚あったとい う。次の問いに答えよ。
園児の人数を求めよ。
長いすは何脚あったか求めよ。
園児の人数を 人とする。
人が 人ずつ座るから，長いすは 脚 …… ①
また， 人が 人ずつ座って 脚あまるから，長いすは 脚
よって よって
したがって，園児の人数は 人 ① から 脚
ひも 直径 の同一の硬貨 枚を，右図のようにすきまなく
並べ，これらの周囲を一回りひもで結んだ。このひもの長 さを求めよ。ただし，ひもの太さは無視してよい。
４
ひもの ヶ所の直線部分の長さの合計は
ひもの ヶ所の曲線部分の長さの合計は，
直径 の円の円周に等しく よって，求めるひもの長さは
図のように， 辺 の正方形 の辺 ， の 中点を ， とする。 ， ， を折り目とし， 点
， ， を重ねて三角錐を組み立てる。次の問いに答え よ。
この三角錐の体積を求めよ。
点 ， ， が重なってできた頂点から面 に 引いた垂線の長さを求めよ。
５
△
△ △
△
よって △
求める垂線の長さを とすると，三角錐の体積について △
よって
したがって，求める垂線の長さは
， ， ， ，
， である台形 がある。この台形を，
直線 を軸として 回転させてできる立体を考える。次の問 いに答えよ。ただし，円周率は とする。
立体の体積を求めよ。
立体の表面積を求めよ。
６
から直線 に引いた垂線と直線 との交点を とすると
できる立体は，四角形 を 回転させてできる立体から △ を 回転させて できる立体を除いたものである。
よって，求める体積は
△ を 回転させてできる円錐の側面の中心角を とすると，
より
よって，求める表面積は
次の数の列はある規則に従って並んでいる。この数の列について次の問いに答えよ。
７
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，……
最初から数えて 番目の整数を答えよ。
が 回目に出てくるのは，最初から数えて何番目か。
最初から数えて 番目までの整数の和を求めよ。
数の列を ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…… のように つず つの組に分けると， 番目は
， ， ， である。
より， 番目の整数は， 組目の 番目の整数であるから
回目に が出てくる組は ， ， ， の 組目 回目に が出てくる組は ， ， ， の 組目 回目に が出てくる組は ， ， ， の 組目 よって， 組目の 番目であるから
番目
より， 番目の整数は， 組目の 番目の整数で であ る。
組目までの各組の和は
， ， ， ，……，
各組の和は ずつ増えるから， 組目までの整数の和は
……
……
……
よって， 番目までの整数の和は
の容器には ％ の食塩水が ， の容器には ％ の食塩水が 入っている。
８
これら ， の食塩水について次のような操作をする。
① まず から食塩水 を取り出し に移し，よくかきまぜる。
② 次に から食塩水 を取り出し に移し，よくかきまぜる。
この ①，② の操作を合わせて 回の操作とする。このとき，次の問いに答えよ。
回操作後の ， それぞれに入っている食塩水の濃度を ％， ％ とする。この とき， ， を ， を用いて表せ。
この操作を 回繰り返した後の に入っている食塩水の濃度 ％ を ， を用いて 表せ。
食塩水の量の和，食塩の量の和は変わらないから
よって
はじめ， ， の容器の食塩の量は，それぞれ ， から へ 移すと
の食塩の量は 次に から へ 移すと の食塩の量は
の食塩の量は
， とも食塩水の量は であるから
より
回操作後の ， の濃度を，それぞれ ％， ％ とすると と同様に考えると
回操作後の ， の濃度を，それぞれ ％， ％とすると …… ①
…… ② ① ② より， であるから
よって，求める濃度は ％
連立方程式 の解の と の値を入れかえると，連立方程式 ９
の解になるという。定数 ， の値を求めよ。
連立方程式 の と を入れかえると
この連立方程式の解が連立方程式 の解になるから， つの連立方程式 …… ①
…… ② …… ③
…… ④ は同じ解をもつ。
②
③
この解は，連立方程式 …… ②
…… ③ の解である。
よって これを ② に代入すると よって ，
これは，①，④ の解でもあるから，代入して
よって …… ⑤ …… ⑥
⑤ ⑥ より
これを ⑥ に代入すると したがって ，
， ， の 人が 地点から 離れた 地点に行くのに， は の運転するバ 10
イクに同乗して， は歩いて を同時に出発した。 は途中の 地点でバイクを降り，
そこからは歩いて 地点に向かい， はバイクで直ちに引き返し， 地点で を乗せて 地点に向かい， 人は同時に 地点に到着した。 間の距離を ， 間の距離 を として，次の問いに答えよ。ただし，バイクの速さは毎時 ， ， の歩く 速さは毎時 とする。
が に到着するまでにかかった時間を を用いて表せ。
が に到着するまでにかかった時間を を用いて表せ。
と の値を求めよ。
時間
時間
が に到着するまでにかかった時間は
時間
と は同時に 地点に到着したから
よって …… ① と は同時に 地点に到着したから
よって …… ② ① より
② を代入して ゆえに を ② に代入して ゆえに
したがって ，
座標平面上に 点 ， ， ， ， ， があり，線分 と線分 が点 で交 11
わっている。△ と △ の面積が等しいとき， の値を求めよ。
点 の座標を求める。
直線 は，傾きが で，切片が で あるから，その式は
また，直線 は，傾きが で，原点を通るから，
その式は
よって，点 の座標は，連立方程式
を解いて， ， より ， となる。
したがって △
一方，直線 の傾きが であることから
また，直線 の傾きが であることから
直線 と直線 は直角に交わるから， となる。
したがって △
△ と △ の面積が等しいとき
これを解いて
，
， 右の図のように， 点 ， ， ， を通る直線
と，直線 があり，この 直線の交点を とする。
三角形 と三角形 の面積が等しいとき，直 線 の の値を求めよ。
12
△ と △ の面積が等しいとき，点 は線分 の中点である。
の 座標は ， の 座標は だから の 座標は
の 座標は ， の 座標は だから の 座標は
よって，直線 は ， を通るから
したがって
右の図のように 点 ， ， の座標を ， ，
， ， ， とする。 点 ， ， を頂点とす る △ について，点 を通り，△ の面積を
等分する直線の傾きを求めよ。
13
点 を通る直線が，辺 の中点 を通るとき，
△ の面積を 等分する。
の 座標は ， の 座標は だから，
の 座標は
の 座標は ， の 座標は だから，
の 座標は したがって ， よって，直線 の傾きは
同じ印の角は等しい 右の図で， ， の大きさをそれぞれ求めよ。
14
右の図のように，点 ， ， ， ， ， を定める。
また，図の の角度を ， の角度を とすると，
△ について …… ①
△ について …… ②
△ について …… ③
① ② より
③ を代入して よって また，△ について
したがって ，
次関数 で表される直線 と 点
， ， ， があり，直線 と直線 の交点を とする。直線 上の点 の 座標 を ，点 の座標を ， として，次の問い に答えよ。
点 の座標を求めよ。
点 を線分 上にとり，長方形 をつくる。その長方形の面積が となる 15
の値を求めよ。
線分 を 辺とする正方形をつくる。直線 によりその正方形の面積が 等分 されるときの の値を求めよ。
直線 の傾きは
また，直線 の切片は であるから，直線 の式は
連立方程式 を解いて ，
よって，点 の座標は ，
の 座標は であるから， の 座標 は となる。
よって， の 座標は となる。
の 座標を とすると これを について解くと
以上により，線分 ， の長さを で 表すと
， よって
これを整理すると
， のとき
のとき
したがって， のとき， のとき，ともに は線分 上にある。
以上により，求める の値は ，
直線 が線分 を 辺とする正方形の対角線の交点を通るような， の値を 求めればよい。
ここで，正方形が線分 のどちら側にあるかで，場合分けを行う。
正方形が線分 の右側にあるとき
の座標は ， であるから，線分 の長さは となる。
よって，正方形の右下の点の座標は ， すなわち ，
正方形の対角線の交点の座標は ， すなわち ， 直線 がこの点を通ればよいから
これを解いて
正方形が線分 の左側にあるとき
の座標は ， であるから，線分 の長さは となる。
よって，正方形の左下の点の座標は ， すなわち ，
正方形の対角線の交点の座標は ， すなわち ， 直線 がこの点を通ればよいから
これを解いて
以上により，求める の値は ，
右の図のような三角形の紙があり， つの頂点をそれぞれ
， ， とする。この紙を点 を通る直線を折り目とし て，頂点 が辺 上にくるように折り曲げる。
折り目とした直線と辺 ，辺 との交点をそれぞれ
， とするとき，交点 ， を定規とコンパスを用いて 作図せよ。
16
なお，作図に用いた線は消さずに残しておけ。
② ①
① 点 を中心として半径 の円をかき，辺 との 交点を とする。
② 点 ， をそれぞれ中心として適当な半径の円をか き，その つの交点を通る直線を引く。
② で引いた直線と辺 ，辺 との交点をそれぞれ
， とする。
17
を工夫をして計算せよ。
直線 上にある， 座標， 座標がともに正の整数である点の座標をすべ 18
て求めよ。
のとき のとき のとき のとき のとき のとき のとき のとき のとき
のとき， となるから，問題に合わない。
よって，求める点の座標は ， ， ， ， ，
直線 ， ， によって作られる三角形の つの頂点の座 19
標が ， ， ， であるとき，この三角形のもう つの頂点の座標を求めよ。
直線をそれぞれ
…… ① …… ② …… ③ とする。
点 ， ， ， は，ともに直線 ① 上にある。
そこで，次のように場合分けを行う。
点 ， が直線 ② 上，点 ， が直線 ③ 上にある このとき，② より これを解いて また，③ より これを解いて の値が一致しないため，適さない。
点 ， が直線 ② 上，点 ， が直線 ③ 上にある
このとき，② より これを解いて また，③ より これを解いて の値が一致するため，これは適する。
を ②，③ に代入して
これを解いて ，
したがって，三角形のもう つの頂点の座標は ， 図のように， 直線 ， があり， 点
， ， は直線と座標軸との交点である。点 は線分 上を から まで，点 は線分 上を から まで動く。 点 ， は同時に出発してから，それぞれ 一定の速さで動き， 秒後に同時に ， に到着する。
出発してから 秒後の点 の座標は
出発してから 秒後に，線分 の中点が 軸上に くる。このとき，
20
出発してから 秒後に となる。このとき，
点 ， ， の座標はそれぞれ ， ， ， ， ，
点 は線分 上を から まで 秒で動き，点 は線分 上を から まで 秒 で動くから，
点 の 座標は毎秒 ずつ増加し， 座標は毎秒 ずつ増加する。
点 の 座標は毎秒 ずつ増加し， 座標は毎秒 ずつ減少する。
秒後の点 の 座標は 座標は よって，点 の座標は ，
秒後の点 の 座標は ，点 の 座標は 線分 の中点が 軸上にくるとき
ゆえに
秒後の点 の 座標は ， 座標は 点 の 座標は ， 座標は
のとき， の傾きは であるから
よって
