0となる点はない事を証 明して下さい

問題1 G(x, y) =x²+ 4xy−y²+ 11, F(x, y) = 3x−4yとして以下の問いに答え て下さい。

（１）関係式G(x, y) = 0の表す曲線上にはGy(x, y) = 0となる点はない事を証 明して下さい。

（２）（１）の結果と陰関数定理によれば、曲線G(x, y) = 0上の各点の近くで 関係式G(x, y) = 0によってyをxの微分可能な関数として表すことが出来ます。

これをy(x)と書くとき、y⁰(x)をx, yを使って表して下さい。

（３）条件G(x, y) = 0のもとでの関数F(x, y)の極値を全て求めて下さい。

配点：（１）１０点、（２）１０点、（３）５点 シラバス達成度目標：ア、ウ

【解答例】 （１）

Gy = 4x−2y なので、Gy= 0である点ではy= 2xが成立しますが、

G(x,2x) =x²+ 8x²−4x²+ 11 = 5x²+ 11>0 ですから、曲線G(x, y) = 0上にはそのような点はありません。

（２）各点の近くで

x²+ 4xy(x)−y(x)²+ 11 = 0 が成り立っていますから、両辺をxで微分すれば

2x+ 4y(x) + 4xy⁰(x)−2y(x)y⁰(x) = 0

2x+ 4y(x) = (2y(x)−4x)y⁰(x) であり、曲線上で2y−4x6= 0でしたから

x+ 2y

y−2x=y⁰(x) が判ります。

（３）各点の近くでH(x) =F(x, y(x)) = 3x−4y(x)とすると、

H⁰(x) = 3−4y⁰(x)

= 3−4x+ 2y(x) y(x)−2x

=3(y(x)−2x)−4(x+ 2y(x)) y(x)−2x

=−10x−5y(x) y(x)−2x

=10x+ 5y(x) 2x−y(x)

であり、まずH⁰(x) = 0となる点を求めるとy=−2xなので 0 =G(x,−2x)

=x²−8x²−4x²+ 11 x²= 1

x=±1

が判ります。従って極値の候補となる点は２点(±1,∓2)（複号同順）です。

次にこの２点で２階微分を調べると、

H⁰⁰(x) =

µ10x+ 5y(x) 2x−y(x)

∂0

=(10 + 5y⁰(x))(2x−y(x))−(10x+ 5y(x))(2−y⁰(x)) (2x−y(x))²

ですが、10x+5y= 0であるような点でしか調べないので分子の後半は(10x+5y(x))A(x) と省略すれば

=10 + 5y⁰(x)

2x−y(x) + (10x+ 5y(x))A(x)

=10 + 5^x+2y(x)_y(x)−2x

2x−y(x) + (10x+ 5y(x))A(x) です。

まず点(1,−2)では

H⁰⁰(1) = 10 + 5₋¹₂⁻₋⁴₂ 2 + 2 >0 なのでこの点では極小値である事が判ります。値は

F(1,−2) = 3 + 8 = 11 です。

一方点(−1,2)では、

H⁰⁰(−1) = 10 + 5⁻₂₊₂¹⁻⁴

−2−2 <0 ですからこちらは極大値であり、

F(−1,2) =−3−8 =−11 です。

以上から点(1,−2)での極小値11と点(−1,2)での極大値−11が極値の全てです。

問題2 f(x, y) = (x+y)³−12xyの極値を全て求めて下さい。

配点：１０点 シラバス達成度目標：イ

【解答例】 まず偏微分計算をしておきます。

fx= 3(x+y)²−12y, fy= 3(x+y)²−12x

fxx= 6(x+y), fxy=fyx= 6(x+y)−12, fyy = 6(x+y) 次に極値の候補点としてfx=fy= 0となる点を求めます。

( (x+y)²−4y= 0 (1)

(x+y)²−4x= 0 (2)

２式から明らかにx=yが判りますから、（１）に戻して (2x)²−4x= 0

4x(x−1) = 0

からx=y= 0,1が得られます。従って極値の候補点は２点(0,0),(1,1)です。

次にこれらの点でf(x, y)のヘシアン：

H(x, y) = ØØ ØØ Ø

fxx fxy

fyx fyy

ØØ ØØ Ø=

ØØ ØØ Ø

6(x+y) 6(x+y)−12 6(x+y)−12 6(x+y)

ØØ ØØ Ø を計算して判定します。

まず点(0,0)では、

f(0,0) = ØØ ØØ Ø

0 −12

−12 0 ØØ ØØ Ø<0 ですからこの点では極値ではありません。

次に(1,1)では

f(1,1) = ØØ ØØ Ø

12 0 0 12

ØØ ØØ Ø>0

ですからこの点では極値であり、更にf(1,1)>0によればそれは極小値である事が判 ります。

以上から極値は点(1,1)での極小値f(1,1) =−4のみです。

問題 3 次の累次積分を計算して下さい。

（１）

Z 1 0

ΩZ y 0

(3−x−y)dx æ

dy （２）

Z 1 0

ΩZ 1 x

sin(πy²)dy æ

dx

配点：（１）２０点、（２）５点 シラバス達成度目標：エ

【解答例】 （１）

Z 1 0

ΩZ y 0

(3−x−y)dx æ

dy= Z 1

0

∑

(3−y)x−1 2x²

∏y 0

dy

= Z 1

0

Ω

(3−y)y−1 2y²

æ dy

=

∑3 2y²−1

2y³

∏1

0

= 1

（２）このままの積分順序では積分出来ないので順序を交換します。

積分領域は下図の三角形であり、

これを横切りにすると連立不等式：





0≤x≤y 0≤y≤1 で表されるので、問題の累次積分は、

Z 1 0

ΩZ 1 x

sin(πy²)dy æ

dx= Z 1

0

ΩZ y 0

sin(πy²)dx æ

dy

= Z 1

0

ysin(πy²)dy

=

∑

− 1

2πcos(πy²)

∏1

0

=− 1

2π(−1−1)

= 1 π

問題 4 次の２重積分を計算して下さい。

（１）

ZZ

D

x²y dxdy, D:





−√

x≤y≤x¹

1≤x≤2

（２）

ZZ

Q

y dxdy, Q:





0≤x+y≤1 0≤x−y≤1

配点：（１）２０点、（２）５点 シラバス達成度目標：エ

【解答例】 （１）1≤x≤2の範囲内で−√x≤_x¹が成り立っているので ZZ

D

x²y dxdy= Z 2

1

Z ¹_x

−√x

x²y dydx

= Z 2

1

∑1 2x²y²

∏¹_x

−√x

dx

= Z 2

1

1

2(1−x³)dx

= 1 2

∑ x−1

4x⁴

∏2 1

= 1 2

µ

2−4−1 + 1 4

∂

=−11 8 となります。

（２）積分領域Qを図示すると下図の通りであり、

図の通り２つの領域Q1, Q2に分けて、これらをたて切りにするとそれぞれ連立不等式：

Q1:





−x≤y≤x 0≤x≤ ¹2

Q2:





x−1≤y≤ −x+ 1

1

2 ≤x≤1 で表されるので、題意の累次積分は

ZZ

Q

y dxdy= ZZ

Q1

y dxdy+ ZZ

Q2

y dxdy

= Z ¹₂

0

Z x

−x

y dydx+ Z 1

1 2

Z ₋x+1 x−1

y dydx

ですが、いずれもyに関する積分が奇関数の原点に関して左右対象な区間での積分に なっているのでいずれも0になり、結局求める積分値は0です。

問題 5 xy-平面の第１象限内の有界領域Dは不等式：





f(x)≤y≤g(x) a≤x≤b

で表されているとします（ただし、a≤x≤bの範囲内で0≤f(x)≤g(x)は成り 立っているものとします）。領域Dをx-軸を中心として回転して得られる立体の 体積V が

V = ZZ

D

2πy dxdy

で与えられる事を証明して下さい（x-軸に垂直な平面群でスライスして考えると 良い）。

配点：１０点 シラバス達成度目標：カ

【解答例】 この立体をx軸に垂直な平面群でスライスします。例えばx-座標がxで一 定の平面での切り口は、半径g(x)の大円と半径f(x)の小円がつくるドーナッツですの で断面積は

πg(x)²−πf(x)²

になります。これをa≤x≤bの範囲で積分すれば立体の体積になりますから V =

Z b a

π©

g(x)²−f(x)²™ dx

ですが、これは

= Z b

a

π£ y²§g(x)

f(x)dx

= Z b

a

Z g(x) f(x)

2πy dydx

と変形され、ここで領域Dが上記不等式で表現されていた事を考えればこの累次積分 は領域Dでの２重積分

= ZZ

D

y dxdy に等しい事が判ります。

問題6 円柱(x−1)²+y²≤1と円錐x²+y²≤z²の交わった部分のうち0≤z≤2 である部分の体積を求めて下さい。

配点：５点 シラバス達成度目標：オ、カ

【解答例】 題意の円柱面と円錐面の交わりのうち最もz座標が大きいのはz= 2の所 になっているので題意の立体のxy-平面への正射影は円(x−1)²+y²≤1です。従って 求める体積は

（体積）= ZZ

(x−1)²+y²≤1

≥2−p

x²+y²¥ dxdy

となります。ここで極座標に変換するとdxdy=rdrdθであり、積分領域は不等式：





0≤r≤2 cosθ

−^π₂ ≤θ≤ ^π₂ で表されますから、２重積分は

= Z ^π₂

−^π2

Z 2 cosθ 0

(2−r)r drdθ

= Z ^π₂

−^π2

∑ r²−1

3r³

∏2 cosθ 0

dθ

= Z ^π₂

−^π2

Ω

4 cos²θ−8 3cos³θ

æ dθ

= 2 Z ^π₂

0

Ω

4 cos²θ−8 3cos³θ

æ dθ

= 4 Z ^π₂

0

µ

cos 2θ+ 1−4

3cosθ+4

3cosθsin²θ

∂ dθ

= 4

∑1

2sin 2θ+θ−4

3sinθ+4 9sin³θ

∏^π₂

0

= 4 µ

0 +π 2 −4

3 +4 9

∂

= 2π−32 9 となります。