第７章 制御器のパラメータ化

第７章 制御器のパラメータ化

■今までの制御理論は，古典制御・現代制御問わず，プラントを制御する 一つの制御器をいかに設計するかに力点を置いてきた．

■システム設計に際し，何らかの意味で制御性能を最適化することが望 まれる．しかし，閉ループ系の安定性保証は最適化の足枷になっている．

■問題：プラントを安定化できる制御器のすべてを自由なパラメータを 持つ一つの公式で表せるか

■本章では，これが可能であることを示す．この安定化制御器のパラメー タ化は現代制御理論の重要な成果の一つである．

■さらに，閉ループ系の伝達行列構造や状態空間構造，並びに２自由度制 御系の構造と特徴についても調べる．

249

第７章の内容

1.

一般化フィードバック系の導入

2.

制御器のパラメータ化

3.

２自由度系の構造解析

250

1 一般化フィードバック構成の導入

■２慣性系問題の制御仕様：負荷トルク外乱

d

が負荷の回転速度

ω _L

に与 える影響を抑えながら，

ω _L

を目標値

r

に追従させる

■制御したい出力は負荷の回転速度誤差

r − ω _L

であり，測定信号

ω _M

と は異なっている．

■また，トルク外乱

d

もプラントへの制御入力

u

とは違った入力である．

直接外乱

(

もしくは目標値

)

応答を評価できる設計を行うために，新しい 入出力表現法が必要となる．

G K z

y

w u

¾ ¾

¾ -

251

一般化フィードバック構成の導入

G K z

y

w u

¾ ¾

¾ -

■

G

：プラントと評価仕様

(

評価量，重み

)

をすべて含めた一般化プラ ント

■

K

：制御器

■評価出力

z

： 制御性能などを評価するための出力ベクトル

■測定出力

y

： 制御器の入力

(

例えば，センサで測定する出力や追従誤 差

)

ベクトル

■外乱

w

： 制御性能を評価するための外部入力ベクトル

■制御入力

u

： アクチュエータに加える指令ベクトル

252

一般化フィードバック構成の導入

■

G(s)

の入出力関係：

G K z

y

w u

¾ ¾

¾ -

· z ˆ (s) ˆ y(s)

¸

= G(s)

· w(s) ˆ ˆ u(s)

¸

(202) ˆ

u(s) = K (s)ˆ y(s) (203)

■ただし，一般化フィードバック構造における測定出力とは，制御器

K

の入力であり，必ずしもプラントの出力そのものとは限らない．

■例えば，１自由度系の目標値追従制御の場合，制御器への入力は追従誤 差

r − y _P (y _P

はプラントの出力

)

であり，ここでいう測定出力

y

となる．

■また，２自由度系の場合測定出力は信号ベクトル

[r ^T y _P ^T ] ^T

となる．

253

2 ２自由度制御系

■目標値のモデル：

W _R (s)

■評価出力：制御目的は追従誤差をなるべく小さくすることであるから，

追従誤差

z = r − y

とする．

■外乱が目標値モデルのインパルス入力

w

であり，測定出力が

(r, y _P )

である

■入出力関係

W _R -

- - - 6 -

- - g

q − q

y _P z

w r

u

K

¾

¾

¾ - -

G w

y _P u r

z P

K

254

２慣性系負荷トルク外乱制御問題

■モデル：

x = [ω _L θ _s ω _M ] ^T

˙ x =





− ^D _J

^L

L

k

J

_L

0

−1 0 1 0 − _J ^k

M

− ^D _J

^M

M



 x +





1 J

_L

0 0



 d +



 0 0

1 J

_M



 u (204)

y _P = [0 0 1]x

■評価出力：負荷の速度追従誤差

z = r − x ₁ = [−1 0 0]x + r

■測定出力：

y = [r y _P ] ^T (

２自由度制御

)

■外乱：

w = [r d] ^T

■

P (s)

：

[w ^T u] ^T

から

[z y] ^T

までの一般化プラントの伝達行列

· z ˆ ˆ y

¸

= P (s)

· w ˆ ˆ u

¸

255

２慣性系負荷トルク外乱制御問題

■さらに，目標値の動特性を考えるために，目標値のモデルを

W _R (s)

，ト ルク外乱のモデルを

W _D (s)

とおく．

■これらの入出力関係

ˆ

r(s) = W _R (s) ˆ w ₁ (s), d(s) = ˆ W _D (s) ˆ w ₂ (s) (205)

を代入すると，最終的

[w ₁ w ₂ u] ^T 7→ [z y] ^T

の一般化プラント

G(s) = P (s)diag(W _R (s) W _D (s) 1) (206)

が得られる．

■この例から分かるように，一般化プラントはもともとのプラントのみ ならず，信号間の結合関係や信号のモデル

(

重み

)

も含んだ拡大されたプ ラントとなっている．

256

3 一般化プラント G(s) の状態方程式



 x ˙ z y



 =



 A B ₁ B ₂ C ₁ D ₁₁ D ₁₂ C ₂ D ₂₁ 0







 x w

u



 (207)

また，一般化プラントの伝達行列を入力

"

w u

#

と出力

"

z y

#

の次元に 応じて次のように分割しておく．

G(s) =

· G ₁₁ G ₁₂ G ₂₁ G ₂₂

¸

(208)

■外乱

w

から評価出力

z

までの閉ループ伝達行列

H _zw (s) = G ₁₁ + G ₁₂ K (I − G ₂₂ K ) ⁻¹ G ₂₁ (209)

257

4 安定化制御器のパラメータ化

定理

17 (A, B ₂ )

は可安定，

(C ₂ , A)

は可検出であるとし，

F

，

L

は

A + LC ₂

，

A + B ₂ F

を安定にする行列とする．このとき，式

(207)

の一 般化プラント

G(s)

を内部安定化できるすべての制御器は，下図の

y

から

u

までの伝達行列でパラメータ化される．

ただし，

Q(s)

は適切な次元をもつ任意の安定行列である．また，係数行 列

M (s)

は次式で与えられる．

M Q u

ξ

y η

¾ ¾

¾ -

M (s) =



 



A + B ₂ F + LC ₂ −L B ₂

F 0 I

−C ₂ I 0



 



258

定理 17 の証明

十分性：

Q(s) = (A _Q , B _Q , C _Q , D _Q )

の実現を用いて閉ループ系の

A

行 列を計算することによって示す．

K (s) = F _` (M, Q) = (A _K , B _K , C _K , D _K )

=



 A + B ₂ F + LC ₂ − B ₂ D _Q C ₂ B ₂ C _Q B ₂ D _Q C _Q − L

−B _Q C ₂ A _Q B _Q F − D _Q C ₂ C _Q D _Q



 (210)

これを

H _zw = F _` (G, K )

に代入すると，閉ループ系の

A

行列

A _c =



 A + B ₂ D _Q C ₂ B ₂ F − B ₂ D _Q C ₂ B ₂ C _Q B ₂ D _Q C ₂ − LC ₂ A + B ₂ F + LC ₂ − B ₂ D _Q C ₂ B ₂ C _Q

B _Q C ₂ −B _Q C ₂ A _Q





∼



 A + B ₂ F B ₂ C _Q B ₂ F − B ₂ D _Q C ₂

0 A _Q −B _Q C ₂

0 0 A + LC ₂



 (211)

この行列は明らかに安定である．

259

必要性：任意の安定化制御器

K (s)

が必ずある安定な

Q ₀ (s)

を用いて

K (s) = F _` (M

，

Q ₀ )

と書けることを示せばよい．そこで，この式から

Q ₀ (s)

を逆算して，その安定性を確かめる．下図の入出力関係より

· u ˆ ξ ˆ

¸

= M (s)

· y ˆ ˆ η

¸

, u ˆ = K (s)ˆ y (212)

· η ˆ ˆ y

¸

= ˆ M (s)

· ξ ˆ ˆ u

¸

, η ˆ = Q ₀ (s)ˆ ξ (213)

M Q ₀

¾

¾ ¾

-

y ξ η

u M ˆ

K

¾

¾ ¾

-

ξ y u

η

260

これらの式から

M ˆ (s)

は

M ˆ (s) =

· I

I

¸

M ⁻¹ (s)

· I

I

¸

(214)

逆システムの公式を用いて

M ⁻¹ (s)

計算すると

M ˆ (s) =



 A −L B ₂

−F 0 I C ₂ I 0



 (215)

■

M ˆ (s)

は

G(s)

と同じ

(2, 2)

ブロックをもつから，

K (s)

によって安定 化される．よって，

Q ₀ (s) := F _` ( ˆ M , K )

は安定となる．

261

5 安定化制御器の公式： G(s) が安定の場合

系

2 G(s)

が安定であるとき，その安定化制御器のすべては

K (s) = Q(I + G ₂₂ Q) ⁻¹ (216)

で表せる．ただし，

Q(s)

は適切な次元を持つ任意の安定行列である．

(

証明

)

この場合，

F = 0, L = 0

とおけるので，係数行列

M (s)

は

M (s) =

· 0 I

I −G ₂₂ (s)

¸

となる．よって，

K (s) = M ₁₁ + M ₁₂ Q(I − M ₂₂ Q) ⁻¹ M ₂₁ = Q(I + G ₂₂ Q) ⁻¹

より明らか．

262

6 安定化制御器の公式： P (s) が安定の場合

■なお，通常の負のフィードバック系は

G ₂₂ (s) = −P (s)

の場合にあた るから，

P (s)

が安定のときその安定化制御器の公式は

K (s) = Q(I − P Q) ⁻¹ (217)

となる．

K P

−

e u y

d r

263

１入出力系の例

■

P

を安定とし，

P (0) 6= 0

とする．ステップ状の外乱

d

を漸近的に除去 できる制御器をすべて求めよう．

d

K u P y

−

■外乱応答の

Laplace

変換：

ˆ

y (s) = P

1 + P K d(s) = ˆ P

1 + P K 1 s

安定化制御器の公式

K = Q/(1 − P Q)

を代入すると

ˆ

y(s) = P (1 − P Q) 1

s (218)

264

１入出力系の例

Laplace

変換の最終値定理により

y(∞) = lim

s→0 s y ˆ (s) = P (0)[1 − P (0)Q(0)] = 0 P (0) 6= 0

なので，次式が必要

Q(0) = 1

P (0) (219)

■外乱を漸近除去できるすべての制御器：

½

K = Q

1 − P Q : Q

安定かつ

Q(0) = 1 P (0)

¾

(220)

明らかに

K (0) = lim

s→0

Q

1 − P Q → ∞ (221)

であるので，

K (s)

に積分器

1/s

をもつ．

265

１入出力系の例

例えば，プラント

P (s) = 1

(s + 1)(s + 2)

の場合，

P (0) = 1/2 ⇒ Q(0) = 2

よりステップ状の外乱を漸近除去でき る制御器の一つは

K (s) = 2(s + 1)(s + 2)

s(s + 3) , Q = 2

の場合 となる．

266

演習：第７章 (3)

P (s) = 5/(s + 5)

の入力は

u(t)

，出力は

y(t)

である．その安定化制御器

K (s) = Q

1 − P Q , Q(s) = s + 5

5(as + b) , a, b > 0

で

y (t)

を目標値

1(t)

に漸近追従させたい．追従誤差は

e(t) = r − y

であ る．また，システムの接続関係として

u(s) = ˆ K (s)ˆ e(s)

とする．

1.

閉ループ系のブロック線図を描け．

2. Q(s)

を用いて追従誤差のラプラス変換

e(s) ˆ

を表せ．

3.

漸近追従

e(∞) = 0

となるために

(a, b)

が満たすべき条件を導け．

4.

さらに，

kek ₂ ≤ 0.1

となるために

(a, b)

が満たすべき条件を導け．

5.

上記の条件

(c)

，

(d)

をすべて満足する

(a, b)

から一組を選び，対 応する制御器

K (s)

を計算せよ．

267

【解答】

(a)

ブロック線図

r − e K u P y

(b)

ˆ

e(s) = 1

1 + P K r(s) = ˆ 1

1 + P _{1−P Q} ^Q r(s) = (1 ˆ − P Q)ˆ r(s)

(c)e(∞) = 0 ⇔ e(s) ˆ

が安定であること，

P Q = 1/(as + b)

であることを 用いる．

ˆ

e(s) =

·

1 − 1 as + b

¸ 1

s = as + b − 1 s(as + b)

268

不安定極

p = 0

を相殺させるために，

b = 1

でなければならない．さら に，このとき追従誤差の応答は以下のようになる．

ˆ

e(s) = a

as + 1 = 1

s + 1/a ⇒ e(t) = e ⁻

^a1

^t , t ≥ 0 (d)a ≤ 0.02

は次式から分る

kek ² ₂ =

Z _∞

0

e ² (t)dt =

Z _∞

0

e ⁻

^a2

^t dt = a

2 ≤ 0.1 ² (e)(a, b) = (0.02, 1)

と選ぶと

Q(s) = s + 5

5(0.02s + 1) = 10(s + 5) s + 50

⇒ K (s) =

10(s+5) s+50

1 − _s+5 ^{5 10(s+5)} _s+50 = 10(s + 5)

s = 10 + 50

s PI

補償器

(hm73.mdl)

269

演習：第７章 (5)

図示の

(

１入出力

)

制御系にステップ状の外乱

d(t) = 1 (t ≥ 0)

が印加さ れている．また，制御対象

P (s)

は原点に零点を持たない．

1.

この外乱に対する出力応答が

y (∞) = 0

となるように，安定化制御 器の公式を用いて制御器

K (s)

を設計せよ．ただし，自由パラメー タは定数

Q(s) = q

に限定して考えるとする．

2. P (s) = 1/(s + 2)

のとき，上述の仕様を満足する制御器

K (s)

を 与えよ．

d

K u P y

−

270

【解答】

(a)y(∞) = 0 ⇔ y ˆ (s)

が安定であることを用いる

ˆ

y (s) = P

1 + P K d(s) = ˆ P

1 + P _{1−P Q} ^Q

d(s) = ˆ P (1 − P q) 1 s

が安定であることより

1 − P (0)q = 0 ⇒ q = 1 P (0)

このとき

K (s) = q

1 − P (s)q = 1

P (0) − P (s) (b)P (s) = 1/(s + 2)

より

P (0) = 1

2 ⇒ q = 2 ⇒ K (s) = 2

1 − _s+2 ¹ 2 = 2(s + 2)

s = 2 + 4 s

(hm75.mdl)

271

7 ２自由度制御系の構造解析 ( 安定プラントの場合 )

K P

r u y _P

− e d

■制御目的：外乱

d(t)

の影響を抑えながら，プラント出力

y (t)

を目標値

r(t)

に追従させる

■評価出力：追従誤差

e(t) = r(t) − y(t) (222)

■制御対象の状態方程式：

˙

x = Ax + Hd + Bu (223)

y _P = Cx (224)

272

２自由度制御系の構造解析

■外乱は

w = [r ^T d ^T ] ^T

，測定出力は

y = [r ^T y _P ^T ] ^T

■一般化プラントの状態空間実現：



 x ˙ e y



 =



 



A 0 H B

−C I 0 0

0 I 0 0

C 0 0 0



 





 x w u





ここで

P _u (s) = C (sI − A) ⁻¹ B

，

P _d (s) = C (sI − A) ⁻¹ H

⇓

G ₁₁ = −C (sI − A) ⁻¹ [0 H ] = −[0 P _d ] G ₁₂ = −C (sI − A) ⁻¹ B = −P _u

G ₂₁ =

· I

0

¸ +

· 0 C

¸

(sI − A) ⁻¹ [0 H ] =

· I

P _d

¸

273

２自由度制御系の構造解析

K = Q(I + G ₂₂ Q) ⁻¹ ⇒ Q = K (I − G ₂₂ K ) ⁻¹

⇒ [T _er T _ed ] = G ₁₁ + G ₁₂ K (I − G ₂₂ K ) ⁻¹ G ₂₁

= G ₁₁ + G ₁₂ QG ₂₁

■自由パラメータ

Q

を

(r, y _P )

の次元に合わせて分割する

Q(s) = [Q _F (s) Q _B (s)] (225)

■

[r ^T d ^T ] ^T

から

e

までの閉ループ伝達行列：

T _ed (s) = −P _u (s)Q _B (s)P _d (s) − P _d (s) (226) T _er (s) = I − P _u (s)Q _F (s) (227)

■

T _ed

は

Q _B

で，

T _er

は

Q _F

で独立に設計できる

274