問 1．R={(x, y)|0≤x≤2, 0≤y ≤1} のとき，次の 2重積分を求めよ。
(1)
R(x+y)dx dy (2)
Rx sinπy dx dy (解答例)
(1) I =
R(x+y)dx dy= 2
0 dx 1
0 (x+y)dy とすると 1
0 (x+y)dy= 1
2(x+y)2 y=1
y=0 = 1
2{(x+ 1)2−x2}= 1
2(2x+ 1) より
I = 2
0
1
2(2x+ 1)dx= 1
2(x2+x) 2
0 = 3.
(別解) I =
R(x+y)dx dy= 1
0 dy 2
0 (x+y)dxとすると 2
0 (x+y)dx= 1
2(x+y)2 x=2
x=0= 1
2{(2 +y)2−y2}= 1
2(4y+ 4) = 2(y+ 1) より
I = 1
0 2(y+ 1)dy=
(y+ 1)2 1
0 = 4−1 = 3.
(2) I =
Rx sinπy dx dy= 2
0 dx 1
0 x sinπy dy とすると 1
0 x sinπy dy=
−1
πx cosπy y=1
y=0 =−x
π (cosπ−cos 0) = 2x π より
I = 2
0
2x π dx=
x2
π 2
0
= 4 π .
(別解) I =
Rx sinπy dx dy= 1
0 dy 2
0 x sinπy dxとすると 2
0 x sinπy dx= 1
2x2 sinπy x=2
x=0 = 2 sinπy より
I = 1
0 2 sinπy dx=
− 2
π cosπy 1
0 =−2
π(cosπ−cos 0) = 4 π .
問 2．次の関数の指定された集合 D上での 2重積分を求めよ。ただし a >0 とする。
(1) x y D={(x, y)|0≤x≤2, 0≤y≤x}
(2) x ey D={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤x2} (3) x D={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2x}
(4) 1
x2−y2 D={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤x}
(5) y D={(x, y)|y2≤x≤y, 0≤y≤1} (6) x+y D={(x, y)|y≤x≤ √y, 0≤y≤1} (7) 1
3x+y D={(x, y)|0≤x≤2y, 1≤y≤4} (8) cos(x+y) D=
(x, y) 0≤x≤y, 0≤y≤ π 2 (9) 1 + 2y D={(x, y)|x+y ≤1, x≥0, y≥0} (10) x2 D={(x, y)|2x+y≤2, x≥0, y≥0} (11) 1 D={(x, y)|x+y ≤2, y≥x2, x≥0} (12) 2x+ 3y D={(x, y)|x2+y2 ≤a2, x≥0, y≥0} (13) x y D={(x, y)|x2+y2 ≤a2, x≥0, y≥0}
(14) 6x D=
(x, y) x
2 ≤y≤2x, x+y≤1 (15) y D={(x, y)|x≤y ≤√
x}
(16) x D={(x, y)|y2≤x≤1} (17) √
x D={(x, y)|x2+y2 ≤x}
(18) r D=
(θ, r) 0≤θ≤ π
2 , 0≤r ≤sinθ (19) √ r
1−r2 D=
(θ, r) 0≤θ≤ π
2 , 0≤r ≤cosθ (20) r2sinθ D={(θ, r) |0≤θ≤π, 0≤r≤a(1 + cosθ)}
(解答例) (1)
Dx y dx dy = 2
0
x
0 x y dy
dx= 2
0
1 2x y2
y=x
y=0 dx= 2
0
1
2x3dx= 1
8x4 2
0 = 2.
(別解) 積分の順序交換をすると
D={(x, y)|0≤y≤2, y≤x≤2}
だから
Dx y dx dy= 2
0
2
y x y dx
dy= 2
0
1 2x2y
x=2
x=y dy= 1 2
2
0 (4y−y3)dy
= 1 2
2y2− 1 4y4
2
0 = 1
2(8−4) = 2.
(2)
Dx eydx dy= 1
0
x2
0 x eydy
dx= 1
0
x ey
y=x2
y=0 dx= 1
0 (x ex2 −x)dx
= 1
2ex2− 1 2x2
1
0 = 1
2(e−1−1) = 1
2(e−2).
(別解) 積分の順序交換をすると
D={(x, y)|0≤y≤1, √
y≤x≤1} だから
Dx eydx dy= 1
0
1
√yx eydx
dy= 1
0
1 2x2ey
x=1
x=√y dy
= 1 2
1
0 (ey−y ey)dy= 1 2
ey−y ey +ey 1
0 = 1
2(e−2).
(3)
Dx dx dy= 1
0
2x
0 x dy
dx= 1
0
x y
y=2x
y=0 dx= 1
0 2x2dx= 2
3x3 1
0 = 2 3. (別解) 積分の順序交換をすると
D=
(x, y)0≤y≤2, y
2 ≤x≤1 だから
Dx dx dy= 2
0
1
y2
x dx
dy= 2
0
1 2x2
x=1
x=y2 dy
= 1 2
2
0
1− 1
4y2
dy= 1 2
y− 1
12y3 2
0= 1 2
2− 2
3
= 2 3.
(4)
D
dx dy
x2−y2 = 1
0
x
0
dy x2−y2
dx= 1
0
sin−1 y x
y=x
y=0 dx
= 1
0 sin−11dx= π 2
1
0 dx= π 2
x
1
0= π 2 . (別解) 積分の順序交換をすると
D={(x, y)|0≤y≤1, y≤x≤1}
だから
D
dx dy
x2−y2 = 1
0
1
y
dx x2−y2
dy= 1
0
log|x+x2−y2| x=1
x=y dy
= 1
0
log1 +1−y2
−logy
dy.
ここで各定積分を求める。y= sintとすると
dy= cost dt, y 0 → 1 t 0 → π2 より
1
0 log1 +1−y2
dy= π
2
0 log(1 + cost)·cost dt
=
sintlog(1 + cost) π
2
0 −
π2
0 sint· −sint 1 + cost dt
=
π2
0
sin2t
1 + cost dt =
π2
0
1−cos2t 1 + cost dt
=
π2
0 (1−cost)dt=
t−sint π
2
0 = π
2 −1. 次に第２項目の定積分は lim
x→+0x logx= 0 より 1
0 logy dy= lim
c→+0
1
c logy dy= lim
c→+0
y logy−y 1
c
= lim
c→+0(−1 +c logc+c) =−1 となる。これより
D
dx dy x2−y2 =
π 2 −1
−(−1) = π 2.
(5)
Dy dx dy = 1
0
y
y2 y dx
dy= 1
0
x y
x=y
x=y2 dy= 1
0 (y2−y3)dy
= 1
3y3− 1 4y4
1
0 = 1 3 − 1
4 = 1 12. (別解) 積分の順序交換をすると
D={(x, y)|0≤x≤1, x≤y≤√ x} だから
Dy dx dy= 1
0
√x
x y dy
dx= 1
0
1 2y2
y=√x
y=x dx
= 1 2
1
0 (x−x2)dx= 1 2
1
2x2− 1 3x3
1
0= 1 2
1 2 − 1
3
= 1 12.
(6)
D(x+y)dx dy = 1
0
√y
y (x+y)dx
dy= 1
0
1
2x2+x y x=√y
x=y dy
= 1
0
1
2y+y√ y− 1
2y2−y2
dy= 1
0
1
2y+y32 − 3 2y2
dy
= 1
4y4+ 2
5y52 − 1 2y3
1
0 = 1 4 + 2
5 − 1 2 = 3
20. (別解) 積分の順序交換をすると
D={(x, y)|0≤x≤1, x2≤y≤x}
だから
D(x+y)dx dy= 1
0
x
x2(x+y)dy dx= 1
0
1
2(x+y)2 y=x
y=x2dx
= 1 2
1
0
4x2−(x+x2)2dx= 1 2
1
0 (3x2−2x3−x4)dx
= 1 2
x3− 1
2x4− 1 5x5
1
0 = 1 2
1− 1
2 − 1 5
= 3 20.
(7)
D
dx dy
3x+y = 4
1
2y
0
dx 3x+y
dy= 4
1
1
3 log(3x+y) x=2y
x=0 dy
= 1 3
4
1 (log 7y−logy)dy= 1
3 log 7 4
1 dy= 1 3 log 7·
y
4
1 = log 7.
(別解) 積分の順序交換をすると
D={(x, y)|0≤x≤2, 1≤y≤4} ∪
(x, y) 2≤x≤8, x
2 ≤y ≤4 だから
D
dx dy
3x+y = 2
0
4
1
dy 3x+y
dx+ 8
2
4
x2
dy 3x+y
dx
= 2
0
log(3x+y) y=4
y=1dx+ 8
2
log(3x+y) y=4
y=x2 dx
= 2
0
log(3x+ 4)−log(3x+ 1)dx+ 8
2
log(3x+ 4)−log 7x 2 dx
= 8
0 log(3x+ 4)dx− 2
0 log(3x+ 1)dx− 8
2 log 7x 2 dx
= 1
3(3x+ 4) log(3x+ 4)−x 8
0− 1
3(3x+ 1) log(3x+ 1)−x 2
0
−
xlog 7x 2 −x
8
2
= 28
3 log 28−8− 4
3 log 4− 7
3 log 7 + 2−8 log 28 + 8 + 2 log 7−2
= 4
3 log 28− 4
3 log 4− 1
3 log 7 = log 7.
(8)
Dcos(x+y)dx dy= π
2
0
y
0 cos(x+y)dx
dy= π
2
0
sin(x+y) x=y
x=0 dy
= π
2
0 (sin 2y−siny)dy=
−1
2 cos 2y+ cosy π
2
0
= 1 2 + 1
2 −1 = 0.
(別解) 積分の順序交換をすると D=
(x, y) 0≤x≤ π
2 , x≤y≤ π 2 だから
Dcos(x+y)dx dy=
π2
0
π
2
x cos(x+y)dy
dx=
π2
0
sin(x+y) y=π
2
y=x dx
= π
2
0
sin
x+ π
2
−sin 2x dx
=
−cos
x+ π 2
+ 1
2 cos 2x π
2
0 = 1− 1 2 − 1
2 = 0.
(9) 集合 Dは
D={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y ≤1−x}
だから
D(1 + 2y)dx dy= 1
0
1−x
0 (1 + 2y)dy dx= 1
0
y+y2
y=1−x
y=0 dx
= 1
0 {1−x+ (1−x)2}dx=
−1
2(1−x)2− 1
3(1−x)3 1
0
= 1 2 + 1
3 = 5 6. (別解) 積分の順序交換をすると
D={(x, y)|0≤x≤1−y, 0≤y ≤1} だから
D(1 + 2y)dx dy= 1
0
1−y
0 (1 + 2y)dx dy= 1
0
(1 + 2y)x
x=1−y
x=0 dy
= 1
0 (1 + 2y)(1−y)dy= 1
0 (1 +y−2y2)dy
=
y+ 1
2y2− 2 3y3
1
0 = 1 + 1 2 − 2
3 = 5 6.
(10) 集合 Dは
D={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2(1−x)} だから
Dx2dx dy= 1
0
2(1−x)
0 x2dy
dx=
1
0
x2y
y=2(1−x)
y=0 dx= 2 1
0 x2(1−x)dx
= 2 1
3x3− 1 4x4
1
0 = 2 1
3 − 1 4
= 1 6.
(別解) 積分の順序交換をすると D=
(x, y) 0≤x≤ 1
2(2−y), 0≤y≤2 だから
Dx2dx dy= 2
0
1
2(2−y)
0 x2dx
dy= 2
0
1 3x3
x=1
2(2−y)
x=0 dy
= 1 24
2
0 (2−y)3dy= 1 24
−1
4(2−y)4 2
0= 16 96 = 1
6.
(11) 集合 Dは
D={(x, y)|0≤x≤1, x2≤y≤2−x}
だから
Ddx dy= 1
0
2−x
x2 dy
dx= 1
0
y
y=2−x
y=x2 dx= 1
0 (2−x−x2)dx
=
2x− 1
2x2− 1 3x3
1
0 = 2− 1 2 − 1
3 = 7 6.
(別解) 積分の順序交換をすると D={(x, y)|0≤x≤√
y, 0≤y ≤1} ∪ {(x, y)|0≤x≤2−y, 1≤y≤2}
だから
Ddx dy= 1
0
√y
0 dx
dy+ 2
1
2−y
0 dx
dy
= 1
0
x
x=√y
x=0 dy+ 2
1
x
x=2−y
x=0 dy
= 1
0
√y dy+ 2
1 (2−y)dy
= 2
3y32 1
0+
−1
2(2−y)2 2
1 = 2 3 + 1
2 = 7 6. (12) 集合 Dは
D={(x, y)|0≤x≤a, 0≤y ≤a2−x2} だから
D(2x+ 3y)dx dy= a
0
√a2−x2
0 (2x+ 3y)dy
dx
= a
0
2xy+ 3 2y2
y=√a2−x2
y=0 dx
= a
0
2xa2−x2+ 3
2(a2−x2) dx
=
−2
3(a2−x2)32 + 3
2a2x− 1 2x3
a
0
= 3
2a3− 1
2a3+ 2
3a3 = 5 3a3. (別解) 積分の順序交換をすると
D=(x, y)|0≤x≤a2−y2, 0≤y≤a
だから
D(2x+ 3y)dx dy= a
0
√
a2−y2
0 (2x+ 3y)dx
dy
= a
0
x2+ 3xy x=√
a2−y2
x=0 dy
= a
0 (a2−y2+ 3y
a2−y2)dy
=
a2y− 1
3y3−(a2−y2)32 a
0
=a3− a3
3 +a3= 5 3a3.
(13) 集合 Dは
D={(x, y)|0≤x≤a, 0≤y ≤a2−x2} だから
Dx y dx dy = a
0
√a2−x2 0 x y dy
dx= a
0
1 2xy2
y=√a2−x2
y=0 dx
= 1 2
a
0 x(a2−x2)dx= 1 2
a2
2 x2− 1 4x4
a
0
= 1 2
a4 2 − a4
4
= a4 8 .
(別解) 積分の順序交換をすると
D=(x, y)|0≤x≤a2−y2, 0≤y≤a
だから
Dx y dx dy= a
0
√
a2−y2 0 x y dx
dy= a
0
1 2x2y
x=√
a2−y2
x=0 dy
= 1 2
a
0 y(a2−y2)dy= 1 2
a2
2 y2− 1 4y4
a
0
= 1 2
a4 2 − a4
4
= a4 8 .
(14) 集合 Dは D=
(x, y) 0≤x≤ 1 3, x
2 ≤y≤2x ∪
(x, y) 1
3 ≤x≤ 2 3, x
2 ≤y≤1−x だから
D6x dx dy=
13
0
2x
x2
6x dy
dx+
23
13
1−x
x2
6x dy
dx
=
13
0
6xy
y=2x
y=x2 dx+
23
13
6xy
y=1−x
y=x2 dx
=
13
0 (12x2−3x2)dx+
23
13
{6x(1−x)−3x2}dx
=
13
0 9x2dx+
23
13
(6x−9x2)dx
=
3x3 1
3
0 +
3x2−3x3 2
3 13
= 1 9 + 4
3 − 8 9 − 1
3 + 1 9 = 1
3.
(別解) 積分の順序交換をすると D=
(x, y) y
2 ≤x≤2y, 0≤y ≤ 1
3 ∪
(x, y) y
2 ≤x≤1−y, 1
3 ≤y≤ 2 3 だから
D6x dx dy=
13
0
2y
y2
6x dx
dy+
23
13
1−y
y2
6x dx
dy
=
13
0
3x2
x=2y
x=y2 dy+
23
13
3x2
x=1−y
x=y2 dy
= 3
13
0
4y2− 1 4y2
dy+ 3
23
13
(1−y)2− 1
4y2 dy
= 45 4
1
3
0 y2dy+ 3 4
2
3 13
(4−8y+ 3y2)dy
= 45 4
1 3y3
1
3
0 + 3 4
4y−4y2+y3 2
3 13
= 5 36 + 3
4 8
3 − 16 9 + 8
27 − 4 3 + 4
9 − 1 27
= 1 3. (15) 集合 Dは
D={(x, y)|0≤x≤1, x≤y≤√ x} だから
Dy dx dy= 1
0
√x
x y dy
dx= 1
0
1 2y2
y=√x
y=x dx
= 1 2
1
0 (x−x2)dx= 1 2
1
2x2− 1 3x3
1
0
= 1 2
1 2 − 1
3
= 1 12. (別解) 積分の順序交換をすると
D={(x, y)|y2≤x≤y, 0≤y≤1} だから
Dy dx dy= 1
0
y
y2 y dx
dy= 1
0
xy
x=y
x=y2dy
= 1
0 (y2−y3)dy= 1
3y3− 1 4y4
1
0
= 1 3 − 1
4 = 1 12.
(16) 集合 Dは
D={(x, y)|0≤x≤1, −√
x≤y≤√ x}
だから
Dx dx dy= 1
0
√x
−√ xx dy
dx= 1
0
x y
y=√x
y=−√ xdx
= 2 1
0 x√
x dx= 2 1
0 x32 dx= 2 2
5x52 1
0 = 4 5.
(別解) 積分の順序交換をすると
D={(x, y)|y2 ≤x≤1, −1≤y≤1} だから
Dx dx dy= 1
−1
1
y2x dx
dy= 1
−1
1 2x2
x=1
x=y2dy
= 1 2
1
−1(1−y4)dy= 1 2
y− 1
5y5 1
−1
= 1 2
1− 1
5 + 1− 1 5
= 4 5.
(17) x2+y2 ≤x より
x− 1 2
2
+y2 ≤ 1
4 だから集合Dは中心 1
2,0，半径 1
2 の円の内部 及び境界である。またy2 ≤x−x2 より集合D は
D={(x, y)|0≤x≤1, −x−x2 ≤y≤x−x2} である。これより
D
√x dx dy= 1
0
√x−x2
−√ x−x2
√x dy
dx= 1
0
√ x y
y=√x−x2
y=−√
x−x2dx
= 2 1
0
√xx−x2dx= 2 1
0 x√
1−x dx
= 2 1
0 {1−(1−x)}√
1−x dx= 2 1
0
(1−x)12 −(1−x)32dx
= 2
−2
3(1−x)32 + 2
5(1−x)52 1
0= 2 2
3 − 2 5
= 8 15.
(別解) x2−x+y2= 0 より x= 1 2
1±1−4y2
だから集合Dは
D=
(x, y) 1 2
1−1−4y2
≤x≤ 1 2
1 +1−4y2
, −1
2 ≤y≤ 1 2
である。これより
D
√x dx dy=
12
−12
⎛
⎝ 1
2
1+√
1−4y2
12
1−√
1−4y2 √ x dx
⎞
⎠dy=
12
−12
2 3x32
x=1
2
1+√
1−4y2
x=12
1−√
1−4y2
dy
=
√2 6
1
2
−12
1 +1−4y2 3
2 −1−1−4y2 3
2 dy
=
√2 3
1
2
0
1 +1−4y2 3
2 −1−1−4y2 3
2 dy.
ここで y= 1
2 sin 2tとすると
dy= cos 2t dt, y 0 → 12 t 0 → π4 より
(与式) =
√2 3
π 4
0
(1 + cos 2t)32 −(1−cos 2t)32cos 2t dt
=
√2 3
π
4
0
(2 cos2t)32 −(2 sin2t)32cos 2t dt
= 4 3
π 4
0 (cos3t−sin3t) cos 2t dt
= 4 3
π
4
0
cost(1−sin2t)(1−2 sin2t)−sint(1−cos2t)(2 cos2t−1)dt
= 4 3
π 4
0
cost(1−3 sin2t+ 2 sin4t) + sint(1−3 cos2t+ 2 cos4t)dt
= 4 3
sint−sin3t+ 2
5 sin5t−cost+ cos3t− 2 5 cos5t
π
4
0
= 4 3
1−1 + 2 5
= 8 15.
(18)
Dr dr dθ=
π2
0
sinθ
0 r dr
dθ =
π2
0
r2 2
r=sinθ
r=0
dθ= 1 2
π
2
0 sin2θ dθ
= 1 2
π
2
0
1
2(1−cos 2θ)dθ = 1 4
θ− 1
2 sin 2θ π
2
0 = π 8 . (別解) 積分順序を変更すると
D=
(r, θ) 0≤r ≤1, sin−1r≤θ≤ π 2 だから
(与式) = 1
0
π
2
sin−1rr dθ
dr= 1
0
r θ
θ=π
2
θ=sin−1rdr= 1
0
π
2 r−rsin−1r
dr.
ここで
rsin−1r dr= 1
2r2sin−1r− 1 2
√ r2 1−r2 dr
= 1
2r2sin−1r+ 1 2
(1−r2)−1
√1−r2 dr
= 1
2r2sin−1r+ 1
2 1−r2dr− 1 2
√ dr 1−r2
= 1
2r2sin−1r+ 1
4(r1−r2+ sin−1r)− 1
2 sin−1r+C
= 1 4
(2r2−1) sin−1r+r1−r2 +C.
これより
Dr dr dθ= π
4 r2− 1 4
(2r2−1) sin−1r+r1−r2
1 0 = π
4 − 1
4 sin−11 = π 8 .
(注意) 不定積分 rsin−1r drは置換でも求められる。sin−1r=tとするとx= sint, dx= cost dtだから
rsin−1r dr= tsintcost dt= 1 2
tsin 2t dt
= 1 2
−1
2tcos 2t+ 1 2
cos 2t dt
= 1 2
−1
2tcos 2t+ 1 4 sin 2t
+C
= 1
4(−tcos 2t+ sintcost) +C
= 1 4
−t(1−2 sin2t) + sint
1−sin2t+C
= 1 4
(2r2−1) sin−1r+r1−r2 +C.
(19)
D
√ r
1−r2 dr dθ = π
2
0
cosθ
0
√ r
1−r2 dr
dθ= π
2
0
−(1−r2)12 r=cosθ
r=0 dθ
= π
2
0 (−sinθ+ 1)dθ=
cosθ+θ π
2
0 = π 2 −1.
(別解) 積分順序を変更すると
D={(r, θ)|0≤r≤1, 0≤θ≤cos−1r} だから
(与式) = 1
0
cos−1r 0
√ r
1−r2 dθ
dr= 1
0
√r θ 1−r2
θ=cos−1r
θ=0 dr
= 1
0
r√cos−1r 1−r2 dr=
−1−r2 cos−1r 1
0− 1
0
1−r2· 1
√1−r2 dr
= cos−10−
r 1
0= π 2 −1.
(20)
Dr2sinθ dr dθ = π
0
a(1+cosθ)
0 r2sinθ dr
dθ= π
0
1
3r3sinθ
r=a(1+cosθ)
r=0 dθ
= a3 3
π
0 sinθ(1 + cosθ)3dθ= a3 3
−1
4(1 + cosθ)4 π
0 = 4 3a3.
(別解) 積分順序を変更すると D=
(r, θ) 0≤r ≤2a, 0≤θ≤cos−1 r
a −1 だから
(与式) = 2a
0
cos−1(r2−1)
0 r2sinθ dθ
dr=
2a
0
−r2cosθ
θ=cos−1(r2−1)
θ=0 dr
= 2a
0
−r2 r
a −1
+r2 dr= 2a
0
2r2− 1 ar3
dr
= 2
3r3− 1 4ar4
2a
0 = 16
3 a3−4a3= 4 3a3.
