き裂と切欠きにおける大規模降伏条件下の力学的厳 しさの尺度

九州大学学術情報リポジトリ

Kyushu University Institutional Repository

き裂と切欠きにおける大規模降伏条件下の力学的厳 しさの尺度

藤崎, 渉

https://doi.org/10.11501/3078956

出版情報：Kyushu University, 1994, 博士（工学）, 論文博士 バージョン：

権利関係：

穿� ^-4 茸主

非線形き裂力学

本章では大規模降伏条件下におけるき裂材 の強度評価方法である非線形き裂力学の物理

的背景を検討する。

6 0

6 1

4 .

1 緒 日

本章では， 線形き裂力学の拡張である非線形き裂力学の物理的背

景を， まず引張りをうける中央き裂材を対象に有限要素解析により 検討する 【

1

)いは)。 非線形き裂力学の有効性に ついては， 6章におい

て検証する。

なお，本研究ではモ ー ド I のみに ついて基本的な考え方を示すが，

この考え方は当然他のモ

ー

ドに ついても同様に適用できる。

4 . 2 有限要素解析

本章において使用するひずみに関する記号を表4-1 に示す。 計算

に用いた中央き裂材の形状は図4-1 に示す通りである。 ZajW=O.2 (w : 板厚， a : き裂半長〉 で き裂半長 a を2，6 m mと変えた相似形 き裂材(図4-1のC-1材とC-2材)およびw =60mm， a =2mmのC-3材に つ いて計算を行 った。 なお， 解析はMises の降伏条件を用い， 平面応 力状態として行 った。 有限要素法により得られる値は必ずしも真の

値ではないので， き裂材同士で比較するためには， き裂材のき裂先 端近傍の要素分割方法はW， a とは無関係にそれぞれ同一にする必 要がある(図4-2)。 最小要素長はき裂材ではO.037mmとした。 真応 力一対数ひずみ線図は図4-3 ，こ示す。 非線形方程式の解法はニ ュ ート

ン ・ ラ プソ ン法による増分解法を用い . 大変形問題の定式化では ア ッ プデイト ・ ラ グラ ン ジ工法を用いた。 また， 1積分の計算はP a r k

s の方法{刊によ った。

6 2

表'{-1 使用するひずみに関する記号の説明

p

皿ax

rrøxirr.um plastic strain ε

ε

p

y

plastic strain in tensile direction

MM nbu FP- VA

免M

ny m幽

円ι

plastic strain in the 1st elanent obtained by FHv1

MM pu n，. VA nu

p m

一ε

equivalent plastic strain in the

1s t eほnent obtained by F�

6 3

30

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( i - a)

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V

き裂材(C材)

、11ノ ・i 〆FB、、

:く 30

C-3材

(単位mm) 寸法

(j - C)

FEM解析に用いたき裂材の形状 ・ 図4-1

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(i) C-l ， C-2， C-3材

図4-2 き裂先端近傍の要素分割〈単位mm)

6 4

6 5

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100

E=70600 MPa

nu nu nu nu dせ QU

伺 門岡 町両

6200 ^σys = ₃₅₈ MPa ν= _0.33

0 o _{1 2 3 4 5} 6 7 8 9 ₁₀ εt %

図4-3 FE.M解析に用いた真応力一対数ひずみ曲線

4 . 3 e f' mー l' 8 Wがき裂材における弾塑性応力場の支配因子

6 6

有限要素解析により得られた相似形き裂材(C-1 ， C-2材)の公称 応力一公称ひずみ曲線を図4-4に示す。 ここで，公称応力は遠方公称 応力であり，公称ひずみは図4-1のL間の平均ひずみである。

両き裂材のき裂先端の第1要素の最大相当塑性ひずみE Fm・x.

l' 8 W

と公称ひずみ ε の関係を図4- 5に示す。 き裂先端ではe f'皿. xと ε F- zは一致するので， e f'回. x， l' 8 Wと ε F

m・x，

8 '"は実質的には同ーとみな

してよい。

図4-1のCーし Cーに C-3材においてき裂先端の最大相当塑性ひずみ

e f'田.x， 1'8'" (第一要素の値)が同じときの塑性域進展の様子を図4-

6(i)， (ii)， (iii)， 4-7に示す . これらの図からき裂材ではE FE・x， l' 8'"

(これは実質的には ε FE・x， l' 8 '" )が弾塑性応力場の支配因子である こと， すなわち， E Fmaz， F E Mを揃えると塑性域の発達状況はき裂長 さや板幅に無関係に互いによく似ていることが分かる。

以上のことは， e f'田. x. l' 8 '"を揃えたときのき裂先端付近のひずみ 分布やき裂開口形状の比較によ っ てさらに明確となる。

図4-8はE Fm・x. l' 8 '"を揃えて， Cーし C-2， C-3材における ε:の分布

を比較したものである。 また，図4-9はE FES玄. l' 8 '"を揃えてき裂関口 形状を両材において比較

じ

^{たものである。} これらの図からわかるよ うに ， e f'由・x. l' 8 '"が同ーであれば， ε:の分布もまたき裂先端付近の 関口変位も板幅やき裂長さに無関係iこ互いに極めてよく似ている。

特に注目すべきことは， C-1材の全断面降伏後のひずみ分布および 関口変位とC-2 ， C-3材の小規模降伏条件下のひずみ分布および関口 変位とを比較してもそれぞれよく似ていることである(図4-8，4-9の

E

Fm・友・ 1'8"，=0.17同士の比較)。

したが っ て， 図4-6(i)，(ii)， (iii)を比較することにより，

τ F

、.，

m

•

，1"8"，=0.05以下では . 同一ひずみ分布がK =一定でも，

J

=一定でも 保証されるのに対して， E FEaz， F E M=0.13以上では， 同一ひずみ分布

6 7

がË ^{l' 回一 l" K}

10{ =一定では保証されるが， K 一定でも ，

J

=一定でも

保証されない ことが分かる。

以上のことから， 大規模降伏条件下でも，

i

^{l' 皿ー l" K} 10{のみに よ っ てき裂材における弾塑性応力場が一意的に決まることが分かる。

400

ω300

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b

100

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Crackす=0.2

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o a=6 CA-...D)

6 8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

ε %

図�-� き裂材の公称応力一公称ひずみ曲線(2a/I=O・2， FEM)

0.20

a=6D J _{a = 2mm}

0.15 2←d

2

^kl

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0.10

何

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0.05

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ノ〆

0.2 0.3 0.4

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Crack

0.5

図4-5 き裂先端の最大相当塑性ひずみE FE・z・FKK と公称ひずみ ε の関係( 2a/ 1=0.2， FEM)

6 9

0.6

0.020"-J

d

K)==

²

5 .4 J

¹⁼⁼

1 2.7 Emax.FEM=0.17

吋 0

0.015 0.010

0.005 0.0001

0.0

日EM

C

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KJ

一

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P F B M はMisesの降伏条件iこ

FEM)

C-l材，

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………一一一一~~uu…………………………………一

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………一日一一一一一

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一一一一一一…一…一一一一一一一…………………………………………………11……………………………………一02=

一 …………~…… … …一日………一一一………… … ……… … ………一……… ω 一一一一一 一九わ戸m 一Al--

2

11lv一

a w

き裂先端付近の塑性域の進展 基づく相当塑性ひずみ，

(i _-a)

C-1

Crack_j t i ^p

図4-6 ( j )

0.0 0.0001 0.005 0.010 0.015 0.020�

!く

2 >1 日EM

A B C D

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a== 6

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aijjjill:::: : :::!:::jjj K，=16.4 1 ，==3.8 EJ叫FEM=0.05

K

J

==33

.

1 1 1 == 1 5

.

3 Eιx.FP..M=O.l 7 crack J

t i ^p

K，=28.3 1 1== ^{11 .1} Emax，FFM=0.13 K，=9.1MPa.vm

1 ，==1.2 kN/m Emax，F聞=0.02

図4 - ^{6 ( ii )}

き裂先端付近の塑性域の進展(

^{ë r} ，. B

'"はMisesの降伏条件に

基づく相当塑性ひずみ，

^C- 2材， ^F

_EM)

吋

O.

020�

D'

KJ==25.7 J.-11.7 EmLx，FEM=0.17 KJ==23.3

J ，== 8.8

5max，F聞==0.13

KJ==16.3

J，==3.7

Eムx.FEM==0.05

吋 t\.)

0.015 0.010

0.005 0.0001

0.0

日EM

C'

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M k 0

12 =

9L剛

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LLj hm

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( e

r F B W はMisesの降伏条件に

FEM)

C-3材，

::0.

d

0.0

すー12 11lv一

(i ^{C- 3} - ^c)

き裂先端付近の塑性域の進展 基づく相当塑性ひずみ，

a==2mm w== 2 Omm

|く 0.3 ^>1

-p

ε= 0.02

a == 6 mm w== 6 Omm

a == 2 mm w== 6 Omm

図�-7 き裂先鴻付近の塑性域(図� -

6

(

i

)

d.

(

ii

)

D.

(

iii

) D・ の拡大図，

P

EM)

吋 仏〉

7 4

0.15

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図'{-8 き裂先端付近の塑性ひずみ ε\分布

日

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図'-9 き裂の関口変位

o O. 1

7 5

7 6

4 . 4 結 日

線形き裂力学の拡張である非線形き裂力学の物理的背景を有限要 素解析を通じて明らかにした。 まとめとして， 非線形き裂力学の原 理図を， 線形き裂力学のそれと対比させて図4-10に示す。

試験片と実物で， 最大塑性ひずみを揃えると， 塑性ひずみ場の同 一性が保証されることを本章において明らかにした。

塑性ひずみ場が同ーであることは， 同ーの物理現象が生ずること を強く示唆するものであるが， このことに ついては6章において検 証する。

&nall scale

yielding LC M: K1=K2

Large sca 1 e 11

yt �e-lcf(ng- " NLCM:ε…-FEMI=ε…. FeM2

( 1:specimen 2:real object

Same Elastlc Stress Flelds

Same

Elastic-Plastlc Stress Flelds

Same

Elastlc-Plastlc

Stress Flelds

Same

Phenomena

Same

Phenomena

LCM = L i n e a r C r a c k Me c h a n i c s

NLCM = Non-Li near Crack Mechanl cs

図(-10 非線形き裂力学の原理図

、J 吋

4 . 5 参考文献

( 1) 田中 ・ 秋田 ・ 高松， 材料強度学会誌， 13-4(1974)487.

( 2)藤崎 ・ 西谷 ・ 田中 ・ 寺西，機論，投稿中 . ( 3)西谷 ・ 藤崎， 機論， 投稿中

.

(4) Parks，D.M.， Int.J.Fract. 10-4(1974)487.

7 8

第三

5

主主主

非線形切欠き力学

本章では大規模降伏条件下における切欠き 材の強度評価方法である非線形切欠き力学の 物理的背景を検討する。

7 9

8 0

5 .

1 緒 日

本章では， 線形切欠き力学 ( 1 )い( 4 )

の拡張である非線形切欠き力 学の物理的背景に ついて， まず引張りをうける中央切欠き材を対象

に有限要素解析により検討する(U . (S}0

非線形切欠き力学の有効性に関しては6章において切欠き材の引 張り変形挙動のS ^E Mサー ボ ノマルサによる連続観察と有限要素解析

の比較により詳細に検証する。

5 . 2 有限要素解析

本章において使用するひずみに関する記号はき裂材のそれと同じ である(前章の表4-1 )。 計算に用いた中央切欠き材の形状は図5 -1に

示す通りである。 切欠き半径ρ が2mmと一定で，2ajW=O.2 (w:板厚，

a 切欠き深さ)で， 切欠き深さ a を2，6 m mと変えた相似形切欠き材 (図5 -1のN-1材とN-2材)およびw =60mm， a =2mmのN-3材に ついて計 算を行 った。 なお， 解析はMises の降伏条件を用い， 平面応力状態 として行 った。 有限要素法により得られる値は必ずしも真の値では

ないので， 切欠き材同士で比較するためには， 切欠き材の切欠き底 近傍の要素分割方法はw. a とは無関係にそれぞれ同ーにする必要 がある(図5 -2 )。 最小要素長はO. 2 m mとした。 切欠き材の真応力一対 数ひずみ線図はき裂材のそれと同ーである 〈図4-3)。 非線形方程 式の解法はニ ュ ート ン ・ ラプソ ン法による増分解法を用い， 大変形問 題の定式化では ア ッ プデイト ・ ラグラ ン ジ工法を用いた。 また， J積 分の計算は P a ^{r k} s の方法(⁷ )によ ったo

8 1

p=2 a=2 W=20 Wrnm arnm ρm 130

20 2 2

60 6 2

60 2 2

(ii ^{- a)} N-l材

90 ρ=2

a=6 W=60

ムナi

l--

a 百

90 N-2材

W/2=30

ρ=2 a=2 羽1=60 (ii - b) 丈

L=3羽7

( ii)切欠き材(N材)

N-3材 W/2=30 (ij - c)

(単位・・) FEM解析に用いた切欠き材の形状 ・ 寸法

図5

- ¹

( ii) ^N

^-

^{1， N}

^-

^{2， N}

^-

3材

図5^-

2

切欠き底近傍の要素分割(単位・.)

8 2

8 3

5 . 3 E F田ax・ F H Wと切欠き半径p が切欠き材における弾塑性応力場 の支配因子

有限要素解析により得られた相似形切欠き材(N-1 ， N-2材)の公 称応力一公称ひずみ曲線を図5-3 に示す(公称応力と公称ひずみの 定義は 4章と同じ)。 両切欠き材における切欠き底の最大相当塑性

ひずみE FEaz， F E Mと公称ひずみ εの関係を図5 - 4に示す。

図5-1のN-1. N-2. N-3材において， 切欠き底の最大相当塑性ひずみ

e P皿・x. F K Wが同じときの切欠き底付近の塑性域の進展の様子を図5

-

5(i). (ii). (iii)に示す。 これから， 分かるように， 切欠き材では e P皿・x.

FKW

(これは実質的には ε Pmax. FHW)とp が弾塑性応力場の 支配因子であること， すなわち， e P田・z・ FK Wとρ (負荷を加える前 の切欠き半径〉 を揃えると塑性域の発達状況は切欠き深さや板幅に 無関係に互いによく似ていることが分かる。

以上のことは， E FEaz， F E Mとρ を揃えたときの切欠き底付近のひ ずみ分布や切欠き形状変化を比較すればさらに明確となる。

図5 - 6はe P皿・x. F K Wとp を揃えて， N-1. N-2. N-3材における ε: の

分布を比較したものである。 また図5- 7はE FE・x. F K W と ρ を揃えて 切欠き形状変化を各材において比較したものである。 図5- 6 ， 7はい ずれも全断面降伏後の状態を示している。 両図から分かるように

E

Fmaz・ FK Wとρ が同じであれば ， ε:の分布もまた切欠き形状変化も 板幅や切欠き深さに無関係に互いに極めてよく似ている。

以上のことから， 大規模降伏条件下でも， E F E・x. F K Wとρ のみに よ っ て切欠き材における弾塑性応力場が一意的に決まることが分か る。

4 0 0

B C D

A� � 、弘、

何 300

_C

b

仏4 _a

� ^{2 0 0 •} a == 2mm (a，._d)

oa==6 (A，._D)

〉、

b

100ト対 Notch ρ==2皿 議 ^==0.2

r

。 。 0.5 1 . 0 1.5 2. 0 2.5 3. 0 ε %

図5-

3

切欠き材の公称応力一公称ひずみ曲線( Za/ 1=0・2， FEM)

8 4

•••

て事F士一一一一ーー

^{三三三士三三±三}

司噌 1

0.5 0.4

a=6_ 1 ^a=2�

503} B→c1 _./' ^{\ d}

�

仏日 0.2

何

ICJJ

仁/ ^\

0.1 � J _戸 ^a

2a

。

Notch UT=0.2 ρ=2mm

o 1.0 2.0 3.0

ε %

図5-4 切欠き底の最大相当塑性ひずみë '・・z・rlllllと 公称ひずみ ε の関係( 2a/曹=0.2， FEM)

8 5

0.25 _r-J 0.20

0.15 0.10

0.05 0.00

∞ 0)

AUM

…………一……一一…い一……ぃ……:………

-AU・

日・

EJ叫F四==0.40

("ë"I'BW はMisesの降伏条件iこ

FEM)

N-l材，

c r … …

. nu u ・.

言;EM

切欠き底付近の塑性域の進展 基づく相当塑性ひずみ，

(ii-a)

N-l

図5-5 ( i )

0.25r.J 0.20

0.15 0.10

0.05 0.00

ε;EM

D同

……….

一川口口一ハリハU・

εJ川副==0.36 EJ叫剛==0.29

∞ 吋

つ

… … ……… … …… … …………

一ハU

… … …… … … … ………

一nL

I

II-~II:

…

一ハU

………… … ………… … ………… … …

一一一

8 AR

………日…

…

………恥阻

剛 …

…………:………

一

…

・ …

…

…

一

…

…

………

………

………… …

の川判・

3 A Z

E

-

- --

-

--

-

-

一小|||8|||止

a ρ W

(ii-b)

N-2

( �" BWはMisesの降伏条件に FEM)

N-2材，

切欠き底付近の塑性域の進展 基づく相当塑性ひずみ，

図5 -5 ( ii )

0.25....，

ELx.m=040 ELM凶==020

∞

∞

0.20 0.15

0.10 0.05

。

ー;EM . ・ ・ 一 一一一一一 円U ・ ………一一 D一

ELM聞=0.36

( ë r

^{， B} ..はMisesの降伏条件iこ

FEM)

N-3材，

pu一 …………一…….… • . ・ ・

1一一一一一一い一

nU 一 い ・一一 一 nU

ELM聞==029

切欠き底付近の塑性域の進展 基づく相当塑性ひずみ，

図5

-5 ( iii )

一小||

8ーー-v一 a pw

(ii-c)

N-3

8 9

0.50

N ^{0 t c} h 0.40 l- ^ρ= 2 ^rnm

-:-P

ε

π】a� F百叫

>，0.30 �、、 _0.40

仏ぷ

0.20 L _�ミ\

^-/

^0.36

---二二 ^{Wnnn amm}

---司圃・・・・ _{20 2}

60 6

-・・司-.咽-._..圃圃・・司・・・・田・圃 _{60 2}

0.10

0 0

『ィーーー一-

--一

一 ^{『ー『ーー}一ー~』 ーー・ーー←--ーー『ーーーーー一一-ー・←・-

ー.

-こ竺ー._ー._ー-ーー

一ー---

^{一 ーーーーー}

・ 一-一

にυ ハu

qU nL FO

m

o

m

5 エ nL

ハU

図5-

6

切欠き底付近の塑性ひずみ ε F F分布(

F

EM)

日3 E

コ) 2

9 0

4 Notch _ρ= 2mm

二一一二 -.司・・・同--- ^Wrrnn ₂₀ ^arrnn ₂

60 6

-・・・・圃・・・・・・圃_._.-._ _{60 2}

1

lni t ial shape

O

-2 ^唱- ₁

m m

ox 2

図5

- ⁷

切欠き形状変化(

^{F E}

M)

9 1

5

.

4 結

日

線形切欠き力学の拡張である非線形切欠き力学を提案し， その物

理的背景を有限要素解析を通じて明らかにした。 まとめとして， 非 線形切欠き力学の原理図を， 線形切欠き力学のそれと対比させて図

5-8に示す。

試験片と実物で， 最大塑性ひずみと切欠き半径をそれぞれ揃える と， 塑性ひずみ場の同一性が保証されることを本章において明らか iこしTこ。

塑性ひずみ場が同ーであることは， 同一の物理現象が生ずること を強く示唆するものであるが， このことに ついては6章において検

証する。

Small scale

yielding ^{LNM :} a max l=a max2 ρ1=ρ2

，-- _.-

Large scale

yielding ^{NLNM :}

町民 F&MI ^...・.".F&M2

(1:sμc imen 2:realobject

P1=ρ2

Same EJastlc Stress Flelds

Same

EJastic-PJastlc Stress Fields

Same

Elastlc-Plastlc

Stress Flelds

Same

Phenomena

Same

Phenomena

LNM= Linear Notch Mechanlcs

NLNM = No nーLlnear Notch Mechanlcs

図5-8 非線形切欠き力学の原理図

<0 1\)

9 3

5 . 5 参考文献

( 1)西谷 ・ 田中 ・ 藤崎， 機論，

51-462.A (1985) 421.

( 2)西谷 ・ 田中 ・ 藤崎， 機論，

55-511.A (1989) 409.

(

3)藤崎 ・ 野田 ・ 田中 ・ 西谷， 材料，

39-447 (1990) 1 5 3 3 .

( 4)西谷 ・ 藤崎 ・ 田中 ・ 田中， 機論，

57-534.A (1991) 2 38.

( 5)藤崎 ・ 西谷 ・ 田中 ・ 寺西，機論 ，投稿中 . ( 6)西谷 ・ 藤崎， 機論， 投稿中 .

(7) Parks.

^{D. M.}

Int.

^J.

Fract. 10-4(1974)487.