平行平板クエット流の乱流特性と大規模縦渦構造の解明

(1)

名古屋工業大学学術機関リポジトリ Nagoya Institute of Technology Repository

平行平板クエット流の乱流特性と大規模縦渦構造の 解明

著者西村大志

学位名博士(工学)

学位授与番号 13903甲第300号学位授与年月日 2000‑03‑23

URL http://doi.org/10.11501/3166999

(2)

博士論文

. (

題目

) _.

平行平板クエット流の

乱流特性と大規模縦渦構造の解明

. .

指導教官鬼頭修己教授

工学研究科博士後期課程生産システム工学専攻平成

7

年

4

月入学

(

氏名

)

西村太志

(3)

記号

iii

第

1

章緒論

1

1.1

本研究の背景および意義

. . . . 1

1.2

本研究の目的

. . . . 2

1.3

本論文の構成

. . . . 3

第

2

章実験装置と実験方法

4 2.1

実験装置

. . . . 4

2.2

速度測定方法

. . . . 5

2.3

壁からの距離測定

. . . . 6

2.4

壁面せん断応力の測定

. . . . 6

2.5

実験条件

. . . . 7

2.6

流れの発達

. . . . 8

第

3

章平行平板クエット乱流に及ぼす低レイノルズ数の効果

18 3.1

緒論

. . . . 18

3.2

実験結果と考察

. . . . 19

3.2.1

壁面摩擦係数

. . . . 19

3.2.2

平均速度分布

. . . . 19

3.2.3

渦動粘度

. . . . 21

3.2.4

乱れ強さ及び高次統計量

. . . . 22

3.3

結論

. . . . 25

第

4

章平行平板クエット乱流の大規模縦渦構造

37 4.1

緒論

. . . . 37

4.2

実験装置と実験方法

. . . . 37

4.3

基礎式

. . . . 38

4.4

実験結果および考察

. . . . 40

4.4.1

大規模縦渦構造の発達過程

. . . . 40

(4)

4.4.2

維持領域の大規模縦渦構造

. . . . 41

4.4.3

平行平板クエット乱流の３次元構造

. . . . 42

4.5

結論

. . . . 44

第

5

章平行平板クエット乱流の速度変動解析

59 5.1

緒論

. . . . 59

5.2

実験装置と実験方法

. . . . 59

5.3

実験結果および考察

. . . . 60

5.3.1

速度変動に及ぼす大規模縦渦の揺らぎの影響

. . . . 60

5.3.2

速度変動の結合確率密度分布

. . . . 62

5.3.3 −u

₁

u

2 のスキューネスとフラットネス

. . . . 63

5.3.4

パワースペクトル

. . . . 63

5.3.5

自己相関

. . . . 64

5.4

結論

. . . . 64

第

6

章結論

77

参考文献

79

謝辞

82

(5)

記号

a :

スケールパラメータ

b :

トランスレートパラメータ

A

⁺

: Van Driest damping factor B :

対数則の付加定数，式

(3.6)

C

f

:

摩擦係数

τ

w

1 / 2 ρU

_b²

E :

熱線の平均出力電圧

F ( u

i

) :

フラットネスファクタ





 4

u

i4

u

i2₄







2 h :

流路高さ

K

1

:

無次元渦動粘度

ν

t

2 hu

∗

L : x

3 方向への波状変化の波長

p :

静圧

p

t

:

動圧

p

w

:

壁面静圧

Q

i

:

第

i

象限からのレイノルズ応力

R

12

:

相関係数

−u

₁

u

2

/ (

u

12

u

22

Re

^∗

, Re

b

, Re

c

:

レイノルズ数

hu

∗

ν , 2 hU

b

ν , 2 h · 2 U

c

ν

R

s

:

速度欠損則のこう配，式

(3.7) R

s

:

速度欠損則のこう配，式

(4.7) S ( u

i

) :

スキューネスファクタ





 3

u

i3

u

i2₃







s : X

型熱線の受感部の間隔

T :

乱れの時間スケールより十分大きい時間間隔，速度変動揺らぎの周期

t :

時間

U

b

:

ベルト速度

U : x

2

= h

での速度

(6)

U

i

: x

i 方向時間平均速度

u

i

: x

i 方向の瞬時速度成分

u

i

: x

i 方向の変動速度成分

u

i

:

大規模渦運動による速度成分

u

∗

:

摩擦速度

τ

w

/ρ

W

ψ

( b, a ) :

ウェーブレット係数，式（5.5）

W :

流路幅

x

i

: i

方向の座標

α :

せん断応力こう配

= 1 ρ · dτ

dx

2

δ :

顕微鏡の移動距離

θ

p

:

プリズムの傾斜角度

κ :

カルマン定数

Λ :

せん断速度比

d ( U

1/Ub

) d ( x

2

/ 2 h )

ν :

動粘度

ν

t

:

渦動粘度

τ :

せん断応力

τ

w

:

壁面せん断応力

φ

ii

( ω ) : u

i のパワースペクトル

Φ

_ii

( ω ) : φ

ii

( ω ) / ν

Ψ

_ii

: ωφ

ii

( ω )

ψ :

マザーウェーブレット

ω :

角周波数

ω

i

: i

方向渦度成分

( ) :

時間平均

< > :

スパン方向平均

添字

( )

_i

: i

方向を表す

( )

⁺

: u

∗

, ν

で無次元化した無次元量

(7)

第

1

^{章緒論}

1.1

本研究の背景および意義

工業上，複数の機械要素が狭い隙間を隔てて互いに相対運動する場合がある．例えば，

ジャーナル軸受けの軸と軸受け，非接触型のピストンとシリンダー壁面，あるいは高速で移動する列車と地面またはトンネル壁面などがあげられる．このような隙間内の流体の運動は，主に固体壁面の運動に伴って生じるせん断応力に起因して発生するのでせん断駆動流と呼ばれている．せん断駆動流のうち，面内で相対運動する二枚の無限平行平板間の流れを平行平板クエット乱流という．実際には純粋なせん断駆動流は少なく，これに壁面に平行な圧力こう配が加わり，せん断駆動と圧力駆動の流れが組み合わさった流れとなることが普通である．平行平板クエット乱流に圧力こう配を加えた流れをクエット・ポアズイユ乱流と呼んでおり，平行平板クエット乱流はクエット・ポアズイユ乱流の特別な場合に相当する．

さて最近の技術の進展に伴い，機械の高速化が著しく進んできた．このため隙間が小さくても，隙間

2 h

と相対移動速度

U

b で作られるレイノルズ数

Re

b

= 2 hU

b

/ν

が大きくなり，隙間内の流れが乱流となることがある．この場合機器の設計には平行平板クエット乱流の平均流特性，乱れ特性，乱れの構造などに関する資料が必要となってくるが，ポアズ

イユ乱流 ^(5)∼(11) や乱流境界層⁽¹²⁾の場合とは異なり，平行平板クエット乱流は十分に研

究されていないのが現状である．

次に平行平板クエット乱流に関する過去の研究を概観する．

平行平板クエット乱流に関する系統的な研究は

1959

年の

Reichardt

⁽¹³⁾が最初で，広いレイノルズ数の範囲で平均速度分布則について調べている．その後

Robertson & Johnson

(14)が平均速度と乱れ特性に関して報告し，乱流コア部での特徴（乱れ生成と散逸のバランス）等に言及している．El Telbany & Reynolds⁽¹⁵⁾は，クエット・ポアズイユ乱流の構造を次元解析から導かれる相似則に基づいて平均速度分布，乱れ統計量分布を調査した．

その特別な場合として平行平板クエット乱流の詳細なデータの考察を行っているが，彼らの実験装置は十分な発達距離をとらなかったため，特に乱れ統計量のデータの信頼性に問題があることが指摘されている⁽¹⁶⁾．彼らのデータを基に

Gibson

⁽¹⁷⁾ や

Schneider

⁽¹⁸⁾は乱れエネルギの逆こう配拡散の可能性を指摘したが，これについてはその後の中林ら ⁽¹⁹⁾ の実験により否定されている．

(8)

最近では直接数値計算（

DNS）による平行平板クエット乱流の研究がいくつか報告さ

れている．これまでの

DNS

が対象とする流れのレイノルズ数は低いが，実験では得られない渦の構造や詳細な乱れの統計量が示されるようになってきた．その中でも乱流コア部に大規模縦渦構造が現れることを示した

Lee & Kim

⁽²⁰⁾ の報告は重要である．彼らは定常的に流路スパン方向に並んだ互いに逆方向に回転する大規模縦渦構造の存在を初めて報告し，それまで単純な構造と考えられてきた乱流コア部が予想以上に複雑な構造になっていることを示した．しかし，Lee & Kimの

DNS

はその計算領域が狭かったため，得られた結果に疑義があった．Bech et al. ⁽²¹⁾ や

Komminaho et al.

⁽²²⁾は，特に流れ方向への計算領域を拡大し

DNS

を行った．その結果彼らは，瞬時瞬時には

Lee & Kim

の報告した大規模縦渦構造がスパン方向に並んで現れるが，これが時間的・空間的に揺らいでいるため，時間平均すると縦渦構造が不明確になると指摘している．この大規模縦渦構造を実験により直接確かめた報告はないが，Tillmark & Alfredsson ⁽²³⁾ は横相関がスパン方向に波状的に変化し，零に収束しないことから大規模縦渦構造が存在することを推測している．

Dauchat & Daviaud

⁽²⁴⁾は層流クエット流の乱流への遷移に関連し，流路内に細いワイヤをスパン方向に張ることで流れにかく乱を与えると，あるレイノルズ数以上ではスパン方向に並んだ縦渦が現れることを示しているが，平行平板クエット乱流中の大規模縦渦構造との関連は不明である．

1.2

^{本研究の目的}

以上過去の研究を概観したが，本研究においてはこれまでの研究では明らかにされていない平行平板クエット乱流の以下の点について実験的に解明を行う．

（１）壁領域および乱流コア部それぞれにおける平均速度分布と乱れ統計量のレイノルズ数依存性：

クエット乱流が狭い隙間内の流れとして現れることが多いため，流れのレイノルズ数が小さい場合が多い．そこで，流れに及ぼすレイノルズ数の効果を明らかにしておくことが必要である．壁乱流では，領域を壁領域と乱流コア部に分けて考察するが，過去の報告では平行平板クエット乱流の壁領域の流れは，ポアズイユ乱流のものと同じであるとされ，

平行平板クエット乱流のレイノルズ数効果に関する詳しい定量的な検討がされていない．

事実，次元解析によると壁領域の速度分布は，ポアズイユ乱流では

U

1+

= f ( x

2+

, Re

^∗

, µ ) (1.1)

となるのに対し，平行平板クエット乱流では

U

1+

= f ( x

2+

, Re

^∗

) (1.2)

となり，パラメータに対する依存性が両者で異なってくる．ここで

µ

は無次元せん断応

(9)

力こう配で

µ = ρ u

∗3

ν / dτ

dx

2 である．一方，乱流コア部ではポアズイユ乱流と異なり，速度欠損則がレイノルズ数に依存することが報告されているが^(13)(19)，研究者ごとにその傾向が異なっている点等，不明な点が多い．

（２）乱流コア部に現れる大規模縦渦構造の生成・維持メカニズムとこの縦渦の存在によるクエット乱流の乱流特性への影響：

平行平板クエット乱流中の大規模縦渦構造の存在については実験的に確かめられてはいないが，上述のように

DNS

によりその存在が示されている．このような大規模縦渦構造の生成はせん断乱流に特有の現象で，例えば一様せん断乱流中にもせん断が強い場合に縦渦が発生するとの報告が

Lee et al.

⁽²⁵⁾ によってされているが，これらとの関連については明らかではない．さらに，この縦渦の存在により流れ場の３次元化，大規模縦渦の時間・空間的な揺らぎによる速度変動への影響など未解明の点が多く残されている．

1.3

^{本論文の構成}

本論文は六つの章から構成されている．第１章では本論文の持つ背景と意義目的を述べた．第２章では研究に用いた実験装置並びに実験方法について述べる．第３章では平行平板クエット乱流の平均速度，乱れ強さ，高次統計量に及ぼす低レイノルズ数の効果について考察する．第４章では平行平板クエット乱流の大規模縦渦構造について，大規模縦渦構造の維持メカニズムや平均速度や乱れ強さに及ぼす影響を考察する．第５章では平行平板クエット乱流の乱流中に現れる速度変動についてパワースペクトルやウェーブレット解析および大規模縦渦との関連について考察する．そして第６章では本研究の結果をまとめる．

(10)

第

2

章実験装置と実験方法

2.1

^実験装置

本研究で用いた実験装置概略を，図

2.1

に示す．エアフィルター

1

を通過して送風機

4

から出た空気は直径

200 mm

の送風管を通り，流路上流のディフューザ

9

に送り込まれる．送風機

4

の電動機

2

はインバータ制御

3

により回転数を可変できる．それにより送風機

4

の送風量を調節できる．送風管の途中には流量を測るためにオリフィス流量計

6

が設置してあり，流量をモニタできる．空気はディフューザ

9

で流路幅

880 mm

×

高さ

250 mm

まで広げられる．さらに二次元ノズル

10

によって高さ

250 mm

から供試流路高さまで収縮され，ノズル出口に設置されたせん断流発生格子

27

を通り供試流路にはいる．供試流路を出た空気は出口ノズル

18

を通り大気に放出される．

せん断流発生格子の詳細を図

2.2

に示す．せん断流発生格子は，完全発達したクエット乱流を短い助走距離で得るために設置した．格子の枠はアルミ合金と鋼板でできており，空気が流れる部分には

McCarthy

⁽²⁶⁾ の理論に基づき，流路中央部のせん断速度比

Λ ≡ d ( U

1

/U

b

) /d ( x

2

/ 2 h ) = 0 . 38

となるように直径

1 mm

のステンレスワイヤが図に示された間隔で長手方向に平行に張ってある．図

2.3

にせん断流発生格子直後の速度分布を示す．図中の直線は

Λ = 0 . 38

の分布を示している．得られた速度分布はこの直線にほぼ一致している．

図

2.4

に供試流路部の詳細と座標系を示す．本研究で用いた流路の全長

(

前後部ローラ回転軸間距離

)

は

5 . 12 m

であり，流路高さ

2 h

は

27 mm

あるいは

47 mm

，流路幅

W

は

880 mm

である．アスペクト比

( = W/ 2 h )

は，32

. 6(2 h =27 mm )

あるいは

18 . 7(2 h =47 mm )

である．流路の側壁は

U

字型ジュラルミン材を流路幅

W =880 mm

になるように平行に固定してつくられている．固定壁は，板厚

10 mm

のアクリル板製で，

歪まないように等辺アングル鋼を用いて補強されている．測定部の上壁には，ピトー管や熱線プローブを

x

3 方向に移動できるように幅

16 mm

の溝が切ってある．流路の下壁

(

移動壁

)

は，搬送面が熱可塑性ポリウレタンでできたポリエステル芯体層を持つハバジッ

ト社製

TYPE HAU-12E

高性能コンベアベルトである．この移動壁は，インバータ制御

される可変速モータによってローラを回転することにより，一定速度

U

b で動く．また，

このベルト面の振動は速度の測定に影響しないほど小さい⁽²⁷⁾．ベルトに等間隔に張り付けられた反射テープを光学式のピックアップにより感知し，１秒あたりのテープの通過数からベルト速度を測定した．座標系は，流路入口より流れ方向に

x

1軸，静止壁から垂直

(11)

方向に

x

2 軸，流路中央よりスパン方向に

x

3 軸をとる．

2.2

^{速度測定方法}

速度の測定には熱線流速計とピトー管を用いた．熱線流速計は司測研製定温度型熱線流

速計

HC-30

であり，温度変化による出力変化を小さくするために同社製温度補償ユニッ

トを用いた．また熱線プローブには自作の

I

型熱線プローブ（図

2.5

）と

X

型熱線プローブ（図

2.6

）を用いた．X 型熱線プローブは，

u

1

− u

2 速度測定用と

u

1

− u

3 速度測定用の二種類を用意した．それぞれの感知部について，I型熱線プローブの感知部は直径

5 µm

，長さ

0 . 8 mm

，X型熱線プローブは直径

3 µm

，長さ

0 . 5 mm

間隔

0 . 5 mm

とした．

I

型熱線による測定について，検定風洞で得られた速度-電圧の関係に流速計の出力電圧をあてはめ，瞬時の速度を得る．X 型熱線による測定は

Lueptow

らが提案しているルックアップテーブル方式 ⁽²⁸⁾ の原理を採用した．具体的な計算手法については加藤の方法

(29)に従い，瞬時の

( u

1

, u

2

)

または

( u

1

, u

3

)

速度を得た．速度-電圧の検定の例を図

2.7

に示す．これは一様な流れ場の各速度において，ピッチ角

ψ

を

− 30 ∼ 30˚に変化させたと

きの二本の熱線出力電圧をプロットしたものである．壁近傍の乱れ強さがもっとも大きい場合でも

ψ < 30˚であるので（確率 90 %）,

検定のピッチ角は

ψ = − 30 ∼ 30˚で十分で

ある．

u

1

− u

3 速度測定用

X

型熱線プローブからの出力電圧を用いて

U

1

, U

3 を求める際に，得られた結果は平均速度こう配

dU

1

/dx

2が大きい壁近傍で，速度こう配の影響を強く受ける．

この

X

型熱線プローブの二本の熱線は熱線間隔

s

を隔てて壁に平行に張られているため，

壁に近いほうの熱線は，もう一方の熱線に対し

U =

^dU_dx¹

2

s

だけ遅い速度場におかれる．

これに対し熱線の検定は一様速度場のもとで行われるので，検定結果をそのままこの

X

型熱線出力に適用すると速度こう配の影響による測定誤差が現れる．この影響を避けるため，それぞれの熱線の出力電圧を次のように補正して平均速度を求めた．このプローブが壁からの距離

x

20にある時，それぞれの熱線は

x

2+

= x

20

+

^s₂

, x

2−

= x

20

−

^s₂の距離にある．二本の熱線の平均出力電圧

E

1

, E

2を

x

2 の関数となるように多項式

( E

i

= f

i

( x

2

))

で近似する．この近似式にプローブの壁からの距離

x

20 を代入すると，その位置での熱線の出力

E

1

, E

2 が求まり，平均速度こう配

dU

1

/dx

2 の影響を取り除くことができる．この熱線出力の補正法は，時間平均速度に対してのみ有効である．このため，乱れの瞬時速度やレイノルズ応力

−ρu

₁

u

₃ ついてはこれに基づく誤差を含んでいる．しかし，壁近傍をのぞいた領域では速度こう配

dU

1

/dx

2 が小さいので，これによる誤差は無視できる．以下の考察で，

u

1

- u

3 速度用プローブから求められる平均速度

u

3についてはこの補正を施した．

熱線からの出力は，パソコンに取り付けられた

A/D

変換器でサンプリング周波数

10kHz

で

120

秒間測定し，測定データは光磁気ディスクに記録した．測定データからワークス

(12)

テーションにより平均速度，乱れ統計量等を計算した．

熱線による測定誤差について，I 型熱線を用いた

U

1 測定の場合，測定値の

± 1%

以内，

X

型熱線を用いた

u

1，

u

2，

u

3 および

u

i2 測定の場合，測定値の

± 5%

以内である．

クエット流中央部のスパン方向への速度分布

U

c

( x

3

)

測定には，ピトー管（外径

φ = 1 . 5 mm

，内径

φ = 1 . 0 mm

）を用いた．ピトー管からの全圧と壁面で測定した静圧との差を柴田科学機器製の精密微差圧計

ISP-3-20S

（測定精度

1/100 mm Aq

）を用いて動圧

p

tを測定し，その

64

秒間の平均値から次式により速度を求めた．

U =

2 p

t

ρ (2.1)

壁面静圧の測定には流路アクリル壁面上に

φ 0 . 8

の静圧孔を設け，基準位置と任意の位置の差圧を精密微差圧計により求めた．

2.3

^{壁からの距離測定}

摩擦速度

u

∗ を推定するため壁近傍の速度を正確に測定する必要があり，このため熱線の壁面からの距離を

1 / 100 mm

の精度で測定しなければならない．熱線の壁からの距離測定は，プリズムと実体顕微鏡を用いて行った．この測定の原理を図

2.8

に示す．プリズムを角度

( θ

p

)

でベルト面上に置いた．このプリズムと顕微鏡で熱線の先端を観察した．この顕微鏡はトラバース装置（ディジタルマイクロメータ（読みとり単位

0 . 001 mm

）付属）

により移動できる．実体顕微鏡の視野には熱線プローブの実像とアクリル壁面に映った虚像が見える（図

2.8

右側）．この実像と虚像にそれぞれ顕微鏡の十字線をあわせ，その移動距離

δ

をマイクロメータから読みとる．壁からの距離

x

20と顕微鏡の移動距離

δ

との関係は光路解析より次のように与えられる．

x

20

= 1 2

δ

sin(2 θ

p

) (2.2)

上式より，熱線の壁からの距離を求める．I 型熱線の場合（図

2.8

右上側），受感部任意の数カ所の平均値，X 型熱線の場合（図

2.8

右下側），受感部先端の虚像・実像が４組現れるので，その４組の平均値を式（

2.2

）の

δ

とした．

2.4

^{壁面せん断応力の測定}

壁面せん断応力の測定方法は，フローティングエレメントにかかる力から求める方法

(30) や，速度分布を対数法則に一致させる

Clauser

法等様々あるが，本研究では

Nagano et al.

⁽³¹⁾ の方法を採用した．

この方法の原理を説明する．熱線流速計の出力電圧は熱線プローブの受感部が空気の流れにより冷却され，その冷却に比例して電圧を出力するようになっている．しかし，壁近

(13)

傍では壁への冷却により実際の流速よりも大きな出力電圧が現れる．この見かけ上の出力電圧に対する速度を壁面摩擦速度

u

∗ と動粘度

ν

を用いて無次元化すれば，壁と熱線の材質および熱線の形状が変わらなければ，圧力こう配やレイノルズ数の影響を受けずその熱線固有の分布となる⁽³¹⁾．この速度分布を次式で表す．

U

⁺

= f ( x

2+

) (2.3)

式

(2.3)

の

f ( x

2+

)

を

u

∗がわかっている流れの速度分布から得る．本研究では式

(2.3)

の普遍分布を得るために専用の検定風洞を用いた．この検定風洞は流路のアスペクト比が

35

で，ほぼ理想的な二次元ポアズイユ流れが得られるように作られている⁽²⁹⁾．二次元ポアズイユ流においては

N-S

式より流れ方向静圧こう配

dp

w

/dx

1が高さ方向のせん断応力こう配

dτ /dx

2 に等しい．よって

dp

w

/dx

1 からこの流れの壁面せん断応力

τ

w を求めることができる．この

τ

w を用いて式

(2.3)

の速度分布を得る．この速度分布の実例を三つのレイノルズ数

Re

c

=56000 , 32000 , 20000

に対して示したのが図

2.9

である．いずれの

Re

c においても同一の速度分布になっている．図中の実線は壁近傍

( x

2+

= 2 ∼ 8)

の平均速度分布を３次式で最小自乗近似した線である．この分布に，クエット流れの実験で得られた速度分布が

x

2+

= 2 ∼ 8

の範囲でもっともよく一致するように

u

∗ を探すことで摩擦速度を決定した．

2.5

^実験条件

クエット乱流の測定はレイノルズ数

Re

b

=20000 , 15000 , 10000 , 7000 , 5000 , 3000

で行った．

平行平板クエット乱流の条件として，(i)流れ方向の圧力こう配

dp

w

/dx

1がゼロになること，（例として

Re

b

=15000

の場合の

p

w の

x

1 方向圧力分布を図

2.10

に示す．ただし図中の誤差棒は読みとりの変動の幅を表す），(ii)

x

2 方向のせん断応力

τ

が一定になること，(iii) 流路の中心

x

2

/ 2 h = 0 . 5

で流れ方向速度

U

c がベルト速度

U

b の半分になることがあげられる．このうち

(i)

については低レイノルズ数の場合，

dp

w

/dx

2 を測定するには微差圧計の分解能

(1/100 mm Aq)

では不十分である．(ii) については第４章で述べているような大規模縦渦の存在によりせん断応力が

x

2 方向に必ずしも一定でない場合がある．よって本実験において，クエット流を設定する条件として

(iii)

の方法を採用した．具体的には以下のように行った．

図

2.11

で示すように大規模縦渦運動のため中央面での速度

U

c がスパン方向に周期的に変化している．そこで

U

c の１周期分の平均値_L¹^L₀

U

c

dx

3 が ¹₂

U

b の誤差

± 1%

以内で一致するようにクエット流れを設定した．

(14)

2.6

^{流れの発達}

中林ら⁽¹⁶⁾ によれば，平行平板クエット乱流は，

x

1

/ 2 h ≥ 60

で平均速度，乱れ強さが下流方向に変化しない発達した流れが得られると報告している．図

2.12 ∼ 2.15

に平均速度

U

1

/U

b，

u

1 の乱れ強さ,スキューネス，フラットネスの分布の発達状況を

2 h =27 mm , Re

b

=10000

について示す．平均速度分布は上流

( x

1

/ 2 h =39 . 6)

から変化がみられない．

しかし，乱れ強さや高次統計量分布ではこれより下流

( x

1

/ 2 h ≥ 72 . 2)

から変化がなくなる．以上より

x

1

/ 2 h ≥ 72 . 2

で流れはほぼ完全発達であることがわかる．本実験装置は中林ら⁽¹⁶⁾と同じ実験装置の流路入り口部にせん断発生格子を取り付けたものであるが，平均速度分布，乱れ強さ分布の下流方向変化は中林ら⁽¹⁶⁾ と同じである．ここではこの条件を考慮し，クエット乱流の測定を

x

1

/ 2 h =90 . 2 (2 h =47 mm )

あるいは

x

1

/ 2 h =157 . 0

(2 h =27 mm )

の断面で行った．

(15)

Fig. 2.1: Experimental apparatus.

(16)

Fig. 2.2: Shear generating grid.

0 . 5 1 1 . 5

0 0 . 5 1

U

₁

/ U c x

2

/2 h

Λ = 0 . 3 8

Fig. 2.3: Streamwise velocity distribution behind the grid.

(17)

2 h U

b

x

¹

Measuring station

Nozzle

Stationary wall Hot-wire probe

Nozzle

Belt Shear generating grid

x

³

x

1

x

2

Fig. 2.4: Co-ordinate system.

Fig. 2.5: I-type wire probe.

(18)

Fig. 2.6: X-type wire probe.

(19)

0 2 4 6 0

2 4 6

E

2

[V]

E

₁

[V]

U=7 [m/s]

= 0 [deg]

= 30 [deg]

= –30 [deg]

Each 5 [deg]

U=0.8 [m/s]

Fig. 2.7: Caribration curve of X-type hot wire.

(20)

Fig. 2.8: Measuring system of a distance form wall.

1 0 ⁰ 1 0 ¹

0 5 1 0

x ₂ ⁺

U 1 + R e

_c

’

5 6 0 0 0 3 2 0 0 0 2 0 0 0 0

D N S ( H o r i u t i : R e

^*

= 1 8 0 ) P o i s e u i l l e f l o w

R e

^*

3 4 3 2 1 0 1 3 7

U

₁ ⁺

= f ( x

₂ ⁺

)

Fig. 2.9: Streamwise velocity distribution measured with I-type hot wire.

(21)

0 1 0 0 2 0 0 – 0 . 0 2

– 0 . 0 1 0 0 . 0 1 0 . 0 2

x

₁

/ 2 h

△ p

w

/( 1 /2 ρ U

b)

R e _b= 1 5 0 0 0

T e s t s e c t i o n : x ₁/ 2 h = 1 5 7 R e f . t a p : x ₁/ 2 h = 1 7 1

Fig. 2.10: Wall pressure distribution.

– 1 0 0

0 . 9 5 1 1 . 0 5

x

₃

/ 2 h

U

c

/( 1/ 2) U

b x ₁/ 2 h = 1 5 7

R e _b 1 5 0 0 0 2 h = 2 7 ( m m )

Fig. 2.11: Spanwise distribution of U

c

(22)

0 0 . 5 1 0

0 . 5 1

U

₁

/ U

_b

x

2

/2 h

^{R e} b= 1 0 0 0 0

x ₁/ 2 h 3 9 . 6 5 5 . 2 7 2 . 2 8 9 . 3 1 0 6 . 3 1 2 3 . 0 1 4 0 . 0 1 5 7 . 0

Fig. 2.12: U

1

distribution.

0 0 . 5 1

0 0 . 0 5 0 . 1

x

₂

/ 2 h u ’

1

/U

b

R e _b = 1 0 0 0 0 x ₁/ 2 h

3 9 . 6 5 5 . 2 7 2 . 2 8 9 . 3

1 0 6 . 3 1 2 3 . 0 1 4 0 . 0 1 5 7 . 0 x ₁/ 2 h

Fig. 2.13: Turbulence intensity of u

1

.

(23)

0 0 . 5 1 – 0 . 5

0 0 . 5

x

₂

/ 2 h S( u ’

1

)

R e _b = 1 0 0 0 0 x ₁/ 2 h 3 9 . 6 5 5 . 2 7 2 . 2 8 9 . 3

1 0 6 . 3 1 2 3 . 0 1 4 0 . 0 1 5 7 . 0

Fig. 2.14: Skewness factor of u

1

.

0 0 . 5 1

0 1 2 3 4 5

x

₂

/ 2 h F( u ’

1

)

R e _b = 1 0 0 0 0 x₁/ 2 h 3 9 . 6 5 5 . 2 7 2 . 2 8 9 . 3

1 0 6 . 3 1 2 3 . 0 1 4 0 . 0 1 5 7 . 0

Fig. 2.15: Flatness factor of u

1

.

(24)

第

3

章平行平板クエット乱流に及ぼす低レイノルズ数の効果⁽¹⁾⁽²⁾

3.1

^緒論

平板クエット乱流の速度分布則や乱れ特性については

Reichardt

⁽¹³⁾や

Robertson & John- son

⁽¹⁴⁾の先駆的研究以降，実験的研究報告はあまりなされていない⁽³²⁾．これまでの報告によれば，クエット乱流は壁領域においてはポアズイユ乱流と乱流構造がほぼ同じであるが，乱流コア部ではポアズイユ乱流と著しく相違すること，さらに長い二点縦相関を持っていることが明らかにされてきた．最近では，直接数値シミュレーション

(DNS)

により，

クエット乱流に現れる大規模な縦渦構造や，乱れの詳細な構造に研究が向けられている

(20) (22)．

クエット型の流れは工業的には狭いすきま内の流れとして現れることが多く，低レイノルズ数域のものが多い．しかしながら，これまでの研究において，速度分布等に及ぼす低レイノルズ数の影響については調べられていない．本章では，低レイノルズ数域も含め広いレイノルズ数の範囲

3000 ≤ Re

b

(=2 hU

b

/ν ) ≤ 20000

で実験的に速度分布，乱れ特性に及ぼすレイノルズ数の影響を解明する．

具体的には以下の三点について検討する．

(1)

壁法則に及ぼすレイノルズ数の影響

壁領域でクエット乱流と類似の流れを持つポアズイユ乱流の速度を壁変数を用いて表すと⁽¹⁵⁾

U

1+

(= U

1

/u

∗

) = f

1

( x

2+

, Re

^∗

, µ ) (3.1)

ここで，

Re

^∗

(= u

∗

h/ν )， µ (= u

²_∗

/

¹_ρ^dτ_dy

ν/u

∗

)

は無次元せん断応力こう配である．ポアズイユ乱流では，

Re

^∗

= −µ

の関係があるので，通常，

U

1+ の分布は

Re

^∗ のみに依存するとしている．

しかし，実際は

Re

^∗ を変えると，

Re

^∗

, µ

がともに変化するため，二つのパラメータの影響が混合して現れ，

Re

^∗ だけの影響を知ることができない．クエット乱流では

dτ /dx

2

= 0

のため

µ → ∞

であり，

U

1+ は

U

1+

= f

2

( x

2+

, Re

^∗

) (3.2)

と表され，

U

1+ の分布は，

Re

^∗ のみに依存する．よってクエット乱流の

Re

^∗ 依存性を調査することにより，壁法則に及ぼす

Re

^∗ の影響を調べることができる．

(25)

(2)

乱流コア部の流れに及ぼすレイノルズ数の影響

乱流コア部の速度分布は，欠損則で表される．欠損則に及ぼす

Re

^∗ の影響から，乱流コア部の

Re

^∗ の依存性を考察する．

(3)

乱れ統計諸量分布に及ぼすレイノルズ数の影響と乱れ構造

乱れ統計量（乱れ強さ，相関係数，スキューネス，フラットネス，四象限分解）から，

高次統計量に現れる

Re

^∗ の影響と乱れ構造の特徴を調べる．

3.2

^{実験結果と考察}

ここでの実験条件を表

3.1

に示す．実験装置は図

2.4

と同じである．

3.2.1

^{壁面摩擦係数}

図

3.1

は次式

(3.3)

で定義される壁面摩擦係数である．

C

f

= τ

w

1 2 ρU

_b²

(3.3)

図中の実線は層流の場合の理論式

C

f

= 2 Re

b

(3.4)

を表し，破線は

Robertson & Johnson

⁽¹⁴⁾の乱流の経験式

C

f

= 2 { 0 . 095 / log( Re

b

/ 4) }

²

(3.5)

である．本実験の結果は低レイノルズ数まで，この経験式に良く一致している．Tillmark

& Alfredsson

⁽³³⁾によると平行平板クエット流の乱流への遷移レイノルズ数は，

Re

b

= 1440 ± 40

である．本実験の最小のレイノルズ数（

Re

b

=3000）はこの遷移レイノルズ数

のおよそ２倍であり，完全乱流である．

3.2.2

^{平均速度分布}

壁法則

図

3.2

は壁変数で無次元化した平均速度分布である．

x

2+

> 40

で，図中には

Hussain

& Reynolds

⁽⁵⁾ のポアズイユ乱流も参考のために示してある．いずれのレイノルズ数に対

しても対数速度分布

U

1+

= 1

κ ln x

2+

+ B (3.6)

(26)

が成り立つ．図

3.7

から対数領域を求め，その範囲で式

(3.6)

に最小自乗近似した結果，

対数領域のカルマン定数

κ

は本実験のすべての条件で

0 . 40

である．しかし，付加定数

B

はレイノルズ数により若干変化する．

図

3.3

は対数則の付加定数

B

をレイノルズ数

Re

^∗に対してプロットしたものである．

図中には比較のため

Patel & Head

⁽³⁴⁾による平行平板ポアズイユ乱流の結果，および円管ポアズイユ乱流の結果（一点鎖線）が示してある．ポアズイユ乱流では，

Re

^∗が小さくなるにつれ

B

は大きくなる．一方，クエット乱流では

Re

^∗が小さくなると

B

は小さくなる．クエット乱流での壁法則は，式

(3.2)

からわかるように

Re

^∗ のみに依存するため，この

B

の減少は壁法則に対する低レイノルズ数の影響であると結論づけられる．

Re

^∗

≥ 200

では，

B

はレイノルズ数に依らず，

B = 5 . 5 ∼ 5 . 7

である．ポアズイユ乱流で，

Re

^∗低下により

B

が増大するのは，式

(3.1)

に示したパラメータ

Re

^∗

, µ

のうち，

µ

の影響であることが中林ら⁽³⁵⁾により報告されている．クエット乱流において，低レイノルズ数の影響により

B

が低下するのは，バッファ領域の流れが低レイノルズ数効果により変化するためであることが，図

3.7

の

x

2+

dU

1+

/dx

2+ 分布から推測できる．すなわち，5

≤ x

2+

≤ 60

のバッファ領域で，

Re

b

≥ 7000

の分布はほぼ同じであるが，これより低いレイノルズ数ではこの分布より下にずれる．ずれ始める

x

2+ の下限は，

Re

b が下がるにつれ小さくなり，低レイノルズ数の影響が

x

2+の小さい範囲に拡大していることがわかる．バッファ領域の流れは

Van Driest damping factor A

⁺ の値⁽³⁵⁾により特徴づけられるので，次に

A

⁺ のレイノルズ数依存性を調べてみよう．図

3.4

は

A

⁺ を

Re

^∗に対してプロットしたものである．比較のため図中には

Huﬀman & Bradshaw

⁽³⁶⁾ のポアズイユ乱流の結果も示してある．彼らは，レイノルズ数が低くなるとポアズイユ乱流の

A

⁺は大きくなり，これがせん断応力こう配

( dτ

⁺

/dx

2+

)

に依存していると報告している．これに対し，クエット乱流では，

Re

^∗が小さくなると

A

⁺も小さくなる．

A

⁺と

B

の

Re

^∗依存性は同じ傾向であるが，それは

A

⁺と

B

が密接に関係しているためである．

A

⁺ と

B

の結果から，壁法則が低レイノルズ数の影響を受ける臨界レイノルズ数

Re

^∗はおよそ

200

であることがわかる．

速度欠損則

乱流コア部では後に示すように渦動粘度

ν

t が

x

2 方向に一定となるので，速度分布は次式で示す速度欠損則で表される．

U

c

− U

u

∗

= 1

1 /Re

^∗

+ K

1

1 − x

2

h

= R

s

1 − x

2

h

(3.7)

ここで，

R

s

= 1 / (1 /Re

^∗

+ K

1

) = ( u

∗

/h )

⁻¹

/ ( dU/dx

2

)

⁻¹ である．

R

sは欠損則表示した場合の速度こう配であり，平均速度せん断の時間スケールに対する代表的な乱れの時間スケールの割合⁽¹⁹⁾を表す．

R

sが大きいほど，乱れに及ぼす速度こう配の影響は大きい．図

3.5

は測定結果を速度欠損表示したものである．いずれの

Re

^∗ においても流路中央部に欠

(27)

損則に従う領域がみられる．欠損則のこう配

R

s は

Re

^∗ により異なっている．このこう配

R

sを図

3.6

に

Re

^∗に対してプロットする．研究者によりデータ間に大きな相違が見られる．特に

Robertson & Johnson

⁽¹⁴⁾の結果は，他の研究者の傾向と逆に

Re

^∗ の増大とともに

R

s が低下しているが，現在のところその理由は不明である．しかし

Robertson &

Johnson

の結果を除けば，全体として

R

sは

Re

^∗ とともに増大している．特に

Re

^∗

≤ 250

では，DNSの結果を含め筆者の結果は，

R

s は

Re

^∗ とともに増大することを支持している．

Re

^∗

> 500

では

R

sは一定値に近づくようであるが，データ数が少なくその傾向については明確には分からない．このように

Re

^∗ とともに

R

s が増大することは，レイノルズ数が大きいほど乱れに及ぼす平均速度せん断の影響が強くなることを表している．式

( 3.7)

からわかるように

R

s の

Re

^∗依存性は，

Re

^∗が大きい場合，

K

1の

Re

^∗による変化に基づいている．

領域分け

速度分布の領域分けをするため

x

2+

dU

1+

dx

2+ の

x

2+に対する分布を図

3.7

に示す．粘性底層

( x

2+

= U

1+

)，対数則 (式 (3.6))，速度欠損則 (式 (3.7))

を

x

2+で微分し，両辺に

x

2+ を掛けるとそれぞれ次式を得る．

x

2+

dU

1+

dx

2+

= x

2+ （粘性底層）

(3.8) x

2+

dU

1+

dx

2+

= 1

κ

（対数則）

(3.9) x

2+

dU

1+

dx

2+

= R

s

Re

^∗

x

2+ （欠損則）

(3.10)

図中の線分は，式

(3.8) ∼ (3.10)

の関係を

Re

b

=5000

の実験結果に合うように描いたものである．これらの線分と実測結果が一致する範囲から，図中に示すように流れを直線領域，バッファ領域，対数領域，速度欠損領域に分けることができる．データにはばらつきがあるが，

Re

b

=5000

の場合，42

≤ x

2+

≤ 60

の範囲に対数領域が存在することがわかる．

Re

b

=3000

では，対数則の式

(3.9)

に対応するのは

x

2+

≈ 40

近傍の狭い範囲に限られており，

Re

b

=3000

は対数領域が存在する下限である．

3.2.3

^渦動粘度

図

3.8

に無次元渦動粘度

K

1

= ν

t

/ (2 hu

∗

)

の分布を示す．参考のため図中にはポアズイ

ユ乱流 ^{(5) (37)}の結果も示してある．図中の実線は対数領域で成立する式

K

1

= ν

t

2 hu

∗

= κ · x

2

平行平板クエット流の乱流特性と大規模縦渦構造の 解明

. (

) .

. .

7

4

(

)

iii

1

1

1.1

. . . . 1

1.2

. . . . 2

1.3

. . . . 3

2

4 2.1

. . . . 4

2.2

. . . . 5

2.3

. . . . 6

2.4

. . . . 6

2.5

. . . . 7

2.6

. . . . 8

3

18 3.1

. . . . 18

3.2

. . . . 19

3.2.1

. . . . 19

3.2.2

. . . . 19

3.2.3

. . . . 21

3.2.4

. . . . 22

3.3

. . . . 25

4

37 4.1

. . . . 37

4.2

. . . . 37

4.3

. . . . 38

4.4

. . . . 40

4.4.1

. . . . 40

4.4.2

. . . . 41

4.4.3

. . . . 42

4.5

. . . . 44

5

59 5.1

. . . . 59

5.2

. . . . 59

5.3

. . . . 60

5.3.1

. . . . 60

5.3.2

. . . . 62

5.3.3 −u

u

. . . . 63

5.3.4

. . . . 63

5.3.5

. . . . 64

平行平板クエット流の乱流特性と大規模縦渦構造の解明

) _.