白石 清（山口大学理学部）

集中講義

非可換空間の基礎の非果敢な review

白石 清（山口大学理学部）

平成 26 年 6 月 15 日

概 要 ていうか，

review

になってない。

目 次

1

座標と微分

3

1.1 座標 . . . . 3 1.2 微分 . . . . 3

2

並進と平面波

4

2.1 並進 . . . . 4 2.2 平面波 . . . . 4

3

非可換トーラス

5

3.1 基底 . . . . 5 3.2 Fuzzy torus . . . . 6 4

２次元非可換空間とフォック空間による表現

7

5 star

積

8

5.1 Weyl-Moyal star product . . . . 8 5.2 フーリエ変換 . . . . 9 5.3 結合則 . . . . 9

6

非可換場の古典解

11

6.1 広がった「点」 . . . . 11 6.2 フォック空間の基底による表示 . . . . 12 6.3 非可換ソリトン解 . . . . 14

7

非可換空間上のゲージ理論

16

7.1 field strength . . . . 16 7.2 vortex solution . . . . 17

8

非可換空間上の量子場の理論

19

8.1 相互作用のない理論 . . . . 19

8.2 φ

³

理論 . . . . 19

8.3 φ

⁴

理論 . . . . 20

1 座標と微分

1.1 座標

座標がまともな「数」でなく，非可換であるとしよう。

x

ⁱ

, x

^j

= iθ

^ij

(1) ただし θ

^ij

は実で， θ

^ji

= − θ

^ij

。また， θ は逆 θ

⁻¹

を持つとする。

1.2 微分

微分は，

∂

_i

x

^j

= δ

^j_i

(2)

となるように定義する。

座標の関数 f (x) の微分は

∂

_i

f = − i(θ

⁻¹

)

_ij

x

^j

, f (3) と書ける。

f = x

^k

の場合，確かに

∂

_i

x

^k

= − i(θ

⁻¹

)

_ij

x

^j

, x

^k

= − i(θ

⁻¹

)

_ij

iθ

^jk

= δ

^k_i

(4) f も演算子的に考え，つまり，後ろにぶち当たる ψ とかあったりする

と思えば

∂ ˆ

_i

, f ψ = − i(θ

⁻¹

)

_ij

x

^j

, f ψ (5)

（区別のため notation をこそっとかえた。）というわけで，

∂ ˆ

_i

= − i(θ

⁻¹

)

_ij

x

^j

(6) を使うこともできる。使い方に注意。このとき

∂ ˆ

_i

, ∂ ˆ

_j

= − i(θ

⁻¹

)

_ik

x

^k

, − i(θ

⁻¹

)

_j

x

= − (θ

⁻¹

)

_ik

(θ

⁻¹

)

_j

iθ

^k

= − i(θ

⁻¹

)

ji

= i(θ

⁻¹

)

ij

(7)

これも普通でないね。 （ ∂ ˆ

i

を U (1) ゲージ場を含んだ共変微分と思えば，右

辺が磁場に見えてくる，よね。）

2 並進と平面波

2.1 並進

並進を

x

ⁱ

→ x

ⁱ

+ a

ⁱ

(8)

とする。

無限小の場合， x

ⁱ

→ x

ⁱ

+

ⁱ

で f → f + δf = f +

ⁱ

∂

_i

f 。 したがって

¹

f (x

ⁱ

+ a

ⁱ

) = e

^{−i(θ−1)ijaixj}

f (x)e

^{i(θ−1)ijaixj}

(9)

2.2 平面波

平面波 e

^ik·x

は次を満たすとする。

∂

_j

e

^ik·x

= ik

_j

e

^ik·x

(10) 普通の exponential でいいみたい。

ただ積を考えると

e

^ik·x

· e

^ik·x

= e

^{−2iθijkikj}

e

^i(k+k)·x

(11) となる。（これは，なんとかいう公式

²

からでるよね。）

また

³

e

^ik·x

· f (x) · e

^−ik·x

= f(x

ⁱ

+ θ

^ij

k

_j

) (12) この関係は， （エネルギー）運動量が大きいと，非局在性が大きいことを 表している。

1

Baker-Campbell-Hausdorff formula e

^A

Be

^−A

= B + [A, B] + · · ·

2これも

Baker-Campbell-Hausdorff formula

というのでした。

e

^A

e

^B

= e

^{A+B+12[A,B]+···}

3 非可換トーラス

3.1 基底

通常の空間で

f(x

ⁱ

) = f(x

ⁱ

+ 2πn

ⁱ

) (13)

（ n

ⁱ

は整数）となるような関数を考えることに相当。その基底は

u

_j

= e

^ixj

(14)

２次元空間では，トーラス上の任意関数は f(x

¹

, x

²

) =

n,m∈Z

a

_nm

u

ⁿ

v

^m

(15)

と表せる。ここで

u = e

^ix1

, v = e

^ix2

(16)

非可換空間では

e

^ixi

· e

^ixj

= e

^−2iθij

e

^i(xi+xj)

(17) e

^ixj

· e

^ixi

= e

^−2iθji

e

^i(xi+xj)

= e

^2iθij

e

^i(xi+xj)

(18) であるので

U

_j

= e

^ixj

(19)

と書くと

U

_i

U

_j

= e

^−iθij

U

_j

U

_i

(20) の関係が成り立つ。

なんとなく量子群的変形を思い浮かべる。

２次元非可換空間

x

¹

, x

²

= iθ (21)

では，

U = e

^ix1

, V = e

^ix2

(22)

と書くと

U V = e

^−iθ

V U (23)

の関係が成り立つ。

3.2 Fuzzy torus

互いに素な整数 p ， N があって， ω = e

^2πip/N

とする。

２つの N × N 行列

U =



 

 

 

 



1 ω

ω

²

. ..

ω

^N−1



 

 

 

 



, V =



 

 

 

 



1 1

. ..

1 1



 

 

 

 



(24)

をつくると，

U V = e

^−2πip/N

V U (25)

を満たすので，

θ = 2π p

N (26)

の場合に対応する。この特殊な場合を Fuzzy torus と呼ぶ。

特殊である。

基底は全部数えて N × N 個と，有限である。

4 ２次元非可換空間とフォック空間による表現

x

¹

, x

²

= iθ (27) ただし θ > 0 とする。

z ≡ x

¹

+ ix

²

とすると

[z, z] = ¯ − i x

¹

, x

²

+ i x

²

, x

¹

= 2θ (28)

a ≡ 1

√ 2θ z, a

^†

≡ 1

√ 2θ z ¯ (29)

とすれば

a, a

^†

= 1 (30)

a ， a

^†

を消滅，生成演算子と見たときのフォック空間を考え，

f(x

¹

, x

²

) =

∞ m=0

∞ n=0

f

_mn

| m n | (31)

と表すことが出来る。ただし a

^†

a | m = m | m 。 特に，軸対称な場合，

f (x

¹

, x

²

) =

∞ m=0

f

_m

| m m | (32)

で表される。

ex.

| 0 0 | =: e

^−a†a

:=

∞ k=0

( − 1)

^k

k! a

^†k

a

^k

(33)

を示せ。

5 star 積

5.1 Weyl-Moyal star product

座標が普通の数でないと思うかわりに，積が普通の積でない と思って みてはどうだろう。

x

ⁱ

x

^j

− x

^j

x

ⁱ

= x

ⁱ

, x

^j

= iθ

^ij

(34)

Weyl-Moyal star product を次のように定義する。

(f g)(x) ≡ e

^{2iθij∂i∂j}

f (x)g (x

)

x=x

(35)

（ここで x は普通の数， ∂

_i

なども普通の微分。）

⁴

例 1 f (x) = x

ⁱ

， g(x) = x

^j

のとき

x

ⁱ

x

^j

= x

ⁱ

x

^j

+ i

2 θ

^ij

(38)

したがって

x

ⁱ

x

^j

− x

^j

x

ⁱ

= x

ⁱ

, x

^j

= iθ

^ij

(39)

を満たす。

例 2 f (x) = e

^ik·x

， g(x) = e

^ik·x

のとき

e

^ik·x

e

^ik·x

= e

^{−2iθijkikj}

e

^i(k+k)·x

(40) はすぐにわかりますね？

4場合によっては，以下のように書いたほうがよい：

(f g)(x) ≡ exp i

2 θ

^ij

∂

∂x

ⁱ₁

∂

∂x

^j₂

f (x

1

)g(x

2

)

x₁=x₂=x

(36)

もっと気になるときは，こう書こう。

(f g)(x) ≡ exp i

2 θ

^ij

∂

∂ξ

ⁱ

∂

∂η

^j

f (x + ξ)g(x + η)

ξ=η=0

(37)

5.2 フーリエ変換

積分は普通でよくなるので，割と楽。

f (x) のフーリエ変換を

f ˜ (k) = 1 (2π)

ⁿ²

d

ⁿ

x e

^ik·x

f(x) (41) とすると，

f g(k) = 1 (2π)

ⁿ²

d

ⁿ

k

e

^2iθijkikj

f ˜

1 2 k + k

˜ g

1 2 k − k

(42) ex. これを示せ。

というわけで， k = 0 とすれば簡単に

d

ⁿ

x (f g)(x) =

d

ⁿ

x f(x)g(x) (43)

がわかります。

したがって

d

ⁿ

x (f g)(x) =

d

ⁿ

x (g f )(x) (44) です。（ちょっとほっとした？）

5.3 結合則

Weyl-Moyal star product は，結合則を満足する。

[f (g h)](x) = [(f g) h](x) (45) これを示すには，

f(x) = 1

(2π)

ⁿ²

d

ⁿ

k e

^ik·x

f ˜ ( − k) (46) g(x) = 1

(2π)

ⁿ²

d

ⁿ

p e

^ip·x

g ˜ ( − p) (47)

h(x) = 1

(2π)

ⁿ²

d

ⁿ

q e

^iq·x

˜ h( − q) (48) として，

e

^ik·x

(e

^ip·x

e

^iq·x

) = (e

^ik·x

e

^ip·x

) e

^iq·x

(49)

を示せばよい。

左辺は

e

^{−2iθijki(p+q)j}

e

^{−2iθijpiqj}

e

^i(k+p+q)·x

(50) 右辺は

e

^{−2iθij(k+p)iqj}

e

^{−2iθijkipj}

e

^i(k+p+q)·x

(51) 両者は一致。

e

^{−2iθijkipj}

e

^{−i2θijkiqj}

e

^{−2iθijpiqj}

e

^i(k+p+q)·x

(52) 前の subsection の最後の結果と合わせると

d

ⁿ

x (f

₁

f

₂

· · · f

_n

)(x) =

d

ⁿ

x (f

_n

f

₁

· · · f

_n−1

)(x) (53)

（って当たり前か。行列とトレースみたいなもんだねえ。）

6 非可換場の古典解

6.1 広がった「点」

２次元ユークリッド空間で次の方程式を考えよう。

f f(x) = f(x) (54)

ただし，

x

¹

, x

²

= iθ (θ > 0) (55)

とする。 (42) から f f(k) = 1

2π

dk

₁

dk

₂

e

^{i2θ(k1k2−k2k1)}

f ˜

1 2 k + k

f ˜

1 2 k − k

= f ˜ (k) (56)

f ˜ として，ガウシアンを仮定してみよう。

f ˜ (k) = A e

^−αk2

(57)

このとき (56) は以下のようになり，

A e

^−αk2

= A

²

2π

dk

₁

dk

₂

e

^{2iθ(k1k2−k2k1)}

exp

− α

2 k

²

− 2αk

²

, (58) このガウス積分を実行すると

A e

^−αk2

= A

²

2π

π 2α exp

− α

2 k

²

− θ

²

32α k

²

(59) となるので

f ˜ (k) = θ e

^−θ4k2

(60) が (56) の解。したがって (54) の最も単純な解として

f (x) = 2 e

^−r

2

θ

(61)

を得た。ただし， r

²

= (x

¹

)

²

+ (x

²

)

²

。 チェックとして， (54) から求まる

d

²

x [f(x)]

²

=

d

²

x f(x) (62)

は容易に確かめられる。

⁵

ここで求めた解は， θ のオーダーの拡がりをもつことに注意しよう。

5今の解の場合，この値は

2πθ

。

6.2 フォック空間の基底による表示

以前にみた，フォック空間におけるオペレータによる表示

⁶

との関連を 考えてみる。その場合，座標は交換しない「数」であるから，量子力学 におけるオペレーターオーダリングの様な微妙さがある。

以下のようなフーリエ逆変換 f(x) = 1

(2π)

^n/2

d

ⁿ

k f(k) ˜ e

^−ik·x

(63) において， x を非可換な座標としたものが，可換なものに対応すると決め よう。

⁷

前の subsection で求めた解については，

f(x

₁

, x

₂

) = θ 2π

d

²

k e

^−θ4k2

e

^{−ik1x1−ik2x2}

(64) すなわち

f (z, z) = ¯ θ 2π

_2π

0

dϕ

_∞

0

dk k e

^−θ4k2

exp

− i k 2

z e ¯

^iϕ

+ z e

^−iϕ

(65)

である。ただしここで k

₁

= k cos ϕ ， k

₂

= k sin ϕ とした。

BCH 公式から

exp

− i k 2

z e ¯

^iϕ

+ z e

^−iϕ

= exp

− k

²

4 θ

exp

− i k 2 z e ¯

^iϕ

exp

− i k 2 z e

^−iϕ

(66) おのおのの exponential を展開して， ϕ についての積分を行うと

⁸

f (z, z) = ¯ θ

_∞

0

dk k e

^−θ2k2

∞

=0

( − 1)

$!$!

k 2

2

¯

z

z

(67)

となって，最後に k 積分を行うと（ Γ($ + 1) = $! ） f(z, z) = ¯

∞

=0

( − 1)

$!

¯ z

z

(2θ)

(68)

6オペレータ表示，演算子表示とも言う。

7

Weyl

変換

となることがわかる。これは以前にやった表示で

: e

^−a†a

:= | 0 0 | (69) のことである。

| 0 0 | 0 0 | = | 0 0 | (70) であるので， (54) の解になっていることは明らかである。

非可換座標でかかれたものから，逆変換も一意的に決まることが知ら れている。ここでは割愛する。

ついでながら，こちらの表示では「体積積分」にあたるものとして Tr を導入し，

Tr e

^−ik·x

= (2π)

ⁿ

δ

ⁿ

(k) (71) を満たすとしなければならない。これは (63) と通常の座標表示のものを 比べればわかる。

Tr f g = Tr g f (72)

を満たす。

先ほどの２次元の例では

Tr f(x) = 2π f ˜ (0) (73)

だから

| 0 0 | = θ 2π

d

²

k e

^−θ4k2

e

^{−ik1x1−ik2x2}

(74) より

Tr | 0 0 | = 2πθ (75)

では， Tr | 1 1 | は何か？

| 1 1 | = θ 2π

d

²

k e

^−θk¯k

z ¯

√ 2θ e

^{−i¯k¯z−ik z}

z

√ 2θ

= θ

2π

d

²

k e

^−2θkk¯

1

2θ ze ¯

^−ik¯¯z

e

^{−ik z}

z

= θ

2π

d

²

k e

^−2θkk¯

− 1 2θ

∂

∂ k ¯

∂

∂k

e

^−i¯k¯z

e

^{−ik z}

= θ

2π

d

²

k e

^−2θkk¯

− 4θ

²

k ¯ k + 2θ

2θ e

^−i¯k¯z

e

^{−ik z}

(76)

（ k = (k

₁

− ik

₂

)/2, k ¯ = (k

₁

+ ik

₂

)/2 である。）であるから

Tr | 1 1 | = 2πθ (77)

同様に

Tr | m m | = 2πθ (78)

ということは，

Tr = 2πθTr

_H

(79)

ここで

Tr

_H

f =

∞ n=0

n | f | n (80)

6.3 非可換ソリトン解

スカラー場 φ の action

d

²

x

1

2 ∂

_i

φ ∂

_i

φ + V (φ)

(81) を考える。 V (φ)

はスター積で書かれていることを表す。再び

x

¹

, x

²

= iθ (θ > 0) (82)

とする。

x

ⁱ

→ x

ⁱ

√

θ と変換すると action は

d

²

x

1

2 ∂

_i

φ ∂

_i

φ + θV (φ)

(83)

ただし

x

¹

, x

²

= i (84)

θ が大きいときは， kinetic term は無視できる。

⁹

したがって

∂V (φ)

∂φ = 0 (85)

が θ が大きい場合の方程式。

さて，ポテンシャルが「自発的対称性の破れ」のタイプ・ ・ ・すなわち φ = 0 が極大， φ = v が極小の場合，

φ (φ − v) U (φ)

= 0 (86)

のような運動方程式になる。 U は何らかの関数。

この運動方程式の解は，上で見た f f = f の解 f を用いて

φ

0

(x) = v f (x) (87)

と書ける。なぜならば

φ

₀

(φ

₀

− v) = v f (v f − v) = v

²

(f f − f) = 0 (88)

7 非可換空間上のゲージ理論

7.1 field strength

通常の場合。

F

_ij

= ∂

_i

A

_j

− ∂

_j

A

_i

+ i [A

_i

, A

_j

]

= − i [D

_i

, D

_j

] (89)

ただし D

i

≡ ∂

i

+ iA

i

。

非可換空間では， (89) の一行目のように

F

_ij⁽⁾

= ∂

_i

A

_j

− ∂

_j

A

_i

+ i [A

_i

, A

_j

]

(90) とすればよろしいでしょう。 U (1) でも最後の項が残ることに注意。

U (1) ゲージ変換は

δA

_i

= ∂

_i

λ + i [A

_i

, λ]

(91) この変換で

δF

_ij⁽⁾

= i F

_ij⁽⁾

, λ

(92)

したがって

d

ⁿ

xF

_ij⁽⁾

F

_ij⁽⁾

(93) はゲージ変換の下で不変。

F

_ij⁽⁾

F

_ij⁽⁾

はゲージ不変ではない！

Nonabelian のときは？

(89) の二行目の書き方をするには，もともとこの導出は後ろに何かぶっ かかってるのをおもいだせば，

D

_i

→ C

_i

≡ ∂ ˆ

_i

+ iA

_i

= − i(θ

⁻¹

)

_ij

x

^j

+ iA

_i

(94) をつかって書くべき。ただ前に見たように微分演算子が可換でないので

F

_ij

= − i [C

_i

, C

_j

] − (θ

⁻¹

)

_ij

(95)

7.2 vortex solution

可換空間では，スカラー場のあるときに特異性のない解がつくられる。

非可換時空の非局所性のため，スカラーなしでも，特異性のない解が期 待できる。

２次元

¹⁰

非可換座標で

x

¹

, x

²

= iθ (θ > 0) (96) を満たすとする。

C

₁

= i

θ x

²

+ iA

₁

, C

₂

= − i

θ x

¹

+ iA

₂

(97) を組み合わせ

C = 1

2 (C

₁

− iC

₂

) = − 1

2θ z ¯ + iA, C ¯ = 1

2 (C

₁

+ iC

₂

) = 1

2θ z + i A ¯ (98) をつくる。ここで

A = 1

2 (A

₁

− iA

₂

), A ¯ = 1

2 (A

₁

+ iA

₂

) (99) これを用いて

F = F

₁₂

= − 2 C, C ¯ + 1

θ (100)

action は

Tr F

²

(101)

運動方程式は

C, C, C ¯ = 0 (102)

もちろん真空

C = − 1

2θ z, ¯ C ¯ = 1

2θ z (103)

は運動方程式の解である。（このとき F = 0 ） またそのゲージ変換

C = − 1

2θ U

^†

zU, ¯ C ¯ = 1

2θ U

^†

zU (104)

10 エネルギーとか議論するときは

(2 + 1)

次元にする。

も解である。

U U

^†

= 1 でなくてはならないが， U

^†

U = 1 である必要はない。

¹¹

この性質を満たす最も単純なものは S

^†

と S で

S

^†

=

∞ n=0

| n + 1 n | , S =

∞ n=0

| n n + 1 | (105) これらは SS

^†

= 1 を満たすが

¹²

S

^†

S = 1 − | 0 0 | (106)

U = S

^m

などととれば

θF = 1 − (S

^†

)

^m

S

^m

=

m−1

n=0

| n n | (107)

total flux は

θ Tr F = 2πθm (108)

全エネルギー＝質量

¹³

も整数 m に比例。

Tr F

²

= 2πm

θ (109)

通常の空間上で，巻き数を変える変換が作れないわけは，原点で特異 性を持つためです。

¹⁴

非可換空間では非局在性のため， nonsingular な変 換が作れる。

11 たとえば，

U

^†

CU U

^†

CU ¯ = U

^†

C CU ¯

，

Tr U

^†

F

²

U = Tr F

²

U U

^†

= Tr F

²

12

1 =

_∞

n=0

| n n |

13

(2 + 1)

次元で議論すべきですが・・・

8 非可換空間上の量子場の理論

４次元 Euclidean スカラー場の理論を考える。

8.1 相互作用のない理論 action を以下のようにする。

S =

d

⁴

x

1

2 ∂

_i

φ ∂

_i

φ + 1

2 m

²

φ φ

(110) 運動量空間で考えよう。

φ(x) =

d

⁴

k

(2π)

⁴

e

^ik·x

φ(k) ˜ (111)

e

^ik·x

e

^ik·x

= e

^{−i2θijkikj}

e

^i(k+k)·x

≡ e

^−2ik×k

e

^i(k+k)·x

(112) なので action は

d

⁴

k (2π)

⁴

1 2

φ( ˜ − k)e

^i2k×k

(k

²

+ m

²

) ˜ φ(k)

=

d

⁴

k (2π)

⁴

1 2

φ( ˜ − k)(k

²

+ m

²

) ˜ φ(k) (113) k × k = 0 なので，プロパゲーターは変わらない。

1

k

²

+ m

²

(114)

8.2 φ ³ 理論

action を以下のようにする。

S =

d

⁴

x

1

2 ∂

_i

φ ∂

_i

φ + 1

2 m

²

φ φ + g

6 φ φ φ

(115) 相互作用項は

e

^ik1·x

e

^ik2·x

e

^ik3·x

= e

^−2ik2×k3

e

^ik1·x

e

^i(k2+k3)·x

= e

^−2ik2×k3

e

^{−2ik1×(k2+k3)}

e

^{i(k1+k2+k3)·x}

(116)

によってバーテックス

∝ e

^−2ik1×k2

δ

⁴

(k

₁

+ k

₂

+ k

₃

) (117) を導く。

φ

ⁿ

理論ではバーテックスに exp − i

2

1≤a<b<n

k

_a

× k

_b

(118)

の因子が現れる。（ k はすべてバーテックスに入っていく方向。）

cyclic symmetry

¹⁵

はあるが， permutation symmetry は無い。

8.3 φ ⁴ 理論

action を以下のようにする。

S =

d

⁴

x

1

2 ∂

_i

φ ∂

_i

φ + 1

2 m

²

φ φ + λ

4! φ φ φ φ

(119)

φ

⁴

理論ではバーテックスに exp

− i

2 (k

₁

× k

₂

+ k

₁

× k

₃

+ k

₂

× k

₃

)

(120) の因子が現れる。

one-loop self-energy diagram を考える。

入ってくる運動量を p ，ループを k が回るとする。

k

₁

= p と選ぶ。

¹⁶

− p の選び方に以下の３通り。

・ k

₂

= − p と選ぶ。このとき因子は exp

− i

2 (p × ( − p) + p × k + ( − p) × k)

= 1 (121)

15

(53)

からわかる。

・ k

₄

= − p と選ぶ。このとき因子は exp

− i

2 (p × k + p × ( − k) + k × ( − k))

= 1 (122)

・ k

₃

= − p と選ぶ。このとき因子は exp

− i

2 (p × k + p × ( − p) + k × ( − p))

= exp [ − i(p × k)] (123)

したがって

Γ

⁽²⁾₁

= Γ

⁽²⁾_{1 planer}

+ Γ

⁽²⁾_{1 nonplaner}

(124) Γ

⁽²⁾_{1 planer}

= − λ

3(2π)

⁴

d

⁴

k

k

²

+ m

²

(125)

Γ

⁽²⁾_{1 nonplaner}

= − λ 6(2π)

⁴

d

⁴

k

k

²

+ m

²

e

^ik×p

(126) これらを regularize する。 Schwinger parameter を用いて

Γ

⁽²⁾_{1 planer}

= − λ 3(2π)

⁴

_∞

0

dt

d

⁴

ke

^−t(k2+m2)

= − λ 3(4π)

²

_∞

0

dt

t

²

e

^−tm2

(127)

regularize のため e

^−4Λ2t1

を導入すると（ Λ はカットオフ）

Γ

⁽²⁾_{1 planer}

= − λ 3(4π)

²

_∞

0

dt

t

²

e

^{−tm2−4Λ2t1}

= − λ

3(4π)

²

4mΛK

₁

m Λ

(128) これは普通の発散の regularization 。

同様に

Γ

⁽²⁾_{1 nonplaner}

= − λ 6(2π)

⁴

_∞

0

dt

d

⁴

ke

^{−t(k2+m2)+ik×p}

= − λ 6(4π)

²

_∞

0

dt

t

²

e

^{−tm2−p4t◦p}

(129)

ここで p ◦ p = p

_i

θ

^ik

θ

^jk

p

_j

。

regularize のため e

^−4Λ2t1

を導入すると Γ

⁽²⁾_{1 nonplaner}

= − λ

6(4π)

²

_∞

0

dt t

²

e

^−tm

2− ¹ 4Λ2ef ft

= − λ

6(4π)

²

4mΛ

_{ef f}

K

₁

m Λ

ef f

(130) ここで Λ

⁻²_{ef f}

= p ◦ p + Λ

⁻²

。

nonplaner では Λ

²

→ ∞ ^でも Λ

²_{ef f}

は有限！ ！ ≈ 1/p ◦ p これが発散するのは p ≈ 0 のとき。おお， IR?

UV と IR の発散が混在している？ ！

参考文献

[1] I. Ya. Aref’eva, D. M. Belov, A. A. Giryavets, A. S. Koshelev and P. B. Medv edev , “Noncommutativ e Field Theories and (Super) String Field Theories”, hep-th/0111208.

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[13] R. J. Szabo, “Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces”,

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[15] J. Zahn, “Wirkungs- und Lokalit¨ atsprinzip f¨ ur nichtkommutative skalare Feldtheorien”, Diplomarbeit, Universit¨ at Hamburg, 2003.

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