射影線織曲面のイデアル自由分解について

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.. .

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射影線織曲面のイデアル自由分解について

石井 晋平

基幹理工学研究科 数学応用数理専攻 5109A003-1

指導教員名 楫 元

2011/02/08

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 1 / 1

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Introduction

Introduction

k=C

とし, 曲線は非特異かつ射影的とする.

Definition (Ruled surface) .

.

.. .

.

.

X : C

上の

ruled surface

⇐⇒π :X −→C :

全射,

C :

曲線

∀p∈C, Xp :=π⁻¹(p)∼=P¹

⇐⇒∃E : C上のrank2 locally free sheaf (vector bundle) s.t. X ∼=P(E)

.

Theorem (Alzati, Tonoli)

.

.

.

.. .

.

.

X =P(E) : C上のruled surface A : X上のvery ample divisor

X ,→P^N by |A|, N =h⁰(X, A)−1とする.

このとき,I_X のfree resolutionを計算するMacaulay 2のアルゴリ ズムが存在する.

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 2 / 1

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Introduction

Introduction

k=C

とし, 曲線は非特異かつ射影的とする.

Definition (Ruled surface) .

.

.. .

.

.

X : C

上の

ruled surface

⇐⇒π :X −→C :

全射,

C :

曲線

∀p∈C, Xp :=π⁻¹(p)∼=P¹

⇐⇒ ∃E : C

上の

rank2 locally free sheaf (vector bundle) s.t. X ∼=P(E)

.

Theorem (Alzati, Tonoli)

.

.

.

.. .

.

.

X =P(E) : C

上の

ruled surface A : X

上の

very ample divisor

X ,→P^N by |A|, N =h⁰(X, A)−1

とする.

このとき,

I_X

の

free resolution

を計算する

Macaulay 2

のアルゴリ ズムが存在する.

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 2 / 1

. . . . . .

Introduction

Example (AT) .

.

.. .

.

.

C :

楕円曲線

(g(C) = 1),degE = 0 i.e.

.

_.

1 E =O_C ⊕O_C i.e. P(E) =C×P¹

.

.

^{. 2 E =OC ⊕L, where L 6=OC and degL = 0}

.

.

^.

3 non-trivial extention0−→O_C −→E −→O_C −→0 X_i =P(E),→P⁵ by|A|=|C₀+ 3f|

(i= 1,2,3) (C₀ : tautological section,f : fibre )

このときアルゴリズムによって, (O

_P⁵

を

O

と省略)

.

.

.

1 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)⊕2O(−3)

→4O(−3)⊕3O(−2)→IX1 →0

.

.

.

2 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)⊕3O(−2)→I_X2 →0

.

.

.

3 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)→3O(−2)→I_X3 →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 3 / 1

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Introduction

Example (AT) .

.

.. .

.

.

C :

楕円曲線

(g(C) = 1),degE = 0 i.e.

.

_.

1 E =O_C ⊕O_C i.e. P(E) =C×P¹

.

.

^{. 2 E =OC ⊕L, where L 6=OC and degL = 0}

.

.

^.

3 non-trivial extention0−→O_C −→E −→O_C −→0 X_i =P(E),→P⁵ by|A|=|C₀+ 3f|

(i= 1,2,3) (C₀ : tautological section,f : fibre )

このときアルゴリズムによって, (O

_P⁵

を

O

と省略)

.

.

.

1 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)⊕2O(−3)

→4O(−3)⊕3O(−2)→IX1 →0

.

.

.

2 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)⊕3O(−2)→I_X2 →0

.

.

.

3 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)→3O(−2)→I_X3 →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 3 / 1

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Introduction

Example (AT) .

.

.. .

.

.

C :

楕円曲線

(g(C) = 1),degE = 0 i.e.

.

_.

1 E =O_C ⊕O_C i.e. P(E) =C×P¹

.

.

^{. 2 E =OC ⊕L, where L 6=OC and degL = 0}

.

.

^.

3 non-trivial extention0−→O_C −→E −→O_C −→0 X_i =P(E),→P⁵ by|A|=|C₀+ 3f|

(i= 1,2,3) (C₀ : tautological section,f : fibre )

このときアルゴリズムによって, (O

_P⁵

を

O

と省略)

.

.

.

1 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)⊕2O(−3)

→4O(−3)⊕3O(−2)→IX1 →0

.

.

.

2 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)⊕3O(−2)→I_X2 →0

.

.

.

3 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)→3O(−2)→I_X3 →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 3 / 1

. . . . . .

Introduction

Example (AT) .

.

.. .

.

.

C :

楕円曲線

(g(C) = 1),degE = 0 i.e.

.

_.

1 E =O_C ⊕O_C i.e. P(E) =C×P¹

.

.

^{. 2 E =OC ⊕L, where L 6=OC and degL = 0}

.

.

^.

3 non-trivial extention0−→O_C −→E −→O_C −→0 X_i =P(E),→P⁵ by|A|=|C₀+ 3f|

(i= 1,2,3) (C₀ : tautological section,f : fibre )

このときアルゴリズムによって, (O

_P⁵

を

O

と省略)

.

.

.

1 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)⊕2O(−3)

→4O(−3)⊕3O(−2)→IX1 →0

.

.

.

2 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)⊕3O(−2)→I_X2 →0

.

.

.

3 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)→3O(−2)→I_X3 →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 3 / 1

. . . . . .

Introduction

Motivation .

.

.. .

.

.

(AT)

では与えられた条件を満たす, ある

ruled surface

について

Macaulay 2

のアルゴリズムで

free resolution

を計算.

Ã

与えられた条件を満たす, すべての

ruled surface

について

free

resolution

を計算したわけではない.

.

Goal

.

.

.

.. .

.

.

Theoremと同じ仮定 (X =P(E): C上のruled surface,A : X上の very ample divisor,X ,→P^N by|A|)

から理論的にI_X のfree resolutionを特定したい.

.

Main result

.

.

.

.. .

.

.

C : 楕円曲線 (g(C) = 1),degE = 0,

X =P(E),→P⁵ by|A|=|C₀+ 3f|とすると

0→O(−6)→6O(−5)⊕6O(−4)→15O(−4)⊕18O(−3)

→20O(−3)⊕3O(−2)→I_X →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 4 / 1

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Introduction

Motivation .

.

.. .

.

.

(AT)

では与えられた条件を満たす, ある

ruled surface

について

Macaulay 2

のアルゴリズムで

free resolution

を計算.

Ã

与えられた条件を満たす, すべての

ruled surface

について

free

resolution

を計算したわけではない.

.

Goal

.

.

.

.. .

.

.

Theorem

と同じ仮定

(X =P(E): C

上の

ruled surface,A : X

上の

very ample divisor,X ,→P^N by|A|)

から理論的に

I_X

の

free resolution

を特定したい.

.

Main result

.

.

.

.. .

.

.

C : 楕円曲線 (g(C) = 1),degE = 0,

X =P(E),→P⁵ by|A|=|C₀+ 3f|とすると

0→O(−6)→6O(−5)⊕6O(−4)→15O(−4)⊕18O(−3)

→20O(−3)⊕3O(−2)→I_X →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 4 / 1

. . . . . .

Introduction

Motivation .

.

.. .

.

.

(AT)

では与えられた条件を満たす, ある

ruled surface

について

Macaulay 2

のアルゴリズムで

free resolution

を計算.

Ã

与えられた条件を満たす, すべての

ruled surface

について

free

resolution

を計算したわけではない.

.

Goal

.

.

.

.. .

.

.

Theorem

と同じ仮定

(X =P(E): C

上の

ruled surface,A : X

上の

very ample divisor,X ,→P^N by|A|)

から理論的に

I_X

の

free resolution

を特定したい.

.

Main result

.

.

.

.. .

.

.

C :

楕円曲線

(g(C) = 1),degE = 0,

X =P(E),→P⁵ by|A|=|C₀+ 3f|

とすると

0→O(−6)→6O(−5)⊕6O(−4)→15O(−4)⊕18O(−3)

→20O(−3)⊕3O(−2)→I_X →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 4 / 1

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Introduction

Motivation .

.

.. .

.

.

(AT)

では与えられた条件を満たす, ある

ruled surface

について

Macaulay 2

のアルゴリズムで

free resolution

を計算.

Ã

与えられた条件を満たす, すべての

ruled surface

について

free

resolution

を計算したわけではない.

.

Goal

.

.

.

.. .

.

.

Theorem

と同じ仮定

(X =P(E): C

上の

ruled surface,A : X

上の

very ample divisor,X ,→P^N by|A|)

から理論的に

I_X

の

free resolution

を特定したい.

.

Main result

.

.

.

.. .

.

.

C :

楕円曲線

(g(C) = 1),degE = 0,

X =P(E),→P⁵ by|A|=|C₀+ 3f|

とすると

0→O(−6)→6O(−5)⊕6O(−4)→15O(−4)⊕18O(−3)

→20O(−3)⊕3O(−2)→I_X →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 4 / 1

. . . . . .

Introduction

Theorem (Eisenbud, Floystad, Schreyer) .

.

.. .

.

.

F : Pⁿ

上の

coherent sheaf

∃B =· · · −→B⁻¹ −→B⁰ −→B¹ −→ · · ·: complex with B^e=M

j

H^j(Pⁿ,F(e−j))⊗Ω^j−e_Pn (j−e) = M

j

E₁^e−j,j

(E₁^pq :=H^q(Pⁿ,F(p))⊗Ω^−p_Pn(−p))

s.t. Bは, B⁰を除いてexactで,B⁰でのhomologyはF である.

.

Point

.

.

.

.. .

.

.

F のcohomology à F のexact sequence

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 5 / 1

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Introduction

Theorem (Eisenbud, Floystad, Schreyer) .

.

.. .

.

.

F : Pⁿ

上の

coherent sheaf

∃B =· · · −→B⁻¹ −→B⁰ −→B¹ −→ · · ·: complex with B^e=M

j

H^j(Pⁿ,F(e−j))⊗Ω^j−e_Pn (j−e) = M

j

E₁^e−j,j

(E₁^pq :=H^q(Pⁿ,F(p))⊗Ω^−p_Pn(−p))

s.t. Bは, B⁰を除いてexactで,B⁰でのhomologyはF である.

.

Point

.

.

.

.. .

.

.

F

の

cohomology à F

の

exact sequence

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 5 / 1

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Introduction

Theorem (Eisenbud, Floystad, Schreyer) .

.

.. .

.

.

F : Pⁿ

上の

coherent sheaf

∃B =· · · −→B⁻¹ −→B⁰ −→B¹ −→ · · ·: complex with B^e=M

j

H^j(Pⁿ,F(e−j))⊗Ω^j−e_Pn (j−e) = M

j

E₁^e−j,j

(E₁^pq :=H^q(Pⁿ,F(p))⊗Ω^−p_Pn(−p))

s.t. B

は,

B⁰

を除いて

exact

で,

B⁰

での

homology

は

F

である.

.

Point

.

.

.

.. .

.

.

F のcohomology à F のexact sequence

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 5 / 1

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Example

Example

C :

楕円曲線

(g = 1), E : C

上の次数

0rank 2 locally free sheaf (手順1) X_i :=P(E),→P⁵ (i= 1,2,3) by |A|=|C₀ + 3f| (手順2) I_Xi(2)に[EFS]を適用. Cohomologyを計算する.

B^e =M

j

E₁^e−j,j E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p_P5(−p)

à −5≤p≤0, 0≤q≤5で考えれば十分.

h^q(P⁵,I_Xi(2 +p)) (i= 1,2,3) (縦に0≤q≤5, 横に−5≤p≤0) 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 18 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

例えば

.

.

.. .

.

.

H³(P⁵,I_Xi(2−5)) =C¹⁸ H²(P⁵,I_Xi(2−2)) =C H⁰(P⁵,I_Xi(2−0)) =C³

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 6 / 1

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Example

Example

C :

楕円曲線

(g = 1), E : C

上の次数

0rank 2 locally free sheaf (手順1) X_i :=P(E),→P⁵ (i= 1,2,3) by |A|=|C₀ + 3f| (手順2) I_Xi(2)に[EFS]を適用. Cohomologyを計算する.

B^e =M

j

E₁^e−j,j E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p_P5(−p)

à −5≤p≤0, 0≤q≤5で考えれば十分.

h^q(P⁵,I_Xi(2 +p)) (i= 1,2,3) (縦に0≤q≤5, 横に−5≤p≤0) 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 18 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

例えば

.

.

.. .

.

.

H³(P⁵,I_Xi(2−5)) =C¹⁸ H²(P⁵,I_Xi(2−2)) =C H⁰(P⁵,I_Xi(2−0)) =C³

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 6 / 1

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Example

Example

C :

楕円曲線

(g = 1), E : C

上の次数

0rank 2 locally free sheaf (手順1) X_i :=P(E),→P⁵ (i= 1,2,3) by |A|=|C₀ + 3f| (手順2) I_Xi(2)に[EFS]を適用. Cohomologyを計算する.

B^e =M

j

E₁^e−j,j E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p_P5(−p)

à −5≤p≤0, 0≤q≤5

で考えれば十分.

h^q(P⁵,I_Xi(2 +p)) (i= 1,2,3) (縦に0≤q≤5, 横に−5≤p≤0) 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 18 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

例えば

.

.

.. .

.

.

H³(P⁵,I_Xi(2−5)) =C¹⁸ H²(P⁵,I_Xi(2−2)) =C H⁰(P⁵,I_Xi(2−0)) =C³

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 6 / 1

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Example

Example

C :

楕円曲線

(g = 1), E : C

上の次数

0rank 2 locally free sheaf (手順1) X_i :=P(E),→P⁵ (i= 1,2,3) by |A|=|C₀ + 3f| (手順2) I_Xi(2)

に

[EFS]

を適用. Cohomology を計算する.

B^e =M

j

E₁^e−j,j E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p_P5(−p)

à −5≤p≤0, 0≤q≤5

で考えれば十分.

h^q(P⁵,I_Xi(2 +p)) (i= 1,2,3) (縦に0≤q≤5, 横に−5≤p≤0) 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 18 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

例えば

.

.

.. .

.

.

H³(P⁵,I_Xi(2−5)) =C¹⁸ H²(P⁵,I_Xi(2−2)) =C H⁰(P⁵,I_Xi(2−0)) =C³

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 6 / 1

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Example

Example

C :

楕円曲線

(g = 1), E : C

上の次数

0rank 2 locally free sheaf (手順1) X_i :=P(E),→P⁵ (i= 1,2,3) by |A|=|C₀ + 3f| (手順2) I_Xi(2)

に

[EFS]

を適用. Cohomology を計算する.

B^e =M

j

E₁^e−j,j E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p_P5(−p)

à −5≤p≤0, 0≤q≤5

で考えれば十分.

h^q(P⁵,I_Xi(2 +p)) (i= 1,2,3) (縦に0≤q≤5,

横に

−5≤p≤0) 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 18 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

例えば

.

.

.. .

.

.

H³(P⁵,I_Xi(2−5)) =C¹⁸ H²(P⁵,I_Xi(2−2)) =C H⁰(P⁵,I_Xi(2−0)) =C³

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 6 / 1

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Example

Example

C :

楕円曲線

(g = 1), E : C

上の次数

0rank 2 locally free sheaf (手順1) X_i :=P(E),→P⁵ (i= 1,2,3) by |A|=|C₀ + 3f| (手順2) I_Xi(2)

に

[EFS]

を適用. Cohomology を計算する.

B^e =M

j

E₁^e−j,j E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p_P5(−p)

à −5≤p≤0, 0≤q≤5

で考えれば十分.

h^q(P⁵,I_Xi(2 +p)) (i= 1,2,3) (縦に0≤q≤5,

横に

−5≤p≤0) 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 18 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

例えば

.

.

.. .

.

.

H³(P⁵,I_Xi(2−5)) =C¹⁸ H²(P⁵,I_Xi(2−2)) =C H⁰(P⁵,I_Xi(2−0)) =C³

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 6 / 1

. . . . . .

Example

Example

C :

楕円曲線

(g = 1), E : C

上の次数

0rank 2 locally free sheaf (手順1) X_i :=P(E),→P⁵ (i= 1,2,3) by |A|=|C₀ + 3f| (手順2) I_Xi(2)

に

[EFS]

を適用. Cohomology を計算する.

B^e =M

j

E₁^e−j,j E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p_P5(−p)

à −5≤p≤0, 0≤q≤5

で考えれば十分.

h^q(P⁵,I_Xi(2 +p)) (i= 1,2,3) (縦に0≤q≤5,

横に

−5≤p≤0) 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 18 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

例えば

.

.

.. .

.

.

H³(P⁵,I_Xi(2−5)) =C¹⁸ H²(P⁵,I_Xi(2−2)) =C H⁰(P⁵,I_Xi(2−0)) =C³

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 6 / 1

Example

E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p(−p) (i= 1,2,3)

(Ω_P⁵

を

Ω

と省略, 縦に

0≤q≤5,

横に

−5≤p≤0)

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

18Ω⁵(5) 6Ω⁴(4) 0 0 0 0

0 0 0 Ω²(2) 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 3O

(手順3) [EFS]によってresolutionを得る.

à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → 0

=B⁻² =B⁻¹ =B⁰

=⊕E₁^−2−j,j : B⁰を除いてexact à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → I_Xi(2) → 0

: exact (i= 1,2,3)

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 7 / 1

Example

E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p(−p) (i= 1,2,3)

(Ω_P⁵

を

Ω

と省略, 縦に

0≤q≤5,

横に

−5≤p≤0)

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

18Ω⁵(5) 6Ω⁴(4) 0 0 0 0

0 0 0 Ω²(2) 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 3O

(手順3) [EFS]によってresolutionを得る.

à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → 0

=B⁻² =B⁻¹ =B⁰

=⊕E₁^−2−j,j : B⁰

を除いて

exact à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → I_Xi(2) → 0

: exact (i= 1,2,3)

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 7 / 1

Example

E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p(−p) (i= 1,2,3)

(Ω_P⁵

を

Ω

と省略, 縦に

0≤q≤5,

横に

−5≤p≤0)

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

18Ω⁵(5) 6Ω⁴(4) 0 0 0 0

0 0 0 Ω²(2) 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 3O

(手順3) [EFS]

によって

resolution

を得る.

à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → 0

=B⁻² =B⁻¹ =B⁰

=⊕E₁^−2−j,j : B⁰

を除いて

exact à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → I_Xi(2) → 0

: exact (i= 1,2,3)

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 7 / 1

Example

E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p(−p) (i= 1,2,3)

(Ω_P⁵

を

Ω

と省略, 縦に

0≤q≤5,

横に

−5≤p≤0)

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

18Ω⁵(5) 6Ω⁴(4) 0 0 0 0

0 0 0 Ω²(2) 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 3O

(手順3) [EFS]

によって

resolution

を得る.

à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → 0

=B⁻² =B⁻¹ =B⁰

=⊕E₁^−2−j,j : B⁰

を除いて

exact à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → I_Xi(2) → 0

: exact (i= 1,2,3)

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 7 / 1

Example

E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p(−p) (i= 1,2,3)

(Ω_P⁵

を

Ω

と省略, 縦に

0≤q≤5,

横に

−5≤p≤0)

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

18Ω⁵(5) 6Ω⁴(4) 0 0 0 0

0 0 0 Ω²(2) 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 3O

(手順3) [EFS]

によって

resolution

を得る.

à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → 0

=B⁻² =B⁻¹ =B⁰

=⊕E₁^−2−j,j : B⁰

を除いて

exact à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → I_Xi(2) → 0

: exact (i= 1,2,3)

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 7 / 1

Example

E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p(−p) (i= 1,2,3)

(Ω_P⁵

を

Ω

と省略, 縦に

0≤q≤5,

横に

−5≤p≤0)

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

18Ω⁵(5) 6Ω⁴(4) 0 0 0 0

0 0 0 Ω²(2) 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 3O

(手順3) [EFS]

によって

resolution

を得る.

à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → 0

=B⁻² =B⁻¹ =B⁰

=⊕E₁^−2−j,j : B⁰を除いてexact à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → I_Xi(2) → 0

: exact (i= 1,2,3)

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 7 / 1

Example

E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p(−p) (i= 1,2,3)

(Ω_P⁵

を

Ω

と省略, 縦に

0≤q≤5,

横に

−5≤p≤0)

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

18Ω⁵(5) 6Ω⁴(4) 0 0 0 0

0 0 0 Ω²(2) 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 3O

(手順3) [EFS]

によって

resolution

を得る.

à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → 0

=B⁻² =B⁻¹ =B⁰

=⊕E₁^−2−j,j : B⁰

を除いて

exact à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → I_Xi(2) → 0

: exact (i= 1,2,3)

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 7 / 1

Example

E₁^pq =H^q(P⁵,I_Xi(2 +p))⊗Ω^−p(−p) (i= 1,2,3)

(Ω_P⁵

を

Ω

と省略, 縦に

0≤q≤5,

横に

−5≤p≤0)

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

18Ω⁵(5) 6Ω⁴(4) 0 0 0 0

0 0 0 Ω²(2) 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 3O

(手順3) [EFS]

によって

resolution

を得る.

à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → 0

=B⁻² =B⁻¹ =B⁰

=⊕E₁^−2−j,j : B⁰

を除いて

exact à 0 → 18Ω⁵(5) → 6Ω⁴(4) → Ω²(2)⊕3O → I_Xi(2) → 0

: exact (i= 1,2,3)

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 7 / 1

Example

(手順4)Free resolutionにする. 0

↓ 18Ω⁵(5)

↓α 6Ω⁴(4)

↓ Cokerα

↓ 0 0

↓ Coker α

↓ Ω²(2)⊕3O

↓ I_Xi(2)

↓ 0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 8 / 1

Example

(手順4)Free resolutionにする. 0

↓

0 → 18O(−1) → 18Ω⁵(5) → 0

↓α

0 → 6O(−2) → 36O(−1) → 6Ω⁴(4) → 0

↓ Cokerα

↓ 0 0

↓ Cokerα

↓

0→O(−4)→6O(−3)→15O(−2)→20O(−1)⊕3O→Ω²(2)⊕3O→ 0

↓ I_Xi(2)

↓ 0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 8 / 1

Example

(手順4)Free resolutionにする. 0 0

↓ ↓

0 → 18O(−1) → 18Ω⁵(5) → 0

↓ ↓ ↓α

0 → 6O(−2) → 36O(−1) → 6Ω⁴(4) → 0

↓ Cokerα

↓ 0 0

↓ Cokerα

↓

0→O(−4)→6O(−3)→15O(−2)→20O(−1)⊕3O→Ω²(2)⊕3O→ 0

↓ I_Xi(2)

↓ 0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 8 / 1

Example

(手順4)Free resolutionにする. 0 0

↓ ↓

0 → 18O(−1) → 18Ω⁵(5) → 0

↓ ↓ ↓α

0 → 6O(−2) → 36O(−1) → 6Ω⁴(4) → 0

↓ ↓ ↓

0 → 6O(−2) → 18O(−1) → Cokerα → 0

↓ ↓ ↓

0 0 0

0

↓ Cokerα

↓

0→O(−4)→6O(−3)→15O(−2)→20O(−1)⊕3O→Ω²(2)⊕3O→ 0

↓ I_Xi(2)

↓ 0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 8 / 1

Example

(手順4)Free resolutionにする. 0 0

↓ ↓

0 → 18O(−1) → 18Ω⁵(5) → 0

↓ ↓ ↓α

0 → 6O(−2) → 36O(−1) → 6Ω⁴(4) → 0

↓ ↓ ↓

0 → 6O(−2) → 18O(−1) → Cokerα → 0

↓ ↓ ↓

0 0 0

0

↓

0 → 6O(−2) → 18O(−1) → Cokerα → 0

↓

0→O(−4)→6O(−3)→15O(−2)→20O(−1)⊕3O→Ω²(2)⊕3O→ 0

↓ I_Xi(2)

↓ 0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 8 / 1

Example

(手順4)Free resolutionにする. 0 0

↓ ↓

0 → 18O(−1) → 18Ω⁵(5) → 0

↓ ↓ ↓α

0 → 6O(−2) → 36O(−1) → 6Ω⁴(4) → 0

↓ ↓ ↓

0 → 6O(−2) → 18O(−1) → Cokerα → 0

↓ ↓ ↓

0 0 0

0

↓

0 → 6O(−2) → 18O(−1) → Cokerα → 0

↓ ↓ ↓ ↓

0→O(−4)→6O(−3)→15O(−2)→20O(−1)⊕3O→Ω²(2)⊕3O→ 0

& ↓ I_Xi(2)

↓ 0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 8 / 1

Example

0

↓

0 → 6O(−2) → 18O(−1) → Coker α →0

↓ ↓ ↓ ↓

0→O(−4)→6O(−3)→15O(−2)→20O(−1)⊕3O→Ω²(2)⊕3O→0

& ↓ I_Xi(2)

↓ 0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 8 / 1

Example

0

↓

0 → 6O(−2) → 18O(−1) → Coker α →0

↓ · ·· ⊕ ·· · ↓

· ·· ⊕ ·· · ↓ ↓

0→O(−4)→6O(−3)→15O(−2)→20O(−1)⊕3O→Ω²(2)⊕3O→0

& ↓ I_Xi(2)

↓ 0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 8 / 1

Example

0

↓

0 → 6O(−2) → 18O(−1) → Coker α →0

↓ · ·· ⊕ ·· · ↓

· ·· ⊕ ·· · ↓ ↓

0→O(−4)→6O(−3)→15O(−2)→20O(−1)⊕3O→Ω²(2)⊕3O→0

& ↓

6O(−2) 18O(−1) 3O

0→O(−4)→ ⊕ → ⊕ → ⊕ → I_Xi(2) →0

6O(−3) 15O(−2) 20O(−1)

↓ 0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 8 / 1

Example

0

↓

0 → 6O(−2) → 18O(−1) → Coker α →0

↓ · ·· ⊕ ·· · ↓

· ·· ⊕ ·· · ↓ ↓

0→O(−4)→6O(−3)→15O(−2)→20O(−1)⊕3O→Ω²(2)⊕3O→0

& ↓

6O(−2) 18O(−1) 3O

0→O(−4)→ ⊕ → ⊕ → ⊕ → I_Xi(2) →0

6O(−3) 15O(−2) 20O(−1)

↓ 0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 8 / 1

. . . . . .

Example

Mapping cone

によって, 任意の

i= 1,2,3

で

0→O(−6)→6O(−5)⊕6O(−4)→15O(−4)⊕18O(−3)

→20O(−3)⊕3O(−2)→I_Xi →0 Example (AT)

.

.

.. .

.

.

.

.

1 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)⊕2O(−3)

→4O(−3)⊕3O(−2)→I_X1 →0

.

.

.

2 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)⊕3O(−2)→I_X2 →0

.

.

.

3 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)→3O(−2)→I_X3 →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 9 / 1

. . . . . .

Example

Mapping cone

によって, 任意の

i= 1,2,3

で

0→O(−6)→6O(−5)⊕6O(−4)→15O(−4)⊕18O(−3)

→20O(−3)⊕3O(−2)→I_Xi →0 Example (AT)

.

.

.. .

.

.

.

.

1 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)⊕2O(−3)

→4O(−3)⊕3O(−2)→I_X1 →0

.

.

.

2 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)⊕3O(−2)→I_X2 →0

.

.

.

3 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)→3O(−2)→I_X3 →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 9 / 1

. . . . . .

Example

Mapping cone

によって, 任意の

i= 1,2,3

で

0→O(−6)→6O(−5)⊕6O(−4)→15O(−4)⊕18O(−3)

→20O(−3)⊕3O(−2)→I_Xi →0 Example (AT)

.

.

.. .

.

.

.

.

1 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)⊕2O(−3)

→4O(−3)⊕3O(−2)→I_X1 →0

.

.

.

2 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)⊕3O(−2)→I_X2 →0

.

.

.

3 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)→3O(−2)→I_X3 →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 9 / 1

. . . . . .

Example

Mapping cone

によって, 任意の

i= 1,2,3

で

0→O(−6)→6O(−5)⊕6O(−4)→15O(−4)⊕18O(−3)

→20O(−3)⊕3O(−2)→I_Xi →0 Example (AT)

.

.

.. .

.

.

.

.

1 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)⊕2O(−3)

→4O(−3)⊕3O(−2)→I_X1 →0

.

.

.

2 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)⊕3O(−2)→I_X2 →0

.

.

.

3 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)→3O(−2)→I_X3 →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 9 / 1

. . . . . .

Example

Mapping cone

によって, 任意の

i= 1,2,3

で

0→O(−6)→6O(−5)⊕6O(−4)→15O(−4)⊕18O(−3)

→20O(−3)⊕3O(−2)→I_Xi →0 Example (AT)

.

.

.. .

.

.

.

.

1 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)⊕2O(−3)

→4O(−3)⊕3O(−2)→I_X1 →0

.

.

.

2 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)⊕3O(−2)→I_X2 →0

.

.

.

3 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)→3O(−2)→I_X3 →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 9 / 1

. . . . . .

Example

Mapping cone

によって, 任意の

i= 1,2,3

で

0→O(−6)→6O(−5)⊕6O(−4)→15O(−4)⊕18O(−3)

→20O(−3)⊕3O(−2)→I_Xi →0 Example (AT)

.

.

.. .

.

.

.

.

1 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)⊕2O(−3)

→4O(−3)⊕3O(−2)→I_X1 →0

.

.

.

2 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)⊕3O(−2)→I_X2 →0

.

.

.

3 0→O(−6)→6O(−5)→9O(−4)

→2O(−3)→3O(−2)→I_X3 →0

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 9 / 1

Problems

Problems

なぜ

i= 1,2,3

で異なる

free resolution

になるか?

どうすれば無駄のないfree resolutionにできるか?

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 10 / 1

Problems

Problems

なぜ

i= 1,2,3

で異なる

free resolution

になるか?

どうすれば無駄のない

free resolution

にできるか?

石井 晋平 (楫研究室) 射影線織曲面のイデアル自由分解 2011/02/08 10 / 1