物理数学第一
複素関数論
2006
年度前期東京工業大学 大学院理工学研究科 基礎物理学専攻
武藤 一雄 本館 １階１８９号室
目 次
第
1
章 複素数1
1.1
複素数. . . . 1
1.1.1
数の拡張. . . . 1
1.1.2
複素数. . . . 1
1.1.3
極形式. . . . 2
1.1.4
複素平面. . . . 3
1.2
複素数の初等演算. . . . 4
1.3
初等演算と複素平面上での表現. . . . 6
1.3.1
四則演算. . . . 6
1.3.2
いくつかの有用な関係. . . . 8
1.4 de Moivre
の公式とn
乗根. . . . 10
第
2
章 １次分数変換11 2.1
複素関数と写像. . . . 11
2.2
基本的な変換. . . . 13
2.3
１次分数変換. . . . 15
2.3.1
１次分数変換. . . . 15
2.3.2
円円対応. . . . 16
2.3.3
円に関する鏡像. . . . 19
2.3.4
上半平面を単位円に写像する変換. . . . 20
第
3
章 複素関数の極限・連続性・導関数21 3.1
複素平面上の点集合. . . . 21
3.2
極限. . . . 23
3.3
連続関数. . . . 25
3.4
導関数. . . . 27
i
第
4
章 正則関数33
4.1 Cauchy-Riemann
の方程式. . . . 33
4.2
正則関数. . . . 37
4.3
調和関数. . . . 39
第
5
章 初等関数43 5.1
指数関数. . . . 43
5.2
対数関数. . . . 46
5.3
三角関数・双曲線関数. . . . 49
5.4
三角関数・双曲線関数の逆関数. . . . 51
5.5
複素数のべき. . . . 52
第
6
章 等角写像53 6.1
変換・写像. . . . 53
6.2
初等関数の写像. . . . 58
6.2.1
１次分数変換. . . . 58
6.2.2 ω = z
2. . . . 58
6.2.3 ω = z
1/2. . . . 60
6.2.4
指数関数：ω = e
z. . . . 61
6.2.5
対数関数：ω = log z . . . . 61
6.3
等角写像の応用. . . . 62
第
7
章 複素積分とCauchy
の積分定理65 7.1
実変数複素数値関数の定積分. . . . 65
7.2
複素平面上の曲線. . . . 67
7.3
線積分. . . . 68
7.4 Cauchy-Goursat
の定理. . . . 71
7.4.1 Cauchy
の積分定理. . . . 71
7.4.2 Cauchy-Goursat
の定理. . . . 72
第
8
章Cauchy
の積分公式77 8.1
原始関数と線積分. . . . 77
8.2 Cauchy
の積分公式. . . . 81
第
9
章 数列と級数87
9.1
数列. . . . 87
9.2
級数. . . . 91
第
10
章 ベキ級数97 10.1
べき級数. . . . 97
10.1.1
級数の収束. . . . 97
10.1.2
収束半径. . . . 99
10.1.3
項別積分と項別微分. . . . 103
10.2 Taylor
級数とLaurent
級数. . . . 106
10.2.1 Taylor
級数. . . . 106
10.2.2 Laurent
級数. . . . 109
第
11
章 留数定理113 11.1
特異点. . . . 113
11.2
留数定理. . . . 115
11.3
極の留数. . . . 120
第
12
章 実関数の定積分123 12.1
有理関数. . . . 123
12.2
三角関数の有理関数. . . . 126
12.3
有理関数と三角関数の積. . . . 128
12.4
定積分の計算に用いられる有用な定理. . . . 130
12.5
実軸上に特異点がある場合の定積分. . . . 132
第
