3.2

数学 1 ・数学演習 1 No.7 2005. 6. 9

3.2 ^{逆行列 担当：市原}

連立方程式の行列表示

¶ ³

連立方程式

 

 

 



a

₁₁

x

₁

+ a

₁₂

x

₂

+ · · · + a

_1m

x

_m

= b

₁

.. .

a

_n1

x

₁

+ a

_n2

x

₂

+ · · · + a

_nm

x

_m

= b

_n

は

,

A =



 

 

 

a

₁₁

a

₁₂

· · · a

_1m

a

₂₁

a

₂₂

· · · a

_2m

.. . .. . . .. .. . a

_n1

a

_n2

· · · a

_nm



 

 

 

(

係数行列

), X =



 

 

  x

₁

x

₂

.. . x

_m



 

 

 

, B =



 

 

  b

₁

b

₂

.. . b

_n



 

 

 

とおけば

, AX = B

と行列の積を用いて表される

.

µ ´

¶ ³

連立方程式の係数行列

A

が正則行列の場合

,

その逆行列

A

⁻¹を用いて

, X = A

⁻¹

B

として

,

連立方程式の解を求めることが出来る

.

µ ´

単位行列・逆行列・正則行列

¶ ³

•

行の数と列の数が等しい行列を正方行列という

.

正方行列の行の数（

=

列の数）を 正方行列の次数といい

,

次数が

n

である正方行列を

n

次正方行列という

.

• (1, 1)

成分

, (2, 2)

成分

, . . . , (n, n)

成分は全て

1

で

,

その他の成分は全て

0

である

n

次正方行列を

n

次単位行列という

. n

次単位行列を

I

_nで表す

.

n

次正方行列

A

に対し

, AI

_n

= I

_n

A = A

が成り立つ

.

特に

, I

_n

I

_n

= I

_n

, (I

_n

)

^k

= I

_n が成り立つ

.

• n

次正方行列

A

に対し

, AB = I

_nとなる行列

B

を

, A

の逆行列といい

, A

⁻¹と表す

(

「

−1

」は「インバース（

inverse

）」と読む

).

逆行列をもつ正方行列を正則行列と いう

.

A

が正則行列のとき

, AA

⁻¹

= A

⁻¹

A = I

_nが成り立つ

.

µ ´

注意

:

正方行列は必ずしも逆行列を持つとは限らない

.

例題

12

逆行列を持たない正方行列の例を挙げなさい

.

13

定理

11 (

正則行列と階数

) A

を

n

次正方行列とする

.

このとき

,

A

が正則

⇐⇒

行基本変形によって単位行列

I

_nに変形できる （必要十分条件）

例題

13

次の行列のうち

,

正則行列であるものを選びなさい

. (1)

à 1 2

3 4

!

(2)

à −1 2

−2 4

!

(3)



 



0 1 −1

−1 1 0

1 0 −2



 



例題

14 2

行

2

列の行列

A = Ã a b

c d

!

が正則になる為の必要十分条件を求めなさい

.

ただし

, A 6=

à 0 0

0 0

!

とする

.

例題

15

係数行列の逆行列を求めることにより

,

連立方程式

( 3x + y = 6

5x + 2y = −1

を解きなさい

.

14

数学 1 ・数学演習 1 No.7 2005. 6. 9

3.2 ^{逆行列 担当：市原}

問題

20

次の行列のうち

,

正則行列であるものを選びなさい

.

またその逆行列を求めなさい

.

A = Ã 1 0

3 4

!

, B =

à 1 2

−2 −4

! C =



 



1 0 0 0 2 0 0 0 3



 



D =



 



0 1 1 1 0 1 1 −1 0



 

 , E =



 



1 0 −1

0 −1 0

−2 0 3



 



問題

21

係数行列の逆行列を求めることにより

,

次の連立方程式を解きなさい

. (1)

( 3x − 7y = 11

−5x + y = −4

(2)

 

 

 



x − y − z = 2 y + 2z = 1

−z + 4x = −3

問題

22 A, B

が共に正則行列のとき

, (AB)

⁻¹

= B

⁻¹

A

⁻¹を証明しなさい

.

学籍番号 氏名