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Academic year: 2021

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経済経営数学 補助資料

~ベクトルと行列~

2021年度1学期: 月曜3限, 木曜1限 担当教員: 石垣 司

1

スカラーとベクトル

• スカラー

– ベクトルや行列ではない実数 – 小文字で表記 : a, b, c

• ベクトル

– 小文字の太字で表記: 𝒂 𝑎 ⋮

𝑎 , ( 𝑀 :次元)

– ベクトルは縦に長い

• ノルム:ベクトルの大きさ

– 表記: 𝒂 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 (Euclidノルム)

• 単位ベクトル:ノルムが1のベクトル

– 表記: 𝒆

𝒂𝒂

2

行列

• 行列( Matrix )

– 大文字で表記: ( M × P 行列 )

ベクトルを横に並べたと考えることができる

– 行列の成分・要素( )

行列

A の (i, j)成分 or i

j

列の成分

• 正方行列

– ( M 次正方行列)

– 対角成分:

3

𝑎 ⋯ 𝑎

⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 ⋯ 𝑎

1行目

1列目

スカラー、ベクトル、行列の集合

• 実数を要素とするスカラー・ベクトル・行列の集合

– :実数の集合

– :要素が実数の M 次元ベクトルの集合 – :要素が実数の 行列の集合

• 実数を要素とするスカラー・ベクトル・行列

– :実数

– :要素が実数の 次元ベクトル – :要素が実数の 行列

4

(2)

単位行列、転置行列

• 単位行列

(対角成分が1、それ以外の成分が0の行列)

• 転置行列

(行列

A の(i, j)成分を(j, i)成分に入替)

例:

𝐵 1 3 5

2 4 6 , 𝐵 1 2 3 4 5 6

5

行列の和

• 行列の和の定義

– 𝐴

𝑎 ⋯ 𝑎

⋮ ⋱ ⋮

𝑎 ⋯ 𝑎 , 𝐵 𝑏 ⋯ 𝑏

⋮ ⋱ ⋮ 𝑏 ⋯ 𝑏

– 𝐴 𝐵 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏

⋮ ⋱ ⋮

𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏

• 2

つの行列の

M と P が一致する場合のみ和が定義される

– 例:

– や は計算できない

6

スカラー×行列

• スカラーと行列の積の定義

– 𝐴

𝑎 ⋯ 𝑎

⋮ ⋱ ⋮

𝑎 ⋯ 𝑎 , 𝑘は実数 ⇒ 𝑘𝐴

𝑘𝑎 ⋯ 𝑘𝑎

⋮ ⋱ ⋮

𝑘𝑎 ⋯ 𝑘𝑎

• 行列の和の性質:

– 結合法則 – 交換法則

• スカラーと行列の積の性質

(klは実数)

– –

7

行列の積の定義#1

• 行列の積の定義

– 𝐴

𝑎 ⋯ 𝑎

⋮ ⋱ ⋮

𝑎 ⋯ 𝑎 (M×P

行列

), 𝐵

𝑏 ⋯ 𝑏

⋮ ⋱ ⋮

𝑏 ⋯ 𝑏 (P×K

行列

)

– 𝐴𝐵 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏

⋮ ⋱ ⋮

𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏

左側の行列の列数と右側の行列の行数が同じ場合に積を定義

– 例: 𝐴 1 0 1

0 1 1 , 𝐵 1 2 0 1 1 2

, 𝐴𝐵 2 4

1 3 , 𝐵𝐴 1 2 3 0 1 1 1 2 3 – 𝒂 1 2 3 , 𝒃 1 2 1

– 𝒂 𝒃 8 , 𝒂𝒃 1 2 1 2 4 2

3 6 3

8

(3)

行列の積の定義#2

• 計算の過程

– 𝐴𝐵 1 0 1 0 1 1

1 2 0 1 1 2

1 0 1 2 0 2

0 0 1 0 1 2 2 4 1 3 – 𝐵𝐴 1 2

0 1 1 2

1 0 1 0 1 1

1 0 0 2 1 2 0 1 0 1 0 1 1 0 0 2 1 2

1 2 3 0 1 1 1 2 3 – 𝒂 𝒃 1 2 3 1

2 1 1 4 3 8 8

– 𝒂𝒃 1

2

3 1 2 1 1 2 1 2 4 2 3 6 3

9

行列の積の性質

• 行列の積の性質:

– 結合法則

– 分配法則

– 交換法則は一般には成り立たない

注意すべき例:

𝐴 𝐵

が計算できるとき、

𝐴 𝐵 𝐴 2𝐴𝐵 𝐵

𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝐵

– 単位行列と零行列( :要素がすべてゼロの行列)は交換法則 が成り立つ ,

– にもかかわらず となることがある

10

1次形式のベクトルによる表現

• 1 次形式

(変数の

1

次の項

のみ

からなる多項式)

– : M 個の変数

– : M 個の係数

例:

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧

• 1次多項式のベクトルによる表現

– 𝒙 𝑥 … 𝑥 , 𝒂 𝑎 … 𝑎

11

2次形式の行列による表現

• 2 次形式

(変数の

2

次の項

のみ

からなる多項式)

– : 個の変数

– : 個の係数

𝑓 𝑥 , … , 𝑥 𝑎 𝑥 𝑥

𝑎 𝑥 , … , 𝑎 𝑥 , … , 2𝑎 𝑥 𝑥 , … , 2𝑎 𝑥 𝑥

例:

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥𝑦 𝑐𝑦

• 2次形式の行列による表現

– 𝒙 𝑥 … 𝑥 ,

𝐴

𝑎 ⋯ 𝑎

𝑎 ⋯ 𝑎

12

(4)

対称行列と2次形式

• 対称行列

– を満たす正方行列

例:𝐴 𝑥 𝑎 𝑏 𝑎 𝑦 𝑐 𝑏 𝑐 𝑧

特に、

𝐴 ∈ ℝ

のとき実対象行列とよぶ

• 2 次形式( )中の行列 と対称行列

– 行列 を実対称行列とすると任意の2次形式 は と表現できる。

– また、その実対称行列 はただ1つに定まる

13

ベクトルの微分

• ベクトルをスカラーで微分

– 𝒗 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 … ℎ 𝑥

のとき 𝒗

… –

問題:

𝒗 𝑥 𝑥 𝑥

のとき、 𝒗 を求めなさい

• 多変数関数をベクトルで微分

– 𝒙 𝑥 𝑥 … 𝑥

のとき 𝒙

𝒙

𝒙

𝒙

𝒙

問題:

𝑓 𝒙 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

のとき 𝒙

𝒙 を求めなさい

公式

𝑓 𝒙 𝒂 𝒙

のとき 𝒙

𝒙

𝒂

公式

𝑓 𝒙 𝒙 𝐴𝒙

のとき 𝒙

𝒙

2𝐴𝒙

14

演習問題

1. , が を満たすとき、

の値を求めなさい。

2. 次の 2 次形式をベクトル と実対称行列 を用いて の表現に変換することができる。この とき行列 を求めなさい。

15

参照

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