経済経営数学 補助資料
～ベクトルと行列～
2021年度1学期： 月曜3限, 木曜1限 担当教員： 石垣 司
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スカラーとベクトル
• スカラー
– ベクトルや行列ではない実数 – 小文字で表記 ： a, b, c 等
• ベクトル
– 小文字の太字で表記： 𝒂 𝑎 ⋮
𝑎 , （ 𝑀 ：次元）
– ベクトルは縦に長い
• ノルム：ベクトルの大きさ
– 表記： 𝒂 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 （Euclidノルム）
• 単位ベクトル：ノルムが1のベクトル
– 表記： 𝒆
𝒂𝒂2
行列
• 行列（ Matrix ）
– 大文字で表記： （ M × P 行列 ）
•
ベクトルを横に並べたと考えることができる– 行列の成分・要素（ ）
•
行列A の (i, j)成分 or i
行j
列の成分• 正方行列
– （ M 次正方行列）
– 対角成分：
3
𝑎 ⋯ 𝑎
⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 ⋯ 𝑎
1行目
1列目
スカラー、ベクトル、行列の集合
• 実数を要素とするスカラー・ベクトル・行列の集合
– ：実数の集合
– ：要素が実数の M 次元ベクトルの集合 – ：要素が実数の 行列の集合
• 実数を要素とするスカラー・ベクトル・行列
– ：実数
– ：要素が実数の 次元ベクトル – ：要素が実数の 行列
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単位行列、転置行列
• 単位行列
–
（対角成分が1、それ以外の成分が0の行列）• 転置行列
–
（行列A の(i, j)成分を(j, i)成分に入替）
•
例：𝐵 1 3 5
2 4 6 , 𝐵 1 2 3 4 5 6
–
5行列の和
• 行列の和の定義
– 𝐴
𝑎 ⋯ 𝑎
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 ⋯ 𝑎 , 𝐵 𝑏 ⋯ 𝑏
⋮ ⋱ ⋮ 𝑏 ⋯ 𝑏
– 𝐴 𝐵 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏
• 2
つの行列のM と P が一致する場合のみ和が定義される
– 例：
–
– や は計算できない
6スカラー×行列
• スカラーと行列の積の定義
– 𝐴
𝑎 ⋯ 𝑎
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 ⋯ 𝑎 , 𝑘は実数 ⇒ 𝑘𝐴
𝑘𝑎 ⋯ 𝑘𝑎
⋮ ⋱ ⋮
𝑘𝑎 ⋯ 𝑘𝑎
• 行列の和の性質：
– 結合法則 – 交換法則
• スカラーと行列の積の性質(kとlは実数)
– –
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行列の積の定義#1
• 行列の積の定義
– 𝐴
𝑎 ⋯ 𝑎
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 ⋯ 𝑎 (M×P
行列), 𝐵
𝑏 ⋯ 𝑏
⋮ ⋱ ⋮
𝑏 ⋯ 𝑏 (P×K
行列)
– 𝐴𝐵 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑏
•
左側の行列の列数と右側の行列の行数が同じ場合に積を定義– 例： 𝐴 1 0 1
0 1 1 , 𝐵 1 2 0 1 1 2
, 𝐴𝐵 2 4
1 3 , 𝐵𝐴 1 2 3 0 1 1 1 2 3 – 𝒂 1 2 3 , 𝒃 1 2 1
– 𝒂 𝒃 8 , 𝒂𝒃 1 2 1 2 4 2
3 6 3
8行列の積の定義#2
• 計算の過程
– 𝐴𝐵 1 0 1 0 1 1
1 2 0 1 1 2
1 0 1 2 0 2
0 0 1 0 1 2 2 4 1 3 – 𝐵𝐴 1 2
0 1 1 2
1 0 1 0 1 1
1 0 0 2 1 2 0 1 0 1 0 1 1 0 0 2 1 2
1 2 3 0 1 1 1 2 3 – 𝒂 𝒃 1 2 3 1
2 1 1 4 3 8 8
– 𝒂𝒃 1
2
3 1 2 1 1 2 1 2 4 2 3 6 3
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行列の積の性質
• 行列の積の性質：
– 結合法則
– 分配法則
– 交換法則は一般には成り立たない
•
注意すべき例：𝐴 𝐵
が計算できるとき、𝐴 𝐵 𝐴 2𝐴𝐵 𝐵
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝐵
– 単位行列と零行列（ :要素がすべてゼロの行列）は交換法則 が成り立つ ,
– にもかかわらず となることがある
10
１次形式のベクトルによる表現
• 1 次形式（変数の1
次の項“
のみ”
からなる多項式）
– ： M 個の変数
– ： M 個の係数
•
例：𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧
• 1次多項式のベクトルによる表現
– 𝒙 𝑥 … 𝑥 , 𝒂 𝑎 … 𝑎
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2次形式の行列による表現
• 2 次形式（変数の2
次の項“
のみ”
からなる多項式）
– ： 個の変数
– ： 個の係数
𝑓 𝑥 , … , 𝑥 𝑎 𝑥 𝑥
𝑎 𝑥 , … , 𝑎 𝑥 , … , 2𝑎 𝑥 𝑥 , … , 2𝑎 𝑥 𝑥
•
例：𝑓 𝑥, 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥𝑦 𝑐𝑦
• 2次形式の行列による表現
– 𝒙 𝑥 … 𝑥 ,
𝐴𝑎 ⋯ 𝑎
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 ⋯ 𝑎
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対称行列と2次形式
• 対称行列
– を満たす正方行列
•
例：𝐴 𝑥 𝑎 𝑏 𝑎 𝑦 𝑐 𝑏 𝑐 𝑧•
特に、𝐴 ∈ ℝ
のとき実対象行列とよぶ• 2 次形式（ ）中の行列 と対称行列
– 行列 を実対称行列とすると任意の2次形式 は と表現できる。
– また、その実対称行列 はただ1つに定まる
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ベクトルの微分
• ベクトルをスカラーで微分
– 𝒗 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 … ℎ 𝑥
のとき 𝒗… –
問題：𝒗 𝑥 𝑥 𝑥
のとき、 𝒗 を求めなさい• 多変数関数をベクトルで微分
– 𝒙 𝑥 𝑥 … 𝑥
のとき 𝒙𝒙
𝒙
𝒙
…
𝒙–
問題：𝑓 𝒙 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
のとき 𝒙𝒙 を求めなさい
–
公式𝑓 𝒙 𝒂 𝒙
のとき 𝒙𝒙
𝒂
–
公式𝑓 𝒙 𝒙 𝐴𝒙
のとき 𝒙𝒙
2𝐴𝒙
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演習問題
1. , が を満たすとき、
の値を求めなさい。
2. 次の 2 次形式をベクトル と実対称行列 を用いて の表現に変換することができる。この とき行列 を求めなさい。
–
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