1
論 文】UDC ：624
．
154 ：624．
042．
7日本 建 築 学 会 構 造 系 論文 報告 集 第424号
・
199ユ年6月Journal
of Struct．
Constr，
Engng，
AIJ，
No．
424，
June，
1991粘弾
性
表
層
地
盤 中
に
設
置
さ れ た
単杭
の
鉛 直振 動特
性
CHARACTERISTICS
OF
SINGLE
PILES
INSTALLED
IN
VISCOELASTIC
SURFACE
STRATA
UNDER
VERTICAL
VIBRATION
野 添 久 視
＊ ， 日 下部 馨
＊ ＊ ，福 住
忠裕
＊ ＊ ＊Hisashi
NOZOE
，
Kaoru
・【〜7SAKABE
andTadOhi
厂oFUKUSUMJ
The
fundamental
characteristics of single piles vibratirig vertically，
i．
e．
，
theinfluence
of the sur−
face
wave， the coupling effect of vertical and
ho
τizontal vibrations of strata on pile−head
impe−
dances
and so on，
has
been
clarified correspondingly to each problem parameterby
abroad
para−
metric study with a rigorous analysis taking account of coupling of vertical and horizontal vibra−
tions of strata
，
where 出e elasticfloating
piles areinstalled
in
the viscoelastic，
homogeneous
andisotropic surface strata with
hystereitc
damping
on the rigid bedrocks．
KeywOids
：imPetlance，
recePtance，
soil・
pile
interaction，
verticat 励 r 如 0η，
end bearingpiie
，
floating
pile
インピ
ー
ダンス，
伝 達 関 数，
杭と地 盤の相互 作 用，
鉛直振 動，
支 持 杭，
浮杭1，
序 論 地 震に よる地 盤と構 造 物の挙 動を把 握する うえ で， 入 力 地 震 動お よ び動 的 相 互 作 用の 問 題が重 要 視され て い る。 軟 弱な地 盤 上に建 設 される杭 基 礎で支 持され た構 造 物におい て は，
こ の種の問 題がよ り複 雑な もの と なっ て い る。 杭 基 礎とし て，
鉛 直 支 持 力の面か ら荷 重を杭 先 端 の堅 固な地 層に伝え る先 端 支 持 杭 （endbearing
pile） と荷重を杭 周 面 摩 擦で周 辺 地 盤に伝える摩 擦 杭 （friction
pite）の形 式に大 別さ れ る。 本 論 文で は弾 性 解 析の立 場 か ら
，
杭 先 端が基 盤 に固 定 さ れ た杭 を 支 持 杭 （endbearing
pi且e），
杭 先 端が可 動する杭を浮 杭 （floating
pile） と称し，
振 動 数 領 域にお ける地 盤と杭の相 互 作 用 問題を 取 扱う。 地 盤と杭の動的相互作 用 問題に関し て数 多く行われた 既往の解 析 的研究におい て，
杭一
地 盤系の解 析手法に よ る分 類と し て集 中 質 量 （離散）系と 分布 質量 （連 続体 ） 系が考え ら れて い るが1 ），
こ こ では解 析モ デルに取り入 れられた杭 周 面に作 用する地 盤 反 力 （相 互 作 用 力 ）の考 え方から，
1）Winkler タ イ プ系， 2）連 続 体 系， 3）離 散系の3
系 列に大 別 して とらえ る。 ユ）Winkler タイ プ モ デル で は，
杭周 地 盤 反 力がそ の作 用 点の み に依 存する ば ね と変 位の積で表さ れ るとし て，
Penzien ら2）は 水 平 振 動 する支 持 杭に対し集 中 質 量 系モ デル に Mindlin 解 を 用い た 静的ば ね とし て取 り込 んで い る。 Novak は水 平 振 動ま た は鉛 直振 動す る支 持 杭31に対し分 布 質量系モ デ ル にBranov
の動的平 面ひずみ解に よ る複素ばね を用 い， さ らに杭 先 端に は半 無 限 弾 性 地 盤 上の剛 円 盤に対 す るBycroft
の 動 的 解に よ る複 素ばね を用い て鉛 直振 動す る浮杭ll にも適用して いる。 代 表 的 なこれ らの手 法は多 層地 盤 や 地盤の非 線 形 性を容 易に取 扱うことが でき実用 的で あ る が，
静 的ば ね系モデル で は低い振 動 数 領 域に お い て，
動 的 平 面ひずみ系モデル で は高い振 動 数領 域に お い て有 効 性 を 持つ と考え られ る。
2）連 続 体モ デル は弾 性 波 動論に立脚した方 法で， 地 盤の鉛直振 動と水平振 動 が 連 成 し ないと仮 定した近 似 解 析とし て は，
杭の水 平 振 動で は 田治 見5） の 方 法を 用いたNovak
ら6；の支 持 杭に，
竹 宮ら7 〕の多層地 盤 中の支 持 杭に関 す る もの が あり，
杭 の鉛 直振 動で は野 上らS） が支 持 杭に対し て， 野上 9 ｝と 堯 天ら］e ）と 井上］）は 杭 下 部の地 盤 を1次 元 土 柱に三者そ れ ぞ れ異なっ た剛 性で モデル化する こ と によ り浮 杭に対し て示してい る。 地 盤の鉛 直 振 動 と 水 平 振 動 が 連 成す る と す る厳密解は，
杭の水 平 振 動また は鉛 直振 動において，
支持杭では小堀ら11LT2｝に よっ て，
浮 杭で は野添ら13）・
］4 ） に よっ てそ れ ぞ れ誘 導 されて い る。
これ らの研 究で は，
杭 寧 神 戸 大学大学院 自然科学研究科 助手・
工修 ＊ ＊ 神 戸 大 学 工 学 部建 築学科 教授・
工博 ＃＊
神戸大学工学 部建 築 学 科 助 手・
工修Research Assoc
．
，
Graduate School of Science and TechrLology，
Kobe Univ．
，
M．
Eng，
Prof
，
，
Dept，
o ‘Architecture，
Facutty of Engineering，
Kobe Univ．
，
Dr
．
Eng．
Research Assoc
．
，
Depし oI ArchitectuTe，
Facu［ty of Engineering，
Kobe Univ．
，
MEng．
周 地 盤 反 力が連 続 量と して表 現さ れ
，
地 盤 との相互作 用 を考 慮し た杭の基 本的な振 動特性を把握す る の に適し て い る もの の，
相対 的に こ の系列の研究は少ない。
3
）杭 周 地 盤 反 力 を離 散 化し た離 散 系モ デルと して は，
有 限 要 素 法を用いた Wolf らIs ］とKuhlemeyeri6
］・
i7） ，3
次元薄層 要 素法 を杭周のSofter
Zone
に も拡 張 し た水 畑・
日 下 部181な どの研究が知ら れ てい る。 ま た， 地 盤内部の点加 振 解を 用い 杭周 で離 散 化す る手 法と して， 境 界 要 素 法に よ るSen
ら］9［ ，点 加 振 3次 元 薄 層 要 素 法に よる長 谷 川 201，
杭に差 分 法 を適 用し た 八 幡2’）な どの 研 究が あ る。 こ の 系 列の解 析 手 法は数 多く示さ れ，
地 盤の成 層 性や基 礎 形状 に伴う地 盤の不 整 形 性な ど実 状に応じ た数 値 解析が可 能 と な っ ている が， 離 散 化の程 度が問題 と なり杭の動 的性 状に お け る数 値 結 果の精 度に注 意 を 要 する。Winkler
タ イプ系 を除 く他の系 列の解 析 法は，
勤 的 相 互作 用力と なる杭周地 盤 反 力を解析 的に評 価で き，
特 定 のモ デルに対す る数 値 解析 法 として は有 用 と なるが，一
般に膨 大な数 値 計 算 を伴うの で，
数 多くの解 析パ ラ メー
タを有する こ の種の 問題で は， それぞれの パ ラ メー
タに 対 応 した杭の動 的 特 性が十 分には明ら かに さ れてい な い。
特に，
構 造 物の鉛直振動 は も と よ りロ ッ キン グ振 動 を取 扱う う えで重 要な杭の鉛直振 動に関 する研 究は，
杭 の水 平 振 動に関する もの に比べ 少な く， 浮 杭の動 的 特 性 に及 ぼ す杭 先 端 地 盤 反 力の影 響な ど多く の問題が残さ れ てい る。
本論文は， 文 献 14 ）お よ び22）， 23）の一
部を 整 理 し，
さ らに詳 細な検 討 を加えたもの で ある。 こ こ で は，
基 本 的な杭の動 的 特 性を考 察する目的か ら杭 周 地 盤 反 力を離 散 化し ないで連続体モ デルと する弾 性 波 動 論の立 場を取 り，
剛基盤 上の粘弾性 表 層 地 盤 中に設 置 され た単 杭の鉛 直 振 動におい て，
他に例のない 地盤の水 平 振 動も考 慮に 入 れ た浮杭に対す る厳 密 解を示し， 支 持 杭と浮 杭に対す る広 範 囲の パラメ トリック ス タディ か ら，
杭の鉛 直振 動 特 性に及ぼす表 層 地 盤の鉛 直振 動と水 平 振 動の連成効果 な ど，
各 解析パ ラ メー
タに対 応 さ せ 明 ら かにす る。
2．
有限フー
リエ・
ハ ンケル変 換24） によ る解の定 式 化 2．
1 解 析 仮定 こ こで取 扱う杭一
地 盤 系の解 析モ デルは，
円筒 座 標 系 におい てFig．
1に示 す よ うに，
浮 杭と剛 基 盤 上に あ る 表 層 地 盤か らな る。
さ らに表 層 地 盤を周 辺地盤と杭下部 に位置す る杭と同径の土 柱に分けて考える。 表 層 地 盤は 履歴 型の 内 部 減 衰 を有する均 質 等 方な 3次 元 粘 弾 性 体と す る。
杭は1次元弾 性 棒で，
地 盤と完 全に密 着し て振 動 す るもの と す る。
鉛直調 和 外 乱 と して杭 頭 加 振 力および 基 盤入力 地 動 を想 定す る。
本 解 析における混 合 境 界 値 問 題 を 以 下の境界条 件に従っ て処理 する。
1
） 周辺地 盤に おける剛 基 盤との密 着 条 件お よ び地表 r，
r 口 θ 量り
し ハrpLθ Ground surface ムP F且σati pUe H Surroundi soiUay 11 L51 「z1 可丶SoU CO1 皿 「 1 聖 Wl！
r 曜・
9
↑ R’gid bed「°ckFig
．
1 Modei of a soil・
pile system面で の 自由 条 件 2） での外 力 条 件 3） 2
．
2 周辺地 盤の解 析 土柱にお ける剛 基盤，
杭との密 着 条 件お よ び杭 頭 周 辺 地 盤と杭一
土 柱 系と の接 触 面での密 着 条 件 周 辺 地 盤は杭 と土 柱 部 分に相 当 する空 所 を 有し，
z 軸 に対 称な鉛 直 調 和 外 乱がある場 合，
その運 動 方 程 式は，
（・・ ＋… ）躱
・…塾
一
醜 （・… 〆）髪
一
…十
・
∂（5
脅
） ＝一
ρω1（ω十 晩）……
（1＞ と な り，
時間因子 exp （iwt ）は便宜 上省略し てい る。 こ こに，
‘＝
虚 数 単 位， ω・
・
’
円振 動 数， ρ＝
地 盤の密度で，
劉
織
議 纛
1
講
、謄
空
織
対 変 位 u，
ω に よっ て表 さ れ る。
また，
粘 弾性 体の Lam 壱 の定数は， 履 歴減 衰比 ξを 用い て次の よ う な複素 表現と す る。 λ＊ ＝λ（1
十2i
ξ｝，
μ ＊＝
μ（1
十2i
ξ｝…・
・
……
（2
＞ z 方 向に関し て （1）式を有 限フー
リエ 変換 すれ ば，
像 関 数 uC（r，h
。），
wS （r，
hn
）で統一
でき次 式が得ら れ る。・・
h
：一
（・・＋ ・・つ謝 妾
・÷
）
−
P・・，
［
＿融
＿ 、
曝
鳶
篤
］
・
諜
淵
一
｛
蹴
二
1
卜
……・
一
（・・ こ こ に・
hn一
壼
（2・司 ）・層尉・
・−
1・
2・
・1］，・
・
で 上 付 添 字 C，S
は そ れ ぞ れ有限フー
リエ cosine，
sine 変 換 を示 す。（3
）式の右辺の φ c （r，hn
），び （r．
，
hn
）は，
基 盤入力 地 動Wc と変換に際し自 動 的に導 入 された 4種 の境 界 値 τx。（r，
0｝，
w （r，0
）， u（r，
H
），
σ〜
Cr
，
H ）か ら な る。次に
，
r に関 する （3）1
式の微 分 方 程 式を解き，
r→
。。で解が有限 と なるものを取れ ば ， 次 式の よ うにな る。 uc（r， hn）＝
AnPnKI（Pnr ＞十BnhnKi
（Snr ）＋
∬
婦 廟dq
ωs（7、
んn）＝
／しπんnK 。（P陬7）十β兀s乱Ko（Snr） ＋w・n＋f
， M ・v。。
Jo（q
・｝dq
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
（4
） こ こ に， Pn＝
v秤 ， Sn＝媒
κ’ドで
，
波 数 君；
ρω2／（λ＊十2μつ， 錆二研
であ り ， みKp
はそ れ ぞ れ レ 次の第 1種 Bessel関 数， 第 2種 変形Bessel
関 数で ある。An，
Bn
は積 分 定 数で，
Re
（Pn），
Re
（Sn）＞0
と す る。 W。n は ゲ の 晩・
の項に対す る特 解で， 1次元 弾 性 棒の縦 振 動 解に相 当し，
また Ug。，
ωgn は φ C，
び の4
種の境 界値に対す る特解で，
空 所の ない表 層 地 盤の動 的 解25 〕 に相応 す る有 限フー
リエ 変 換 形 表 現とな っ て い る。一
般解は，
（4 ）式の逆 有 限フー
リエ 変 換 形とし て形 式 的に次式で表 現さ れる。
U（・
・
，
Z）一
葺か
（r，
・hn
）・・S（h
・Z）・
（5）・（・
．
・暗
惑
げ 〔r，
・h
。）・i
・〔h
。Z） 第 1番 目の境 界 条 件は r ＞ r。 （＝
杭 半 径 ）におい て，
z＝
0で u・
＝
w＝
！
O， 2＝
H で τz。＝
σz＝
0とし て与 え ら れ る。
こ の条 件か ら，
残っ た 2つ の境 界未知 量 砺 （r，
0），
u （r，
H ＞を次の ように F。urier・
Besse1
積 分で表現 す る。
t・
Xr
・
・）で
磁 （qr）dq
u（r，
H
）−xc
°
・．J，
（q・）dq
…………・
……・
（6） また， こ こで定 義さ れ る変 形Bessel
関 数は，
基 盤での 表 面 力の有限 性 を保 証す る た め に，
連続 関数と して拡張し た
Four・
ier−Besse1
積 分表現 と する。
つ ま り，
∬
κ・（q，
ζn）」、（9r）d
σ＝
κ1（ζnr ）・ ・≧ r］＝
ヱニκ ，（ζnr ，）：0〈 r ＜ r、 rl……・
…・
・
…・
・
……一 一 …
（7） なお，
rt（0〈 rl ≦ r。）は数 値 積 分 を 行 う際の杭 周 け；
r。）での精 度に関 係し て選 択さ れ る。
ま た，
ζn は Pn ま たは Snを表し，
Kn （q、
ζ 。〕は解 析 的に得 られ る。 （6｝，
（7）式 を 考 慮し た境 界 条 件 式 ：u（r，
0）＝
O，
τt。（r，
H ＞＝
・
Oの Fourier−
Bessel積 分 表 現 式 （r＞0）・
か ら，
q に 関す る連 立 1次 方 程 式 を解 く ことによっ て，
積 分 方 程 式 で定 式 化し た小 堀らの解 析 的 表 現IZ） とは異な り，
Uq，
τg が次の形で得られ る。
1
割
一
撚
［
譲
：
劉
畷
：
ll
；
：
駕
｝
・
最
，）・
…一 ……・
……一 ………・
（8 ） こ こ に， 係数』
αen，
fiOP
は （q，
hn
）の 関 数で表さ れ， 上 付 添 字 q，
n で示す。
F，（q ）は剛基盤 上の表 層 自 由 地 盤 にお け る一
般化、
さ れ たRayleigH
関 数である25）。
第1
番目の境 界 条 件を処 理 する際に，
0＜ r ＜ r。にお け る境界値も同時に （6 ），
（7）式の形 式で関 与し て い る が，
こ の境 界値に よ る r＞r。で の解は明ら か に第 1 番 目の境 界条件を満足 す るもの で，
r＝
・r。で の解の連 続 性に大きく寄 与してい る。
2．
3 杭一
土 柱 系の解 析 杭 先 端に密 着 し た3
次 元 土 柱に おい て，
前節の （ユ）〜
（3
） 式を適 用できる 。 な お，
周 辺 地 盤と区 別す る た めに下 付 添 字 S を付 記する。
r に関して （3）』
式の微 分 方 程 式を有 限ハ ンケル 変 換す ると， 像関数 ukC（qsm，
hs
κ），
ω鰍 q跏，
hsk
）に よっ て次 式の よ うに表 現さ れ る6［
（λ＊＋2μ＊）σ翫＋μ零鳳 L ρω2，
（λ＊＋μつq。
。九。． 〔λ＊ ＋μつ9。 。んsk，
μ＊qk
。＋（λ ＊ ＋2μ＊ 罵厂 ρω 2］
・
｛
蹴
：
震
：
；
｝
−
lli
：
［
z
：
：
：
1
：
ll
，
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
…
一・
《9 ） こ こ に・
h・
・一
螽
慨一
1）・土 柱 長さL
・，h
− ・ ・，
・2，
3，…
で，asm
は 0 （m ・＝O ）お よ びJ
，（qs
． rb）＝0
の 正根 （m＝
1，
2，
3，…
）で ある。
ま た，
上付 添 字1C，
OS は 有限ハ ン ケル・
フー
リエ2
重変 換形 を示 し，
φとc （q。m，
h
。。），
興 S （q。m， ん。κ）も 周 辺地盤と同 様に基 盤入力 地 動Wc
お よび 境 界 値と して τ蓉「
（r，
O
）．
ωs（r，
O），
Us （r，Ls
）， σ訓7，
Ls
）の有限ハ ンケル変換 形 の 4種と さ らに Us（r。，
z ），
τ訳 r。，
z）の有限フー
リエ変換 形の2
種で構 成さ れ る。
一
般 解は，
（9
）式の 連立 1次方程 式 か ら得ら れ る U≧c（q。m，
h
。k），
球 s （q。m、
妬 ∂を形 式 的に2
重逆変換 す ることに よ り次の よ う に表 現さ れ る。
2 m c’
ユu・｛ r
・
z）「 幕
羅籌
1瓦
蓋 c （q・m・
ん・・）」1（σ・・r＞・
COS （hskZ
）Ws 〔・，・）
一
去
葱義
鵡
・臨 ・ 城 （α跚 ・）・
sin （んsκ2）・
…・
………・
・
・
・
・
・
……．
・
…・
（10
） こ こ ・，
Alm一
知
・繭 ）1
・・m！
：
・，
・，
・，…．
一
方，
杭に おい て，
基 盤入力 地 動 眺 に対す る杭の鉛 直相対 変位 Wp 表 示によ る運 動 方 程 式は次のと お りであ る。・
−
145
一
畷
£
・＋恥
一
・fE ，A
・親・
一…・
・
（11） こ こ に，E
，＝ 杭の ヤング係 数，
ん＝
杭の断 面 積，
ρ。＝
杭の密 度であ り， 波 数 x。＝
ω／V
，，
杭の縦 波 速 度 v，＝
師
と な る。 Pvは周 辺 地 盤によ る杭周地 盤 反 力で，
P，
一一
・・r。・T． ，（・r。， z＞一
融
・・ … （・・2）…・
………・
・
……・
・
…・
…
（ユ2） の よ うに与え ら れ， Pvnは （8
）式を考 慮する こ と に よ り，An，
Bn
の項の み で表 現で き る。
（ll）式を有限フー
リエ 変 換し て，
像関数 （h。
h）を求 め，
その逆 変 換 形 として解が次の よ うに形 式 的に表 現さ れ る。
・・
一
黴
・暑（hPh
）… （… Zp）・・・…一
・・・
・
…
9・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（13 ） こ こ 1・・h・
・一
螽
（2
κ一1
）・杭 長L
・・
κ一
1，
・2・
・3・
・“・
で， ωi
（hpx）には基盤 入力 地 動 Wcお よび境 界値と して 杭先端での ω，と杭 頭で の軸力N
，が自 動 的に含ま れ る。
第 2番 目の境 界 条 件の処理 を行うに際し
，
杭一
土柱系 に対して次の境 界条 件を与え る。
Us＝
Ws＝
O on z；O
Us＝ ＝O ，
Ws
＝
Wp，
Ns＝Np
on z＝
＝Ls ・
（14〕 ハ1P＝
NPL at 2＝1f
こ こ に，
NPL は杭 頭に作用 する鉛 直加 振 力の振 幅で あ り，
Ns
は土柱によ る杭先 端 地 盤 反 力であ る。 （14）式で与え られ た境界条 件の下で，
残っ た境 界 未 知 量を次の よ うに表 現する。
・
gr
（・，
・）一絖
繍 一 の・言（・，・L・）
十
・ ＋鮎
・・
ゐ（q… ）d
・（r・，・）一
去
躯
・ ・S （h
… ）驫 ・）一
去
鮎
… （・…Z）・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
・
…
『
『
・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
…
〔15） 土 柱 変 位 Us （r，0
）＝0
お よ び杭と土 柱との接 触 面が平 面を保持す る条件式 を有 限ハ ンケル変 換 することによっ て，
τ。m，
σsm ；（m ＝ 1，
2，
3，…
）が次の よ う に決 定さ れ る。1
蠶
｝
一畠
［
α野iC，b
？ lt α磐，
酵κ］
陰
1
…・
一 ・
（・6） こ こ に，
係tw
amit，
δ規
κ は （qsm，
hsh）の関数表現とな り，
上 付 添 字 m，h
で示す。
Ns
は，
（15） 式の第 2式 を考 慮 する と，
Ns
＝
2π σ3ゴ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
17
） の よ う に得られ， 杭 先 端の未知 変位を Wm と すれ ば，
杭 と 土 柱の接 点での境 界 条件か ら，
Wm。，
σs。：（m＝
O＞が 杭 頭 条 件を考慮 して， 次の よ うに求め られる。
陰 ト
籠
1
甥｝
・・＋惑
［
li
：
：
1
；
：
］
・
陰｝
・［
：
：
：
1
：
］
｛
惚｝
…
（18
） こ こ にt 係 数Dn
はhn
の関 数で，
c，
d
は定数と な る。
2．
4 境 界 条件式の縮 約 化最 後に
，
周 辺地盤と杭一
土 柱 系 との接 触 面 （r； r 。） で の境 界値問題 を処 理し な け れ ば な ら ない。 まず， 土柱 周 面で の表 面 力の連続 条 件 ：σ尸 茜，
τzr＝
τ訳 0＜z〈Ls
）を有限フー
リエ 変 換する ことに よっ て，
土柱の境 界 未 知 量 u。
h，
τ。κ ：〔h
＝
1，
2，
3，…
）が次の境界条 件 式 か ら決 定され る。
CD ageu。、＋
b
： ’t τ。
k＋Σ ［a評駕Sj十b
tl
’
tSi］ ’i1
＋ Σ ［α勤 。＋β野瑚 樽 cξ押。 、＋d
｝嫣n
＝
］
tO
τst＝ Σ ［α梦！4η
＋β評B
司 鷲iI
・
一・
・
一・
・
r・
（19 ＞ こ こ に，
ノは土柱のパ ラ メー
タk
に対 するサ ブパラメー
タである。
次に，
杭一
土 柱 系の周 面（r＝
r。）での 変位の連 続 条 件 ：1
二
峯 楓
留
笠
誰論
卜
…・
…
（・・｝ の有 限フー
リエ 変 換形 （0
〈zくH
）か ら，
周 辺 地 盤の 積 分 定 数An，
Bn
：（n＝
1，2，3，…
）に関する境 界 条 件 式は，
次の よ う な表 現 とな る。
Σa71tu。k＋ a？
A
π＋β7Bn
＋Σ［α7
【 ん＋β苧t」3
‘］＝0
尾田
l l＝
1tO Σ ［α窪iCUsk＋
b
譽κτ8日＋ a容／1
，、＋β皆B
η k＝
1m
十Σ［α
9
’At
十β？tB，］＝
C：・
IV
，，十d
： Wa t＝
1…………・
・
…・
…………・
・
…・
（21 ） こ こ に，1
は周辺地 盤の パ ラメー
タ n に対す るサ ブパ ラ メー
タで，
（16 ），
（18 ）式 を用い て いる。
さらに，
（19
）式の第 2式 を用い て，
（19 ）式の第 1式と （21 ）式の第 2式の τ。
k（τ。」）を消去す れば， 境 界 条 件 式 は，
u。k，
An
，Bn
に関す る複 素連立 1次 方 程 式で表 現さ れ る。
結局，本 解 析における すべ て の境界 未 知 量 14種 （周 辺地 盤 ：6種，
土柱 ：6
種，
浮 杭 二2個 ）が直 接ま た は 境界 条 件 式か ら間 接 的に決 定で き る。
こ のよ うに本 解析 的 表 現がフー
リエ級 数 解 表 現と大き く異な る点は，
形 式 的 逆 変 換 形 （フー
リエ級 数 ）では表 現でき ない境界での 値が変 換 過 程で境界未 知 量と し て 自動的に導入 さ れると ころにあ る。 2．
5 杭 頭 インピー
ダン ス と伝 達 関 数地震時に お ける構 造物の応 答 を求める問 題を
，
構造物 の慣性力に よる相 互 作 用 （lnertialInteraction
）と 基 礎 の地 動拘束に よる相 互 作 用 （Kinematic
InteraCtion
）の2つ の問題に分けて 考え るこ と がで き る26）。 杭 基 礎で 支持さ れ た構 造 物で は
，
杭一
地 盤系におい て，
前 者は杭 頭 イン ピー
ダン ス を，
後 者は伝 達関 数を求め る問題に相 当してい る。
つ ま り， κw＝1VPL
／恥L （Wc＝0
）・
tt・
・
・
・
・
…
（22 ）Svc
＝
％4
既 （IVp
，＝O
） こ こ に，Wn は杭 頭の鉛直絶 対変位応 答を示し，
インピー・
ダン ス関 数Kvv
は複 素 数 さ， 実 部は 剛性を， 虚 部は減 衰 を表 現してい る。
伝 達 関 数Svc
は，
基 盤入力 地 動 Wcに 対す る自由な杭 頭で の複索変位応 答倍率で，
絶 対 値は振 幅 比 を， 偏角 は位相差 を表す。 解析的に は，2
つ の鉛 直 外 乱 （N 。
，
．
，
眺 ）に対す る解か ら そ れ ぞ れ求め られる。
3，
単杭の鉛 直 振 動 特 性 3．
1 解 析パ ラメー
タの設 定 杭一
地 盤系の動的 性 状を明らか にす る た めに，
広 範 囲 の パ ラメ ト リッ クス タ ディを数 値解析に よっ て行 う。 本 解 析における杭 頭 イン ピー
ダン ス，
伝 達 関 数な ど は，
次 に示す ように 8個の解 析パ ラ メー
タか ら なる関 数と して 表 現さ れ る。K
・v ・ ・s
・c−F
（
舞
舞
，
銑
，
嘉
，
穿
，
旨
，
ξの
・
・
777
・
一・
・
一・
−7・
7・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
（23） こ こ に，
地 盤の横 波 速 度・
yκ＝師
および縦 波 速 度 Yv＝
（λ十2μ）／ρ で， 波 数は 勘＝
ω／脇， Xv＝
ω／Vvとな る。
・ た灘 地 盤・基 本 鬮 数・
蜘号
愉
・対・ ・轍 元 振 動 数b
，＝
ω ／ωHI （また は層 厚に関 係しない無 次 元 振 動 数 α 1＝
b，・
ro／H ）である。
解 析パ ラメー
タの範 囲とし て，
表 層 地 盤で は軟 弱 土 層 を想 定し，
ボ アソ ン比 レ＝
ユ／3〜O．
479
：縦波と横波の速 度比V，
／V
”＝ 21 −
v ）／（1− 2v ＝2．0〜5
，0
で，
履 歴 減 衰比 ξ、
＝o．ol〜o．
10 と し，一
般 的なVv
／V
．＝
2．
5 （v＝
0，
405
）お よび ξ＝0．05
を軸 とし ている。一
方，
杭で は 場 所 打コ ン ク リー
ト杭 を 想 定 し， 密 度 比 を一
般 的な Pp／p＝
4／3 と し， 断 面 積 比 A，／（πrl ）＝
1， ヤ ング係 数E
，＝
2．
1× 105kgf
／cm2 とす る。
杭 と 地 盤の 速 度 比 をVp
／Vtr
＝7．
5〜60
と し，
通常の表層地 盤剛性 を網 羅して い る。 杭 長さ径比Lp
／r。＝
10〜
80， 杭長 と 層厚の 比L
．／H ；1〜1
／3
（ま た は土柱長 さ径比Ls
／r。＝o− 80
）の 範 囲 を 考え る。
3．
2 本解析法に よる結果の検 討 周 辺地 盤の解 析 的 表現に は qに関する （0，
Q。）の定 積分表 示 式が含ま れ て い る の で，
そ の積 分 値を求め る必 要が ある。
粘 弾 性地 盤 （ξ≠0）で は特 異点 が実 軸上に は存 在し ない の で，
実 軸上に沿っ て数値積 分を行うこと箏
繖
轟
晶
課
嶽
凱
適 用して行わ れ，
そ れ よ り大きい q に対 し て被 積 分 関 数 を10−
3以 内の 誤 差を有す る漸近展 開で 近似し て解 析 的に処 理され て いる。
ま た，Rayleigh
poleを含む領 域 で は分 割 を細か く し，
精 度 上 特に配慮してい る。
r＝・
r。＝
2rt に おけ る （7）式の表 現 が 連続関数と し て表 現さ れて い る ため，
そ の誤 差は 5％ 程 度 と小さ く なっ てい る。
無 限 級 数に お い て，
項 数 n＝
m＝
h＝
25項ま で取っ たKvv，
Svc
の解 析 結 果は数 ％程
度の誤 差 内で収 斂す る こ と を確かめt
お り14 ］，
本 解 析 結 果で は項 数 n＝
m＝
k
＝
25項まで取っ た もの を示す。 本 解 析 法の有 効 性 を検 討するた めに， 境 界 条 件 式 を積 分 方 程 式と して解か れ た小 堀らに よ る支持杭の解析 結 果12｝ との比較を 行っ た とこ ろ，
杭頭イン ピー
ダン スKvv
お よび伝達 関数Svc
共に本 解析結果 （Ls
→0
）が小 堀ら によ る もの と よ く一
致して いるこ と を確認 して い る1”。
ま た， 基 盤 上の表層 地盤 地 表面に設置さ れ た 剛で滑 ら な い円形 基 礎の イン ピー
ダンスKvv
の本 解析 結果 （L
尸→0
） に は，
付 録Fig．
A −
1に示す ように，
3次 元 薄 層 要 素 法 を用い た Tassoulas らz9〕の結果と よい一
致が見られ，
本 解 析 法が有 効である と言え る。3．
3
振 動 特 性に及ぽす表 面 波の影 響 杭の動的性状は表層地 盤の一
般 化さ れ た Rayleigh 関 数の性 質に大き く依 存 する。 Rayleigh Poleq
。［凡 （q
。）＝0
の根］に よる表 面 波の性 質は基 盤 上の完 全 弾 性 地igzs
）やVoigt型の粘 弾 性 地va2s
）に お い て既に よく知られ て い る。 こ こ で は余り知られ て い ない履 歴 型の粘 弾 性 地 盤に おける
Rayleigh
Pole
につ い て考 察する。
無 次 元 振 動 数b
， に対 し て｝ Vv／脇三
2．
5』
（v＝
O．
405）で ξ＝
0．
05 の粘 弾 性 地 盤に おける複 素 Rayleigh Pole の実 部 ユ．
21．
086 4 伍 軌 翫 薹 〉
。
O）
£ O．
20一
〇．
2 1．
2ミ
1
：
：
章
：
：
1O
．
2 1st．
．
一
．
．
．
2nd 3rd 4th 匿 5th 4th」
「
、
・
9・
・
♂ 6 ア匕h．
pr
．
「’
”
6th゜
°
」
」．
し
9置
’
ξ雷
o 3面 5th ξ＝
0，
05 o 5 10 0 0 5 b，
10Fig
．
2 C〔）mplex Rayleigh pole in v｛scoelastic surface stratawith
hysteretic
damping：
Re
（q。）／πH＝
VH／V， （VR ： レィリー
波速 度）と虚 部 ：一
恥（q
。）／κH＞0 を，
完 全弾性 地盤 （ξ・＝O）の結 果と と もに Fig．
2に示す。Fig．
2か ら，
振 動 数 が 高く な るに従っ て，
各モー
ドの 実 部で示 さ れ る位 相 速 度は完 全 弾 性 地 盤の レイリー
波 速 度に漸近 し， 虚部で表さ れ る幾 何 減 衰は比 較 的 小さ な値 と な るの で，
レイリー
波に及ぼす 地 盤の履 歴 減 衰の影 響 は少ない と 言 え る。
完 全 弾 性 地 盤で は レイリー
波の存在 し ない振動 数領域に おい ても， 粘 弾 性 地 盤で は レイ リー
波は すべ て の モー
ドで存在し，
3次 と5次モー
ドでは実 部が負の後退 波 と な る が，
振 動 数が低く な る とともに各 モー
ドにお け る幾 何減 衰が急 激に増 大す るの で，
こ の よ うな振動 数領域にお け る表 面 波の影 響は小 さいと考え ら れ る。
1
次 と2
次モー
ドの実 部で は，
完 全 弾 性 地 盤にお け る 両モー
ドの遷 移 する現 象が みられ，
完 全 弾性地 盤に お け る群 速 度が極 小 値を取る点 （Airy 相 ：○印で表 示 ）と よ く対 応し て いる。 ま た，
3次と4次 （また は 5次と 6 次 ）モー
ドの実 部の交差す る点は， 完 全 弾 性 地 盤に おけ る両モー
ドが非 常に接近 して いる付 近に現れ てい る。
こ の よ うに，
よく知 られて い る完 全弾性地 盤のRayleigh
Pole
の特 性に よっ て も履歴 型 の粘弾 性地 盤にお け る複 素Rayleigh
Pole
の 実 部の特 性を大 略 理 解す るこ と が で き る。
杭 頭 イン ピー
ダンス Kvvに及ぼす 表 面 波の影 響を考察 する ために，
Vv／VH＝
2．
0，
2．
5，
5．
o （v＝ 1／3，0．
405 ， 0．
479 ：以 下に示 す 振 動 数は そ れ ぞ れこれに対 応 してい る）に対 して地盤の履 歴減 衰比 ξと ともに Fig．
3に示 す。Fig．
3
か ら， 完全弾性地 盤で の レイ リー
波による群 速 度が極 小 値 （1次 ：b
，＝
1．
88，
1．
98，
2．
07）お よ び零 （2次 ：b
，＝
1．
95，
2．
31，
2．
81，
3次 ：δ1＝
4，
93，
5．
00．
4．
96＞ を 取る （Fig．
2の○ 印で示す ） 振 動 数の ところで，
Kvv の実 部， 虚 部 共に急 激な変 化が見ら れ，
表 面 波に よる影 響 を強 く受 けてい るの が分か る。
地 盤の鉛 直 振 動と水 平 振 動が連 成し な い近 似 解 析8L ］O］ な どで見 ら れ るような表 層 地 盤の縦波に よ る 1次の共 振 点 ｛b
、；
2．
0， 2．
5
，5．
0
） での 急激な変化は 現 れ ていない。
Kvv
に及 ぼ す地 盤の履 歴 減 衰の影 響とし て，
履 歴 減 衰 が小さい場合 （ξ；
O．
01）に見ら れ る ような群 速 度が零 とな る表 層 地 盤の共 振 点でのKvv
の鋭い変 化はもは や履 歴 減 衰の比 較 的 大きい場 合 （ξニO．05，0．
10）に は顕 著 で な く， 群速度が極 小と な る 振 動 数 付 近で の KI，
v の変化 は履 歴 減 衰に余り影 響さ れ ない こ と が分か る。 こ の よう に， 杭 頭 インピー
ダン スKvv
に及ぼ す履 歴 型の粘 弾 性 地 盤に おける表 面 波の影 響を考 察する際に は，
群速度の零 と な る振 動 数よ りもむ しろ群 速 度の極 小と な る 1次 振 動 数 （Airy
相 ）付 近がより重 要 な ものと な る。
表 面波に よる こ の ］次 振 動 数よ り低い振 動 数 領 域で は，Kvv
の実 部で表され る剛 性は，
履 歴 減 衰に は余り影 響され ず，
ボア ソン比が大き く な る と ともに漸 増す る．
，
虚 部で表さ れ る減 衰とし て は表 面波に よる放 射 減衰とし て の効 果は小さ く，
主と して地盤の履歴減 衰に よ るもの で あ る。一
方，
この1
次 振 動 数よ り も高い 振 動数領 域で は，
剛 性，
減 衰 共に ボアソ ン比によ る影 響は小さい。
こ れは，
表面 波が励 起 され る 1，2，3次 振 動 数が そ れ ぞ れ ポァソン比に対 し て よ く似た値 を示 してい る た め と，
4 次 以 上の表面 波の高 次モー
ドに よる影 響が少ないた め と 考え ら れ る。 剛性は履歴 減 衰が大き く なる に従っ て，
少 しずつ 低下し ているe ま た，
減衰は表 面波の励 起に よ る 放 射 減 衰が卓越 し，
低振 動 数領域で顕著で あ る履歴 減衰 による わずか な効 果を放 射 減 衰に加 算 し た程 度の大き さ と なっ て い る。 3．
4 杭 頭イン ピー
ダン ス を 構成す る3
要素 （11）式の杭の運動方程式を全 杭 長に沿っ て積分 し た 杭 全体と し ての動 的 釣 合 式は次の よ うに表 現できる。
NPL＝
ハTpo十Pv−
ntpω2LpwpA ：Wa＝
0・
・
……・
（24） こ こ に， N．＝
杭 先 端の軸 力，
総 杭 周 作 用 力Pv は （12） 式で得られ る杭 周 地 盤 反 力Pv を全 杭 長に沿っ て積 分し た作用力で，
杭の線 密 度 彿p＝
ρ尸A，，
ωp、＝
＝
杭 長に わ た る 鉛 直 平 均 変 位で ある。 勤 的 杭 周 作 用ば ねhcv
お よ び 土柱 に よる動 的 杭 先 端 作 用ば ねKsv
を次 式の ように導 入 す る。
hcvLp＝Pv
／WPA ， Ksv＝
IVpo／Wpo………
（25 ）30 20 10KLw
．
0 μ「
◎
40 30 20 10 0D 5 b1100 5 b：
100 5 わ卩
10 q ） Vv／V■
＝
2，
0 （v＝
1！3 ） b） Vv／VK＝
2．
5 （り＝
0．
405） c） Vv／VH＝
5■
O （り＝
0．
47g）（
22
），
（24
）式 か ら，
杭 頭インピー
ダン ス Kvvは，Kvv＝KHV
十Kcv
十κrジrr・
7・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
・
・
…
一
・
・
・
・
…
（26
） の よ う に3
つ の要 素で構 成さ れ る。
ここに，
倫 轟語
麟 杭 〉蒜伽
翻ωP
湘
，
κ、广 況 。ω ・L
。 璽Kcv＝hcvLp
WPL u）PL…
一・
・
・
…
一・
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（27） つ ま り，
（26
）式は杭 頭 インピー
ダン スKvv
が基 盤 また は杭 先 端 土 柱によ る複 素ばね 剛 性KBV，
杭周地 盤に よる 複素ばね剛性 Kcvお よ び杭の慣 性に よ る複 素ばね 剛 性KiV
の 3要 素によっ て分 担され る ことを表し て い る。 杭 頭イン ピー
ダン ス の 3要 素につ い て無 次 元 振 動 数 al の 数点で調べ たの がFig．
4 で ある。 解析パ ラ メー
タは，Vv
／Vu＝
・
2．
5，
ξ＝o．05
で，
後に示すFig．
7のL
，／r。＝
10で L，／H ＝ ・1／2の浮 杭の
V。
／V。
＝ 7．
5，
15，
30に対 応 してい る。Fig．
4a
か ら，
土柱に よ る複索ばね剛 性Kev
の実 部は 振 動 数に対 し てほと ん ど一
定で， その虚 部は振 動数と と もに直線 的に増加し，Vp
／V
，＝
7．
5で は負の値 を示す。
杭 周 地 盤に よ る複 素 ばね剛 性Kcv
は実 部，
虚 部 共に振 動 数 全 域に わ たっ て Kvvの主 要 部 分をな し て お り，
振 動 数 の上昇と ともに杭の慣 性に よ る複 素ば ね 剛性 KiVが卓越 し て くる。 ま た，
Vp／玲＝
15，
30の 場 合，
杭一
地 盤系 の 固 有 振 動 数の と こ ろで は Kvvの 実 部が零に な る （Fig．
7参 照 ）。 Fig．
4b に単 位 長さに対す る動 的 杭 周 作 用ば ねkcv
と 杭の慣 性 力 肌 p ω2 につ い て示 し て い る。
動的Winkler
ばね の表 現に相 応する んcy は Vp／ V．に ほ と ん ど無 関 係 で，
周 辺 地 盤の表 面 波による影 響 を強く受 けてお り，
表 面 波による 1次 振 動 数を越え る領 域で，
実 部は ほ と ん ど一
定の 剛性を，
虚 部は振 動 数と と もに直線 的に増加 す る 逸 散 減 衰を表して いる。 α 1＝
1／2
付近を境にkcv
の実部 と杭の慣 性力 祝 pω2の 値の 大 き さ が逆 転 してい るの が分 か る。
こ れ か ら，Kvv
の特 性が放 物 線 を描くよ うに大き く変化す る主な要 因は杭の慣 性で ある と言える。
こ の逆 転する振 動 数は杭の 線 密 度 mp に依 存す ると考えられる。
Fig．
4c に は杭の変 形 特 性 Wp、／WPL につ い て示し てい る。
この振 幅 特 性は α1＝
1／8
（表 面 波に よ る1次 振 動 数 付 近）の変化を除く と α、〈1
／2
では ほ ぼ一
定と な っ てい る が，
α、＝
1／2 付近を 越 え る とVp
／V
”−
15，
30の杭で は微 増し，yp
／脇＝7．5
の杭では減 少す る 傾 向 を示 して い る。
位 相 遅 れ はV
，／−V
，，＝ 7．
5
の杭の α1＝1
／8
付近の 急 激な変 化 以 外は振 動 数に対して単 調に 1．
o 変 化し，Vp
／ Vuの小さな柔な杭ほど位 相 遅れの大きい こと を 示し てい る。
こ の よ うに， a：
＞1／2の高 振 動数領 域では，
Kvvの特 性に及ぼ す杭の変形特性の影 響が大き く な る。 つ まり， 杭の全 慣 性 （祝 pげLp
）と Wp。／WPL の実部の特 性に より，
KiVの実 部 が 脇／VH
の大きい剛な杭では剛体的な慣 性を コ 表 し， 柔な杭で は杭の持つ慣性が抑 制され，
ま た，
杭の 160140120loo80604020o一
20一
40一
60一
80一
10D一
120 0 1086420 112 aL l O 1〆2 al l a） Kev，
Kcv，
KiV and KYV◇ 切
，
』・
！μ・
』【駲／μ！
F尸
諺
’
グ」
FF
厂
r「
1 0 16一
一一
徽 電 ：蠶
−隔
x蹠・
晒a1 丶P、
．
．
臥
x A叩量itロde−馳
1 冨 £ 0「
薈
H匿
謡
灘
i
x P 二seL 昭 Real 0 1〆2 σ【
1 0 1／2 σ1 1一
1 b ） kcv and rnpωs c）WPA ／WpLFig
．
4 Three essential parts of κレ
レ
for a nQating pile（1．
p／r。＝
10
，
Lp／H畢 1／2，
Vv／y甜＝ 2，
5，
ξ＝
0．
05）1
蜘
1
o．
5 0慧
》
．
壕
：
rK
1．
01黷 1
o．
5鷲
一
一
’
16”一
／3’
”“
，
一
一
”
等 7．
5 c lO 20 40 Lp！rっ
80 10 20 40 ムp／ro 8D u）＆nd 腱 ing piles b）Flcating pilesFig
．
5Charactenstic
parameter α rep陀sennng the pi【e be．
havior
．
（b■
＝
0．
5，
レγ
／y肘
二
2．
5，
ξ＝
0．
05）全 慣性と tVPA／lvpL の虚 部との特性に よ りKtVの虚 部と して現れ る。
一
方， Kcvの特 性に はkcv
の実 部の振 動 数 に対し一
定の要 素と虚 部の振 動 数の 1次 関 数 的な要 素が ωPAノωPL の実部と虚部の特性を介し て複 雑に現れ る。
3．
5 杭の分 類 杭一
地盤 系の鉛 直振 勤 性 状に杭と地 盤の速 度 比 レp／脇 （ま た は杭と地 盤の 剛性比Ep
／μ）と杭長 さ径 比 L尸／r。 が大き く影響 す るこ と は，
既往の研 究ε｝・
2U な ど で も明ら かに さ れ てい る が， 両 者 を同時に考慮し た杭の分 類によ 400 3go 3803T。
”叫一
一
冒
曽
‘
丶 丶．
一
．
360i
ii
！
”
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30 20幽
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ー
0 α 0000 4321 780 770 760 210 200 190 7e 60 50 4e 駈 μ「・
301 20 10 0 40 3e 20 10 0 0 る考 察は ほ とん どな され て いな い。
（27）式で表現され る よ うに， 支 持 杭で は軸 力の比 N嘱／1V。 。， 浮 杭では鉛 直 変 位の比 ω尸0／ω PL で示さ れる杭 頭に対 する杭 先 端の応 答 特 性お よび杭の 変 形 特 性 ω尸ん／ω。 乙が，
杭を分 類する うえ で重 要な因 子になる と考え ら れ る。 そこで，
両者 を 統 合し た杭の分 類を行 うに際し，
支 持 杭での 解。Iv
．，， 浮 杭で の ωp。／w，，に着目 し，
その絶 対 値とLp
／「
r。の 関 係 をパ ラメー
タV．
／V．
，Lp
／H
と と も にb，
＝ ・O．
5のVv
／VH＝2．
5
でξ一
・
o．
05
に対し て Fig．
5
に示す。
な お， L，／H の すべ ての結果を示 し 410 400 390 380 120 110 1eo go 50 40 血 μ「・
30 20 10 0 00000 4321 Real魔
矯
＼童％
、
丶
、
、
1
・Cg 、） Vp！v．
＝
7．
5 15 30 Iavag。
1／2 aL 1 （5） （b【
） （10） G） Lpfr。
＝
10 240 230 220 210 100 go 80．
70 50 40， 血 μ「。
30 20 10 0 40 30 20 10 0 1／4 σ1 1／2 （5〕 （b、
） （10） b）五P／r。
石
20 。。ノ。。
… 〔… 3） 30（813） 15（1613） 7．
5（32 ！3） Rea正 1圏g．
7P ！ γH雷
60 30 且5 7，
5 1／8 σ1 1／4 0 1／16 σ【
1／B （5 ） （bI） （10） （5） （b【
） （1 ） c）Lp／上昌
生o d）乙P／ro＝
80 Fig．
6 Variations of pile．
head impedances with frequency fore皿d bearing piles （1ん／レ”
‘
2．
5，
ξ＝
0．
05） て はい ない。
こ の 図に は α； ・ VH Lp可
π をパ ラ メー
タ と し た もの を破線で示してい る。
a が小さ く な る と 剛で・
短い 杭 に，
a が大き く な る と柔で長 い杭に相 当す る。
Fig．
5 か ら，
支 持 杭 の （IVpo
／NPL
） と 浮 杭 の （tOm／WPL）で示され る杭 頭 に対す る杭 先 端の応 答特性は よく似た傾 向を示す と と も に， パ ラメー
タを α と し た 応 答 特 性に及ぼ す Lp／r。 （ま たはVp
／V
，）の 影 響は，
パ ラメー
タ をVp
／V
” 1ま た は Lp／ro）と し た場 合に比べ非 常に少な く な るの が読 取れ る。
この ように，
杭の分 類の た めの特 性パ ラメー
タ と して a が よ り適 し て おOP
t 目安 と して α≦2／3の杭 を 剛 短 杭，
a ≧8／3の杭 を 柔 長 杭，
そ れ 以 外の杭 を 中 間 杭と して分 類 す る。 この分 類に従っ て杭の 鉛直振動 特性を明ら かに して い くことにす る。3．
6
支 持杭の杭 頭 インピー
ダン ス の振
動
特 性 種々 のLp
／r。に お ける支 持 杭の杭 頭イン ピー
ダン スKvv
の振 動 数に対す る変化 を， V
．／V
”＝ 2．
5 で ξ＝o．
05
の場 合につ いて，V
，．
f
VH
（ま た は a ）と と もにFig．
6 に 示す。 こ の図に は表 層地 盤の 存在し ない自立杭の杭 頭での 動 的 鉛 直ばね剛 性K
。v を破 線 で 爪 して いる。
Fig
