第１２章
波の物理
媒質の変位 横波 縦波 速度 波の進行方向と振動方向が垂直 波の進行方向と振動方向が同じ 媒質の変位 速度 疎 密
縦波と横波
波長 1秒間に進んだ距離 = 速さ v 時間 t 1 [s] 1 [s] 波は、１秒間に f 回だけ振動し、1回 の振動で波長 だけ進む。よって、波 の速さは、 となる。 1秒間の波の数 = 振動数 f
v f
時間 t 距離 x 波源 振幅 A、波長 、周期 Tの正弦波 の任意の時刻 t、任意の距離 x に おける波 D は、 で表される。ただし、0は初期位 相。 02
( , )
sin
t x
D x t
A
T
波の進む速さ
単振動 波の伝わる速さを v [m/s]、 波長を [m]、周期を T [s]、 振動数を f [Hz]とすると、 、 より、 v T
f 1 T v f
周期を T [s]、振幅を A [m]、 初期位相を 0 とすると、 周期T 振幅A 0 y t 位相0 0 2 sin y A t T
正弦波 波長 振幅A 0 y x 速さv T t y : 波の振動 t : 時間 x : 波の伝搬波動
波動を表す式 振幅 A、周期 T、振動数 f の単 振動が x 軸上を正の向きに速さ v で進むとき、座標 x の点の時 刻 t における変位を y とすると、
0 0 2 2 , sin sin y x t x A t T v t x A T
A 0 y x v x 点P 点Pは、原点よりも [s]だけ 遅れて振動をする。 x v 時刻 t x の波形 v v x 時刻 t の波形 y 0 時刻 t の 点Pの変位 時刻 の 原点の変位 x t v 波動
周期T=0.5[s]、振幅A=6.0[cm]の単振動をしているおもりがある。おもりがつ り合いの位置を上向きに通過する時刻をt=0[s]として、以下の問いに答えよ。 １） この単振動を表す式を書け。 ２） 次のそれぞれの時刻について、単振動の位相と変位を求めよ。 1/8[s]、2/8[s]、3/8[s]、4/8[s]
例題
振動数2.5[Hz]の正弦波が、x 軸に沿って正の向きに進んで いる。 １） 波の振幅A、波長、周期 T、速さvは、それぞれいくらか。 ２） 0.1[s]後の波形を描け。そ のときのP点の変位はいくらか。 3 2 1 0 1 2 3 5 10 15 20 y [m] x [m] P
例題
x軸に沿って正の向きに伝わる正弦波がある。この波が伝わるとき、位置 x [cm]の媒質の時刻 t [s]における変位 y [cm]が次の式で表されるとき、以下 の問いに答えよ。
2 0. sin 5 0. 0 25. y
t x １） 原点（x = 0）の媒質の振動を表す式を書け。また、その振動のy – tグラ フを描け。 ２） この波の周期 T と振幅 A はいくらか。 ３） 時刻0[s]の波形を表す式を書け。また、その波形を描け。 ４） この波の波長 はいくらか。 ５） 時刻0.1[s]の波形を書け。例題
x軸に沿って正の向きに伝わる正弦波がある。この波が伝わるとき、位置 x [cm]の媒質の時刻 t [s]における変位 y [cm]が次の式で表されるとき、以下 の問いに答えよ。
2 0. sin 5 0. 0 25. y
t x １） 原点（x = 0）の媒質の振動を表す式を書け。また、その振動のy – tグラ フを描け。 ２） この波の周期 T と振幅 A はいくらか。例題
t [s] y [cm]x軸に沿って正の向きに伝わる正弦波がある。この波が伝わるとき、位置 x [cm]の媒質の時刻 t [s]における変位 y [cm]が次の式で表されるとき、以下 の問いに答えよ。
2 0. sin 5 0. 0 25. y
t x ３） 時刻0[s]の波形を表す式を書け。また、その波形を描け。 ４） この波の波長 はいくらか。 ５） 時刻0.1[s]の波形を書け。例題
x [cm] y [cm] x [cm] y [cm]波の速度は、浅いところほど遅くなる。でも、水量は一定な ので波の高さは高くなる。
波の重ね合わせは、高さの足し算になる
腹 腹 節 若干のたるみがある状態で張られた ロープの一端を持ち、これを一定のリ ズムで振り続ける。しばらくすると、ロー プに沿ってあたかも止まっているように 見える波が観測される。 こ の 波 を定 常 波と い い 、 定 常 波 は ロープを進行する波と、これと逆向きに 戻る波の干渉によって起こる現象であ る。
定常波
弦の長さを L とすると、最大波長 は1 = 2L である。 波の速さ v、振動数 f、弦にかか る張力 F、単位長さ当たりの質量（ 綿密度） とすると、 より、 L v f
v F
1 1 2 F f L
張力が大きいほ ど、周波数が高く なる張力と周波数
L f1:基本振動数 第1調和波 f2 = 2f1 第2調和波 第1倍音 f3 = 3f1 第3調和波 第2倍音 f4 = 4f1 第4調和波 第3倍音 両端を固定した長さLの弦 が定常波になるには、図のよ うな特定数の腹をもつ波でな ければならない。波長を と すると、L = / 2、 L = 2( / 2)、 L = 3( / 2)、･･･である。定常 波として可能な波長 n と振 動数 fn は、 となる。これを倍音という。 2 n L n
n 1 2 3 4, , , ... 2 n n F f L
固有振動数
パイプオルガンなどは、金属のパイプ内の空 気の振動により音がする。外部から周波数 f の振動を与えたとき、この周波数がパイプの 持つ固有振動数 f0 と等しいとき、振動は最大 となる。これを共振（共鳴）という。また、倍音 のときも同様に振動が大きくなり、このような共 振を起こす周波数を共振（共鳴）周波数という。 パイプ（気柱）の 振 動 は 、 開 端 が 腹 、 閉 端 が 節 に なる。
パイプの振動
4 基本振動 4 ２倍振動 基本振動のときには、 そこで、その振動数を f1、空気中の音速を v とすれば、 同様にすると、2倍振動のときには、 となるから、振動数 f2 は、 一般に、n倍振動の振動数を fn とすれば、 ただし、n ＝ 1, 2, 3, ･････ 1 4 2
1 2
2 1 2 2 2 2 v f v f
2 4 4
2 2 2
1 1 1 2 v f v
両端が開いたパイプ
1 2 n n v n f v nf
基本振動のときには、 そこで、その振動数を f1、空気中の音速を v とすれば、 同様にすると、3倍振動のときには、 となるから、振動数 f2 は、 一般に、n倍振動の振動数を fn とすれば、 ただし、n ＝ 1, 3, 5, ･････（奇数だけ） 1 4
