縦振動複合棒の共振周波数と等価質量係数
杉
長
介
Resonant Frequencies and Equivalent Mass Coefficients
of Longitudinally Vibrating Composite Bars
ChosukeSugi
Synopsig
This paper deals with the resonant frequencies and mass coefficients of longitudinally vibrating bars whose cross−sectional areas change abruptly in several points． In the analyses the equivalent four−terminal electrical circuits theories were used． Based upon the general equations reduced from the analyses， several convenient design ・charts were made for unsymmetrical bar with one step， and for symmetrical bar with two lsteps． The calculated values agreeded fairly well with the measured values． 1 緒 言 角形磁わい振動子，段付き固体ホーン，機械濾波器 など、超音波機器における振動部分として、断面積が 急変する幾つかの個所を持った縦振動複合棒が用いら れることがしばしばある。 角形振動子で断面変化個所が1つの非対称形（フオ r−一N形）と、断面変化個所が2つの対称形のものにつ いては、菊池、福島により、1次共振周波数（基本共 振周波数）と、1次共振周波数に対する端面の等価質 量を求めるための曲線図が与えられているので（1）、こ れと同じ形式の断面変化を示す場合は、他の目的の縦 振動棒の設計の場合も、1次共振周波数とそのごく近 傍のみを考慮すれば充分なときは、これに依れば良 い。しかし、場合によっては、かなり広い周波数範囲 ‘について考察したり、また、2次以上の共振周波数で 用いるようなこともあるので、もつと一般的に高次ま での共振周波数や、高次共振に対する等価質量を知り ：たいことがある。 本論文は、以上の要求に応ずるために書かれたもの で、幾つかの任意の個所で断面が不連続的に変化して し、る一般的な縦振動複合棒につき、断面寸法が比較的 小さく、縦方向のみの一次元的振動とみなせる場合に つき、内部損失を無視できるものとして、等価四端子 一定数（伝送定数）で表わした共振条件式と高次共振ま での端面等価質量を求める一般式を導き、またこれら を用いて、特に実際上使用されるととの多い、段数が 1つの非対称なる縦振動棒と、段数が2つで対称的な 形をした棒の1次∼3次の共振周波数および端面等価 量係数を計算し、設計に便利な形式の曲線図として与 えたものである。2 一段的な段付き縦振動棒の理論
2．1 一般的な段付き縦振動棒の伝送定数と等 価四端子回路 断面積と長さを異にするn個の均一一一＆f＄を縦に連ねた 第1図に示すような段付き縦振動棒を考えるに、その 軸に垂直なすべての部分の断面寸法が、棒の長さおよ び波長に比較してかなり小さければ、各断面内におい て、交番応力と交番速度を均一なものと考えても差支 ないので、これに対し等価な四端子回路網を考えると 割合簡単に解くことができる。 第1図に示すように、断面変化個所に（両端面も含 めて）、左から順に0，1，2，3・…・・（n−1），nと 番号を付け、‘番目の断面急変個所に働らく総交番力 を民，そこの交番速度をViで表わすこととし、また 左から数えてi番目に当る均一棒の断面積をSi，長 さをliとすると，その部分左右両側の交番力と交番 速度の間には Fl（i＿1） coskli 元ρC3z sin為li Fi隔＝忌・i・kl・C・・kli Vi
（1） の関係が成立する（2）。たx・し、上式において、ρは材o 1
Vo
St｛ht lz
Ft Ve2 （1−f） i
−．．…∫一「一「L−．
F2
・ 一 ■■ ●■●e、 Sしh
Fci．t） Fし ●一一V2 V“−o Vし
第1図 一般的な段付き縦振動棒
質の密度、cは均一断面細棒としたときの伝ぱ速度 （c＝／E／ρ），kは波長定数（k＝ω／のを表わす。 したがって、n個所に段の付いた縦振動複合棒の両 側端面における交番力と交番速度Fo， V・，跳， Vnの 間には露竃1ご元蕊㍗・三〕
（2） の関係が成立する。こXで 〔2 ：）一，g，〔coskli 元ρcSisinkliρま5、si・ゐい・・ゐ1・〕③ と置き、これを段tw nの縦振動複合棒の伝送マトリッ クス、A， B， C， Dをその伝送定数と呼ぶことにす る。 段数が幾つあっても、段付き縦振動棒の4つの伝送 定数A，B， C， Dは（3）式のマトリックスの連乗 計算を行えば求められるが、これらは明らかに周波数 の正弦関数と余弦関数の積の和として与えられるの で、正負に波状に変化する連続関数となり、また、そ の値は常に有限である。 これらの伝送定数を用いて表わした縦振動複合棒の 等価四端子回路は第2図（a）または（b）のように v。e／D VA％Fn
なる（3）。 F（M −zP 『n−1｝ Fn v（n．z）Vs・1−11 Vn 2．2 一般的段付き縦振動棒の端面インピーダ ンスと共振条件 第1図に示したような、一般的な段付き縦振動棒の 右端（n一端面）にZLの機械的負荷インピーダンス が付加されている場合の左端（0一端面）をら見た機 械インピ・・ダンスをZ①とすると、これは（2）式にお いてFn ＝Zn Vnと置いてz・一一裂一会￡畏 （4）
で与えられる。したがつて、もし右端に負荷が無く、 ZL＝Oの場合、左端から見たインピーダンスZoバまZ・・−9 （5）
となる。そして、前述のように（5）式中の分子B と分母Dはいつれれも常に有限な連続関数であるの で、このような無負荷状態にある縦振動棒の共振条件・ （Z，f＝Oとなる条件）は B＝0 ’ （6） で与えられ、また、反共振条件（Zoゾ＝士。。となる条 件）は D＝0 （7） となる。 （o）F． （b） Fe V。 1：ピf（tap⊃ バ：ItbOp） 第2図 一般的縦振動棒の等価四端子回路 ヱ02 2．3 一般的な無負荷段付き縦振動棒の等価＝ 端子回路 無負荷縦動棒の端面インピーダンスは、前節で述べ たように、B／Dで与えられるが、これは零と無限大 が交互に出現し、かつ、その傾斜が常に正の値をもつ 周波数関数であるので、これを第3図で示すような、 集中慣性素子と集中弾性素子の直列ア・一ムを幾つも並 列とした形の等価二端子回路で表わすことができる。 この等価二端子回路の各素子の値を求めんとする・に、いまn次共振を与えるMnとSnからなる直列ア
ーム以外の他のすべての直列アームの並列インピーダ第3図 無負荷段付き縦振動棒の等価二端子回路 ンスをノXで表わすと
元x＠一÷）
ZOf＝x＋＠r÷）
となる。よってこれをωで微分すると 丁誓∫一｛x＋（ SntuMn一 ω）｝−1〔x☆（・Mn−÷）＋＠一÷）芸〕
−x（・Mn−÷）｛x＋（wMn ÷）｝−2〔＄t＋￡（・・伽一晋）〕 したがって〔X〕ω＝ωπと〔dX／4ω〕ω＝鋤が有限なら 、ば、 丁〔誓・〕一一〔￡（…−c ω一ωn）〕。−c、、n ＝ηz72＿⊥＝＝2mn ωπ2 よって、n次共振に対する等価質量〃踊は 輪一÷〔dZof4ω〕。一鋤一吉〔☆（芸）し鋤 （8） こsに （n＝＝1，2，3，……） で与えられる。なお、η次共振に対する等価スティフ ネスSnはSn＝Wn2〃lnで求められる。 また、m。は振動棒が全く自由な状態に支持されて いる場合には、物理的に考えて棒の総質量となるべき である。 なお、第3図に示す等価二端子回路は振動棒が完全 に自由支持のものであり、もし、いつれかの個所が完 全に固定されているものとすると、その個所が節とな るような共振振動モ・・ド以外は生じないので、これら の共振に対するもの以外の直列アームは消える。3 段数が1つの非対称縦振動棒
3．1段数が1つの非対称縦振動棒の 伝送定数 第4図に示すような、段数1の振動棒は（3）式に ．n＝3， S 1＝8， S2 ＝rcS，12＝1， Z 1＝αZと置いて（太い 方の断面積をS，細い方の長さを1とする）、 第4図 段数1の非対称形縦振動棒〔e：〕一〔合〕〔：i〕
で規定される4伝送定数を計算すると A＝。coskl．cosafel−一一！sinkl．sinakl κ 、 B ＝ 」ρcS（COskl・Sinakl十κSinえZ・COSakl） C一栫i…kl・・i・・kl＋÷・i・kl・・…k’） D＝coskl・cosakl一κsinkl・sinakl となる。 （9） （10） 3．2 段数が1つの縦振動棒の共振条件 段数が1つの縦振動棒の自由共振条件は一般共振条 件式（6）に（9）式の値を用い rctankl→−tana為1＝O （11） となる。上式を細い部分の長さ1の代りに全長Lで表 わして …n（ 1 々L1十α）＋・・n（、三。々L）一・（・1）’ とも書ける。 第5図の3つの曲線は、それぞれ、n＝＝1，2，3 に対するkLの値をκパラメタにとり、αを変数とし て書いた曲線で、この曲線図を用いると、棒の各部分 を与えて1∼3次の各共振周波数を、あるいは、逆に 1∼3次の任意の共振周波数を与えて各部の寸法を容 易に決定することができる。 棒全体が均一な断面をしている場合は、kzL・＝ 7t， k2L＝2pt， k 3 L＝・3π， knL＝nπとなるべきであるが 一般に段が付いている場合はこのようにはならない。 しかし特別に、2次共振に対してはa ＝＝ i／3となると 棒全体に1波長が乗り、第1の節が段付け位置と一致 することになるので、島Lはκの如何に係らず常に 2πとなる。また、3次共振に対してはa＝1／2の場合 は第1の節が、a＝1／2の場合は腹力㌔段付け位置と一 致するので、これらの場合はムLはκの如何に係らず 常に3πとなる（第5図参照）。103
S．21 3．1 50 k，L 2．9 2．8
270
6．8 6，6 k、L 64 2W 6，2 6．O 5．8 O，2 o．4 o06
08
1．o O O．2 o．40
O．6 O．8 1．O
lO．O 3ラ欠共振 に・04 9．8 05
3L
06 07 9．6 B ．9 ㌃＼一 tO 9．4 tO lO O．9 09 08 05 08 07 O．7 92 O．6 O．6 0．5 05 9．O 04 K・04 k a8 O O．2 0．4 0．6 0．8 9 0 第5図 段数1の縦振動棒の共振条件 1．∂104
3．3 段数が1つの縦振動棒の端面等価 質量係数 段数が1つの縦振動棒の、細い万の端面が自由な場 合に太い方の端面から見た機械インピーダンスZOfは （5），（10）両式よりる・一ブ・cS、雲裟誌器告 （・2）
となる。よって上式を（8）式に入れて、η次共振に 対する等価質量mnを求めると輪一」乎・⑭鵠；鵠an塑（13）
となる。 また、逆に太端側が自由な場合の細端側から見た機 械インピーダンスZo〆は、この場合もa，κを第4図 で規定するように定め、κ≦1とすると Z。〆−」ρ・stanafll＋・t・nLkL （14） 1＿⊥t。nkl．t。nakl κとなり，これよりn次共振に対する等価質量Mntを
計算すると M。’＿」旦．（・＋・）＋・（1＋a・）t・n2fe・121十tan2虎nl
となる。なお、かxる段数が1つの振動棒の総質量moは
mo＝ρIS（κ一トa） （15） で与えられるので、刀次共振に対する等価質量係数は1 ・＋・（1十aκa十κ）・・n・k・1 （太端側） （16） σn＝ 1ヨーK2tan2knl a。t−1＋rc（砦。r）t・n2k・1㈱1十tan2為nl）（17） となる。 第6図および第7図は、それぞれ、太端側と細端側1 における1∼3次共振に対する端面質量係数をκをパ ラメタにとりaを変数として書いた曲線である。4 段数が2つの縦振動棒
4．1段数が2つの縦振動棒の伝送定数 それぞれ、任意の長さと任意の均一一一断面をもった3 つの棒が縦続されて作られた縦振動棒の4伝送定数は （3）式より A ＝＝ coskli・coskl2・coskl3一（SlS2）；醐緬・・…ぷ
イ荒＋i・kl・…，sl，・・si・kl・＿一
iS2s3）・P・kl…i・kl・’・i・kl・50
25 可 トて宍娘 κ・04 05 05．O．5．O 06 07 08 09 lO O O．2 0．4 66 0．8 1．O 4．O 5．5 50 d2 2．5 2．0 ｛．5 1．0 q 5．0 4．O 3．o 2．O o 1．o O O．2 014 ◎L6 0．8 t．O q 第6図 段数1の縦振動棒の太端側等価質量係数 t．O09
O，8 dt’ O．7 0．6 05 o勺 鳴 o．9 08 0．7 06 05 t．o o，9 O，8 、o，7 O．6 O．5 O．2 0．4 0．6 0．8 0 1．（〉 0 ゜・4U
02 ◎ら4 0．6 0．8 0 1．o第7図
O．2 0．4 06 08 1心 q 段数1の縦振動棒の細端側等価質量係数B−」ρ・S・〔・i・kl・・…kl・・…え1・ ＋（S25’，）…kl…i・kl・・…ゐ1・ ＋（s，s1）…え1・・…え1…i・kl・ 一（s3S2）・i・えZ…i・kl…i・殉
C−
凵k・i・kl・・…え1・・…ゐ1・ ＋（☆）…kl・・Si・kl・・…虎Z・ ＋（S，可）…kl・・C・・kl・・…kl・ 一（S2S，）・i・kl…i・え1…i・ん1・〕 D＝COSkl、・COSkl2・COSえ13 −（S2丁）・i・克1・・si・kl・・…kl・ 一（S3Si）・i・kl・・…為Z…i・kl・ 一（s，s2）…kl…i・kl・・si・えZ・ （19） となる。よって、これらを用いて端面インピダンス、 共振条件、端面等価質量等が求められる。 4．2段数が2つの縦振動棒の共振条件 一般的な段数が2つの縦振動棒の共振条件は（19） 式で与えられるBを零と置いて得られるが、らこれを ・書き直すと ・・n・kl・＋（S2丁）・・nkl・＋（晋）・・n・kl・ 寸荒）・・nl・1・…nkl・…nkl・一・ （20） となる。1十1
−一一 第8図 段数2の対称形縦振動棒BA
特に、第8図に示すような対称形の場合は、段数が 1つの、等しい縦振動棒を2つ逆向きに結合したもの と考えられるので、この半分当りの、（10）式で与え られるような伝送定数を用いて、第9図のようなπ形 の等価四端子回路が得られる。したがって、この等価 四端子回路より、全体の半分当りの伝送定数を用いて 共振条件はB・A＝0と置くことができる。そしてこ の場合、B＝0は棒全体の偶数次共振を、 A＝0は奇106
第9図 段数2つの対称形縦振動棒の 肛形等価四端子回路（ただし ABCは棒半分に対するもの とする） 数次共振を与える。これより奇数次共振件は tankl●tanakl ＝ rc （21） 偶数次共振条件は κtankl十tanakl＝0 （22） となる。 第10図は、以上の2式を用いて、1∼3次の共振を 与えるkL＝（1十a）klを求め、κをパラメタにとり、 αを変数として書いた曲線を示す（たs・しこxにLは 全長の1んを表わしている）。 4．3段数が2つの縦振動棒の端面等価 質量係数 他端面が全く自由な場合の段数が2つの一般的な縦 振動棒の端面機械インピーダンスは（5），（19）式より ・・nkl・＋（爵）・・nkl・＋（普）・・nkl・ Zcア＝・」ρ6S 1 ・一（S2百）・・nkl・・t・nえ1・ （爵）・・nkl・…nkl…ankl・ （旦S1）・・nkl・・t・nkl・イ§i）・・nkl・…nkl・ （23） となる。 よって、（8）式によりn次共振に対する端面等価 質量を求めると、 輪＝」璽． 2 ｛1・＋（莞）1・＋（爵）1・｝ 一・・nfe・1・…nfe・12｛（壽巨・ ＋1・＋（§：）1・｝ 一・・nfe・1・・tank・13｛（§｝）1・ ＋（§：）1・＋1・｝ 一・ank・1・…nk・13｛（亙s2）1・ ＋（s3S1）1・＋（普）1・｝ （ノ2＝1， 2，3，・・・… ） ・一iS2百）・・nk・1・…nk・1・ 一（互sゴ）・・nk・1・…nk・1・ 一（§i）・anknl・…nk・13 （24）1．6 晋 1。5 k‘L l．4 1．5 t2 1， o O．2
04
q06
08
1．0 1．4 L3 12 1．1 1．0 1；欠共振 oo 烽S oら 06 o了@08
09 @｜O O O．204
06 0．8 、．（》00
3．2 3．1 3．O k2L 29 2．8 2・7 O O，2 O．4 o06
O．8 t．O 2．52項共撮
Ψ・oA （＞5 ．0 T．O．5、O 06 07 O．8 09 LO O O2 0．4・ O．6 0．8 L（〉 o 5．2 5，0 k3L 4，8≡
2 4．6 4．4 4．20
第10図 O．2 0．4 0．6 0．8 1．Oo
段数2の対称形縦振動棒の共振条件107
】5．530
2．5烏
2．0 1．5 100
第11図 O．2 0、4 0．6 0．8 LOo
段数2の対称形縦振動棒の等価質量係数mo＝ρ（Sll，十S212一トS，13） （25） これらよりn次共振に対する等価質量係数 an＝2mn／moが求まる 特に第8図のような対称的な形の場合の等価質量係 数は ・一（。↓。）〔（a＋÷）・・n・・k・1 σn＝ 1−tan2aknl ＋｛2＋a（・＋÷）｝・・n2k・1−・・nak・1 一（・＋1）・・n2k・1・t・nak・1 （26） （21＝1， 2， 3，・・・… ） で与えられることになる。 第11図は1次、2次および3次の共振に対する等価 質量係数を上式を用いて計算し、曲線にして示したも のである。のについては全く別の形の式が菊池、福 島によって与えられているが、以上の一般に任意次数 にも用いられるこの（26）式を用いて求めたのの数 値は両氏の与えたをのと一致している。
5計算値と実測値の比較
以上に求めた計算式がどの程度実測値と一致してい るかを確かめる目的で、試料として第12図に示すよう な対称形およびフオーク形の角形のフエライト磁わい 振動子（vibrox II）ととり、それらの3次までの共 振周波数を計算した値と、この振動子を全く自由にし て実測した値を第1表にまとめて示す。 第 1 表N・・ilN…IN・・3
形状已称形1対称形1フオーク形
L（mm）137・・155
1・・．・ 1 〃・… 1・・
173．・ al 〃レ7
｜25114
b 〃 1・・122・・1・…
κ6 〃 9 113・・ 9 c 〃 1・・125
1・・ 0．83 0．84 O，19 κ 0．45 0．60 0．44 k，L1・18511・32
2．78k2L
…451…7
5．99 k，L…5
b・・95 9，4 f・ ．f2／fi f3／f・計算127…1・・…127…
（実⇒（28・・）1（19・17）1（27．67）1計当・・28
2．17 2．16 （実測）1（…）1（・・36）1（・…）計釧・．25
3．75 3．38 （実測）1（…） 3．29 3．25 ／C
’．／ ol 2・1Kb
Kb
0
1b†
1
＊c＝5400m／s（超音波技術便覧による値）とした計算C
●b
ql
b
1Kb
にb（a）対称形 （b）フォ・・ク形
， 第12図 試料として用いた角形磁わい振動子（Vibrox H）108
この結果は、かなり良く一致していると考えて良いで あろう。 また、No．2の試料の片端面の中心に、直径約28．2 mm，厚さ20 mm，質量173 gの軟鋼円形板を接着し 各共振次数についf接着後の共振周波数の比を測り、 他方ρ＝5．19／cm3（超音波便覧による）として・第 11図から得た椎価質量係数を用いて各共振周波数に対 する等価質量を計算し、実験に用いた付加質量を完全 な集中質量と考えて計算から周波数比を求め、これら を比較のためならべて第2表に示す。この結果はあま り良く一致しているとは言えないが、これは計算方法 の誤りと言うより、むしろ測定に用いた付加質量の大 きさや形等が良くなかった為と考えられる。
