光散乱法による繊維の屈折率の測定（Ｉ） : Mie散乱理論およびその計算方法について

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(1)209. 光散乱法による繊維の屈折率の測定( I ) -Mie散乱理論およびその計算方法について-. 福田光完 (平成2年9月28日受理) 繊維の屈折率は,その光学的な性質を支配する物性値である。近年,とりわけ光ファイバーなどの光学材料への高分子材料の応用がさかんに検討されているが,その際,屈折率およびその分布を知ることは,その材料の性質を決定する上で重要であり,最も関心の持たれる点である。1)材料を破壊せずに屈折率を精度良く,簡便に求める方法2)として,アッベの屈折計の利用,光の偏光特性を利用したエリプソメトリ法,干渉顕微鏡を用いる光干渉法,そして光散乱法が考えられる。これらの方法の中で繊維のような円筒体に利用できるのは光干渉法および光散乱法である。光干渉法は,屈折率分布を非常に精度よく測定できる優れた方法であるが3),装置が高価であること,そして繊維を繊維の周囲の屈折率と同じ屈折率の液中に浸蹟して顕微鏡観察する必要があることなどの問題がある.この際, 材料自身が浸蹟液と反応したり,内部に浸入して繊維構造に何等かの影響を与える場合にはこの方法は好ましくない。一方,光散乱法は繊維の屈折率分布を推定するには計算が複雑にすぎ,2,3の応用例はあるが4)実際にはほとんど応用されていなし、、ようである。しかし装置が簡単であり,しかも空気中におかれた1本の繊維から屈折率を評価できる点は非常に魅力的である。本研究では,屈折率測定に対する光散乱の応用を検討し,比較的簡単な屈折率分布を持つ系としては,均一円筒体(homogeneousfiber)および同軸二重円筒体(coaxialfiber)からの散乱理論について主に考察する。 [繊維状物体(円筒体)に対する光散乱理論] 無限に長い円筒体に対する光散乱の理論式は,電磁波に対するMaxwellの式を適当な境界条件のもとで解くことにより与えられ,一般にMie散乱と呼ばれている。本来Mie の散乱理論は,球体からの散乱に対して,Maxwellの式を厳密に解いたもの5,6)であるが,この理論と同様の測定条件を満足するならば(すなわち試料の半径が光の波長の0.03 倍よりも大きく,任意の屈折率を持つ球体および媒体中の散乱を考える場合),球以外の形状の物体からの散乱もMie散乱といわれる.7) 式の導入については省略するが,光の電場方向のベクトルが繊維軸と平行な場合には (TMmodeとも呼ばれる)散乱強度の角度依存性は以下の式によって示される。6,8) I(の/n-(λ/π'rms)60+2Sfencos(n6) n=l(1) ここでIoは入射光の強度,λは媒体中での光の波長,rは観測点までの距離,mSは媒体中の屈折率である.bnはもし繊維が-様な屈折率を持っ(homogeneousfiber)ならば irtiJn. 6サ=. (mia). Jn'Cmia)一msJn'Cmsa). J.. (mia). mi ff, (mia) J.'(mia) - msHn'(.m3a) Jn {mia). (2). によって与えられる。もし,散乱を空気中で行うならばrri3'であるから,上式は .兵庫教育大学第5部(生活・健康系教育講座).

(2) 210. b,-. miJn (a) Jn'(mia)-J,'(a) Jn (mia). 2'. miHn(a) Jn'(mia)-ft'(a)J, (mia). となる。ここで, </ (z)は第n次のBessel関数, H. (2)は第2種,第n次のHankel関数であり,第n次のNeumann関数を用いて, H. (z) -Jn (z) -iYn (z) (3) で表される複素数である。ォ/'(*)およびHn'(z)はJn{」), HXz)の微分を示し,以下の式によって計算できる。 J'(z) - (1/2) GA-! (2) -J.+. (2)) (4) H:. (2). -. (1/2). (#,-,(2). -ff.十i(z)). (5). ただし, Js'iz) --ォ/iCz), Ha'Ol) --Hi(z)である。 a-πd/λであり,ここで, d は繊維(円筒体) -の直径, λは用いるHe-Neレーザー光の波長(632.8nm)である。 mlは繊維の屈折率である。全反射型光ファイバ-I)のように,屈折率mlのコア部と屈折率Tn2のクラッド部からなるcoaxial fiberの場合はbn項は Jn(mi(Xi) Hn (.m^ad Jn (.msa2) rriiJn'(mz a i)miEn'(jruad mJ,'(m2a2) Hn (miad Jn (mzad Jn {miad rnsH*'(m2ai) miJn'On?ai) m,iJn'{miad (6). En (mia2) Hn (m2a2) Jn (mzad msHn'imaai) miHn'(jniai) miJn'(jniad Hn (miad Jn (rri2ad </ (m,ao mJin'(m2a;) mzJn'{m,2ad rnJn'(miad. となる。ここでai-2πIL/A a2-2πR2/λである。ただし-Rj, Riはそれぞれコア部,および繊維の半径である。媒体を空気とするとm3-lであるから Jサ(a*). Hn. (m2(x2). Jn. (mサa2). Jn'iai*) imHn'irrua!) mJn'¥rn2a2) Hn. (miaO. rmHn'(mzad. </. (m,2ad. mxJn'(m2ai). J*. (mia,￣). mォJn'(miad. Hn (a2) Hn(ni2ad. Jn(m2a2) H'(ct2) miff,'(m,2a2) mJn (m2a2) Hn (miai) Jn (.m.2ai) Jn (m,a,) m.zHn'(.m2ad mxJn'(msao miJn'(miaJ. と多少簡単になる。光ファイバーなどに対する実際的な応用としては, homogeneousおよびcoaxiai fiber までで十分と思われるので,今回はこれらについて散乱強度分布の計算を行った。任意の屈折率分布をした繊維に対しては,図1のように同軸第n重円筒を考え,各円筒体が任意の屈折率を持っと考え, nを大きくすることにより近似的に散乱強度分布を計算することが可能である。その場合, bn項は,次ページに示すように少々複雑なマトリッスを計算する必要がある。また,ある特定の関数で表される屈折率分布をもつ繊維の場合には,理論式が直接求められる場合があるが,これについては現在検討中である。.

(3) 211. 光散乱法による繊維の屈折率の測定. miJ。'(mial) n^J,,'(1112aO msH.'dnsai) - 0 J*(miai). J,(msaO. H.(nuai). --0. liJ.'Cimai) mjHn'dnjaO msJ.'Crmai) nuH,'(imai) -I 0 Jサ(maad. Hn(miai). Jサ(maaO. 1113J/(m3a3). Jn. 0. 0. 0. 0. 0. 0. (mjaj). 0. H.(msai). -・10. mjH.'(msa3)蝣・・・O. Hn. 0. dnsdi). -・・・0. -・・0. ・miJn'(mォa. -. J,(m,ai). f)mlHn'(m(. a.). J,'(a. i). H.(mォaォ)J,(oi). 最終列のJn'(ai)およびJ,'(aォ)をH,/(aォ), H,(a,)にかえるo. 図1同軸l多重円筒体の屈折率mi, mi,・・・-ml)およびそれに対応したbn 項の行列式 [ BesselおよびHankel関数の計算方法] 散乱強度の角度分布を正確に求めるには, Bessel関数, Hankel関数を第0次から大きい第n次まで正確にしかも迅速に計算する必要がある。従来このような計算には大型コンピューターが用いられてきたが,操作性の簡便さにおいて,もし計算に時間を要しないならばパーソナルコンピューターが利用できれば便利である。そこで本研究においては,パーソナルコンピューター(NEC.PC-9801VX)を使用し, N88BASIC (NEC)あるいはQuick BASIC (マイクロソフト社)用いて, homogeneousおよびcoaxial fiberに対するプログラムを作成し,計算を行った。.

(4) 212. 第n次のBessel関数の計算は,以下に示すbackward reccurence法を利用した。まず Bessel関数の漸化式はォ/-,. (z). -. (2n/z). J.. (2). -ォ/.十(z). (7). であるrO>zを満足する十分大きい第n次のBessel関数は,急速に減少して0に接近するためJ,+,(z)-0と見なすことができるJniz)を十分小さい数,例えば読(I)⊥10￣38と考えれば(N88BASICで扱える最小数は10￣38であるQuick BASICなら10T瓢まで使用できる)式(7)よりt/n-1 (z)が計算でき,順次次数を滅ずることによってすべての次数のBessel関数の関係を計算できる。もちろんこれはJAz) -10"と仮定しているので, I. ここでJ。(z) +2 ∑ォ/*Cz)の値を求め,かりにその結果をSとすれば.Bessel関数の. Mz). +2. ZJfcGz). =1. (8). なる関係を利用し七,すべての値をSで割ることによっ.て正しい第n次のBessel関数の値を求めることができる。例えば直径が20〃mの繊維に対する計算では2-α -100であるから,その1.7倍のdn。 (100)を10"3と仮定しても実際にはJim (100)-10-である。また直径が40〟mの繊維に対する計算ではz-a-200であるから,その1.5倍のJm (200)を10-と仮においても,実際にはJs。。 (200) -10"30であり,これらの結果から10"38は十分小さい数であると判定できる。ォ<100のいくつかの値について,この方法により求められた結果を,権威あるB essel関数表12)と比較すると少数以下15ケタまで正確に求められている。その例をM90), J,(90), cfoOO)について表1,に示す.またn-zサlの場合にはDebye Seriesと呼ばれる一連の近似式の中で以下に示す式13)によっても,計算値を碓認できる。 Jn OO-. 0.4473073184. nl/3. メ. 1. 、. 0.0058692885. メ. 1213. (9). (1- 225/r-) +. 14625n2. n-90およびrc>100のいくつかのJn U)を式(9)を用いて計算した結果も,表1に掲げ,値を比較した。さらにn>Zの場合にはさきに述べたようにJAz)は急速に減少して0に近づく。この場合よい近似式してはWatosonの公式13)があるが,パーソナルコンピューターでの計算には適していないので,以下の近似式14)を用いた。 Jn U). exp {n (tanhw-w) }. , tanhw- [1- Cz/ny]". (10). ( 2 πnta.nhw)l/. 同様に表1にはJn (100) {n-130, 150, 170}およびJn (200) {re-240, 260, 300}の値も, backward reccurence法と式(10)を用いた近似計算の結果も比較した。式(10)は厳密な近似式ではないので,値は若干異なるが大変小さいオーダーでの比較なので,ほぼ一致すると考えてよい。これらの結果から, backward reccurence法を用いた計算が非常に正確であることが解る。しかも, Jr, (200)を例にとればn-0からn-300までの計算をするのに要する時間は1秒以下ときわめて高速である。一方, Neumann関数の計算には2とおりの方法を試みた。始めに(ll)に示すロンスキー行列式(Lommelの式15)と言われる)を利用した。ォ/.. U). Yn+1. (2). -ォ/+,. (2). y,. (2). -2/2π. (ID. この方法ではYn (z)の一つの次数の値を何等かの方法で求める必要があるがY。 (z) の値は>.サOに対しては(実際にはz>16の時),以下の式が成り立つ。. yc (2) - (√2/πz) {(sin (2 -‡) Po(2)+COS (2 -÷) Qo(z)}.

(5) 光散乱法による繊維の屈折率の測定. 213. 表1. Bessel関数値の比較 Jqく90). J,. (90). Jサ(90). B.R.neいIod"1 0.02663 00166 99969 0.007992 50467 08868 0.09981 07839 40823 Table" 0.02663 00166 99969 0.007992 56467 08868 0.09981 07839 40823 Debye(Eq.9)c>. 0.09981. </サ(100). Jm. 07849. (200). Jk,. 774. (300). B.R.iethod 0.09636 G6732 95862 0.07648 76089 30953 0.06681 83981 28979 Tabl 0.09636 66732 95862 Debye(Eq.9) 0.09636 66739 9378 0.07648 76347 813 0.OG681 83981 377. Jiサ(100). J,*. (100). Jm. (100). B.R.iethod 1.01753 575112 10"1 2.72290 21718 10 '8 2.03514 43373 10MSF (Eq.10)1" 1.02074 10" 2.72897 10 '6 2.03808 10". Jm. (200). Jm. (200). Jm. (200). B.R.iethod 1.9238-1 21624 10" 1.68384 89782 10"川1.39411 83954 10￣3B MSP. (Eq.10). 1.93171. 10. '1.68764. 10"'6. 1.39573. 10". a) From Backward recurrence力ethod (En.7 i 8) Il) Fron Bessel FulicLioil Table (ref.12) c) Frou Debye Series d) Fi・on Horse & Peslibach (ref.14). ここで. Po (2) - 1 -0.0703125/z*+ 0.1121521/z<. (12-2). Qo (z) - -0.125/2+ 0.0932421/z>- 0.227108/z5 もし!<16ならば次数nに対する一般のNeumann関数の定義式 y.. (z). -. -ォ/, 71. hl. (2). ・n(号) - (-. k+n1. )n∑. (-1)*. =-o k! (n+k)! in-k-1) !. (12-3). (÷)Jft. (㌢yk as. (∑‥ +S-T)-I(チ)nn云1 *-1I π I 2 k-o k¥. を用いて計算できる。ここで7-1.781072418 (オイラー定数)である。式(12)あるいは式(13)によってY. (z)を近似計算し,すでに求められている第0次,第1次のBessel関数を用いてY, (z)を求めたO以下同様に次数を増し,任意のn次まで計算した。もう一つの方法は, Neumann関数の循環式を用いる方法であるNeumann関数の場合は, Bessel関数と異なり次数の増加と共に値が増加するので,誤差を伝達することなしに値を計算できる。すなわち Yn- (z) - (2n/z) Yn (z) - y._, (z) なる関数を利用しY, (z)を2サ1の条件で以下の近似式によって求め,先に求めた Y。 (z)を用いて,順次Y, (2), Ys (2) --を求めることができる。.

(6) 214. Y,(z)-(√2/πz){(sin(z-^-)Po(2)+siniz-^f)Qo(2)} 44 3日監. ただし Pi(z)-1+0.1171875/z2-0.0865173/z4. (15-2). Q,(z)-0.375/2-0.102539/z3+0.2775764/z*. (15-3). である。n-1の時にも!<16ならば式(13)を用いればよい.. 結果は示さないが,結論的には上に述べたいずれの方法を用いても,ほとんど同じ精度, 同じ計算時間でNeumann関数の値を求められるBessel関数の場合と同様,求められたNeumann関数の値の精度を検証するために, n- zに対しては, Debye Seriesと呼ばれる一連の近似式のうち以下の計算式13)が便利である。 0.7747590021ノ1. y. (ォ) -. _. 0.0101659059. (1 - 225/i;) +. nW3. 1213 14625n*. ) (16). n>Zの場合には,値は急激に増加していくが,式(13)は7%およびZが大きいときには,パーソナルコンピューターの計算能力を超えているので,このときにはBessel関数の時と同様,以下の近似式14)を用いたo -2exp {n (w-tanhw)}. y. (2). tanhォ;- [1- (z/nYl. (2 π ntanhw)1. このように,すべてのNeumann関数はBessel関数の時と同様の精度で求めることができ複雑な定義式あるいは近似式を用いなくても,第1の方法(Lommelの式)でも第2の方法(循環式)でも同様の精度で計算することができる。これらの計算にかかる所要時間は, Y, (200)を例にとればn-0からre-300までの計要をするのに要する時間はBessel関数同様, 1秒以下ときわめて高速である。 [散乱強度曲線の計算] さてこれらの値を用いて式(1)の散乱強度を計算するわけであるが,実際には式(1) における∑bRcos (n&)の項数が問題である。 Homogeneous fiberでは,式(2')からも解かるようにJ. (2)のZの値はaあるいはmiaである。繊維の直径を20〟m,屈折率を1.5とした場合, a-99.3, m,α-148.9である。この場合,実際bnの値を?i-100, 110, n.-l. 表2.直径2011mおよび40〟m,屈折率1.5の円筒体に対するbn項の値(re>2 -aの場合) d. (fim). 20. 100. n. &. (real). 2.33494. 10￣. 6.. (image). -4.23054. 10-'. 110 1.32003 10"a -1.14893 10120 3.40828 10￣け5.83805 10-9 130 2.92975 10"3" 1.71165 10-. 40. 200 2.44754 10"2 -1.54520 10-' 220. 6.45516. 10-. 2.54070. 10-ォ. 240 6.33129 10"32 -2.51620 10-1S.

(7) 光散乱法による繊維の屈折率の測定. 215. 120,130について実数部と虚数部にわけて示すと表2に示すように120項まで求めれば十分であることが解る。同様に繊維の直径を40〟m,屈折率を1.5とした場合にも,n-240まで求めれば十分である。実際散乱強度は,式(1)の絶対値内の値がつねに1より十分大きいのでn^>l.2miaの場合,bnは,ほとんど散乱強度に寄与しないといえる。Coaxialfiber の場合も同様に計算を行えばよいが,コアの直径が繊維のそれに対してかなり小さくなる場合には注意が必要であるOすなわちcoaxialfiberではJAz)およびHAz)を4種頬の Zに対し計算する必要があるが,このうち最も大きいZと最も小さいZにかなり違いがあるならば,実際bnを計算してみてIOl以下の値になるnまで求めることが望ましい。 [散乱強度曲線-計算結果および考察] 実用上重要な繊維は,〟m∼数十〝mのオーダーであり(光ファイバーでは100〟m以上のものがある),屈折率は1.3-liの範囲である。従って以下の計算ではこれらの範囲の繊維について考察する。まずhomogeneousfiberに対し,その直径および屈折率の変化によってどのように散乱強度曲線が変化するかをそれぞれ散乱角度100までで示してみよう。図2には屈折率を 1.5に固定した場合,繊維の直径の増加により散乱強度曲線(U6)/I。)がどのように変化するかを直径10amから60umまで示した。また図3には直径を30〃Tnに固定したとき, 屈折率の増加によるI(の/Ioの変化を示した。いずれも媒体は空気(m,-l)とする。一般的には屈折率を固定した場合,繊維の径が大きくなるほど,多数のピークが観察される。一方,繊維の径を固定した時には,屈折率が大きくなるほどピーク間隔は小さくなるO これらの結果から,散乱強度曲線はどちらのパラメーターについてもかなり敏感であるといえる。最近では繊維の直径は位相差顕微鏡あるいは走査形電子顕微鏡(SEM)により, かなり正確に測定できる。無定形無配向の繊維の場合には,直径を固定して屈折率を変化させ,試行錯誤法によって最も実験結果にフィットするカープを捜せばよい。精度は直径をどれほど正確に見積ることができるかに依存するが,高分子繊維の場合,屈折率のだいたいの値は文献によって予想することができるので,屈折率小数点以下4ケタまでは正確に求められると考えられる。次に全反射型の光ファイバーのようなcoaxialfiberについて散乱強度曲線を示す。図4はコア,クラッドの屈折率をそれぞれ1.5および1.4,繊維の直径を5011mと一定にしたとき,コアの直径の違いによる散乱強度曲線の変化を表した結果である。コアの直径が減少するにつれて,ピーク位置および強度は大きく変化する。次にコアの屈折率を一定に (1.5)しクラッドの屈折率が変化した場合の例を図5に示した。これらの例より,もしコアの屈折率がhomogeneousfiberで述べた方法によりあらかじめ決定できるならば,クラッドの屈折率は実験曲線と理論曲線を比較することにより求めることができると考えられる。もちろん,コアと繊維の直径は正確に測定しておく必要がある。 Coaxialfiberに対する散乱強度理論は,上に示した光ファイバーだけでなく,ガラス繊維を高分子材料で包囲した複合材料の散乱にも通用されている。16-18)また最近,ガラス状高分子(室温での状態がガラス転移温度より十分下であるような高分子材料)に対する, 有機溶媒の拡散現象の解析にもこの理論が用いられている19) 。このようにcoaxialfiber に対する散乱強度理論は応用範囲が広いが,コア,クラッドともに-様な屈折率を持つことが必要であり,一般に屈折率が半径に対してある関数を示すような場合には通用できない。先にも述べたようにこの点については現在検討中である。.

(8) 216. Intenslty. in. arbitrary. unit. ScatterinォAnffle(decrees>. 図2直径の異なるhomogeneous fiber (屈折率1.5)に対する理論散乱強度曲線 Intensity. ln. arbitrary. unit. 図3屈折率の異なるhomogeneous fiber (直径,30Mm)に対する理論散乱強度曲線. Jntenalty. in. arbltrary. lt. Scattォr*inォAnォーォ(decrees>. 図4 Coaxial fiber (繊維直径50!上m,コアの屈折率1.5,クラッド(シェル) の屈折率1.4)でコアの直径を変化した場合の理論散乱強度曲線の変化.

(9) 光散乱法による雑椎の屈折率の測定. 217. Inlenalty in arblti、ary unlL. ScattOringAngle(degrees5. 図5 Coaxial fiber (織維直径30〃m,コアの直径20〟m,クラッド(シェル) の屈折率1.5)でコアの屈折率を変化した場合の理論散乱憩度曲線の変化. 問ヨES3 1)井手文雄,寺田摸"光ファイバー・光学材料'';宮坂啓象,大塚保治"機能性繊維"高分子新素材one pointシリーズ高分子学会編. 2)小池康博高分子37巻, 768-771 (1988). 3) Ohtsuka,Y., and Koike,Y. Appl. Opt. 19, 2866-2872 (1980). 4) Okoshi.T., "Optical Fibers", Chap.9, Academic Press, New York (1982). 5) Mie,G., Ann.Physik, 25, 377-445 (1908). 6) Van de Hulst.H.C, "Light Scattering by Small Particles". Chap.15, John Wiley & Sons, Inc.,New York (1957). 7) Matveev.A.N. "Optics" Chap.9 Mir Publishers Moscow (1988). 8 ) Kerker.M., "The Scattering of Light and other Electromagnetic Radiation" , Chap. 6, Acadrmic Press, New York (1969). 9) Kerker.M and Matijevic.E., J. Opt. Soc. Amer., 51, 506-508 (1961). 10) Lunderg, J.L. J.Colloid & Interface Sci., 29 565-585 (1969). ll) Farone.W.A. and Kerker.M., J. Opt. Soc. Amer., 56, 481-487 (1966). 12) "Tables of Bessel Function", The Staff of the Computation Laboratory, Harvard University, Harvard University Press (1947). 13) "Tables of Higher Function" Losch, F.Ed., Mcgraw Hill Book Co., (1960). 14) Morse, P.M and Feshbach, H., "Methods of Theoretical Physics" Part 1, p631. 15) "応用数学演習2 "石津武彦ら編倍風館(1969). 16) Uemura.Y., Fujimura.M., Hashimoto,T., and Kawai, H., Polymer J. 10, 341-351 (1978). 17) Uemura.Y., Hashimoto.T., and Kawai,H., Sen-i Gakkaish. 34, 481-493 (1978). 18) Uemura.Y., Hashimoto,T., and Kawai.H., Polymer J. ll, 413-423 (1979). 19) Fukuda.M., Composto.R.J., and Stein,R-S. submitted to Macromolecules..

(10) 218. Determination of the Refractive Index of the Dielectric Fiber from a Light Scattering Method. -Calcultion Based on Mie TheoryMitsuhiro FUKUDA. Determination of the refractive index of the dielectric fiber was discussed by analyzing the forward light scattering intensity distribution based on Mie theory. Rigorous calculations for a homogeneous and a coaxial circular fiber with the diameter of serveral 10 micrometer were carried out. The refractive index of theh0mogeneous fiber can be determined in the order of 0.0001 by fitting the experimental intensity curve to the theoretical one, if the fiber diameter is accurately estimated. In the same way, if the refractive index of the core (clad) is known, then that of clad (core) can be easily determined for a coaxial fiber..

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