九州大学学術情報リポジトリ
Kyushu University Institutional Repository
物理工科のための数学入門 : 数学の深い理解をめざ
して
御手洗, 修
九州大学応用力学研究所QUEST : 推進委員
藤本, 邦昭
東海大学基盤工学部電気電子情報工学科 : 教授
http://hdl.handle.net/2324/1500390
出版情報：
バージョン：
権利関係：
第 12 章 線積分，面積分，体積積 分
今までは単に積分の仕方を学んできたが，物理や工学では円弧の長さ，円の面積，球の表面積，体積など 積分を利用して求めた式がいろいろな場面で出てくるので，ここではそれらを詳しく調べる． 線の長さ:L
= dx
!
, 面積:S
=
!!
dS
=
!!
dxdy
, 体積:V
=
!!!
dV
=
!!!
dxdydz
と表されるが，面積以上の次元の積分を求めることを重積分という． また面積は!
f (x)dx
，表面積や体積は!!
f (x, y)dxdy
の形の重積分になる． さらにいろいろな物理量 f の線積分，面積分，体積積分もよく現れる． 線積分:!
f (x) dx
, 面積分:!!
f (x, y) dS
=
!!
f (x, y) dx dy
, 体積積分:!!!
f (x, y, z) dV
=
!!!
f (x, y, z) dx dy dz
これらの積分は，全体のｆの積分量を計算しそこから平均値を計算するときに重要で．線積分，面積分， 体積積分を計算して，線平均(代表的長さ L)，面平均（代表的面積 S），体積平均（代表的体積 V）等を計算 することができる．簡単には次のように表すことができる． 線平均:f (x)
=
1
L
!
f (x) dx
面平均:f (x, y)
=
1
S
!!
f (x, y) dx dy
体積平均:f (x, y, z)
=
1
V
!!!
f (x, y, z) dx dy dz
その他に物体の重心や，慣性モーメントなど物理学では重積分の計算は多い．また，時間平均値を計算す るときにも用いられる．例えば，ある値が時間的あるいは空間的に変動しているような場合の平均値を計算 したい場合，時間で積分してそれを代表的な時間 T(1 周期)で割ればよい．f (t)
=
1
T
!
f (t) dt
12.1.線積分
平面上の線の長さや立体的な線の長さの計算は，直交座標，極座標での計算といった具合に状況に応じ て使い分けをする必要がある． 1 2.1. 1. 一般的形状の線の長さ ［１］直交座標での線素： 長さの基本になるのが 線素 であり，この 微少な長さ を足し合わせて全体の曲線の長さを計算す ることができる．（dx,dy）がｘ，ｙ方向の基本となる線素なので， 任意の方向の線素はピタゴラスの定理 によってd
! =
( )
dx
2+ dy
( )
2 (12-1) となる．
d!
"#
dx2+ dy2!
#
rd!
d!
!
r
!r
dr2+ rd( )
!2 図 12− 1 図 12− 2 図 12-1 に示すように，曲線の長さはL
=
!
dx
2+ dy
2=
!
1
+ dy / dx
(
)
2dx
(12-2) [例題 1]x
= 0 ~ 1
の放物線y
= x
2 の長さを求めよ． ［解答］微分するとdy / dx
= 2x
L
=
1
+
dy
dx
!
"#
$
%&
2dx
0 1'
=
1
+ 4x
2dx
0 1'
=
1
2
1
+ u
2du
0 1'
=
1
2
(
1
2
u 1
+ u
2+ log u + 1+ u
2)
*+
,
-.
0 2=
1
4
)
*
2 5
+ log 2 + 5
,
- = 1.4789
ここで 2x=u と置いて，積分範囲の変換を行った． x 0 -> 1 u 0 -> 2 ピタゴラスの定理より得られる斜辺の長さ2
よりも若干長くなることが分かる．曲線の長さの計算は意 外と複雑で困難である場合が多い．［注：ただし，この不定積分は 11.14 に与えられている.!
c
+ x
2dx
=
1
2
x c
+ x
2+ clog x + c + x
2"
#$
%
&'
［２］極座標での線素 極座標では（dr,rdθ）が基本の線素なので，図１2− 2 に示すよう に曲線の線素はd
! = dr
2+ rd!
( )
2 なので，曲線の長さはL
=
dr
2+ rd
( )
!
2"
=
r
2+ dr / d
(
!
)
2"
d
!
(12-3) で表される． ［問題 12-1 ］アルキメデスのらせん（図１2− 4）:r
=
! / (4")
の長 さをθ=0 4π で求めよ． 図１2̶ 3 図１2− 4x,y 座標が媒介変数 t を使って x(t),y(t)と表されるときは，それぞれを媒介変数で微分して全線分の長 さを計算する．
L
=
!
dx
2+ dy
2=
!
(
dx / dt
)
2+ dy / dt
(
)
2dt
(12-4) [例題 2] 次のサイクロイド曲線の長さをｔ＝0 2π で求めよ．x
= at ! asint
y
= a ! acost
"
#
$
［解答］これを媒介変数 t で微分するとdx / dt
= a ! acost
dy / dt
= !asint
"
#
$
L
=
dx
dt
!
"#
$
%&
2+
dy
dt
!
"#
$
%&
2'
dt
=
'
(
a
( acost
)
2+ (asint
(
)
2dt
=
'
2a
22( 2a
22cost
dt
= 2a 1( cost
'
dt
= 2a
2 sin
2t
2
'
dt
= 2a sin
t
2
dt
= 4a ( cos
t
2
)
*+
,
-.
0 2/'
0 2/= 4a 1+ 1
[ ]
= 8a
タイヤが 1 回転しその中心が直線上を 2πa 進む間に，タイヤの外側は 8a の距離だけ長く進む．これは， 車のタイヤの中心が進む速度よりも，タイヤの周辺の速度が 8/π だけ速いことを示している． [問題 12- 2] 図１2− 5 のx
= acos
3t
y
= asin
3t
!
"
#
$#
で表されるアストロイドの周長を求めよ． ［４］３次元空間における曲線の長さ ３次元空間では（dx,dy,dz）がｘ,ｙ, z 方向の基本となる線素 な の で ， 任 意 の 方 向 の 線 素 は ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 に よ っ てd
! =
( )
dx
2+ dy
( )
2+ dz
( )
2 となる．従って曲線の長さは媒介変 数を用いるときL
=
!
( )
dx
2+ dy
( )
2+ dz
( )
2=
!
(
dx / dt
)
2+ dy / dt
(
)
2+ dz / dt
(
)
2dt
(12-5) ［例題 3］図１2̶ 6 に示す z 方向に角度α で増大していくヘリカル曲線が１回転したとき,らせんの長さを 計算せよ．式は次で与えられる．x
= R cos
!
y
= Rsin
!
z
= tan
"
# R
!
$
%
&
'&
図１2− 5［解答］それぞれを微分して
L
=
(
dx / d
!
)
2+ dy / d!
(
)
2+ dz / d!
(
)
2d
!
0 2"#
=
(
$Rsin!
)
2+ R cos!
(
)
2+ R tan%
(
)
2d
!
0 2"#
= R
2+ R
2tan
2% d!
0 2"#
= R 1+ tan
2% !
[ ]
0 2"= 2"R 1+ tan
2%
円周2
!
R
の1
+ tan
2!
倍の長さになることが分かる． 1 2.1. 2. 円周の長さ ［１］図式解法 5.1 で学んだように半径 R の円周の長さはピタゴラスの定理によって求めることができ，2πR＝ 6.283184R である．なお，おおざっぱにいえば，円は六角形に近いので６R 以上である． ［２］直交座標を用いた方法： ［2 -1 ］円の関数ｙ座標を利用： 半径 R の円の式x
2+ y
2= R
2より求まる関数y
= ± R
2! x
2 を用いて計算する．線素の長さはd
! =
( )
dx
2+ dy
( )
2 である の円周はdy
dx
=
!x
R
2! x
2 より，L / 2
=
1
+
dy
dx
!
"#
$
%&
2dx
' R R(
=
1
+
x
2R
2' x
2dx
' R v(
=
R
2R
2' x
2dx
' R v(
= R
1
R
2' x
2dx
' R R(
ここで，極座標で
x
= Rcos
!
とおくとdx
= !Rsin
"
d
"
が得られ，またR
2! x
2= y = Rsin"
である.また，積分範囲を変換すると， x -Ｒ -> Ｒ θ π -> 0 線の長さ： 直交座標：
L
=
dx
2+ dy
2!
=
!
1
+ dy / dx
(
)
2dx
極座標：L
=
dr
2+ rd
( )
!
2"
=
(
dr / d
!
)
2+ r
2"
d
!
媒介変数：L
=
!
( )
dx
2+ dy
( )
2+ dz
( )
2=
!
(
dx / dt
)
2+ dy / dt
(
)
2+ dz / dt
(
)
2dt
図１2̶ 6L / 2
= R
!Rsin
"
d
"
Rsin
"
# 0$
= R d
"
0 #$
=
#
R
［2 -2 ］媒介変数表示を利用： 円の座標（ｘ，ｙ）は極座標ではx
= Rcos
!
y
= Rsin
!
"
#
$
と表せるから，R =一定なので dR=0 となり，dx
= !Rsin
"
d
"
dy
= Rcos
"
d
"
#
$
%
より線素を求め積分すると，円周はL
=
!
dx
2+ dy
2=
R
2cos
"
2+ R
2sin
"
2d
"
0 2#!
= Rd
"
0 2#!
= R d
"
0 2#!
= 2
#
R
［３］ 極座標を用いる方法： 極座標での線素は(12-3)式であるが，円は r=一定なのでdr / d
!
= 0
となり，円弧の長さの線素はRd
!
に なり，円周はL
= R d
!
0 2"#
= R d
!
0 2"#
= 2
"
R
12.2.面積分
1 2.2. 1. 平面上の面積の計算 ［１］直交座標における平面上の面積 平面上の面積は面積素dxdy
の積分によって計算できる．これは重積分である．S
= dx dy
!!
(12-6) これを計算するにはどのような領域を計算するのか図を明確にして おき，積分の順序と積分範囲の取り方が対応するようにしなければ ならない． [ 例１] 図１2̶ 7 に示すような0
! y ! x
,x
! 1
で囲まれた三角形 の面積を求める．S
= dx
0 1!
dy
0 x!
= dx
0 1!
[ ]
y
0x= xdx
0 1!
=
1
2
あるいは順序を変えてS
= dy
0 1!
dx
y 1!
= dy
0 1!
[ ]
x
1y= dy
0 1!
(
1
" y
)
= y "
1
2
y
2#
$%
&
'(
0 1=
1
2
このように積分を 2 回繰り返して計算することを累次積分という．このように順序をかえて積分すると計算 が 複雑になることがあるので，できるだけ簡単に計算できる順番にしよう． 図１2̶ 7次に関数
y
= f (x)
が与えられている場合，図 12̶ 8(左)のように面積素はydx
なので，面積はS
= ydx
!
(12-7) で与えられる．d!
!
"
!
"
!
"
!#$%"&
dy
"
図 12̶ 8 次の図 12− 8 右図のように関数がx
= f (y)
で表される場合は，面積素はxdy
なので,面積はS
= xdy
!
(12-8) で与えられる． ［例題 4 ］図１2− 9 に示すようなy
= e
xとy
= x
で囲まれる領 域の面積をｘ＝０ 1.5 について求めよ． ［解答］S
=
(
e
x! x
)
0 1.5"
dx
= e
x!
x
22
#
$
%
&
'
(
0 1.5= e
1.5!
1.5
22
! e = 0.638407
［問題 12-3 ］図１2− 10 に示すようなy
= x
とy
= x
で囲ま れる領域の面積をｘ＝０ 1 について求めよ． 図１2− 10 [例題 5] 図１2− 11 に示すようなy
2! 9 " x
と，y
! x " 3
で挟まれる面積を求めよ． ［解答］x
! "y
2+ 9
とx
! y + 3
とすると，交点は(0,-3)，(5,2)だから 図１2− 9S
= x dy =
!
{
(
9
" y
2)
" y + 3
(
)
}
"3 2!
dx
= "
1
3
y
3"
y
22
+ 6y
#
$
%
&
'
(
"3 2= "
8
3
"
4
2
+ 12
)
*+
,
-.
" 9 "
9
2
" 18
#
$%
&
'(
=
125
6
=20.8333
［２］極座標平面上の面積〔極座標への変 換〕 2 次元極座標では（dr,rdθ）がｒ，θ 方向の基本の線素であ り，図 12-12 に示すように面積素はrd
!
dr
なので面積はS
=
!!
dx dy
=
!!
r d
" dr
=
r
22
!
d
"
(12-9) で与えられる． ここで，なぜdxdy
= rd!dr
が成り立つかを点 P の（ｘ，ｙ）座 標での動きの微少長さを用いて示す．x
= r cos
!
y
= r sin
!
"
#
$
微分によって点 P が動いた微少長さを計算できる ことはすでに 微分の章で述べた．図 12-13 に示すように，点 P が（ｘ，ｙ）座標 で動いたときの微少長さ dx と dy，（ｒ，θ）極座標で動いたときの 微少長さ dr と dθの間の関係が上の式から得られる．これは位置ｘ とｙがｒ，θの 2 変数からなる関数と考えることができるので，偏 微分すると!x = cos
"
!r # r sin
"
!
"
!y = sin
"
!r + r cos
"
!
"
$
%
&
!x
,!y
はｘ軸方向，ｙ軸方向の基本となる微少長さで，また!r
,!
"
は半径ｒ方向，θ 方向の基本となる微少長さである．これ らの微小長さは，微分によって方向を得たので（微小長さをどち らの方向にとるかを決めるということ），ベクトルと考えることが できる．偏微分記号を通常の微分記号に置き換え，ｒ方向，θ 方 向の単位ベクトル!i
r, i
!で書くことができる．dx
= cos
!
dr i
r" r sin
!
d
!
i
!dy
= sin
!
dr i
r+ r cos
!
d
!
i
!#
$
%
(12-10) ここで dx,dy は，直交している dr,rdθ 方向の単位ベクトル!i
r, i
! からなるので，その外積をとって面積素 dS を計算することができ る．dS
= dx ! dy = r cos
2"drd" i
r! i
"# r sin
2"!d"dr i
"! i
r= r cos
2" + sin
2"
(
)
drd
" i
r! i
"!!!!!!!!!!!!!
= rdrd"!i
r! i
"! i
= 0,!!i
! i
= 0,!i
! i
= #i
! i
rd
!
d
!
!
r
!r
"#
"!
図 12− 13rd
!
d
!
!
r
!r
"
図 12− 12 図１2− 11単位ベクトルなので，
!i
r! i
"は平面に直角方向で，面積素 d S ベクトルと同じ向きを持つ．その大きさはdS
= dxdy = rd!dr
(12-11) となる． また，第 7 章のベクトルで学んだ 3 行３列の行列式(
A
! B
)
=
A
xB
x0
A
yB
y0
i
j
k
を用いると，面積素はA
! dx
,B
! dy
とおくと，dS
= dx ! dy =
cos"dr #rsin"d"
0
sin"dr r cos"d"
0
i
ri
"i
r! i
"= r cos
(
2" + sin
2"
)
drd
" i
r! i
" (12-12) この計算は通常ヤコビアン［12.1.一松］として知られるｘ̶ ｙ座標から r̶ θ 極座標への面積の変換法を 用いて得られる．しかしながら無限小解析法を用いるとこのように基本式から導くことができる． また，(dx,dy)と（dr,r dθ）の間の関係式は 次の回転変換の式として知られている．dx
dy
!
"#
$
%&
=
cos
'
(sin
'
sin
'
cos
'
!
"#
$
%&
dr
rd'
!
"#
$
%&
(12-13) 1 2.2. 2. 円の面積 ［１］図式解法 半径 R の円の面積は 4.4 節で求めたように，πR2=3.141592 R2 である．おおざっぱな値としては図 12− 14 に示すように内側の正 方 形 の 面 積 と 外 側 の 正 方 形 の 面 積 の 中 間 く ら い （2R
2< S < 4R
2）にあるのでS ! 3R
2位であることが直感的に わかる． ［２］直交座標を用いた方法： 図 12-15 のように，円の方程式x
2+ y
2= R
2より得られるy
= ± R
2! x
2 を用いてS
= ydx =
!
2
R
2" x
2 "R R!
dx
12.1.2.[2.1]と同様に結局極座標に変換し，x
= Rcos
!
とおくとdx
= !Rsin
"
d
"
が得られ，また 平面上の面積（まとめ） 直交座標：S
=
!!
dxdy
極座標：S
=
""
rd
!dr
! ! " " 図 12− 14x -Ｒ -> Ｒ θ π -> 0
S
= 2 Rsin!
" 0#
(
$Rsin!d!
)
= 2R
2sin
2!
0 "#
d
!
= 2R
21
$ cos2!
2
0 "#
d
! = R
2! +
1
2
sin 2!
%
&'
(
)*
0 "=
" R
2 ［３］ 極座標を用いた計算： 極座標に変換すると，S
=
!!
dx dy
=
r d
"
dr
= d
"
0 2#!
!!
r dr
0 R!
= 2
#
R
22
=
#
R
2 [例題 6] 図１2-16 のカージオイドr
= 1+ cos
!
の面積を 0 90 度で求め よ． ［解答］S
=
r
22
d
!
0 " /2#
=
(
1
+ cos!
)
22
d
!
0 " /2#
=
1
2
1
+ 2cos! + cos
2!
(
)
d
!
0 " /2#
=
1
2
1
+ 2cos! +
1+ cos2!
2
$
%&
'
()
d
!
0 " /2#
=
1
2
3
2
! + 2sin! +
1
4
sin 2!
*
+,
-./
0 " /2!
=
1
2
3
2
"
2
+ 2
*
+,
-./
= 1+
3
"
8
[問題 12- 4] 正葉型r
= asin2! ! = 0 ~ 2"
(
)
の面積を求めよ． 1 2.2. 3. 曲面の面積 ［１］直交座標を用いる方法 単位ベクトルを用いると，直感的に分かりやすく曲面の面積を 求めることができる．図 12̶ 17 のように（ｘ，ｙ）平面上の曲 面は一般にz
= f (x, y)
で表すことができる．この曲面上の点を ベクトルで表せば，r
= xi + yj + f (x, y)k
となるので，その曲面上の点Ｐがｘ，ｙ方向へ動くときの微少長 さdr
は，ｘ方向に動くときのr
の変化分!x
と，ｙ方向のr
の 変化分!y
，即ちr
の偏微分によって与えられる．偏微分記号を 簡単に通常の微分記号でかくとdr
x= dx i + !f (x, y) / !x
(
)
dx k
= dx i + f
xdx k
dr
y= dy j + !f (x, y) / !y
(
)
dy k
= dy j + f
ydy k
"
#
$
%$
(12-14) となる．曲面上の面積素は，曲面上の微少長さの外積dr
x! dr
yで与えられるので， ! "! ! # $ % y= r2! x2 図１2− 15 図１2− 16 ! "# # ! $ # "! %#"# %!"! $ & "&# "&! 図 12̶ 17dS
= dr
x! dr
y= dx i + f
[
xdxk
]
! dy j + f
"#
ydy k
$% = dxi ! dyj+ f
xdxk
! dyj + dxi ! f
ydyk
= dxdy i ! j + f
xdxdy k
! j + dxf
ydy i
! k
!!!!= dxdy k & f
xdxdy i
& dxf
ydy j
= & f
"#
xi
& f
yj
+ k
$%dxdy
(12-15) ここで
i ! j= k, j! k= i, k ! i= j
を用いた．従って絶対値をとれば，曲面上の面積素 d S は平面上の面 積素dxdy
を用いて，dS
= f
x 2+ f
y 2+ 1 dxdy
となる．よって曲面の面積はS
=
f
x 2+ f
y 2+ 1 dxdy
!!
(12-16) で与えられる． [例題 7] 図 12ー18 のように曲面z
= f (x, y) = x
2/ 2a
( )
! y
2/ 2b
( )
が楕円柱x
a
2 2+
y
2b
2! 1
で切り取られる曲面の面積を求めよ．a=1, b=2, c=1 の場合を図 12-18 に示す． ［解答］f
x= !f / !x = x / a
,f
y= !f / !y = y / b
なので，S
=
x
2a
2+
y
2b
2+1 dxdy
!!
ここで，X
= x / a, Y = y / b
と置くと，積分範囲はX
2+ Y
2! 1
の円 になる．dx
= adX, dy = bdY
なので，S
=
!!
X
2+ Y
2+1 abdXdY
さらにX
= r cos!, Y = r sin!
とおいて極座標に直し，S
= ab
X
2+ Y
2+1 dXdY
!!
= ab
r
2+1 rdrd"
0 1!
0 2#!
= ab d"
r
2+1 rdr
0 1!
0 2#!
その 後u
= r
2+ 1
とおきdu
= 2rdr
を用いたS
= ab2!
u
du
2
0 1"
= ab!
2
3
u
3 2#
$
%
&
'
(
1 2= ab
2!
3
#$
2 2
)1
&'
［ 問 題 1 2-5 ］ 図 12-19 の よ う に 曲 面z
= f (x, y) = xy
が 円 柱 図 12ー18 図 12-19［２］回転体の表面積 ｘ軸のまわりに回転する回転体の表面積は，そ の曲線の高さを半径 y とすると，［面積素ｄS］＝ ［円周 2πy］x [ｘ方向の曲線の線素：
d! = dx
2+ dy
2 ]であるから，ｘ＝０から H ま での表面積はS
= 2! y dx
2+ dy
2 0 H"
= 2! y 1+ dy / dx
(
)
2 0 H"
dx!
(12-17) で与えられる． 1 2.2. 4. 球の表面積 ［１］図式解法 半径 R の球の表面積は 4πR2で，円の面積πR2の４倍である．しかし簡単な図式解法はなく以下のように積 分を用いる必要がある． ［２］直交座標を用いる方法 球面の座標はx
2+ y
2+ z
2= R
2で表されるので，位置(x,y)での球面の高さはz
= f x, y
( )
= R
2! x
(
2+ y
2)
である．これを偏微分するとf
x= !f / !x =
"x
R
2" x
(
2+ y
2)
, f y = !f / !y = "y R2" x(
2+ y2)
なので，S
= 2
!f
!x
"
#$
%
&'
2+
!f
!y
"
#$
%
&'
2+ 1 dx dy
((
!= 2
x
2R
2) x
(
2+ y
2)
+
y
2R
2) x
(
2+ y
2)
+ 1 dx dy
((
= 2
R
R
2) x
(
2+ y
2)
dx dy
((
曲面の面積（まとめ） [1] 曲面がz
= f (x, y)
で与えられるとき 直交座標：S
=
""
(
!f / !x
)
2+ !f / !y
(
)
2+ 1 dx dy
極座標：S
=
##
(
!f / dr
)
2+ !f / rd
(
"
)
2+ 1 r d
"
dr
[2] 回転体の表面積： 直交座標：S
= 2
!
y dx
2+ dy
2 0 H"
= 2
!
y 1
+ dy / dx
(
)
2 0 H"
dx!
図１2− 20さらに
x
= r cos
!
y
= r sin
!
"
#
$
とおくとS
= 2
R
R
2! r
2rdr
""
= 2R d
#
0 2$"
1
2
R
!2
2! r
2rdr
R 0"
!= 4
$
R
%
R
2! r
2&
'
(
R 0= 4
$
R
2 ［３］極座標での回転面を用いる方法： 下図のように，北極と南極を軸として回転する場合を考える．球の表面の面積素ｄS は，[ 縦 軸 周 り に Rsinθ が一周する長さ]x[それに直角な微少長さ Rdθ]なのでdS
= 2! Rsin"
(
)
(
Rd
"
)
となる．これを北極を開始点として０からπまで積分して， θ dθ R Rsinθ Rdθ ! " # $ ! Rd! sin! !d! d! 図１2− 21S
= 2
!
(
Rsin
"
)
(
Rd
"
)
0 !#
= 2
!
R
2sin
"
d
"
0 !#
= 2
!
R
2[
$ cos
"
]
0 != 4
!
R
2 ここで，球表面の面積素の解釈を変えてみることにより，より簡単に球の表面積の式を理解できるように なる．図 12− 21 より表面の面積素をdS
= 2! R
(
)
" Rd# sin#
(
)
と書き直すと，面積素は円筒の面積素への射影になる．即ち， [ 円筒の面積の面積素ｄS] ＝［半径ｒの円筒の 円周：2
!
R
］ ｘ［Rd
!
を円筒に射影し たときの高さの線素：(
Rd
!
)
sin!
］ である．積分してわかるようにS
= 2
(
!
R
)
" Rsin
#
0 !$
d
#
= 2
(
!
R
)
" R cos
[
#
]
!0= 2
(
!
R
)
" 2R
( )
= 4
!
R
2 ［球の表面積 S］は［円筒の円周の長さ（2
!
R
）］ｘ［円筒の高さ(2R
)］で表されることがわかる(図 12− 22)．図１2− 22 ［4 ］直交座標での回転面を用いる方 法 図 12-23 より
y
= R
2! x
2 を半径とする回転体の表面積は，［円周の長さ］ｘ［円弧の長さ］でも計 算できる． 図１2− 23S
= 2
!
y dx
2+ dy
2"
= 2
!
y 1
+ dy / dx
(
)
2dx
#r r"
にdy
dx
=
!x
R
2! x
2 を代入してS
= 2! R
2" x
2R
R
2" x
2dx
" R R#
= 2! Rdx
" R R#
= 2! R
dx
" R R#
$
%
&'
(
)
*'
= 2! R2R = 4! R
2[例題 8] 半径 R の球を角度 0 60 で切り取ったときの表面積を求めよ． ［解答］
S
= 2
!
(
R sin
"
)
(
Rd
"
)
0 ! /3#
= 2
!
R
2sin
"
d
"
0 ! /3#
= 2
!
R
2[
$ cos
"
]
0! /3= 2
!
R
2$
1
2
+1
%
&'
(
)*
=
!
R
2 ［問題 12-6 ］半径 a の球を角度 60 90 で切り取ったときの表面積を求めよ．12.3.体積積分
［１］直交座標の体積素 （dx,dy,dz）が基本の線素なので体積素は dV=dxdydz である．従って，体積はV
=
!!!
dV
=
!!!
dxdydz
(12-17) 断面がｘ− ｙ平面にあって，高さｚの場合，体積素は dV=zdxdy であるから，体積はV
=
!!
z
dxdy
(12-18) 面積 S の同じ断面よりなる高さ H の立体の体積はV
= z dx dy
!!
= zS
(12-19) 即ち， 底面積ｘ高さ で与えられる． [例２] 図１2− 24 に示すようなx
2+ y
2! a
2とx
2+ z
2! a
2の共通部分の体積を求めてみよう． z 方向の領域は! a
2! x
2" z " a
2! x
2 ，ｙ方向の領域は! a
2! x
2" y " a
2! x
2 なのでV
=
!!!
dx dy dz
= dx
dy
dz
" a2" x2 a2" x2!
" a2" x2 a2" x2!
"a a!
= dx
2 a
2" x
2 " a2" x2 a2" x2!
"a a!
dy
= dx2 a
2" x
22 a
2" x
2(
)
"a a!
= 4 dx a
(
2" x
2)
"a a!
= 4 a
2x
"
1
3
x
3#
$%
&
'(
"a a= 4 2a
3"
2
3
a
3)
*+
,
-.
=
16
3
a
3 y とｚはどちらを先に積分しても同じ結果になる． [例題 9] 図 12-25 に示される楕円曲面z
= f (x, y) = x
2/ a
2+ y
2/ b
2! 0
と円柱x
2+ y
2= c
2で囲まれる体積を求めよ． ［解答］ 図１2− 24
V
=
!!
zdxdy
=
x
2a
2+
y
2b
2"
#$
%
&'
dxdy
!!
次に，x
= r cos!, y = rsin!
とおいて極座標に直して計算する．V
=
cos
!
2a
2+
sin
!
2b
2"
#$
%
&'
r
2rdrd
!
0 c(
0 2)(
=
r
3dr
0 c(
*
+
,-.
/
0-cos
!
2a
2+
sin
!
2b
2"
#$
%
&'
0 2)(
d
!
=
c
44
!
"
#
$
%
&
1
+ cos2
2a
2'
+
1
( cos2
'
2b
2)
*+
,
-.
0 2/0
d
'
=
c
44
'
+
1
2
sin 2
'
2a
2+
'
(
1
2
sin 2
'
2b
2!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
0 2/=
c
44
2
/
2a
2+
2
/
2b
2!
"#
$
%&
=
/
c
44
1
a
2+
1
b
2!
"#
$
%&
［２］3 次元極座標での体積素(3 次元極座標への 変換) 図１2-26 のように極座標をとれば，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）の 座標はx
= r sin!
(
)
cos"
y
= r sin!
(
)
sin"
z
= r cos!
(
)
#
$
%
&
%
(12-20) で表されるので，点Ｐが(x,y,z)方向に動く微少長さと(r,θ, φ)方向の微少長さの関係を偏微分して求める．!x = !r sin" cos# + cos" r!"
( )
cos# $ sin" sin# r!#
( )
!y = !r sin" sin# + cos" r!"
( )
sin# + sin" cos# r!#
( )
!z = !r cos" $ sin" r!"
( )
%
&
'
(
'
dr ,dθ, dφ 方向の単位ベクトルをi
r, i
!, i
"とし，それぞれの成 分をx
r, x
!, x
"とすると，dx
= dr sin! cos" i
r+ cos! rd!
( )
cos" i
!# sin! sin" rd"
( )
i
"= x
ri
r+ x
!i
!+ x
"i
"dy
= dr sin! cos" i
r+ cos! rd!
( )
sin" i
!+ sin! cos" rd"
( )
i
"= y
ri
r+ y
!i
!+ y
"i
"dz
= dr cos! i
r# sin! rd!
( )
i
!+ 0
= z
ri
r+ z
!i
!+ z
"i
"$
%
&
'
&
(12-21) 第 7 章のベクトルで学んだように，体積はベクトルの３重積で与えられるので， ! " # ! " $! $" % %&'(! $" $%)*'%+,-%&'(!$" *' "+,-%$! *'!+,-. 図１2− 26 図 12− 25 (a=1, b=2, c=1)
V
= Ci A ! B
(
)
=
C
xA
xB
xC
yA
yB
yC
zA
zB
z= A
(
yB
z" A
zB
y)
C
x+ A
(
zB
x" A
xB
z)
C
y+ A
(
xB
y" A
yB
x)
C
z の関係式を用いることができる．体積素はdV
= dzi dx ! dy
(
)
=
z
rz
"z
#x
rx
"x
#y
ry
"y
#=
cos"dr
$r sin"d"
0
sin" cos#dr r cos" cos#d" $rsin" sin#d#
sin" sin#dr r cos" sin#d" rsin" cos#d#
= r
2(
cos" sin" cos
2# + sin" cos" sin
2#
)
cos"drd"d#
+ r
2(
$sin
2" sin
2# $ sin
2" cos
2#
)
(
$sin"
)
drd
"d#
= r
2cos
2# + sin
2#
(
)
cos
2" sin" + sin
(
2# + cos
2#
)
sin
2" sin"
%&
'(drd"d#
= r
2sin"drd"d#
(12-22) となる．これはやはりヤコビアン［12.1．一松］と同じ結果を与える． また，極座標の図からもすぐに体積素がこのように与えられることが分かる． 従って，体積はV
=
dV
= sin
!
d
!
d
"
r
2dr
0 a#
0 2$#
0 !#
###
(12-23) また，球面の面積素は体積素を半径の線素で割って，dS
= dV / dr = r
2s in
!d!d"
(12-24) となる． ［３］回転体の体積 ｘ軸のまわりに回転する回転体の表面積は， その曲線の高さを半径 y とすると，［体積素ｄV］ ＝［円面積πy2］x [ｘ方向の線素を]であるから， ｘ＝０から H までの体積はV
=
!
y
2 0 H"
dx!
(12-25) で与えられる 図１2− 27 体積（まとめ）； 直交座標：V
=
!!!
dxdydz
極座標：V
=
dV
= sin
!
d
!
d
"
r
2dr
0 a#
0 2$#
0#
###
回転体の体積： 直交座標：V
=
! y
2dx
"
1 2.3. 1. 球の体積 ［１］図式解法 下図のように球の表面積を n 個の無限に小さい四角形で分割し，体積を四角錐の集まりと見なす． それ を広げて，1 個の四角錐の底面積を球の表面積から求め，
S
= 4! R
2/ n
とし，四角錐の高さは R であるから， これから四角錐の体積を求める．即ち， ［球の体積 V ］＝［一個の四角錐の底面積4! R
2/ n
］x ［高さR
］x1 / 3
ｘｎ個 からV
=
1
3
!
4
"
R
2n
! R
#
$%
&
'(
n
=
4
3
"
R
3 と求めることができる．非常におおざっぱな値は，3 次元なので，長さ R の立方体の体積とだいたい等しく R3であるr
!"#$%
!r2
図１2− 28 ［２］直交座標を用いる方法 球面の座標はx
2+ y
2+ z
2= R
2 で表されるので，(x,y)座標での球面の高さはz
= f x, y
( )
= R
2! x
(
2+ y
2)
なので，V
=
!!
z dx dy
=
R
2" x
(
2+ y
2)
dx dy
!!
ここで，x
= r cos
!
y
= r sin
!
"
#
$
とおくとV
=
R
2! r
2r dr d
" = d"
0 2#$
$$
1
2
R
2! r
2( )
!2r
dr
R 0$
= 2#
2
3
R
2! r
2(
)
3 2%
&
'
(
)
*
R 0=
4
3
# R
3 ［３］ 極座標を用いる方法： 体積素はdV
= rd
( )
!
(
r sin
!
d
"
)
dr
= sin
!
d
!
d
"
r
2dr
であるから，全体積はV
=
dV
= sin! d! d" r
2dr
0 R#
0 2$#
0 $#
###
= % cos!
[
]
0$2$
r
33
&
'
(
)
*
+
0 R= 1+ 1
[ ]
2$
R
33
=
4$ R
33
［４］直交座標の回転体を用いる方法： 球を半径y
= R
2! x
2 とする回転体と考えると，V
= 2
! y
2dx
0 R"
= 2
! R
(
2# x
2)
dx
0 R"
= 2! R
2x
#
x
33
$
%
&
'
(
)
0 R=
4
3
! R
3図１2− 29 図１2− 30 ［５］球の表面積から出発する方法： 半径ｒの内側の球の表面積
S
= 4!r
2を底面積とし，半径の線素 dr を高さとすると，球の体積素は図 12 − 30 に示すようにdV
= Sdr =
!r
2dr
であるから，球の体積はV
= S dr
0 R!
= 4
"
r
2dr
0 R!
=
4
3
"
R
3 (12-26) [例題 10] 図 12̶ 31 に示すような半径 a の球を角度 0 60 で切り取ったときの体積を求めよ． ［解答］北極の角度を０とすると，V
=
dV
= sin! d! d" r
2dr
0 a#
0 2$#
0 $ /3#
###
= % cos!
[
]
0$ /32$
r
33
&
'
(
)
*
+
0 a= %
1
2
+ 1
&
'(
)
*+
2$
a
33
=
$a
33
全体積は4!a
3/ 3
であるから，ちょうどその 1/4 になる． [ 問題 1 2 − 5] 半径 R の球を角度 60 90 で切り取ったときの体積を求めよ．12.4.
トーラス，楕円の 特性
楕円や，円や楕円が作るトーラス（ドーナツ型）の表面積や体積を計算してみよう． 1 2.4. 1. トーラス 図のような主半径 R ,小半径 a のドーナツ形状の体積や表面積を求めよう． 図１2̶ 31［まとめ］半径ｒの円と球の特性
［１］円周の長さ:
L
= 2
!
r
［２］円の面積:
S
=
!
r
2=
1
2
( )
2
!
r
r
［３］球の表面積:
S
= 4
!
r
2= 2
!
r
( )
( )
2r
［４］球の体積：
V
=
4
3
!
r
3=
1
3
4
!
r
2(
)
r
R
a
!
a
a cos!
R
a!
!
図 12− 32 （１）トーラスの表面積 トーラス方向の周の長さは2! (R + acos")
小半径周りの円周の線素はad
!
従って，面積素は，dS = 2! (R + acos")ad"
これを積分すると表面積が得られる．S
= 2!(R + acos")ad"
0 2!#
= 2! Ra d" + a
2 0 2!#
cos
"d"
0 2!#
$
%
&
'&
(
)
&
*&
= 2! 2! Ra + a
2+sin"
,-
./
0 2!{
}
= 2! R
( )
( )
2
! a
(12-27) 結局，円の周長 2πa とトーラス方向の長さ 2πR でトーラスの表面積は計算できる． （２）トーラスの体積 トーラス方向の周の長さは2! (R + r cos")
小半径周りの円の面積素はrd
!
dr
体積素はdV = 2! (R + r cos")rd"dr
これを積分するとトーラスの体積が得られる．V
=
##
2
!(R + r cos")rd"dr
= 2! R d"
0 2!#
rdr
0 a#
+ cos"d"
0 2!#
r
2dr
0 a#
$
%
&
&
'
(
)
)
= 2! R 2!
a
22
*
+,
-./
+
a
33
$%
0sin"
'(
0 2!$
%
&
&
'
(
)
)
= 2! R
( )
( )
!a
2 (12-28) 結局，第 2 項目の cosθ の項は積分して０になるので，円の面積πa２とトーラス方向の長さ 2πR でトーラス の体積は計算できる． 1 2.4. 2. 楕円 図 12̶ 33 に示すような楕円（長軸 a=3,短軸 b=2）の周囲の長さや面積，ドーナツ形状の体積や表面積を求めよう．
x
2a
2+
y
2b
2= 1
これを書き直したy
= b 1!
x
2a
2 あるいはx = acos
!
，y = bsin!
を用いる． (1) 楕円の周長: 楕円の周長はL
=
!
dx
2+ dy
2=
a
2cos
"
2+ b
2sin
"
2d
"
0 2#!
!!!= 4a
(
1$ sin
"
2)
+
b
2a
2sin
"
2d
"
0 # /2!
= 4a
1
$ 1$
b
2a
2%
&'
(
)*
sin
"
2d
"
0 # /2!
ここで，楕円の離心率を! = 1" b
(
2/ a
2)
とおくと，楕円の周長の 4 分の１はL / 4a
=
1
!
"
sin
#
2d
#
0 $ /2%
= KE2
(12-29) 右辺の積分は第 2 種の完全楕円積分とよばれ，初等関数では ないので簡単には求まらない．特殊関数の学習が必要である． なお，Mathematica ではすぐに計算でき,横軸をε とし積分値 を KE2 とすると，図 12− 34 のようになる． ● 離心率ε=1 の時はｂ＝０なので,ぺしゃんこの直線になり，周長は L=4a である．L / 4a
= cos
!
d
!
0 " /2#
= sin
[
!
]
0" /2= 1
● 離心率ε=0 の時は円になる．L / 4a
=
d
!
0 " /2#
=
"
2
(2) 楕円の面積: 楕円の面積はS
= ydx
!
= 4 bsin
"
dx
a!
図 12− 34 ! " # $ 図 12̶ 33● 積分範囲の変換は x ０ -> a θ π/2 -> 0
S
= 4ab sin
!
" /2 0#
(
$sin
!
d
!
)
= 4ab sin
2!
0 " /2#
d
!
= 4ab
1$ cos2
!
2
0 " /2#
d
!
=
"
ab
b=a のとき楕円は円になり，面積はS = ! a
2となる． (2.2)y
= ±b 1!
x
2a
2 を用いて，S
= ydx
!
= 2 b 1"
x
2a
2dx
"a a!
= 2
b
a
a
2" x
2dx
"a a!
x
= a cos
!
とおくと(極座標を用いて変換している) ●y
= a
2! x
2= a
21
! cos
2"
(
)
= asin
"
●dx
= !asin
"
d
"
● 積分範囲の変換は x -a -> a θ π -> 0S
= 2 !
b
a
a
2sin
2"
d
"
# 0$
= 2ab sin
2"
d
"
0 #$
=
#
ab
1 2.4. 3 楕円トーラスの体積 主半径 R の楕円トーラスの体積を求めよう．楕円はｘｙ座標ではx
! R
(
)
2a
2+
y
2b
2= 1
となるので，y
= ±b 1! x ! R
(
)
2/ a
2 体積素はdV
= 2! x
( )
( )
ydx
であるから，これを積分すると楕円トーラスの体積が得られる．V
=
""
( )
2! x
( )
ydx
= 2#2! xb 1$ x $ R
(
)
2/ a
2dx
$a a"
= 2#2!
b
a
x a
2$ x $ R
(
)
2dx
R$a R+a"
x
= R + a cos
!
とおくと ●y
= a
2! x ! R
(
)
2= a
2(
1
! cos
2"
)
= asin
"
●dx
= !asin
"
d
"
● 積分範囲の変換は!
"
#
$
%
#
&#'$(
)#
$
図 12− 35x R-a -> R+a θ π -> 0
V
= 2!2" #
b
a
a
2(
R
+ acos$
)
sin
2$d$
" 0%
= 4" ab R + acos$
(
)
sin
2$d$
0 "%
= 4" ab Rsin
(
2$ + acos$ # acos
3$
)
d
$
0 "%
= 4" ab R
1
# cos2$
2
+ acos$ # a
cos3
$ + 3cos$
4
&
'(
)
*+
d
$
0 "%
= 4" ab R $
2
#
sin 2$
2
&
'(
)
*+
+ asin
$ # a
1
12
sin3
$ +
3
4
sin
$
&
'(
)
*+
,
-.
/
0
1
0 "= 2" R
( )
( )
" ab
12.5. ト ー ラ ス プ ラ ズ マ の 線 積 分 と 体 積 積
分
放電管の中に電離した気体(プラズマ)などを作っている 場合，その中心で密度は高く，外側の壁での密度はゼロにな っている場合が多い．このように密度が上に凸の放物分布に なっている場合の平均値を求めてみよう． 半径方向に平均 を取る場合を線平均といい，計算は結構大変である．全体の 体積で積分して平均するのを体積平均といい，これは楽に計 算できる．プラズマ物理でよく用いられている平均法である． 1 2.5. 1. 線平均値 密度分布を左右対称なn(r)
= n
o(
1
! r / a
(
)
2)
" （12̶ 30） とする.直径 2a にわたっての平均は半径 a での平均と等しい．x
= r / a
とおくと，n
=
n
o2a
1
! r / a
(
)
2(
)
" !a a#
dr
= n
o(
1
! x
2)
" 0 1#
dx
（12̶ 31）x
= cost
とおくと，dx
= !sintdt
n / n
o= ! sin
2" +1t
# /2 0$
dt
=
sin
2" +1t
0 # /2$
dt
● 積分範囲の変換は ｘ ０ -> 1!
a
a cos!
R
a!!
図１2− 36楕円の面積：
πab，周長には楕円関数が必要
楕円トーラスの体積： (2
πR)(πab)
to-rasuno
．面積は
πab
I
n=
sin
nt
0 ! /2"
dt
=
cos
nt
0 ! /2"
dt
=
n
# 1
n
n
# 3
n
# 2
$$$
3
4
1
2
!
2
!!!( for n!even!number,!n
= 2m % 2)
n
# 1
n
n
# 3
n
# 2
$$$
4
5
2
3
!!!!!!( for n!odd!number,!n
= 2m + 1 % 3)
&
'
((
)
(
(
!!!
（12̶ 32） この公式は部分積分を用いて求めることができる．I
n= sin
n!1t
(
! cost
)
"
0 # /2$
dt
= sin
%&
n!1t
(
! cost
)
'(
0 # /2
