【PDF】弦の量子化 (スライド)

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弦の量子化

B. ツヴィーバッハ，2013，初級講座弦理論《基礎編》(樺沢宇紀訳)，丸善プラネット株式会社，東京．このスライドの原稿を理論物理の各種ノートと併せて以下のページで公開している． http://everything-arises-from-the-principle-of-physics.com/

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弦の運動を記述する方法

弦の(古典的な)運動

↕

弦が時空に描く

2次元の世界面

𝑥 = 𝑋(𝜏, 𝜎)

൝

𝜏

↔

時間 time

𝜎

↔

空間 (space)

𝑥

0

𝑥

0

𝑥

1

𝑥

2

(𝑥

3

, ⋯ )

O

弦が時空に描く2次元の世界面時刻𝑥0_の弦

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弦の作用

⚫ 相対論的な点粒子の作用

⚫ 相対論的な弦の作用 (南部-後藤作用)

世界線の固有長さ

世界面の固有面積

：相対論的スカラー積，：弦の張力， ：勾配パラメーター

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弦の作用

弦の作用：

弦のLagrangian密度：

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弦の作用

に対する最小作用原理

境界条件，運動方程式

𝜎の範囲は開弦に対して 0 ≤ 𝜎 ≤ 𝜋 と設定開弦の2つの端点 𝜎 = 𝜎_∗ ≡ 0, 𝜋 における境界条件 ⚫ Dirichlet境界条件 ⚫ 自由端点の条件

運動方程式

(開弦，閉弦)

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光錐座標

Lorentz座標 _𝑥0_{, 𝑥}1_{, 𝑥}2_{, ⋯ , 𝑥}𝑑 光錐座標 _𝑥+_{, 𝑥}−_{, 𝑥}2_{, ⋯ , 𝑥}𝑑 𝑑：空間の次元横方向座標 𝑥𝐼

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光錐ゲージ

光錐ゲージ条件

𝜎の目盛付けの条件

𝛽 = ൝2 開弦 1 閉弦とし，以降パラメーター𝜏, 𝜎は無次元とする． (弦の線要素d𝜎が担う運動量の𝑥+_{成分は𝒫}𝜏+_d𝜎)

運動方程式

：波動方程式

(ドットは𝜏，プライムは𝜎による微分)

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開弦の運動

自由端点の条件 → Neumann境界条件波動方程式の(実数)解はとモード展開される_(𝑝𝜇 _{= ׬} 0 𝜋 𝒫𝜏𝜇d𝜎 = 1 2𝜋𝛼′ ׬0 𝜋 _ሶ 𝑋𝜇d𝜎を考慮した)．を導入するとと書ける．

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横方向のVirasoroモード

⚫ 光錐座標 𝑋− _{のモード展開} ⚫ パラメーター 𝜏, 𝜎 の選択の含意：横方向のVirasoroモード弦の時間発展は 𝑋𝐼 _{𝜏, 𝜎 , 𝑝}+_{, 𝑥} 0− により決定される (参考：光錐ゲージ条件 𝑋+ 𝜏, 𝜎 = 𝛽𝛼′𝑝+𝜏)

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閉弦の運動

閉弦 _→ 周期境界条件

波動方程式の(実数)解は

とモード展開される．

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開弦の正準量子化

基本となる変数 正準交換関係 に対する調和振動子の交換関係 ：生成演算子：消滅演算子，

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開弦の基本状態

⚫ 基底状態 (真空状態) ⚫ 開弦の基本状態：横方向成分，𝐷：時空の次元 ↔ 1粒子状態 𝜆_𝑛,𝐼：非負整数 (生成演算子が作用する回数)

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開弦の質量 (演算子)

：正規順序化

：数演算子，

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理論のLorentz不変性

点粒子のLorentzチャージは交換関係を満たす．弦のLorentzチャージ (開弦を考え0 ≤ 𝜎 ≤ 𝜋とした，最右辺のモード展開は光錐ゲージに対して) の光錐成分を，正規順序化されたHermite演算子として定義し，

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理論のLorentz不変性

を要求

タキオン

⚫基底状態

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光子

⚫無質量状態電磁ポテンシャルのFourier成分光錐ゲージ条件場の方程式 → 質量のないスカラー場の方程式：偏極ベクトル，：生成演算子，：真空状態 1光子状態

(20)

(21)

閉弦の正準量子化

正準交換関係 ただし に対する調和振動子の交換関係 ：生成演算子：消滅演算子，

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閉弦のVirasoro演算子

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レベル整合条件

：レベル整合条件はパラメーター𝜎の巡回的なずらしを生成：パラメーター𝜎のずらしの操作𝜎 → 𝜎 + 𝜎₀の下での閉弦の状態の変化レベル整合条件 _{パラメーター𝜎の巡回的なずらしの下での，} 閉弦の状態の不変性 𝜎 𝜎 + 𝜎₀ 閉弦の世界面 ↔

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重力子

無質量状態

：対称部分：反対称部分

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重力子

トレースレスの対称部分が担う状態弱い重力場 → 計量テンソルのFourier成分光錐ゲージ条件場の方程式 → トレースレスの条件質量のないスカラー場の方程式：偏極テンソル，：生成演算子，：真空状態 1重力子状態