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数学科学習指導案
広島県立海田高等学校 教 諭 桑 原 利 通 １ 日時・場所 平成 30 年９月６日(木）２時間目・視聴覚教室 ２ 学年・学級 第１学年（普通科）・４組 ３ 単元名 高等学校 数学Ⅰ「二次不等式」 ４ 単元について ○単元観 高等学校学習指導要領解説数学編（平成 30 年）において，「二次不等式の解と二次関数のグラフ との関係について理解し，二次関数のグラフを用いて二次不等式の解を求めること」が目標として掲 げられている。ここでは，一次不等式や二次関数のグラフ，二次方程式の学習で習得してきた知識や 技能を活用して，二次不等式を考察していく。また，二次不等式を二次関数のグラフと関連付けて解 決していく過程を振り返り，他の方程式や不等式に活用していく学習活動も考えられる。このような 学習活動を通じて，方程式や不等式に対する見方や考え方を広げたり，深めたりしていくことにより， 生徒の統合的・発展的に考察する力を高めていくことも重要である。 ○生徒観 二次関数の様々なタイプのグラフをかくことや一次関数のグラフと一次不等式の解との関係につ いて学んできた。そこで，二次不等式の学習に入る前に，一次関数のグラフを用いた一次不等式の考 え方を理解しているかどうかを見とるため，次の事前調査問題を行った。 問題 解答類型（①は正答，②～④は誤答） 人数 一 次 不 等 式 −2𝑥𝑥 + 1 < 3 の解を関数 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 1 の グラフと関数 𝑦𝑦 = 3 のグラ フを用いて説明しなさい。 ① 関数 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 1 と関数 𝑦𝑦 = 3 のグラフを正しく かいており，二つのグラフの位置関係を基にして，解を 説明してあるもの。 14 名 ② 関数 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 1 と関数 𝑦𝑦 = 3 のグラフは正しく かいているが，グラフを用いた解の説明が不十分である もの。 21 名 ③ 関数 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 1 と関数 𝑦𝑦 = 3 のグラフを正しく かいていないもの。 ３名 ④ 上記以外の解答 １名 計 39 名 この結果から，多くの生徒はグラフを正しくかいているものの，一次不等式の解と一次関数のグラ フとの関係について理解できていないことやその関係を表現することに課題があることが明らかに なった。また，統合的・発展的に考察する力に関わって，対象クラスの生徒が数学の問題に取り組む 際に，次の視点を意識して考えることができているかどうか，アンケートを実施した。2 質問項目 基準（４とてもそう思う ３ややそう思う２あまりそう思わない １そう思わない） 平均値 ① 数学の問題を考えるとき，以前に解いた問題と似てい るところや違っているところがあるかを意識しますか。 ４ ３ ２ １ 3.2 10 人 28 人 ２人 ０人 ② 数学の問題を解決した後に，その解決方法よりもより よい解決の仕方があるかを考えますか。 ４ ３ ２ １ 2.8 ５人 22 人 13 人 ０人 ③ 数学の問題を解決した後に，その問題の条件や観点を 変えるなどして新たな問題を考えようとしますか。 ４ ３ ２ １ 2.0 ０人 ５人 30 人 ５人 この結果から，日頃の数学の学習において，解決した問題を振り返り，発展的に考察することに ついてはあまり意識されていないことが分かる。 ○指導観 二次不等式を起点とし，一般の方程式や不等式についても深い理解を促すために，パフォーマン ス評価を活用した授業を単元末に組み込む。ここでは，パフォーマンス評価を，ある特定の文脈の もと，学んだ知識や技能を総合して使いこなすことを求めるパフォーマンス課題に取り組ませ，ル ーブリックという評価基準表を用いて質的に評価していく方法としている。二次不等式についての 基本的な知識や技能を身に付けた後，その解決過程を振り返り，他の方程式や不等式について新た な発見や疑問を抱かせるようなパフォーマンス課題を設定する。その課題を個人で取り組ませ，生 徒が作成したレポートを生徒と教師の双方でルーブリックを用い評価していく。その後，授業でレ ポートの検討会を設け，レポートを発表する活動や他者の考えを聞き，自分の考えを振り返る場面 を設けていく。このレポート検討会を通して，生徒の統合的・発展的に考察する力を見とるだけで なく，その力を一層高めていくことができると考える。 ５ 単元の目標 二次関数のグラフを利用して，二次不等式の解を求めることができる。 不等式を考察する際にグラフを活用することのよさを認識することができる。 ６ 単 元 の 評 価 規 準 ① 関 心 ・ 意 欲 ・ 態 度 ②数学的な見方や考え方 ③数学的な技能 ④ 知 識 ・ 理 解 ア 二次不等式をグラ フと関連付けて考察 しようとしている。 ア 一 次不 等式 の解を 一 次 関 数 の グ ラ フ と 関 連 付 け て 考 察 す る ことができる。 イ 二 次不 等式 をグラ フ と 関 連 付 け て 考 察 することができる。 ウ 不等式をグラフと 関連付けて考察する ことができる。 エ 不等式を考察する 際にグラフを活用す ることのよさを認識 することができる。 ア 二次関数のグラフを 利用して二次不等式の 解を求めることができ る。 イ 絶対値を含む関数の グラフをかくことがで きる。 ウ 様々な課題場面にお いて，二次不等式を活 用し，考察することが できる。 ア 二 次 不 等 式 の 解 の 意 味 を 理 解 し ， 解 を 正 し く 表 現 す ることができる。
3 ７ 指導と評価の計画（全９時間） 次 実施日・時間 学 習 内 容 評 価 関 見 技 知 評 価 規 準 （６表） 評価 方法 １ ８ 月 27日 （ 月 ） ６ 時 間 目 一次不等式と一次関数 ◎ ②－ア ワークシート 確認テスト ２ ８ 月 28日 （ 火 ） ２ 時 間 目 ８ 月 29日 （ 水 ） ２ 時 間 目 ８ 月 30日 （ 木 ） ２ 時 間 目 二次不等式と二次関数 ◎ ○ ③－ア ④－ア ワークシート 小テスト ３ ８ 月 31日 （ 金 ） ５ 時 間 目 絶対値を含む関数のグラフ パフォーマンス課題と ルーブリックの提示 ※レポート提出日９月３日（月） ○ ◎ ○ ③－イ ①－ア ②－イ ワークシート 発表 レポート ４ ９ 月 ３ 日 （ 月 ） ２ 時 間 目 ９ 月 ３ 日 （ 月 ） ６ 時 間 目 ９ 月 ５ 日 （ 水 ） ２ 時 間 目 二次不等式の応用 ◎ ③－ウ ワークシート ５ ９ 月 ６ 日 （ 木 ） ２ 時 間 目 パフォーマンス課題 レポート検討会（本時） ◎ ②－ウ ②－エ ワークシート 発表 ８ パフォーマンス課題とルーブリック （１）パフォーマンス課題の作成の流れ 西岡加名恵（『「逆向き設計」で確かな学力を保障する』，2008）が提言しているパフォーマンス 課題作成手順を参考に，パフォーマンス課題を作成していった。以下は，その流れである。 まず，単元を全体として捉えたときに，把握させたい内容や単元を超えて繰り返し発揮されるべき 能力などに注目し，単元の中核部分を見極める。本単元では，中核部分を，「二次不等式に対応する 二つのグラフの位置関係を把握し，二次不等式の解を読み取ること」と位置付けた。次に，この中核 部分を「本質的な問い」に転換する。この「本質的な問い」とは，教科・科目や単元を貫く問いであ り，探究を促したり，本質的な内容を看破することを促進したりするような問いである。本質的な問 いを立て，その答えである「永続的理解」を明文化する。これは，本質的な問いを通して，生徒に身 に付けさせたい理解を具体的に記述することである。本単元の「本質的な問い」，「永続的理解」を 次のように定めた。 単元（二次不等式） パフォーマンス課題は、「本質的な問い」と「永続的理解」に対応させて作ることが有効だと指摘 パフォーマンス課題は，「本質的な問い」を問わざるをえないような文脈で，「永続的理解」へと 導くものになるよう作成した。 「本質的な問い」 二次不等式を解くとき，なぜグラフを用いるのだろう。不等式において，グラフを用いて考察する ことのよさとはなんだろう。 「永続的理解」 二次不等式の解は，二次関数のグラフと x 軸の位置関係から読み取ることができる。このように， 不等式の解をグラフと関連付けることで，解を視覚的に捉えたり，解釈したりすることができる。 単元の中核部分を見極める ⇒ 「本質的な問い」に転換する ⇒「永続的理解」を明文化する ⇒ パフォーマンス課題のシナリオを作る
4 （２）パフォーマンス課題 生徒に提示したパフォーマンス課題は，次のとおりである。実際には，課題をＡ４判のレポート用 紙３枚の形で配付し，取り組ませた。 課題１の前段階として，第１次の授業で一次関数のグラフと 𝑥𝑥 軸に平行な直線の位置関係から解 を考察させている。この考え方を基に一次不等式から二次不等式へつなげていくことが課題１のねら いである。二次不等式を解く基本的な方法は，下に凸の二次関数のグラフと 𝑥𝑥 軸の位置関係を考察 し，解を読み取ることである。しかし，課題１の考え方のように，二次不等式 −𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) < −3 にお いて，直接，関数 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) と関数 𝑦𝑦 = −3 のグラフの位置関係を比較して解を求める方法も 考えられる。二次不等式においては，このような考え方を用いる場面はあまり見られないが数学Ⅱ， 数学Ⅲで学ぶ方程式，不等式を考察するうえで重要となる考え方である。本単元においてこのように 直接的に関数のグラフを比較し，解を考察させる意図は，不等式の理解を深め，他の単元に活用して いく力を身に付けさせることにある。 課題２は，分母に文字を含むタイプの不等式である。この不等式は，数学Ⅲで扱う内容であるが， 生徒は中学校第一学年の反比例の学習で関数 𝑦𝑦 = 1/𝑥𝑥 のグラフをかいており，関数 𝑦𝑦 = 1/𝑥𝑥 のグラ フと直線 𝑦𝑦 = 2 の位置関係を読み取り，解を考察することは可能である。予想される解答として， 両辺を 𝑥𝑥 倍し，2で割ることで，解を 𝑥𝑥 > 1/2 として求める誤答が多数あると考えられる。また， グラフを活用せずに 𝑥𝑥 の符号について場合分けをして解を求める方法も考えられる。生徒がどのよ うな方法で記述しているかによって，これまでの学習と関連付けて考えることができているか判断す −𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 < −3 −𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 3 < 0 𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥 − 3 > 0 海田高校１年４組で二次不等式の授業が行われています。 桑原先生：二次不等式 −𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) < −3 …①を解きましょ う。 太郎君はこれまでに学んだことを振り返り，次のように解 きました。 (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 3) > 0 …② 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 3) とおき，二次関数のグラフをかくと 二次関数 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 3) のグラフが 𝑥𝑥 軸より上側に あ る 𝑥𝑥 の 値 の 範囲 を調 べれ ば よい ので ， ②の 解 は 𝑥𝑥 < −1 , 3 < 𝑥𝑥 である。 洋一郎君：太郎君は二次不等式①の右辺が 0 , 𝑥𝑥2 の係数が 正となるように変形しているけど，二次不等式 ①を変形せずに解を求めることはできないだろ うか。 そこで，洋一郎君は関数 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) のグラフ と関数 𝑦𝑦 = −3 のグラフをかき，二次不等式①の解 を調べました。 課題１ 洋一郎君の考え方をもとに， 二次不等式 −𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) < −3 …①を解きましょ う。 課題２ 不等式 1 𝑥𝑥< 2 を解きましょう。 課題４ 課題 1，２，３やこれまでの二次不等式の学習 を通して学んだことを基にして，新たな視点で 不等式をつくり，その解を調べましょう。 ○パフォーマンス課題に取り組んで分かったこ とや考えたことを書いてください。 課題３ 二次不等式 −𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) < 𝑎𝑎 を解きましょう。 ただし， 𝑎𝑎 は定数とします。
5 ることができる。課題１の考え方と同様にグラフを用いて考察することを求めている。 課題３は，課題１の二次不等式 −𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) < −3 の右辺を文字 𝑎𝑎 とした二次不等式である。不等 式に文字定数が含まれることで，変化を伴う関数のグラフを考察することとなる。解法としては，大 きく分けて二通り考えられる。二次不等式の右辺を0，両辺を −1 倍と変形し，関数 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 のグラフと 𝑥𝑥 軸の位置関係を比較し解を考察する方法と二次不等式を変形せずに，直接，関数 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) のグラフと直線 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 の位置関係を比較し解を考察する方法である。課題３も課題 １，２と同様にグラフの活用を求めている。 課題４では，課題１，２，３やこれまでの二次不等式の学習で学んだことを基にして，新たな視点 で不等式を立式させ，解を調べさせる。課題４を通じて，生徒は様々な不等式を立式し，考察するこ ととなる。一般的な不等式においても，不等式に対応する二つの関数のグラフの位置関係を把握する ことで解を捉えられることを理解させていきたい。ここで，不等式の解を調べさせることにとどめて いるのは，不等式に対応する関数のグラフが未習であったとしても，グラフを用いて，解を考察して いこうとする態度を見とりたいと考えたからである。 （３）ルーブリックによる質的評価 生徒にパフォーマンス課題と同時に下のルーブリックを提示した。本パフォーマンス課題では「統 合的・発展的に考察する力」についてルーブリックを用い質的に評価をすることとし，その段階を四 段階（Ｓ，Ａ，Ｂ，Ｃ）とした。レポートの評価について，生徒による評価はパフォーマンス課題を 終えた段階で自己評価させ，教師による評価は二名で行った。教師評価の手続きとして，二名の教員 で事前に予想される解法を考えておき，あらかじめおおまかな評価指標を定めておいた。レポート回 収後，二名の教師がまず別々に評価を行い，その後，生徒一人一人の評価を突き合わせていった。評 価が同じ場合はその評価で，評価が異なる場合は，協議したうえで最終評価を決定した。なお，観点 の記述にある「与えられた課題」は課題１，２，３に対応しており，「新たな視点で不等式を見いだ し」は課題４に対応している。事前に，観点に沿って課題１，２，３を正しく解くことができており， 未習である三次不等式や絶対値を含む不等式等を立式し，グラフを活用して解くことができているレ ポートについては教師評価をＳと設定した。また，観点に沿って課題１，２，３を解くことができて いるが，課題４について，不等式の立式や考察が十分でないものはＡ段階と設定した。 本パフォーマンス課題のルーブリック ルーブリックによるレポート評価結果 Ｓ段階 Ａ段階 Ｂ段階 Ｃ段階 教師による最終評価 ２名 ５名 25 名 ５名 生徒による自己評価 ０名 ６名 26 名 ５名 段階＼観点 統合的・発展的に考察する力 Ｓ 本単元で取り組んだ問題の解決過程や結果を基にして，与えられた課題を解くことが でき，新たな視点で不等式を見いだし深く考察することができている。 Ａ 本単元で取り組んだ問題の解決過程や結果を基にして，与えられた課題を解くことが でき，新たな視点で不等式を見いだし考察することができている。 Ｂ 本単元で取り組んだ問題の解決過程や結果を基にして，与えられた課題を解いている が，その活用が十分なレベルに達していない。 Ｃ 与えられた課題を本単元で取り組んだ問題と関連付けて考察することができていな い。
6 ９ 本時の展開 （１）本時の目標 不等式を考察する際にグラフを活用することのよさを理解できる。 （２）観点別評価規準 不等式をグラフと関連付けて考察することができる。（②－ウ） 不等式を考察する際にグラフを活用することのよさを認識することができる。（②－エ） （３）準備物 生徒が作成したレポート，ワークシート（巻末のレポート①～⑥） （４）学習の展開 ● 教 師 の 指 導 ○ 生 徒 の 学 習 活 動 ◇ 指 導 上 の 留 意 事 項 ◆ 「 努 力 を 要 す る 」 状 況 と 判 断 し た 生 徒 の 指 導 の 手 立 て 評 価 規 準 （６表） （ 評 価 方 法 ） 導入 （ ５ 分 間 ） ・事前に示しておいた座席表に着席させ，レ ポートを返却し，教師によるレポートの評価 及び教師のコメントを確認させる。 ●教師による評価の手続きとクラス全体の レポートの結果の概要を簡単に説明する。 ・ワークシートを生徒に配付する。 ●パフォーマンス課題・ルーブリックについ てクラス全体で確認する。 ●課題１について，レポート①をスクリーン に投影し解説する。 （レポート①を開き，白枠に記入する。） ◇評価が異なる生徒や考え方が異なる生徒でグ ループを構成する。また，グループ内で発表する 時間や考察する時間を多く取るため，グループの 人数を三人とする。 ◇不等号の向きに着目させ，二つのグラフの位置 関係及び解の読み取りについて丁寧に説明をす る。 展 開 ① （ 2 0分 間 ） ○グループ内で自己のレポートを基に課題 ２，３，４を発表する。 ○各自のレポートを基に，グループで課題２ を考察する。 あるグループのレポート例 𝑥𝑥 < 0 , 𝑥𝑥 >12 Ｃさん 1𝑥𝑥< 2 の解き方 𝑥𝑥 の符号で場合分けして考えると (i) 𝑥𝑥 > 0 のとき 1 < 2𝑥𝑥 よって 𝑥𝑥 >12 ・・・① (ⅱ) 𝑥𝑥 < 0 のとき 1 > 2𝑥𝑥 よって 𝑥𝑥 <12 𝑥𝑥 < 0 と 𝑥𝑥 <12 の共通範囲は 𝑥𝑥 < 0 ・・・② ①，②を合わせた範囲なので 1 < 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 >12 Ａさん 1𝑥𝑥< 2 の解き方 両辺を 𝑥𝑥 倍すると 両辺を 2 で割ると 𝑥𝑥 < 0 ,12 < 𝑥𝑥 Ｂさん 1𝑥𝑥< 2 の解き方 関数 𝑦𝑦 =1𝑥𝑥 と関数 𝑦𝑦 = 2 の グラフをかく。 𝑦𝑦 =1𝑥𝑥 のグラフが 𝑦𝑦 = 2 のグラフ より下側にある 𝑥𝑥 の範囲なので
7 ○レポート②（反比例のグラフと𝑥𝑥軸に平行 な直線との位置関係を活用したタイプ）を投 影し，グラフを基に解を読み取る。 （レポート②を開き，白枠に記入する。） ○レポート③（𝑥𝑥2を両辺にかけ，二次関数 𝑦𝑦 = 2 𝑥𝑥2 のグラフと直線 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 のグラフ との位置関係を活用したタイプ）を投影し， レポートを作成した生徒が説明する。 （レポート③を開き，考察する。） ◆比較対象となる二つのグラフを指さし，「二つ のグラフの位置関係から解を読み取れないか な？」とヒントを与える。 ◇レポートを作成した生徒に，𝑥𝑥 ではなく 𝑥𝑥2 をかけた理由を聞き，場合分けをせず単に 𝑥𝑥 を かけて解を求めている解答がなぜ間違っている のかをクラス全体で考えさせる。 ②－ウ （ ワ ー ク シ ー ト，発表） 展 開 ③ （ 1 0分 間 ） ○課題３を個人で考察する。 レポート④（直接，二つのグラフの位置関係 を考察）を投影し，直線 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 が 𝑎𝑎 > 1 の ときと 𝑎𝑎 = 1 のときの不等式の解について 考察する。 （レポート④を開き，白枠に記入する。） ◆比較対象となる二つのグラフを指さし，「二つ のグラフの位置関係から解を読み取れないか な？」とヒントを与える。 ◇直線 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 を捉えるために，教具を 𝑥𝑥 軸に平 行に上下動かしていき，二次不等式を解くには， 𝑎𝑎 について三通りの場合分けが必要であること を認識させる。 ②－ウ （ ワ ー ク シ ー ト） 展 開 ④ （ 1 0分 間 ） ○課題４について，代表生徒二名がクラス全 体で発表する。 レポート⑤（|𝑥𝑥 − 1| < 2 の不等式を考察） を投影し，レポートを作成した生徒が発表す る。（レポート⑤を開き，確認する。） レポート⑥（𝑥𝑥3+ 8 < 0 の不等式を考察） を投影し，レポートを作成した生徒が発表す る。（レポート⑥を開き，確認する。） ま と め （ ５ 分 間 ） ●レポートにあるパフォーマンス課題の感 想を取りあげる。 ○単元のまとめとなる発問の答えを考える。 ○考えたことを全体で発表し，共有する。 ◇数学的な見方や考え方，態度，数学的な内容に 関して感想が書いてあるレポートをそれぞれ取 りあげ，多面的に振り返らせる。 ②－エ （発表） レポート⑤を作成した生徒と教師の展開したい対話の例 教師：なぜこの不等式を考えたのかな？ 生徒：絶対値を含む関数のグラフを前の授業で学習したから それを活用しようと思いました。 教師：グラフを使わないで解は求められるかな？ 生徒：|𝑥𝑥 − 1| < 2 ⇔ −2 < 𝑥𝑥 − 1 < 2 ⇔ −1 < 𝑥𝑥 < 3 教師：解は同じだね。 レポート⑥を作成した生徒と教師の展開したい対話の例 教師：𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3+ 8 のグラフをどのようにかいたのかな？ 生徒：𝑥𝑥 に対応する 𝑦𝑦 の値を求めて，点をつなげていきまし た。 教師：曲線の曲り具合もよくかけているね。実はこの関数は， 数学Ⅱの微分で扱う内容なんだよ。発展的に考えるこ とができているね。 予想されるグループでの対話の例 Ａさん：両辺を 𝑥𝑥 倍して，2 で割ればいいから解は，𝑥𝑥 >12 になるんじゃないかな。 Ｂさん：𝑦𝑦 =1 𝑥𝑥 のグラフと 𝑦𝑦 = 2 のグラフの位置関係から解を読み取ればいいんじゃないの。 Ｃさん：僕は，𝑥𝑥 について場合分けして考えたよ。Ｂさんの答えと同じだね。 発問 教師：二次不等式を解くとき，なぜグラフを用いるのだろう？ グラフを用いて不等式を考察することのよさはなんだろう？
