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模試対策 ( 小問集合 ) 1 (2x-3)0 6 x 3 +3x 2 +2x-71 を展開して整理したときの, x 2 の係数は 0ア1 s 展開してx 2 が出てくるところだけ計算すればよい である 次不等式 ax +bx+c<0 や ax +bx+c>0 の左辺を因数分解できた場合

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Academic year: 2021

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(1)

(2x-3)06x +33 x + 2x2 -7 を展開して整理したときの,1 x の係数は 02 1 である。(2x-3)06x +33 x + 2x2 -71 s 展開してx が出てくるところだけ計算すればよい。2  上の矢印部分だけしか展開したときにx の項が出てこないので2    2x・2x+0-3 ・31 x =42 x -92 x =-52 x   よって,係数は p -52 2次方程式 ax +bx+ c=0 について D=2 b -4acのとき2  D>0 のとき 異なる2つの実数解をもつ   D=0 のとき 重解をもつ  D<0 のとき 実数解なし(異なる2つの虚数解をもつ)

r2次方程式 x +ax+4 =0 2 0aは正の定数 が重解をもつとき,a= 01 1 であり,そのときの重解は x= 0イ1 である。 s 重解をもつのでD=0  また   D=a -4・1・4=2 a -16  より 2 a -16= 0 整理して2      a =16 aは正の定数と問題にあるので a=42  このとき,重解(2次方程式の解のこと,ただし重解は解が1つとなる)は    x +4x+ 4=0 2 0x+2 = 0 より 重解は x=-212 mを正の定数とする。2次方程式 x -mx+m+3=0 が重解をもつとき,mの値は2 2 0ア1 であり,その重解はx= 0イ1 である。 s 重解を持つのでD=0  D= 2 0-m -4・1・0m1 +3 =1 2 m -4m-12=0m-6 0m1 +2  より1     0m-6 0m1 +2 =0 mは正の定数とあるので m=61  このとき,元の式は  2 x -6x+9=0 となり  2 0x-3 =0 となるので1  重解はx=3      p(ア)6 (イ)3 2次関数 y=x +bx +c の頂点,軸を求めるには平方完成をします。2 次のような2回,簡単な計算を行います。 半分の数が入る    y=x +bx +c2 2乗した数を引く     =

8

x+b

9

2 2 -2 b 4 +c      よって,頂点

8

-b 2, -2 b 4 + c  軸x=-

9

b 2 2 x の係数が1ではない場合,例えばy=ax +bx +cの場合はxのついた項をaでくくる2 /aでくくった /カッコの中で平方完成(半分1 2,2乗をひく)     =y ax2+bx+c =a

8

x2+b

9

+ ax c =a

>

8

x+ b

9

2-

?

+ 2a 2 b 4a2 c /中カッコの中の式にaをかける(展開)     =a

8

x+ b

9

2 2a -2 b 4a+c よって,頂点

8

-b 2a, -2 b 4a+c ,軸x=-

9

b 2a r y=x -6x+1の頂点と軸を求めよ。2 s y=0x-3 -9+1=12 0x-3 -8 より 頂点03, 12 - 8 ,軸x=31 r y=2x - 12x+1 の頂点と軸を求めよ。2 s y=20x2-6x +1= 21 60x-312-9 +17     =20x-3 -18+1 =212 0x-3 -17 より 頂点03, 12 - 17 ,軸x=31 a, b を定数とする。放物線y=x +ax+b の頂点の座標は2 01, 2 のとき,1a= 0ア1 ,b= 0イ1 である。 s 問題の放物線の式を平方完成すると   y=x +ax+b=2 2

8

x+a

9

2 -2 a 4 +b よって,頂点は

8

-a 2, -2 a 4 +b

9

よって   

F

= -a 2 1 …… = + -2 a 4 b 2 …… より,a=-2 に代入して -4 4+b=2 整理して b=3  p(ア)-2 (イ)3 ○2次不等式 2 ax +bx+c<0 や 2 ax +bx+c>0 の左辺を因数分解できた場合。   a0x-a 0x1 -b <0 の解は a<x<b1   a0x-a 0x1 -b >0 の解は x<a, b<x1 r  2 x -5x+6<0 を解け。 s 0x-2 0x1 -3 <0 より p 2<x<31 ○絶対値の不等式の解    x <a   の解は -a<x<a    x >a  の解は x<-a, a<x r  x <5を解け。 p -5<x<5 2次不等式 2 x +x-6<0 の解は 0ア1 である。また, 2 x +x-6<0 を満たすすべてのxがx <a を満たすような正の定数aの最大値は 0イ1 である。 s 0x+3 0x1 -2 <0 より    p -3<x<21 また, x <aの解は -a<x<a より -3-2 2  a=2のとき,右図のように-3<x<2を満たす すべてのxが x <2 すなわち -2<x<2を満たす。 よって 正の定数aの最大値は p 2 <箱ひげ図> 第1 第2 第3    1, 3, 5, 7, 8, 9, 11 上の「小さい順」に並べたデータの     最小値 「1」 第1四分位数 「3」 中央値(第2四分位数)「7」     第3四分位数 「9」 最大値「11」 である。これの5つの数を1つの図にしたものが「箱ひげ図」です。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *四分位数は真ん中の数がないときは,両隣の数の平均の値をとります。 ちょうど真ん中 がない   1, 3, 4, 5の中央値は 3+4 2 =3.5 次の 0ア1 に当てはまるものを下の~のうちから1つ選べ。 5 あるクラス25人に数学の小テストをした結果をまとめた次の資料のうち,ヒストグラムと (人数) (点) (点) (人数) (点) (点) (人数) (点) (点) (人数) (点) (点)    0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 箱ひげ図が同じデータの分布を表しているものは 0ア1 である。 p(データが3~6点の生徒が多い、中央値、第1、第3四分位数もその周辺にある)

模試対策(小問集合)

(2)

r nP :n個の中からr個選んで,さらに,そのr個を並べる場合の数。 r 10人の選手の中から4人選んでリレーの走順を決めるときの場合の数    10P =10・9・8・7=5040 通り4 q10人の中から,まず4人選びますね。さらに,その4人が1走から4走まで誰が走るかまで 決めろという文章ですよね。なのでnP のニュアンスと一致しています。r r nC :n個の中からr個選ぶときの場合の数。 r 10人のグループの中から,4人代表を選ぶときの場合の数    10C =4 ・ ・ ・ 10 9 8 7 4! = ・ ・ ・ 10 9 8 7 ・ ・ ・ 4 3 2 1 =210 通り q前問の文章と似ていますが,10人の中から4人選んだあとに,その人たちを並べるよう な文はないですね。よって,nC のニュアンスと一致します。r r !:r個を並べる場合の数 r 1から4までの番号がかかれたカードを横一列に並べる並べ方    4!=4・3・2・1=24 通り qP, C と違って,選ぶというニュアンスはなく,ただ一列に並べるだけというニュアン スのときは!(階乗)です。 次のものの総数を求めよ。 6 (1) a,b,c,d,e の 5 個の文字から異なる 3 個を選んで 1 列に並べるときの並べ方 (2) triangle の 8 文字すべてを 1 列に並べるときの並べ方 (3)25 人の生徒の中から,兼任は認めないで,議長,副議長,書記を各 1 人選ぶときの選 び方 正五角形について,次の数を求めよ。 (4) 3 個の頂点でできる三角形の個数    s (1) 5P =5・4・3=60 p603 (2) 8!=8!7!6!5!4!3!2!1=40320 p40320 (3) 25P =25!24!23=13800 p138003 (4) 5C =3 ・ ・ 5 4 3 3! =10 p10 和の法則,積の法則 問題の文章に   「または」を入れても問題の意味が成立するなら場合の数を「足す」とよい   「さらに」を入れても問題の意味が成立するなら場合の数を「かける」とよい r レストランに5種の和食メニューと4種の洋食メニューがある。1品だけ選ぶとき  メニューの選び方は何通りあるか。 s メニューは 和食5種 「または」 洋食4種 あるので全部で      5+4=9 種類ある  よって,9通り選べる。 r レストランのランチセットで食べ物4種類と,飲み物3種類の中からそれぞれ1種類ず つ選べる。ランチセットの注文の仕方は全部で何通りか。 s セットは 食べ物4種類の中から選んで 「さらに」 飲み物3種類の中から選ぶ  よって,頼み方は全部で 4%3=12 通り 2 桁の自然数のうち,各位の数字の積が次のようになるものは何個あるか。 7 (1) 奇数になる。      (2) 偶数になる。 s (1) 一の位が奇数 「さらに」 十の位が奇数 ならよい  一の位の数の選び方は1, 3, 5, 7, 9 の5通り また  十の位の数の選び方も同様に5通り より      5%5=25  p 25通り (2) (i) 一の位が偶数 さらに 十の位が奇数  「または」  (ii)一の位が奇数 さらに 十の位が偶数  「または」  (iii)一の位が偶数 さらに 十の位が偶数  のとき問題の条件を満たす。 (i) は一の位の選び方が「0,2,4,6,8」の5通り、十の位の選び方が「1,3,5,7,9」の5通り    よって5%5=25通り (ii) は一の位の選び方が「1,3,5,7,9」の5通り、十の位の選び方が「2,4,6,8」の4通り    よって5%4=20通り (iii)は一の位の選び方が「0,2,4,6,8」の5通り、十の位の選び方が「2,4,6,8」の4通り    よって5%4=20通り 確率(物事が起こる頻度を表した数)の定義    該当する事象の数0問題の条件に当てはまるパターン1 全事象の数0全パターン1 r袋の中に100円硬貨が5枚と50円硬貨が3枚入っている。この袋の中から同時に4枚の硬貨 を無作為に取り出す。  取り出した4枚の硬貨が100円硬貨3枚と50円硬貨1枚である確率を求めよ。 s  分母(全パターン)は袋に入っている硬貨から4枚取り出す取り出し方である。 よって,全部で8枚の中から4枚の取り出し方8C =4 ・ ・ ・ 8 7 6 5 ・ ・ ・ 4 3 2 1=7・2・5  また,分子は 100円硬貨5枚の中から3枚選んで 「さらに」 50円硬貨3枚の中から1枚選ぶ    5C %3 3C =1 ・ ・ 5 4 3 ・ ・ 3 2 1% 3 1=5・2・3 よって,求める確率は    5C3%3C1 4 8C =5 2 3・ ・ ・ ・ 7 2 5= 3 7 上記のとき,取り出した4枚の硬貨が100円硬貨2枚と50円硬貨2枚である確率を求めよ。 8 s 上記の例の説明より (分母)=8C =7!2!54 (分子)=100円硬貨5枚の中から2枚選んで さらに 50円硬貨3枚の中から2枚選ぶ     =5C %2 3C =2 ・ 5 4 ・ 2 1% ・ 3 2 ・ 2 1=5!2!3 よって,求める確率は    5C2%3C2 4 8C =5 2 3・ ・ ・ ・ 7 2 5= 3 7 p  3 7 白玉が2個入っている袋がある。コインを1枚投げて,表が出れば赤玉を1個,裏が出れば 9 白玉を1個,この袋に入れる操作を3回行い,袋の中の玉の個数を5個にする。さらに,こ の袋から3個の玉を同時に取り出し,取り出された赤玉の個数をXとする。 (1) コインを3回投げた結果,袋の中の玉が白玉5個になっている確率を求めよ。 (2)X=3である確率を求めよ。 s (1) コインが 裏が出て 「さらに」 裏が出て 「さらに」 裏が出ると 袋の中の白玉が5つになる。よって積の法則により     1 2% 1 2% 1 2= 1 8  p  1 8 (2) X=3になるには,コインを3回投げて全部赤玉を入れる作業をしないといけない。 (袋に赤玉が1個、2個だけしか入ってないなら絶対に赤玉を3個取れないですよね)  よって,X=3となるには コインが 表が出て 「さらに」 表が出て 「さらに」 表が出る 「さらに」 5個(白2赤3)の袋から赤玉を3個を取り出せばX=3  表が出る確率は1 2  5個(白2赤3)の袋から赤玉を3個取り出す確率は3C3 3 5C = 1 10 よって求める確率は 積の法則によいr    1 2% 1 2% 1 2% 1 10= 1 80  p 1 80

模試対策(個数の処理!確率)

(3)

a b x 2 ax +bx+c=0の解がx=a, b のとき,    ax +bx+c<0の解 . a<x<b2 a b x    ax +bx+c>0の解 . x<a, b<x2 r x -3x+2<0 を解け。2 s  2 x -3x+2=0 の解は 0x-1 0x1 -2 =0 よりx=1, 21  よって,p 1<x<2 r x -4x+1>0 を解け。2 s 2 x -4x+1=0 の解は,解の公式より x=2$

U

-2 2 1 1・ 1 =2$U3  よって,p x<2-U3 , 2+U3 <x 次の 2 次不等式を解け。 10 (1) x -4x+3>0        (2) 2 x +5x+6<02 (3) 2 2 x -7x-4(0       (4) 6 2 x +x-2>0 s (1) 0x-1 0x1 -3 >0 より p x<1, 3<x1 (2) 0x+3 0x1 +2 <0 より p -3<x<-21 (3) 02x+1 0x1 -4 (0 より p -1 1 2(x(4 (4) 03x+2 0x1 -1 >0 より p x<-1 2 3, 1<x 絶対値の不等式   x =a の解は x=$a -a a -a a x x   x <a の解は -a<x<a   x >a の解は x<-a, a<x r  x-1 <2 を解け。 s -2<x-1<2 より それぞれの辺に+1して    p -1<x<3   2x-5 <a …… を解け。 11 s  -a<2x-5<a より それぞれの辺に+5して  -a+5<2x<a+5  また,それぞれの辺を2で割って  -a+5 2 <x< + a 5 2       p  + -a 5 2 <x< + a 5 2   2つの不等式 5 4x+a) 1 4 -a 2, 2 2 x +x-10<0を同時に満たす整数xがちょうど3個 12 であるようなaの値の範囲を求めよ。 s   5 4x+a) 1 4 -a 2 .  5 4x) 1 4 -3 2a .  5 4x・ 4 5)

8

1 4-

9

3 2a ・ 4 5  . x)1 5 -6 5a …… また, -3 -2 -1 0 1 2 -5 2   1 5 -6 5a   02x+5 0x1 -2 <0 より -1 5 2<x<2 ……  問題の条件を満たすには 右図の状態になっていればよい。よって   -2<1 5 -6 5a(-1 それぞれの辺に5をかけて   -10<1-6a(-5 それぞれの辺から1引いて   -11<-6a(-6 それぞれの辺を-6で割ると    1 6>a)1 (q負の数で割ったので不等号の向きが逆になる) p 1(a<1 xについての連立方程式 13

>

3x-a(2x+3 ( -x 6 5x-b  …… がある。ただし,a, b は定数である。 (1) a=3,b=2 のとき,連立不等式を解け。 (2) 連立不等式の解が存在するためのa, b の条件式をつくれ。 -1 6 s (1) a=3,b=2を代入すると    

>

3x-3(2x+3 ( -x 6 5x-2  それぞれの式を整理すると    

>

x(6 ) x -1  数直線上に図示すると右図のようになるので p -1(x(6 (2) a+3 -6+b 4 図A   

>

3x-a(2x+3 ( -x 6 5x-b のそれぞれの式を整理すると   

>

( x a+3 ) x -6+b 4  … の式は右図Aのときは解をもたない。 図B (範囲がダブるところが全くない) a+3 + -6 b 4 なので  右図Bのような状態でないといけない すなわち  -6+b 4 (a+3 を満たさなければならない 両辺4倍して   -6+b ( 4a+12      b(4a+18 p  b(4a+18

模試対策(式の計算)

(4)

x y r h 右図のとき,それぞれの2つの辺の比を  sin =h y 0たて1 r 0斜辺1,cos =h x 0よこ1 r 0斜辺1,tan =h y 0たて1 x 0よこ1 と定義する。 r sinh =3 5である直角三角形の図をかけ。 s 斜辺が5,たての辺が3の直角三角形より h 5 3 4 <補足> よこの辺の長さは三平方の定理で求める。  よこの辺の長さをxとおくと    5 =2 x +2 3  より 2 x =16 ,x=42 次の三角比を満たす直角三角形の図をかけ。 14 (1) sin =h 3 4         (2) cos =h 3 5      (3) tan h =3 4 3 U7 5 3 4 1 3 U10 <xy平面上での三角関数>  原点を基準に正負まで考える。

r sin 120, ,cos 120, ,tan 120, を求めよ。

120, O x y 三角形だけ 拡大すると   . 60, 30, 1 2 U3 s 第1象限から120,の三角形(下図)をかく。  上図のような比の三角形だが,よこの辺は原点より左にあるから-1扱いをする すなわち   sin 120, =U3 2 ,cos120,= -1 2 =-1 2,tan 120, = U3 -1=-U3

x

y

2 -U3 1 150,

x

y

135, -1 U2 1 左図より psin 150, =1 2 cos 150, =-1 2 tan 150, =- 1 U3  sin 135, = 1 U2 cos 135, =- 1 U2 tan 135, =-1 sin 150, , cos 150,, tan 150,, sin 135, , cos 135, , tan 135, を求めよ。

15 A B C a b c <正弦定理>     a sin A= b sin B = c sin C =2R(R は外接円の半径)  ペアとなる(アルファベットが同じ)角と辺が A B C a b c ペア! 分かっていれば,正弦定理を使って他の辺や角を 求めることができる可能性が非常に高い。 r C=45,, B=30,, c=4のとき,bを求めよ。 A  

30,

45,

B C 4 ペア! p 図をかくと角Cと辺cが両方分かっているので 正弦定理より    b = sin B c sin C = b sin 30, 4 sin 45, = b 4 % = sin 45, sin 30, % = 4 1 U2 1 2 4U2% = 1 2 2U2 120, A U6 2 ペア! B C r b=U6 , c=2, B=120,のとき,Cを求めよ。 p 図をかくと角Bと辺bが両方分かっているので 正弦定理より    c = sin C b sin B = 2 sin C U6 sin 120, = sin C 2 sin 120, U6 = sin C sin 120,% = U6 2 % % = U3 2 1 U6 2 1 U2  よって,式を満たすCは45,と135,だが,B=120,なのでC=135,だと内角の和が180,よ り大きくなってしまうので,135,は不適。  よって,    C=45, A B C a b c <余弦定理>  a =2 b +2 c -2bccos A   2  b =2 c +2 a -2cacos B   2   2 c = 2 a + 2 b -2abcos C A B C a b c  2辺とその間の角が関係あるときは, 余弦定理を使って他の辺や角を 求めることができる可能性が非常に高い。 A B C 4 5 6 r a=6, b=4, c=5となる三角形ABCについて  cos B の値を求めよ。 p 図をかくと,まず求める角Bがあり, さらにBをはさむ2辺の長さが分かっているので, 余弦定理より,     b2=a2+c2-2accos B = 2 4 62+52-2 6 5 cos B = 16 36+25-60cos B = 60cos B 36+25-16 = 60cos B 45 = cos B 45= 60 3 4

AB=3, 4A=60, の¦ABC があり,¦ABC の外接円の半径はU39

3 である。 16 (1) 辺BCの長さを求めよ。 B (2) 辺ACの長さを求めよ。 60, A C c=3 b a s (1) 正弦定理より    a sin A=2R    a sin 60, =2・ U39 3   a=2U39 3 !sin 60,    =2U39 3 ! U3 2 = 3U13 3 =U13     p BC=U13 (2) 余弦定理より  a =2 b +2 c -2bccos A2  

0

U13 =

1

2 b +2 3 -2・b・3・cos 60,2  13= 2 b +9-2・b・3・1 2 よって 13= 2 b +9-3b 整理して      2 b -3b-4=0  0b-4 0b1 +1 =0  bは辺の長さなので b>0 より1  b=4 p AC=4

模試対策(図形と計量)

(5)

<割り算の関係式> 例えば 14&3=4…2 です。元の割られる数14は,割る数3と商4と余り2を使って    14=3%4+2 と表せます。すなわち,次の関係が成り立ちます。覚えましょう。    (元の式)=(割る式)%(商)+(余り) この関係を使って問題を解きます。 r xの3次式 P0 1x =x -3 0a-11x +32 0a-2 x-2aがある。P0 11 x をx-2で割ったときの 余りを求めよ。 s 商をQ,余りをRとおくと     3 x -0a-11 2 x +30a-2 x-2a=0x1 -2 Q+R1 x=2を代入すると (/割る式が0になるような数)

   2 -0a3 -1 ・1 2 +30a2 -2 ・2-2a=0・Q+R1

整理して 0=R よって,余りは0 xの3次式 P0 1x =0x-3 02x1 +a がある。aは定数とする。P0 11 x をx-1で割った余りが-6 17 のとき,aの値を求めよ。 s  (元の式)=(割る式)%(商)+(余り) 商は分からないのでQとおいて, で立式すると   0x-3 02x1 +a =0x1 -1 Q-61 x=1を代入   01-3 021 +a =0・Q-6  .  -201 2+a =-6  整理して a=11 p a=1 余りが0(割り切れる)なら,前述の関係式は    (元の式)=(割る式)%(商) となる。このことを利用して,因数分解できる。前述の例題の3次式を因数分解する。 rxの3次式 P0 1x = 3 x -0a-11 2 x +30a-2 x-2a を因数分解せよ。1  前述の例題より「x-2」で割り切れるはずなので,商をQとおくと    x -3 0a-11x +32 0a-2 x-2a=0x1 -2 Q1  が成り立つ。両辺をx-2で割ると 文字式の割り算 の計算    - + - = 3 x 0a-11 2 x 30a-2 x1 2a -x 2 0x-2 Q1 -x 2 = &

0

x3-0a-11x2+30a-2 x1 -2a

1

0x-21 Q = + + 2 x 0-a+3 x1 a Q -x 2 + + 2 x 0-a+3 x1 a -+ -3 x 0a-11 2 x 30a-2 x1 2a -3 x 2 2 x -+ 0-a+31x2 30a-2 x1 2a + 0-a+31x2 02a-6 x1 -ax 2a -ax 2a 0 よって     3 x -0a-11 2 x +30a-2 x-2a1   =0x-21

6

x +2 0-a+3 x1 +a

7

整式P0 1x =x -3 0k+41x +2 02k+5 x+3k+1001 kは実数の定数 である。1 18 (1) P0-1 の値を求めよ。1 (2) P0 1x を因数分解せよ。 s (1) P0-1 =1 3 0-1 -0k1 +4 ・1 2 0-1 +02k1 +5 ・01 -1 +3k+101     =-1-k-4-2k-5+3k+10=0       p 0 (2) (1) よりP0-1 =0 より1   P0 1x =0x+1 Q の形で表すことができる1    3 x -0k+41 2 x +02k+5 x+3k+10=0x1 +1 Q1 + x 1 + + 2 x 0-k-5 x1 03k+101 + + + -3 x 0k+41x2 02k+5 x1 3k 10 + 3 x x2 + + + 0-k-51 2 x 02k+5 x1 3k 10 + 0-k-51 2 x 0-k-5 x1 + + 03k+10 x1 3k 10 + + 03k+10 x1 3k 10 0 計算   - + + + 3 x 0k+41x2 02k+5 x1 3k 10 + x 1 =Q       2 x +0-k-5 x+03k1 +10 =Q1 よって   p P0 1x =0x+11

6

2 x +0-k-5 x+03k1 +101

7

前述の例の問題は次のようなパターンに派生する場合が多いです。 rxの3次式 P0 1x = 3 x -0a-11 2 x +30a-2 x-2a とするとき,P0 11 x =0が虚数解をも つようなaの範囲を求めよ。 s 前述の例より   P0 1x =0x-21

6

x +2 0-a+3 x1 +a  である。よって

7

     0x-21

6

2 x +0-a+3 x1 +a =0 の解の1つは

7

 0x-2 =0より,x=2の実数解である。1 すなわち,虚数解0iが答えの式に入る解 を持つには1     2 x +0-a+3 x+a の方が虚数解を持たなければならない。ここで1  D>0 のとき 異なる2つの実数解をもつ   D=0 のとき 重解をもつ  D<0 のとき 実数解なし(異なる2つの虚数解をもつ) より,D<0 の条件を満たせばよい。

  D=b -4ac=2 0-a+3 -4・1・a=12 a -10a+ 9より2

   a -10a+ 9<0 整理して 0a2 -1 0a1 - 9 < 0 より 1<a<91

(つづき)整式P0 1x =x -3 0k+41x +2 02k+5 x+3k+1001 kは実数の定数 である。1 18 (3) 3次方程式 P0 1x =0 が虚数解をもつようなkの値の範囲を求めよ。 s (2) より  P0 1x =0x+11

6

2 x +0-k-5 x+03k1 +10 より1

7

    0x+11

6

x +2 0-k-5 x+03k1 +10 =0 で虚数解をもつには1

7

  2 x +0-k-5 x+03k1 +10 =0 の判別式をDとすると D<0のときである。1    D=0-k-5 -4・1・03k12 +101     = 2 k +10k+25-12k-40     = 2 k -2k-15     =0k+3 0k1 -51  より    0k+3 0k1 -5 <0 1  よって, p -3<k<5 r 2次方程式  2 x +ax+2=0 の解がx=1+iのとき,aの値を求めよ。ただし,iは虚 数単位とする。 s x=1+i が解とあるので,元の式に代入してよい。   01+i +a12 01+i +2=0 展開して 2i+a+ai+2=0 1 実部と虚部に分けると

  0a+2 +0a1 +2 i=0   左辺も0になるには a+2=0ならよいので a=-21

xの3次式 P0 1x = 3 x -0a-11 2 x +30a-2 x-2aがある。方程式P0 11 x =0の1つの解が 19 1+2iであるとき,aの値を求めよ。 s  x -3 0a-11x +32 0a-2 x-2a=0 の1つの解がx=1+2i より元の式に代入すると1    3 01+2i -0a1 -11 2

01+2i +30a1 -2 011 +2i -2a=01   0-11-2i -01 a-1 0-31 +4i +30a1 -2 011 +2i -2a=01 展開して,整理すると

  -20+4a-10i+2ai=0 実部と虚部に分けると

  0-20+4a +0-101 +2a i=01 等式を満たすためには   

>

-20+4a=0 = + -10 2a 0 ならよい,これを満たすaは上式を解いて p a=5

模試対策(高次方程式)

(6)

  傾きa,切片bの直線の方程式  y=ax+b   中心0a, b ,半径rの円の方程式 1 2 0x-a +1 2 0y-b =1 2 r  2つの図形の共有点は連立させると求めることができる。 r 円x +2 y =1 と 直線y=-2x+2 の共有点のx座標を求めよ。2 s  連立 

>

+ = 2 x 2 y 1 … = y -2x+2 …  をに代入すると       2 x + 2 0-2x+2 =1  整理して 51 2 x -8x+3=0 たすき掛けして    05x-3 0x1 -1 =0  よって,求めるx座標は x=1 3 5, 1 次の円と直線は共有点をもつ。その座標を求めよ。 20   円 2 x + 2 y =1,直線 y=x-1     s 直線 y=x-1 を円の方程式に代入すると   2 x + 2 0x-1 =1 展開して整理すると 21 2 x -2x=0   2x0x-1 =0 x=0, 11   x=0 のとき y=x-1=0-1=-1   x=1 のとき y=x-1=1-1=0 よって p 00, -1 ,01 1, 01 2つの図形の共有点を求める為に,連立させてできた2次方程式ax +bx+ c=0の判別式をDとすると2 Dの符号によって,2つのグラフの関係が分かる。  D>0 のとき 異なる2点で交わる(異なる2つの実数解をもつ)   D=0 のとき 接する(重解をもつ)  D<0 のとき 交わらない(実数解なし) r 円 x +2 y = r と直線y=x-1 が共有点をもつような半径rの範囲を求めよ。2 s y=x-1を円の方程式に代入すると      x +2 0x-1 =r  整理して 212 x -2x+1-r= 02  共有点をもつには D)0 (共有点の個数については文章にないので,接しても2点で交わってもよ い)より      D=0-2 - 4・212 01-r =4-8+8r=8r-4 より1    8r-4) 0 これを解いて r)1 2 円C:x +2 y - 6x-2y+ 5=0 と直線:y=mx02 mは正の定数 があり,直線は円Cに接している。1 21 mの値を求めよ。 s y=mx を円Cの式に代入すると  x +2 0mx -6x-2・mx+5=0 整理して 12 01+m21x +2 0-6- 2m x+5= 0 ……1 接するので,の判別式をDとすると D=0  となる。   D=0-6-2m -4・12 01+m ・521    =36+24m+4m -20-202 m =-162 m +24m+162  より   -16m +24m+16=02   -802m -3m2 -2 =0  . -801 2m+1 01m-2 =0 と変形できるので1 p m=-1 2, 2 直線の方程式  傾きmで点0a, b を通る直線の方程式は1    y-b=m0x-a    .   y=m0x1 -a +b1 r 傾き5で点A01, - 3 を通る直線の方程式を求めよ。1 s y+3=50 x-1   . y+3=5x- 5  .  y=5x-81

r 2点A02, 3 ,B01 4, 1 を通る直線の方程式を求めよ。1 s 傾き=yの変化量 xの変化量= -1 3 -4 2= -2 2 = -1 よって,傾き-1で点A02, 3 を通るので1    y-3=-0x-2   整理して  y=-x+ 51 次の条件を満たす直線の方程式を求めよ。 22 (1) 傾きが2aで,点01, 2-a を通る直線1 (2) 2点04, - 1 ,01 1, 5 を通る直線1 s

(1) y-02- a =2a0x1 -1  . y-2+a=2ax-2a 整理して p y=2ax-3a+ 21 (2) 傾き=yの変化量 xの変化量= --1 5 -4 1 = -6 3 =-2 よって,傾き-2で04, - 1 を通るので1

   y+1=-20x-4  . y+1=-2x+8 整理して p y=-2x+ 71

ある直線に垂直な直線の傾き   2つの直線が直角に交わるとき,2つの直線の傾きをそれぞれa, b とすると          ab=-1 (傾きをかけて-1)  が成り立つ。 r 直線 y=2x+3  に垂直で点01, - 2 を通る直線の方程式を求めよ。1 s  求める直線の傾きをmとおくと,直線y=2x+30傾きが2の直線 に垂直なので1    2%m=-1  が成り立つ。整理してm=-1 2より,求める直線の方程式は    y+2=-1 20 x-1  整理して y=-1 1 2 x-3 2 次の点を通り,与えられた直線に垂直な直線の方程式を求めよ。 23 (1) 03,-1 ,y=3x+1         (2) 01 1,4 ,2x-5y-1=01 s (1) 求める直線の傾きをmとすると,直線y=3x+1 に垂直なので   m%3=-1 これを解いて m=-1 3 よって  y+1=-1 30x-3  整理して p y=-1 1 3x (2) 2x-5y-1=0を整理すると y=2 5 x-1 5 これに垂直な直線の傾きmとすると   m%2 5 =-1 これを解いて m=-5 2 よって  y-4=-5 20x-1  整理して p y=-1 5 2x+ 13 2 r 円 x +2 y +2x-3=0の中心と半径を求めよ。2 sxとyでそれぞれ2次式を作って平方完成する。    2 x +2x+ 2 y -3=0 .  2 0x+1 -1+1 2 y -3=0  . 0x+1 +12 y =4 よって,中心2 0-1, 0 ,半径21 Oを原点とする座標平面上に円 2 x + 2 y -2ax-y+ 2 a =0 0aは定数 ……と点A1 02, 1 が1 24 ある。 (1) 円の中心の座標をaを用いて表せ。また,円の半径を求めよ。 (2) 点Aを通り直線OAに垂直な直線をとする。直線の方程式を求めよ。また,円の 中心が直線上にあるとき,aの値を求めよ。 s (1) 2 x -2ax+ 2 y -y+ 2 a =0 .  2 0x-a -1 2 a + 2

8

y-1

9

2 -1 4+ 2 a =0 . 0x-a +12 2

8

y-1

9

2 = 1 4 よって, p 中心

8 9

a, 1 2  半径 1 2 (2) 直線OAの傾きはyの変化量 xの変化量= 1 2 より,これに垂直な直線の傾きをmとすると   m%1 2=-1 整理して m=-2 よっての傾きは-2で点A02, 1 を通るので1      y-1=-20x-2   整理して  p y=-2x+51  また,円の中心

8 9

a, 1 2 が直線:y=-2x+5上にあるとき   1 2=-2a+5 これを整理して p a= 9 4

模試対策(図形と方程式)

(7)

-1 1 -1 1 180, p 1 - 1 U2 <弧度法> 2直線の開き具合を角度ではなく 単位円(半径1の円)の円周の弧の長さで表したもの。  p (rad)=180, を基準として覚えるとよい。 r sin5 4pを求めよ。   5 4p= 5 4%180,=225, より 右図(第3象限)より   sin5 = 4p -1 U2

次の h について,sin h ,cos h ,tan h の値を,それぞれ求めよ。 25 (1) h=7 6p        (2) h= 5 3 p        (3) h=-3 4p  sin7 = 6p -1 2       sin 5 3 p=-U3 2       sin

8

-

9

3 4p =-1 U2  cos7 = 6p -U3 2       cos 5 3p= 1 2        cos

8

-

9

3 4p =-1 U2  tan7 = 6p 1 U3        tan 5 3p=-U3       tan

8

-

9

3 4p =1 a b r a <三角関数の合成(加法定理の逆変形)>   asin h +bcos h  は 右図のように,よこa たてbの直角三角形をかき 斜辺をr,角をaとすると

  asin h +bcos h =rsin 0h+a1

1

U3 2

60, rsin h +U3 cos h をrsin 0h+a の形に変形せよ。1

s

 よこ1,たてU3 の直角三角形は右図のような 辺の比が1:2:U3 の直角三角形になるので  sin h +U3 cos h =2sin

8

h+p

9

3

関数y=sin 2h -U2 0sin h-cos h があり,t=sin h -cos h とおく。1 26

(1) h=p

4のとき,yの値を求めよ。

(2) tをrsin 0h+a 10r>0, -p<a(p の形であらわせ。また、sin 2h をtを用いて表せ。1 s (1) y=sinp 2 -U2

8

sin p 4 -cos

9

p 4 =1-U2

8

1 U2 -

9

1 U2 =1-1+1=1 p y=1 1 -1 U2 -45, (2) 右図より

 t=sin h -cos h = p U2 sin

8

h-p

9

4 また,

 t =2 0sin h-cos h =12 sin h -2sin h cos h +2 cos h2

  =1-2sin hcos h

 整理して 2sin h cos h =1- 2

t

また,sin 2h =2sin hcos h =1-2

t  p sin 2h =1- 2

t

<加法定理>

sin 0a+b =sin acos b +cos a sin b1 cos 0a+b =cos a cos b -sin a sin b1

<2倍角の公式 加法定理のbをaと置き換えただけ> sin 2a =2sin a cos a

cos 2a =cos a -2 sin a =1-22 sin a =22 cos a -12

関数y=sin 2h -U2 0sin h-cos h があり,t=sin h -cos h とおく。1 27

yをtの式で表せ。

s 全問より

 y=sin 2h -U2 0sin h-cos h1   =1-t -2 U2 t   =- 2 t -U2 t+1      p y=-2 t -U2 t+1 - 32p-p - p2-1 p2 p 32p 1 y h y=sin h hの値に関わらず  -1(sin (h 1 , -1(cos (h 1 なので  asin h およびacos h の範囲は -a(asin (h a , -a(acos (h a である。 r U2 sin h 00(h(2p の最大値,最小値を求めよ。1 s   0(h<2pの範囲では    -1(sin h (1  なので,それぞれにU2 をかけると    -U2 (sin (h U2  より  最大値U2  最小値-U2

関数y=sin 2h -U2 0sin h-cos h があり,t=sin h -cos h とおく。1 28 (1) tの最大値と最小値を求めよ。 (2)yの最大値と最小値を求めよ。 s (1) 全問よりt=U2 sin

8

h-p

9

4  -1(sin

8

h-p

9

4 (1 より  -U2 (U2 sin

8

h-p

9

4 (U2  よって, p 最大値U2 , 最小値-U2 (2)全問や(1)より  y=-t -2 U2 t+1 

0

-U2 (t(U2

1

平方完成すると  y=-

0

2+

1

t U2 t +1   =-

>

-

?

+ 2

8

t+U2

9

2 2

8 9

U2 2 1   =-2

8

t+U2

9

2 + 1 2+1   =-2

8

t+U2

9

2 + 3 2 よって,頂点

8

-U2

9

2 , 3 2 で定義域が-U2 (t(U2 2次関数のグラフをかくと

O

U2 -3 -U2 2 3 2 y t 右図のようになる。 よって,  p t=-U2 2 のとき 最大値 3 2    t=U2 のとき 最小値-3

模試対策(三角関数)

(8)

等差数列

6

a があり,n

7

a +1 a =6,4 a +2 a =9 を満たしている。また,数列6

6 7

bn 29    -1, 0, 3, 8, 15, …… があり,その階差数列は等差数列である。 (1) 数列

6

a の一般項n

7

a をnを用いて表せ。n (2) 数列

6 7

b の一般項n b をnを用いて表せ。n (3) a +n 1 2b の整数部分をn c とするとき,n c 2k0k=1, 2, 3, …… をkを用いて表せ。1  (1) 初項a,公差dとおいて,問題の条件式に等差数列の一般項の式を代入する。 (2) 階差数列の解き方そのまま (3) c2k0k=1, 2, 3, …… とは,1 c , 2c , 4 c6, c , ……のことである。8  数列での模試,入試問題では,実際に書き出してみると規則性が分かることが多い。  c , 2c , 4 c6, c , くらいまで,実際に求めてみよう。8 s (1) 初項a, 公差d とおくと a =a+n 0n-1 d なので1   a +1 a =6 より a+a+3d=6 整理して 2a+3d=6 ……4   a +2 a =9 より a+d+a+5d=9 整理して 2a+6d=9 ……6 ,を解いて a=3 2, d=1 よって   a =n 3 2+0n-1 ・1 整理して p 1 a =n+n 1 2 (2)数列b の階差数列を書き出すとn   1, 3, 5, 7, …… より,初項1, 公差2の等差数列になっているので, 階差数列の一般項は   1+0n-1 ・2=2n-11 よって, 求める数列b の一般項はn  n)2のとき   b =-1+n = k 1 -n 1 P 02k-1 =-1+21 = k 1 -n 1 P k-= k 1 -n 1 P 1    =-1+2!1 20n-1 n-0n1 -1  整理して 1 b =n 2 n -2n  n=1 のとき 1 -2・1=-1 より成り立つよって p 2 n b =n -2n2 (3) c =n a +n 1 2b =n+n 1 2+ 1 2

0

2 n -2n =

1

1 2 2 n +1 2より  c =2k 1 2・ 2 02k +1 1 2=2 2 k +1 2 整数部分は1 2のところは切り捨てられるから  p c =22k k2 t  c =2 + 2 2 1 2 = 5 2=2.5, c =4 + 2 4 1 2 = 17 2 =8.5   c =6 + 2 6 1 2 = 37 2 =18.5, c =8 + 2 8 1 2 = 65 2 =32.5 整数部分はそれぞれ2, 8, 18, 32, …… これの階差数列をとると6, 10, 14, ……と初項6,公差4の等差数列となっている。 よって,(2)のように階差数列の解き方でも出せる。 数列

6

a は等差数列であり,n

7

a =-11,3 a -9 a =6を満たしている。6 30 (1) 数列

6

a の公差を求めよ。また,数列n

7

6

a の一般項n

7

a をnを用いて表せ。n (2) S =n a +1 a +2 a +……+3 an0n=1, 2, 3, …… とする。1 S を最小にするnの値を求めよ。n また,S の最小値を求めよ。n (3) = k 1 7 P 1 k aak+1 の値を求めよ。  (1) 初項a,公差dとおいて,問題の条件式に等差数列の一般項の式を代入する。 (2)a <0を満たす最大のnが求める答えである。(正の数になるn a を足すと大きくなってn しまう) n S は等差数列の和の公式か,P 計算でnで表して,そこに前述のnを代入する。 (3) やはり,具体的に書き並べてみよう。 1 k aak+1 部分分数分解を利用する問題だと気づく はず。u 部分分数分解 b>aとして, 1 ab= 1 -b a

8

1 a-

9

1 b が成り立つ。 s (1) 初項a,公差dとおくと a =a+n 0n-1 d なので1  a =-11 より a+2d=-11 ……3  a -9 a =6 より 6 0a+8d -0a1 +5d =6 整理して 3d=6 ……1 ,を解いてa=-15, d=2 なので p 公差 2 また,a =-15+n 0n-1 ・2 整理して p 1 a =2n-17n (2) 等差数列の初項から第n項までの和S はn  S =n 1 2n

0

a1+a =n

1

1 2n0-15+2n-17 =1 1 2n02n-32 =1 2 n -16n また,a <0 となるnはn  2n-17<0 これを解いて n<17 2 =8.5 よって第8項までは負の数であるので,初 項から第8項までの和が最小となる。よって  S =8 8 -16・8=-64      p-642 (3)an+1=20n+1 -17=2n-15 より1    1 k a ak+1 = 1 02n-17 012n-151= 1 2

8

1 -2n 17-

9

1 -2n 15 よって   = k 1 7 P 1 k aak+1 =1 2

8

1 -15-

9

1 -13 + 1 2

8

1 -13-

9

1 -11 +……+ 1 2

8

1 -3-

9

1 -1       =1 2

8

1 -15 -1 -13+ 1 -13 -1 -11+ 1 -11-……+ 1 -3-

9

1 -1       =1 2

8

1 -15-

9

1 -1       =1 2

8

-1 15+1

9

      =1 2・ 14 15= 7 15 p  7 15

模試対策(数列)

(9)

 x軸方向にa,y軸方向にb平行移動したグラフの式は 元のグラフの式の「x」を「x-a」,「y」を「y-b」

x

y

O

に変えたものである。 r y=-2 2 x のグラフをx軸方向に3,y軸方向に2 平行移動したグラフは   y-2=-20x-3  整理して y=-212 0x-3 +212 の頂点03, 2 ,軸x=2の放物線である。1 r y= 2 x +2xのグラフを x軸方向に2a,y軸方向にa-1平行移動したグラフの方程式を求めよ。 s  y-0a-1 =1 0 - 12 x 2a +20x-2a1  y-a+1= 2 x -4ax+4 2 a +2x-4a 整理して y= 2 x +0-4a+2 x+41 2 a -3a-1 放物線がx軸と交わる(交わらない)条件 (i)下に凸のグラフのとき         (ii)上に凸のグラフのとき

x

y

O

x

y

O

正 負  頂点のy座標が負になると         頂点のy座標が正になると  異なる2点で交わる      異なる2点で交わる r 放物線 y= 2

x +4ax+4 0aは定数 とx軸が異なる2点で交わるとき,aのとり得る値1 の範囲を求めよ。 s  y=0x+2a -412 a +4 より 頂点2

0

-2a, -4a2+4 である。また,下に凸のグラフで

1

あるので,x軸と異なる2点で交わるにはy座標がの数になっていればよいので    -4 2 a +4<0 両辺を-4で割って   2 a -1>0

 0a+1 0a1 -1 >0 よって a<-1, 1<a1 放物線C :1 y=x +4x+ 4 がある。また,2 1 C をx軸方向に2a+2,y軸方向に-2a + 3aだけ平行移動し2 31 た放物線をC :y=f0 12 x とする。ただし,aは定数とする。 (1) 放物線C の頂点の座標を求めよ。1 (2) 放物線C とx軸が異なる2点で交わるとき,aのとり得る値の範囲を求めよ。2 s (1) 平方完成すると   y=0x+2 -4+4 =12 0x+2  より p 頂点012 -2, 01 (2) C の方程式は2   y-0-2a2+3a =1 6x-02a+21+2  整理して72   y=0x-2a -212 a + 3a2  下に凸のグラフより,頂点のy座標が負なら異なる2点で交わる。すなわち    -2a + 3a<02      2a -3a> 02     2a0a-3 >0  よって p a< 0, 3< a1

r 2次関数 y=

x +4x-5

2 0

-2a (x(a

+1 における最小値mを求めよ。ただ

1

し,a>0とする。

p 平方完成すると

    =

y

0

x

+

2

12

-

4

-

5

=

0

x

+

2

1

2

-

9

 よって,軸 x=-2 ( 頂点は

0

-2,

-9 )

1

 範囲が文字なので,aの値によって最小値の場所が違ってくるので以下のよ

うな図のように3パターンに分けて考える。

a+1

-2a

-2a

a+1

-2

-2

-2

a+1

-2a

x

x

x

                

最小値の場所が

範囲の一番右端

になるとき

最小値の場所が

範囲の間にある

(右端でも左端で

もない)場合

最小値の場所が

範囲の一番左端

になるとき

 上図のそれぞれの状態のときの条件を数式で表してみると

 a+1<-2 のとき

   ただし,a>0(aは正の数)なので-2より小さくなることはない。

  よって,式が条件に矛盾するのでこの図の状態には絶対にならない。

 -2a>-2 整理して a<1 ただし,a>0 より

  「0<a<1」のとき

   最小値は x=-2aの ときである。

   y=

0

x

+

2 -9 に x=-2a を代入すると

12

     y=

0

-2a

+

2 -9=4

12

a -8a-5

2

 でもでもない場合 すなわち 「a)1」のとき

   最小値は頂点のy座標である。頂点は

0

-2,

-9 だったので

1

   最小値は-9である。

より

  最小値は 

>

0

<

a

<

1のとき 4

-

-2

a

8a

5

)

a

1のとき

-

9

 2次関数 y=x +4x-5 0-2a+1(x( a2 + 1 における最小値mを求めよ。ただし,a> 0とする。1 32 s  y=0x+2 -4-512  y=0x+2 -9 より頂点0-2, 12 -9 ,軸x=-21 a+1 -2a+1 -2 x a+1 -2a+1 -2 x (i) a+ 1<-2 すなわち a< -3のとき x=a+1のとき最小となるが,問題にa> 0 とあるので,この場合は考えない (ii) -2a+1> -2 すなわち 0<a<3

2のとき x=-2a+ 1のとき最小となるので  y=0-2a+1+2 -912   =0-2a+3 -912   =4a -12a2 a+1 -2a+1 -2 x

(iii) (i), (ii)以外,すなわちa)32のとき  頂点が最小となるので,最小値-9 (i)(ii)(iii)より p 

F

< 0 a<32のとき 4a2-12a ) a 3 -2のとき 9

模試対策(2次関数)

(10)

次の放物線上の与えられた点における接線の方程式を求めよ。 33 (1) y= 2 x   (1,1)       (2) y= 2 x -2x+1  (-1,4) y -=2x より x=1 を代入すると     y -=2x-2 より x=-1 を代入すると y -=2 なので傾き2 よって        y -=-2-2=-4 なので傾き-4よって   y-1=20x-1         y-4=-401 x+11   y=2x-1       y=-4x p (1) y=2x-1  (2) y=-4x

x

y

O

1 1 関数 y= 3 x -3x+2 の極値を求め,グラフをかけ。 s  y-=3 2 x -3=30x+1 0x1 -1  より1  30x+1 0x1 -1 =0 を満たす x=-1, 11 増減表をかくと   x … -1 … 1 … y - + 0 - 0 + y 9 4 : 0 9 34 よって

x

y

O

1 -1 4 2 p x=-1 で極大値 4,x=1 で極小値 0,    グラフは "図# 次の関数の最大値,最小値を求めよ。 35          y= 3 x +6 2 x +9x 0-2(x(11 s  y-=3x +12x+9=32 0x+3 0x1 +1  より1  30x+3 0x1 +1 =0 を満たす x=-3, -11  定義域を考慮して増減表をかくと x -2 … -1 … 1 y - - - 0 + + y -2 : -4 9 16 よって p x=1 で最大値 16,x=-1 で最小値 -4 関数f0 1x = 3 x -6 2 x +10x-3 がある。y=f0 1x のグラフをCとし,点A01, f0 11 1 36 におけるCの接線をとする。 (1) f -0 11 の値を求めよ。また,接線の方程式を求めよ。 (2) 曲線C上の点Pにおける接線をmとする。点Pが曲線C上を動くとき,mの傾きの最小値 とそのときの点Pの座標を求めよ。  (2) 点Pの座標を0t, f0 1t とおくと,接線mの傾きはf -1 0 1t である。これはtの2次式になるので, 2次関数の最小値を求める問題の要領で解く。 s (1) f -0 1x =3 2 x -12x+10 より  f -0 11 =3・1 -12・1+10=1 p f -0 12 1 =1 また,x=1における接線の傾きは上記より1で  f0 11 = 3 1 -6・ 2 1 +10・1-3=2より 点A01, 2 を通るのでの方程式は1   y-2=1・0x-1  整理して p y=x+11 (2) 点P

0

t, t -63 x +10x2 -3 とおくと

1

 点Pにおける接線mの傾きは   f -0 1t =3 2 t -12t+10 となる。平方完成すると   3

0

2 t-4t +10

1

   =3

6

2 0t-21-4 +10

7

   =3 2 0t-2 -12+101    =30t-2 -212 よって,接線mの傾きの最小値は p 2 またこのときt=2なので代入すると  点P

0

2, 3 2 -6・ 2 2 +10・2-3  整理して p P0

1

2, 11

模試対策(微分法)

(11)

平面上に OA=3, OB=2U2 , 4AOB=45,の¦OABがあり,辺ABを2:1に内分する点 37

をCとする。また,OA=a,OB=b とする。

(1) 内積a・b の値を求めよ。また,OCをa, b を用いて表せ。

(2) kは実数とする。直線OC上に OD=kOC となる点Dをとる。AD5OA であるとき,k の値を求め,ODをa,b を用いて表せ。 (3) (2)のとき,辺OAの中点をE,直線ECとBDの交点をFとする。  OFをa, b を用いて表せ。 O A B 45, a b C 2 1 s (1) a・b= a b cos 45,    =3!2U2 ! 1 U2 =6  p a・b=6 また,点CはA, Bを2:1に内分する点なので  p OC=1 3a+ 2 3b (2) OD=kOC=k

8

1 3a+

9

2 3b = 1 3ka+ 2 3kb AD5OA のとき    AD・OA=0   

0

OD-OA ・OA=0

1

  

8

1 3ka+ 2 3kb-a ・a=0

9

  1 3k 2 a +2 3 ka・b-2 a =0   1 3k・ 2 3 +2 3 k・6-2 3 =0 . 3k+4k-9=0 整理して p k=9 7 よって  OD=1 3・ 9 7a+ 2 3・ 9 7b= 3 7a+ 6 7b       p OD= 3 7a+ 6 7b O A B 45, a b C D E F (3) 題意より右図のようになる。 (i) FはDBを1-s:s に内分するとおくと  OF=sOD+01-s OB1    =s

8

3 7a+

9

6 7b +01-s b 整理して1  OF=3 7sa+

8

1-

9

1 7s b …… (ii) またEF=EC とおくことができる  (左辺)=EF=OF-OE=OF-1 2a  (右辺)=EC=

0

OC-OE =

1

8

1 3a+ 2 3b-

9

1 2a =-1 6a+ 2 3b より    EF=EC   OF-1 2 a=-1 6a+ 2 3b . OF=

8

1 2-

9

1 6 a+ 2 3b …… aとbは1次独立であり,よりa, b の係数に注目すると   

F

= 3 7s -1 2 1 6 = -1 1 7s 2 3 この連立方程式を解くと s= 7 11,= 15 11 s= 7 11をに代入すると  p OF= 3 11a+ 10 11b ¦OABがあり,OA=3,OB=U3 である。辺ABの中点をC,線分OCを2:1 に内分する 38 点をDとし,OA=a,OB=b とする。

(1) OC を a,b を用いて表せ。また,OD を a,b を用いて表せ。 (2) 内積 a・b=2 のとき,線分OCの長さを求めよ。 s O A B C D a 2 b 1 (1) CはABの中点01:1に内分 なので pOC=1 1 2a+ 1 2b  また,OD=2 3OC より   OD=2 3

8

1 2a+

9

1 2b = 1 3a+ 1 3b (2) OC =2 1 + 2 2a 1 2b     =1 4 2 a +1 2a・b+ 1 4 2 b     =1 4・ 2 3 +1 2・2+ 1 4・ 2

0

U3

1

    =16 4 =4   OC >0 より    p OC =2

模試対策(ベクトル)

(12)

(2x-3)06x +33 x + 2x2 -7 を展開して整理したときの,1 x の係数は 02 1 である。 1 2次方程式 ax +bx+ c=0 について D=2 b -4acのとき2  D>0 のとき 異なる2つの実数解をもつ   D=0 のとき 重解をもつ  D<0 のとき 実数解なし(異なる2つの虚数解をもつ)

r2次方程式 x +ax+4 =0 2 0aは正の定数 が重解をもつとき,a= 01 1 であり,そのときの重解は x= 0イ1 である。 s 重解をもつのでD=0  また   D=a -4・1・4=2 a -16  より 2 a -16= 0 整理して2      a =16 aは正の定数と問題にあるので a=42  このとき,重解(2次方程式の解のこと,ただし重解は解が1つとなる)は    x +4x+ 4=0 2 0x+2 = 0 より 重解は x=-212 mを正の定数とする。2次方程式 x -mx+m+3=0 が重解をもつとき,mの値は2 2 0ア1 であり,その重解はx= 0イ1 である。 2次関数 y=x +bx +c の頂点,軸を求めるには平方完成をします。2 次のような2回,簡単な計算を行います。 半分の数が入る    y=x +bx +c2 2乗した数を引く     =

8

x+b

9

2 2 -2 b 4 +c      よって,頂点

8

-b 2, -2 b 4 + c  軸x=-

9

b 2 2 x の係数が1ではない場合,例えばy=ax +bx +cの場合はxのついた項をaでくくる2 /aでくくった /カッコの中で平方完成(半分1 2,2乗をひく)     =y ax2+bx+c =a

8

x2+b

9

+ ax c =a

>

8

x+ b

9

2-

?

+ 2a 2 b 4a2 c /中カッコの中の式にaをかける(展開)     =a

8

x+ b

9

2 2a -2 b 4a+c よって,頂点

8

-b 2a, -2 b 4a+c ,軸x=-

9

b 2a r y=x -6x+1の頂点と軸を求めよ。2 s y=0x-3 -9+1=12 0x-3 -8 より 頂点03, 12 - 8 ,軸x=31 r y=2x - 12x+1 の頂点と軸を求めよ。2 s y=20x2-6x +1= 21 60x-312-9 +17     =20x-3 -18+1 =212 0x-3 -17 より 頂点03, 12 - 17 ,軸x=31 a, b を定数とする。放物線y=x +ax+b の頂点の座標は2 01, 2 のとき,1a= 0ア1 ,b= 0イ1 である。 ○2次不等式 2 ax +bx+c<0 や 2 ax +bx+c>0 の左辺を因数分解できた場合。   a0x-a 0x1 -b <0 の解は a<x<b1   a0x-a 0x1 -b >0 の解は x<a, b<x1 r  2 x -5x+6<0 を解け。 s 0x-2 0x1 -3 <0 より p 2<x<31 ○絶対値の不等式の解    x <a   の解は -a<x<a    x >a  の解は x<-a, a<x r  x <5を解け。 p -5<x<5 2次不等式 2 x +x-6<0 の解は 0ア1 である。また, 2 x +x-6<0 を満たすすべてのxがx <a を満たすような正の定数aの最大値は 0イ1 である。 <箱ひげ図> 第1 第2 第3    1, 3, 5, 7, 8, 9, 11 上の「小さい順」に並べたデータの     最小値 「1」 第1四分位数 「3」 中央値(第2四分位数)「7」     第3四分位数 「9」 最大値「11」 である。これの5つの数を1つの図にしたものが「箱ひげ図」です。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *四分位数は真ん中の数がないときは,両隣の数の平均の値をとります。 ちょうど真ん中 がない   1, 3, 4, 5の中央値は 3+4 2 =3.5 次の 0ア1 に当てはまるものを下の~のうちから1つ選べ。 5 あるクラス25人に数学の小テストをした結果をまとめた次の資料のうち,ヒストグラムと (人数) (点) (点) (人数) (点) (点) (人数) (点) (点) (人数) (点) (点)    0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 箱ひげ図が同じデータの分布を表しているものは 0ア1 である。

模試対策(小問集合)

(13)

r nP :n個の中からr個選んで,さらに,そのr個を並べる場合の数。 r 10人の選手の中から4人選んでリレーの走順を決めるときの場合の数    10P =10・9・8・7=5040 通り4 q10人の中から,まず4人選びますね。さらに,その4人が1走から4走まで誰が走るかまで 決めろという文章ですよね。なのでnP のニュアンスと一致しています。r r nC :n個の中からr個選ぶときの場合の数。 r 10人のグループの中から,4人代表を選ぶときの場合の数    10C =4 ・ ・ ・ 10 9 8 7 4! = ・ ・ ・ 10 9 8 7 ・ ・ ・ 4 3 2 1 =210 通り q前問の文章と似ていますが,10人の中から4人選んだあとに,その人たちを並べるよう な文はないですね。よって,nC のニュアンスと一致します。r r !:r個を並べる場合の数 r 1から4までの番号がかかれたカードを横一列に並べる並べ方    4!=4・3・2・1=24 通り qP, C と違って,選ぶというニュアンスはなく,ただ一列に並べるだけというニュアン スのときは!(階乗)です。 次のものの総数を求めよ。 6 (1) a,b,c,d,e の 5 個の文字から異なる 3 個を選んで 1 列に並べるときの並べ方 (2) triangle の 8 文字すべてを 1 列に並べるときの並べ方 (3)25 人の生徒の中から,兼任は認めないで,議長,副議長,書記を各 1 人選ぶときの選 び方 正五角形について,次の数を求めよ。 (4) 3 個の頂点でできる三角形の個数    和の法則,積の法則 問題の文章に   「または」を入れても問題の意味が成立するなら場合の数を「足す」とよい   「さらに」を入れても問題の意味が成立するなら場合の数を「かける」とよい r レストランに5種の和食メニューと4種の洋食メニューがある。1品だけ選ぶとき  メニューの選び方は何通りあるか。 s メニューは 和食5種 「または」 洋食4種 あるので全部で      5+4=9 種類ある  よって,9通り選べる。 r レストランのランチセットで食べ物4種類と,飲み物3種類の中からそれぞれ1種類ず つ選べる。ランチセットの注文の仕方は全部で何通りか。 s セットは 食べ物4種類の中から選んで 「さらに」 飲み物3種類の中から選ぶ  よって,頼み方は全部で 4%3=12 通り 2 桁の自然数のうち,各位の数字の積が次のようになるものは何個あるか。 7 (1) 奇数になる。      (2) 偶数になる。 確率(物事が起こる頻度を表した数)の定義    該当する事象の数0問題の条件に当てはまるパターン1 全事象の数0全パターン1 r袋の中に100円硬貨が5枚と50円硬貨が3枚入っている。この袋の中から同時に4枚の硬貨 を無作為に取り出す。  取り出した4枚の硬貨が100円硬貨3枚と50円硬貨1枚である確率を求めよ。 s  分母(全パターン)は袋に入っている硬貨から4枚取り出す取り出し方である。 よって,全部で8枚の中から4枚の取り出し方8C =4 ・ ・ ・ 8 7 6 5 ・ ・ ・ 4 3 2 1=7・2・5  また,分子は 100円硬貨5枚の中から3枚選んで 「さらに」 50円硬貨3枚の中から1枚選ぶ    5C %3 3C =1 ・ ・ 5 4 3 ・ ・ 3 2 1% 3 1=5・2・3 よって,求める確率は    5C3%3C1 4 8C =5 2 3・ ・ ・ ・ 7 2 5= 3 7 上記のとき,取り出した4枚の硬貨が100円硬貨2枚と50円硬貨2枚である確率を求めよ。 8 白玉が2個入っている袋がある。コインを1枚投げて,表が出れば赤玉を1個,裏が出れば 9 白玉を1個,この袋に入れる操作を3回行い,袋の中の玉の個数を5個にする。さらに,こ の袋から3個の玉を同時に取り出し,取り出された赤玉の個数をXとする。 (1) コインを3回投げた結果,袋の中の玉が白玉5個になっている確率を求めよ。 (2)X=3である確率を求めよ。

模試対策(個数の処理!確率)

(14)

a b x 2 ax +bx+c=0の解がx=a, b のとき,    ax +bx+c<0の解 . a<x<b2 a b x    ax +bx+c>0の解 . x<a, b<x2 r x -3x+2<0 を解け。2 s  2 x -3x+2=0 の解は 0x-1 0x1 -2 =0 よりx=1, 21  よって,p 1<x<2 r x -4x+1>0 を解け。2 s 2 x -4x+1=0 の解は,解の公式より x=2$

U

-2 2 1 1・ 1 =2$U3  よって,p x<2-U3 , 2+U3 <x 次の 2 次不等式を解け。 10 (1) x -4x+3>0        (2) 2 x +5x+6<02 (3) 2 2 x -7x-4(0       (4) 6 2 x +x-2>0 絶対値の不等式   x =a の解は x=$a -a a -a a x x   x <a の解は -a<x<a   x >a の解は x<-a, a<x r  x-1 <2 を解け。 s -2<x-1<2 より それぞれの辺に+1して    p -1<x<3   2x-5 <a …… を解け。 11 2つの不等式 5 4x+a) 1 4 -a 2, 2 2 x +x-10<0を同時に満たす整数xがちょうど3個 12 であるようなaの値の範囲を求めよ。 xについての連立方程式 13

>

3x-a(2x+3 ( -x 6 5x-b  …… がある。ただし,a, b は定数である。 (1) a=3,b=2 のとき,連立不等式を解け。 (2) 連立不等式の解が存在するためのa, b の条件式をつくれ。

模試対策(式の計算)

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