(2x-3)06x +33 x + 2x2 -7 を展開して整理したときの,1 x の係数は 02 ア1 である。 1 (2x-3)06x +33 x + 2x2 -71 s 展開してx が出てくるところだけ計算すればよい。2 上の矢印部分だけしか展開したときにx の項が出てこないので2 2x・2x+0-3 ・31 x =42 x -92 x =-52 x よって,係数は p -52 2次方程式 ax +bx+ c=0 について D=2 b -4acのとき2 D>0 のとき 異なる2つの実数解をもつ D=0 のとき 重解をもつ D<0 のとき 実数解なし(異なる2つの虚数解をもつ)
r2次方程式 x +ax+4 =0 2 0aは正の定数 が重解をもつとき,a= 01 ア1 であり,そのときの重解は x= 0イ1 である。 s 重解をもつのでD=0 また D=a -4・1・4=2 a -16 より 2 a -16= 0 整理して2 a =16 aは正の定数と問題にあるので a=42 このとき,重解(2次方程式の解のこと,ただし重解は解が1つとなる)は x +4x+ 4=0 2 0x+2 = 0 より 重解は x=-212 mを正の定数とする。2次方程式 x -mx+m+3=0 が重解をもつとき,mの値は2 2 0ア1 であり,その重解はx= 0イ1 である。 s 重解を持つのでD=0 D= 2 0-m -4・1・0m1 +3 =1 2 m -4m-12=0m-6 0m1 +2 より1 0m-6 0m1 +2 =0 mは正の定数とあるので m=61 このとき,元の式は 2 x -6x+9=0 となり 2 0x-3 =0 となるので1 重解はx=3 p(ア)6 (イ)3 2次関数 y=x +bx +c の頂点,軸を求めるには平方完成をします。2 次のような2回,簡単な計算を行います。 半分の数が入る y=x +bx +c2 2乗した数を引く =
8
x+b9
2 2 -2 b 4 +c よって,頂点8
-b 2, -2 b 4 + c 軸x=-9
b 2 2 x の係数が1ではない場合,例えばy=ax +bx +cの場合はxのついた項をaでくくる2 /aでくくった /カッコの中で平方完成(半分1 2,2乗をひく) =y ax2+bx+c =a8
x2+b9
+ ax c =a>
8
x+ b9
2-?
+ 2a 2 b 4a2 c /中カッコの中の式にaをかける(展開) =a8
x+ b9
2 2a -2 b 4a+c よって,頂点8
-b 2a, -2 b 4a+c ,軸x=-9
b 2a r y=x -6x+1の頂点と軸を求めよ。2 s y=0x-3 -9+1=12 0x-3 -8 より 頂点03, 12 - 8 ,軸x=31 r y=2x - 12x+1 の頂点と軸を求めよ。2 s y=20x2-6x +1= 21 60x-312-9 +17 =20x-3 -18+1 =212 0x-3 -17 より 頂点03, 12 - 17 ,軸x=31 a, b を定数とする。放物線y=x +ax+b の頂点の座標は2 01, 2 のとき,1 3 a= 0ア1 ,b= 0イ1 である。 s 問題の放物線の式を平方完成すると y=x +ax+b=2 28
x+a9
2 -2 a 4 +b よって,頂点は8
-a 2, -2 a 4 +b9
よってF
= -a 2 1 …… = + -2 a 4 b 2 …… より,a=-2 に代入して -4 4+b=2 整理して b=3 p(ア)-2 (イ)3 ○2次不等式 2 ax +bx+c<0 や 2 ax +bx+c>0 の左辺を因数分解できた場合。 a0x-a 0x1 -b <0 の解は a<x<b1 a0x-a 0x1 -b >0 の解は x<a, b<x1 r 2 x -5x+6<0 を解け。 s 0x-2 0x1 -3 <0 より p 2<x<31 ○絶対値の不等式の解 x <a の解は -a<x<a x >a の解は x<-a, a<x r x <5を解け。 p -5<x<5 2次不等式 2 x +x-6<0 の解は 0ア1 である。また, 2 x +x-6<0 を満たすすべてのxが 4 x <a を満たすような正の定数aの最大値は 0イ1 である。 s 0x+3 0x1 -2 <0 より p -3<x<21 また, x <aの解は -a<x<a より -3-2 2 a=2のとき,右図のように-3<x<2を満たす すべてのxが x <2 すなわち -2<x<2を満たす。 よって 正の定数aの最大値は p 2 <箱ひげ図> 第1 第2 第3 1, 3, 5, 7, 8, 9, 11 上の「小さい順」に並べたデータの 最小値 「1」 第1四分位数 「3」 中央値(第2四分位数)「7」 第3四分位数 「9」 最大値「11」 である。これの5つの数を1つの図にしたものが「箱ひげ図」です。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *四分位数は真ん中の数がないときは,両隣の数の平均の値をとります。 ちょうど真ん中 がない 1, 3, 4, 5の中央値は 3+4 2 =3.5 次の 0ア1 に当てはまるものを下の~のうちから1つ選べ。 5 あるクラス25人に数学の小テストをした結果をまとめた次の資料のうち,ヒストグラムと (人数) (点) (点) (人数) (点) (点) (人数) (点) (点) (人数) (点) (点) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 箱ひげ図が同じデータの分布を表しているものは 0ア1 である。 p(データが3~6点の生徒が多い、中央値、第1、第3四分位数もその周辺にある)模試対策(小問集合)
r nP :n個の中からr個選んで,さらに,そのr個を並べる場合の数。 r 10人の選手の中から4人選んでリレーの走順を決めるときの場合の数 10P =10・9・8・7=5040 通り4 q10人の中から,まず4人選びますね。さらに,その4人が1走から4走まで誰が走るかまで 決めろという文章ですよね。なのでnP のニュアンスと一致しています。r r nC :n個の中からr個選ぶときの場合の数。 r 10人のグループの中から,4人代表を選ぶときの場合の数 10C =4 ・ ・ ・ 10 9 8 7 4! = ・ ・ ・ 10 9 8 7 ・ ・ ・ 4 3 2 1 =210 通り q前問の文章と似ていますが,10人の中から4人選んだあとに,その人たちを並べるよう な文はないですね。よって,nC のニュアンスと一致します。r r !:r個を並べる場合の数 r 1から4までの番号がかかれたカードを横一列に並べる並べ方 4!=4・3・2・1=24 通り qP, C と違って,選ぶというニュアンスはなく,ただ一列に並べるだけというニュアン スのときは!(階乗)です。 次のものの総数を求めよ。 6 (1) a,b,c,d,e の 5 個の文字から異なる 3 個を選んで 1 列に並べるときの並べ方 (2) triangle の 8 文字すべてを 1 列に並べるときの並べ方 (3)25 人の生徒の中から,兼任は認めないで,議長,副議長,書記を各 1 人選ぶときの選 び方 正五角形について,次の数を求めよ。 (4) 3 個の頂点でできる三角形の個数 s (1) 5P =5・4・3=60 p603 (2) 8!=8!7!6!5!4!3!2!1=40320 p40320 (3) 25P =25!24!23=13800 p138003 (4) 5C =3 ・ ・ 5 4 3 3! =10 p10 和の法則,積の法則 問題の文章に 「または」を入れても問題の意味が成立するなら場合の数を「足す」とよい 「さらに」を入れても問題の意味が成立するなら場合の数を「かける」とよい r レストランに5種の和食メニューと4種の洋食メニューがある。1品だけ選ぶとき メニューの選び方は何通りあるか。 s メニューは 和食5種 「または」 洋食4種 あるので全部で 5+4=9 種類ある よって,9通り選べる。 r レストランのランチセットで食べ物4種類と,飲み物3種類の中からそれぞれ1種類ず つ選べる。ランチセットの注文の仕方は全部で何通りか。 s セットは 食べ物4種類の中から選んで 「さらに」 飲み物3種類の中から選ぶ よって,頼み方は全部で 4%3=12 通り 2 桁の自然数のうち,各位の数字の積が次のようになるものは何個あるか。 7 (1) 奇数になる。 (2) 偶数になる。 s (1) 一の位が奇数 「さらに」 十の位が奇数 ならよい 一の位の数の選び方は1, 3, 5, 7, 9 の5通り また 十の位の数の選び方も同様に5通り より 5%5=25 p 25通り (2) (i) 一の位が偶数 さらに 十の位が奇数 「または」 (ii)一の位が奇数 さらに 十の位が偶数 「または」 (iii)一の位が偶数 さらに 十の位が偶数 のとき問題の条件を満たす。 (i) は一の位の選び方が「0,2,4,6,8」の5通り、十の位の選び方が「1,3,5,7,9」の5通り よって5%5=25通り (ii) は一の位の選び方が「1,3,5,7,9」の5通り、十の位の選び方が「2,4,6,8」の4通り よって5%4=20通り (iii)は一の位の選び方が「0,2,4,6,8」の5通り、十の位の選び方が「2,4,6,8」の4通り よって5%4=20通り 確率(物事が起こる頻度を表した数)の定義 該当する事象の数0問題の条件に当てはまるパターン1 全事象の数0全パターン1 r袋の中に100円硬貨が5枚と50円硬貨が3枚入っている。この袋の中から同時に4枚の硬貨 を無作為に取り出す。 取り出した4枚の硬貨が100円硬貨3枚と50円硬貨1枚である確率を求めよ。 s 分母(全パターン)は袋に入っている硬貨から4枚取り出す取り出し方である。 よって,全部で8枚の中から4枚の取り出し方8C =4 ・ ・ ・ 8 7 6 5 ・ ・ ・ 4 3 2 1=7・2・5 また,分子は 100円硬貨5枚の中から3枚選んで 「さらに」 50円硬貨3枚の中から1枚選ぶ 5C %3 3C =1 ・ ・ 5 4 3 ・ ・ 3 2 1% 3 1=5・2・3 よって,求める確率は 5C3%3C1 4 8C =5 2 3・ ・ ・ ・ 7 2 5= 3 7 上記のとき,取り出した4枚の硬貨が100円硬貨2枚と50円硬貨2枚である確率を求めよ。 8 s 上記の例の説明より (分母)=8C =7!2!54 (分子)=100円硬貨5枚の中から2枚選んで さらに 50円硬貨3枚の中から2枚選ぶ =5C %2 3C =2 ・ 5 4 ・ 2 1% ・ 3 2 ・ 2 1=5!2!3 よって,求める確率は 5C2%3C2 4 8C =5 2 3・ ・ ・ ・ 7 2 5= 3 7 p 3 7 白玉が2個入っている袋がある。コインを1枚投げて,表が出れば赤玉を1個,裏が出れば 9 白玉を1個,この袋に入れる操作を3回行い,袋の中の玉の個数を5個にする。さらに,こ の袋から3個の玉を同時に取り出し,取り出された赤玉の個数をXとする。 (1) コインを3回投げた結果,袋の中の玉が白玉5個になっている確率を求めよ。 (2)X=3である確率を求めよ。 s (1) コインが 裏が出て 「さらに」 裏が出て 「さらに」 裏が出ると 袋の中の白玉が5つになる。よって積の法則により 1 2% 1 2% 1 2= 1 8 p 1 8 (2) X=3になるには,コインを3回投げて全部赤玉を入れる作業をしないといけない。 (袋に赤玉が1個、2個だけしか入ってないなら絶対に赤玉を3個取れないですよね) よって,X=3となるには コインが 表が出て 「さらに」 表が出て 「さらに」 表が出る 「さらに」 5個(白2赤3)の袋から赤玉を3個を取り出せばX=3 表が出る確率は1 2 5個(白2赤3)の袋から赤玉を3個取り出す確率は3C3 3 5C = 1 10 よって求める確率は 積の法則によいr 1 2% 1 2% 1 2% 1 10= 1 80 p 1 80
模試対策(個数の処理!確率)
a b x 2 ax +bx+c=0の解がx=a, b のとき, ax +bx+c<0の解 . a<x<b2 a b x ax +bx+c>0の解 . x<a, b<x2 r x -3x+2<0 を解け。2 s 2 x -3x+2=0 の解は 0x-1 0x1 -2 =0 よりx=1, 21 よって,p 1<x<2 r x -4x+1>0 を解け。2 s 2 x -4x+1=0 の解は,解の公式より x=2$
U
-2 2 1 1・ 1 =2$U3 よって,p x<2-U3 , 2+U3 <x 次の 2 次不等式を解け。 10 (1) x -4x+3>0 (2) 2 x +5x+6<02 (3) 2 2 x -7x-4(0 (4) 6 2 x +x-2>0 s (1) 0x-1 0x1 -3 >0 より p x<1, 3<x1 (2) 0x+3 0x1 +2 <0 より p -3<x<-21 (3) 02x+1 0x1 -4 (0 より p -1 1 2(x(4 (4) 03x+2 0x1 -1 >0 より p x<-1 2 3, 1<x 絶対値の不等式 x =a の解は x=$a -a a -a a x x x <a の解は -a<x<a x >a の解は x<-a, a<x r x-1 <2 を解け。 s -2<x-1<2 より それぞれの辺に+1して p -1<x<3 2x-5 <a …… を解け。 11 s -a<2x-5<a より それぞれの辺に+5して -a+5<2x<a+5 また,それぞれの辺を2で割って -a+5 2 <x< + a 5 2 p + -a 5 2 <x< + a 5 2 2つの不等式 5 4x+a) 1 4 -a 2, 2 2 x +x-10<0を同時に満たす整数xがちょうど3個 12 であるようなaの値の範囲を求めよ。 s 5 4x+a) 1 4 -a 2 . 5 4x) 1 4 -3 2a . 5 4x・ 4 5)8
1 4-9
3 2a ・ 4 5 . x)1 5 -6 5a …… また, -3 -2 -1 0 1 2 -5 2 1 5 -6 5a 02x+5 0x1 -2 <0 より -1 5 2<x<2 …… 問題の条件を満たすには 右図の状態になっていればよい。よって -2<1 5 -6 5a(-1 それぞれの辺に5をかけて -10<1-6a(-5 それぞれの辺から1引いて -11<-6a(-6 それぞれの辺を-6で割ると 1 6>a)1 (q負の数で割ったので不等号の向きが逆になる) p 1(a<1 xについての連立方程式 13>
3x-a(2x+3 ( -x 6 5x-b …… がある。ただし,a, b は定数である。 (1) a=3,b=2 のとき,連立不等式を解け。 (2) 連立不等式の解が存在するためのa, b の条件式をつくれ。 -1 6 s (1) a=3,b=2を代入すると>
3x-3(2x+3 ( -x 6 5x-2 それぞれの式を整理すると>
x(6 ) x -1 数直線上に図示すると右図のようになるので p -1(x(6 (2) a+3 -6+b 4 図A>
3x-a(2x+3 ( -x 6 5x-b のそれぞれの式を整理すると>
( x a+3 ) x -6+b 4 … の式は右図Aのときは解をもたない。 図B (範囲がダブるところが全くない) a+3 + -6 b 4 なので 右図Bのような状態でないといけない すなわち -6+b 4 (a+3 を満たさなければならない 両辺4倍して -6+b ( 4a+12 b(4a+18 p b(4a+18模試対策(式の計算)
x y r h 右図のとき,それぞれの2つの辺の比を sin =h y 0たて1 r 0斜辺1,cos =h x 0よこ1 r 0斜辺1,tan =h y 0たて1 x 0よこ1 と定義する。 r sinh =3 5である直角三角形の図をかけ。 s 斜辺が5,たての辺が3の直角三角形より h 5 3 4 <補足> よこの辺の長さは三平方の定理で求める。 よこの辺の長さをxとおくと 5 =2 x +2 3 より 2 x =16 ,x=42 次の三角比を満たす直角三角形の図をかけ。 14 (1) sin =h 3 4 (2) cos =h 3 5 (3) tan h =3 4 3 U7 5 3 4 1 3 U10 <xy平面上での三角関数> 原点を基準に正負まで考える。
r sin 120, ,cos 120, ,tan 120, を求めよ。
120, O x y 三角形だけ 拡大すると . 60, 30, 1 2 U3 s 第1象限から120,の三角形(下図)をかく。 上図のような比の三角形だが,よこの辺は原点より左にあるから-1扱いをする すなわち sin 120, =U3 2 ,cos120,= -1 2 =-1 2,tan 120, = U3 -1=-U3
x
y
2 -U3 1 150,x
y
135, -1 U2 1 左図より psin 150, =1 2 cos 150, =-1 2 tan 150, =- 1 U3 sin 135, = 1 U2 cos 135, =- 1 U2 tan 135, =-1 sin 150, , cos 150,, tan 150,, sin 135, , cos 135, , tan 135, を求めよ。15 A B C a b c <正弦定理> a sin A= b sin B = c sin C =2R(R は外接円の半径) ペアとなる(アルファベットが同じ)角と辺が A B C a b c ペア! 分かっていれば,正弦定理を使って他の辺や角を 求めることができる可能性が非常に高い。 r C=45,, B=30,, c=4のとき,bを求めよ。 A
30,
45,
B C 4 ペア! p 図をかくと角Cと辺cが両方分かっているので 正弦定理より b = sin B c sin C = b sin 30, 4 sin 45, = b 4 % = sin 45, sin 30, % = 4 1 U2 1 2 4U2% = 1 2 2U2 120, A U6 2 ペア! B C r b=U6 , c=2, B=120,のとき,Cを求めよ。 p 図をかくと角Bと辺bが両方分かっているので 正弦定理より c = sin C b sin B = 2 sin C U6 sin 120, = sin C 2 sin 120, U6 = sin C sin 120,% = U6 2 % % = U3 2 1 U6 2 1 U2 よって,式を満たすCは45,と135,だが,B=120,なのでC=135,だと内角の和が180,よ り大きくなってしまうので,135,は不適。 よって, C=45, A B C a b c <余弦定理> a =2 b +2 c -2bccos A 2 b =2 c +2 a -2cacos B 2 2 c = 2 a + 2 b -2abcos C A B C a b c 2辺とその間の角が関係あるときは, 余弦定理を使って他の辺や角を 求めることができる可能性が非常に高い。 A B C 4 5 6 r a=6, b=4, c=5となる三角形ABCについて cos B の値を求めよ。 p 図をかくと,まず求める角Bがあり, さらにBをはさむ2辺の長さが分かっているので, 余弦定理より, b2=a2+c2-2accos B = 2 4 62+52-2 6 5 cos B・ ・ ・ = 16 36+25-60cos B = 60cos B 36+25-16 = 60cos B 45 = cos B 45= 60 3 4AB=3, 4A=60, の¦ABC があり,¦ABC の外接円の半径はU39
3 である。 16 (1) 辺BCの長さを求めよ。 B (2) 辺ACの長さを求めよ。 60, A C c=3 b a s (1) 正弦定理より a sin A=2R a sin 60, =2・ U39 3 a=2U39 3 !sin 60, =2U39 3 ! U3 2 = 3U13 3 =U13 p BC=U13 (2) 余弦定理より a =2 b +2 c -2bccos A2
0
U13 =1
2 b +2 3 -2・b・3・cos 60,2 13= 2 b +9-2・b・3・1 2 よって 13= 2 b +9-3b 整理して 2 b -3b-4=0 0b-4 0b1 +1 =0 bは辺の長さなので b>0 より1 b=4 p AC=4模試対策(図形と計量)
<割り算の関係式> 例えば 14&3=4…2 です。元の割られる数14は,割る数3と商4と余り2を使って 14=3%4+2 と表せます。すなわち,次の関係が成り立ちます。覚えましょう。 (元の式)=(割る式)%(商)+(余り) この関係を使って問題を解きます。 r xの3次式 P0 1x =x -3 0a-11x +32 0a-2 x-2aがある。P0 11 x をx-2で割ったときの 余りを求めよ。 s 商をQ,余りをRとおくと 3 x -0a-11 2 x +30a-2 x-2a=0x1 -2 Q+R1 x=2を代入すると (/割る式が0になるような数)
2 -0a3 -1 ・1 2 +30a2 -2 ・2-2a=0・Q+R1
整理して 0=R よって,余りは0 xの3次式 P0 1x =0x-3 02x1 +a がある。aは定数とする。P0 11 x をx-1で割った余りが-6 17 のとき,aの値を求めよ。 s (元の式)=(割る式)%(商)+(余り) 商は分からないのでQとおいて, で立式すると 0x-3 02x1 +a =0x1 -1 Q-61 x=1を代入 01-3 021 +a =0・Q-6 . -201 2+a =-6 整理して a=11 p a=1 余りが0(割り切れる)なら,前述の関係式は (元の式)=(割る式)%(商) となる。このことを利用して,因数分解できる。前述の例題の3次式を因数分解する。 rxの3次式 P0 1x = 3 x -0a-11 2 x +30a-2 x-2a を因数分解せよ。1 前述の例題より「x-2」で割り切れるはずなので,商をQとおくと x -3 0a-11x +32 0a-2 x-2a=0x1 -2 Q1 が成り立つ。両辺をx-2で割ると 文字式の割り算 の計算 - + - = 3 x 0a-11 2 x 30a-2 x1 2a -x 2 0x-2 Q1 -x 2 = &
0
x3-0a-11x2+30a-2 x1 -2a1
0x-21 Q = + + 2 x 0-a+3 x1 a Q -x 2 + + 2 x 0-a+3 x1 a -+ -3 x 0a-11 2 x 30a-2 x1 2a -3 x 2 2 x -+ 0-a+31x2 30a-2 x1 2a + 0-a+31x2 02a-6 x1 -ax 2a -ax 2a 0 よって 3 x -0a-11 2 x +30a-2 x-2a1 =0x-216
x +2 0-a+3 x1 +a7
整式P0 1x =x -3 0k+41x +2 02k+5 x+3k+1001 kは実数の定数 である。1 18 (1) P0-1 の値を求めよ。1 (2) P0 1x を因数分解せよ。 s (1) P0-1 =1 3 0-1 -0k1 +4 ・1 2 0-1 +02k1 +5 ・01 -1 +3k+101 =-1-k-4-2k-5+3k+10=0 p 0 (2) (1) よりP0-1 =0 より1 P0 1x =0x+1 Q の形で表すことができる1 3 x -0k+41 2 x +02k+5 x+3k+10=0x1 +1 Q1 + x 1 + + 2 x 0-k-5 x1 03k+101 + + + -3 x 0k+41x2 02k+5 x1 3k 10 + 3 x x2 + + + 0-k-51 2 x 02k+5 x1 3k 10 + 0-k-51 2 x 0-k-5 x1 + + 03k+10 x1 3k 10 + + 03k+10 x1 3k 10 0 計算 - + + + 3 x 0k+41x2 02k+5 x1 3k 10 + x 1 =Q 2 x +0-k-5 x+03k1 +10 =Q1 よって p P0 1x =0x+116
2 x +0-k-5 x+03k1 +1017
前述の例の問題は次のようなパターンに派生する場合が多いです。 rxの3次式 P0 1x = 3 x -0a-11 2 x +30a-2 x-2a とするとき,P0 11 x =0が虚数解をも つようなaの範囲を求めよ。 s 前述の例より P0 1x =0x-216
x +2 0-a+3 x1 +a である。よって7
0x-216
2 x +0-a+3 x1 +a =0 の解の1つは7
0x-2 =0より,x=2の実数解である。1 すなわち,虚数解0iが答えの式に入る解 を持つには1 2 x +0-a+3 x+a の方が虚数解を持たなければならない。ここで1 D>0 のとき 異なる2つの実数解をもつ D=0 のとき 重解をもつ D<0 のとき 実数解なし(異なる2つの虚数解をもつ) より,D<0 の条件を満たせばよい。D=b -4ac=2 0-a+3 -4・1・a=12 a -10a+ 9より2
a -10a+ 9<0 整理して 0a2 -1 0a1 - 9 < 0 より 1<a<91
(つづき)整式P0 1x =x -3 0k+41x +2 02k+5 x+3k+1001 kは実数の定数 である。1 18 (3) 3次方程式 P0 1x =0 が虚数解をもつようなkの値の範囲を求めよ。 s (2) より P0 1x =0x+11
6
2 x +0-k-5 x+03k1 +10 より17
0x+116
x +2 0-k-5 x+03k1 +10 =0 で虚数解をもつには17
2 x +0-k-5 x+03k1 +10 =0 の判別式をDとすると D<0のときである。1 D=0-k-5 -4・1・03k12 +101 = 2 k +10k+25-12k-40 = 2 k -2k-15 =0k+3 0k1 -51 より 0k+3 0k1 -5 <0 1 よって, p -3<k<5 r 2次方程式 2 x +ax+2=0 の解がx=1+iのとき,aの値を求めよ。ただし,iは虚 数単位とする。 s x=1+i が解とあるので,元の式に代入してよい。 01+i +a12 01+i +2=0 展開して 2i+a+ai+2=0 1 実部と虚部に分けると0a+2 +0a1 +2 i=0 左辺も0になるには a+2=0ならよいので a=-21
xの3次式 P0 1x = 3 x -0a-11 2 x +30a-2 x-2aがある。方程式P0 11 x =0の1つの解が 19 1+2iであるとき,aの値を求めよ。 s x -3 0a-11x +32 0a-2 x-2a=0 の1つの解がx=1+2i より元の式に代入すると1 3 01+2i -0a1 -11 2
01+2i +30a1 -2 011 +2i -2a=01 0-11-2i -01 a-1 0-31 +4i +30a1 -2 011 +2i -2a=01 展開して,整理すると
-20+4a-10i+2ai=0 実部と虚部に分けると
0-20+4a +0-101 +2a i=01 等式を満たすためには
>
-20+4a=0 = + -10 2a 0 ならよい,これを満たすaは上式を解いて p a=5模試対策(高次方程式)
傾きa,切片bの直線の方程式 y=ax+b 中心0a, b ,半径rの円の方程式 1 2 0x-a +1 2 0y-b =1 2 r 2つの図形の共有点は連立させると求めることができる。 r 円x +2 y =1 と 直線y=-2x+2 の共有点のx座標を求めよ。2 s 連立
>
+ = 2 x 2 y 1 … = y -2x+2 … をに代入すると 2 x + 2 0-2x+2 =1 整理して 51 2 x -8x+3=0 たすき掛けして 05x-3 0x1 -1 =0 よって,求めるx座標は x=1 3 5, 1 次の円と直線は共有点をもつ。その座標を求めよ。 20 円 2 x + 2 y =1,直線 y=x-1 s 直線 y=x-1 を円の方程式に代入すると 2 x + 2 0x-1 =1 展開して整理すると 21 2 x -2x=0 2x0x-1 =0 x=0, 11 x=0 のとき y=x-1=0-1=-1 x=1 のとき y=x-1=1-1=0 よって p 00, -1 ,01 1, 01 2つの図形の共有点を求める為に,連立させてできた2次方程式ax +bx+ c=0の判別式をDとすると2 Dの符号によって,2つのグラフの関係が分かる。 D>0 のとき 異なる2点で交わる(異なる2つの実数解をもつ) D=0 のとき 接する(重解をもつ) D<0 のとき 交わらない(実数解なし) r 円 x +2 y = r と直線y=x-1 が共有点をもつような半径rの範囲を求めよ。2 s y=x-1を円の方程式に代入すると x +2 0x-1 =r 整理して 212 x -2x+1-r= 02 共有点をもつには D)0 (共有点の個数については文章にないので,接しても2点で交わってもよ い)より D=0-2 - 4・212 01-r =4-8+8r=8r-4 より1 8r-4) 0 これを解いて r)1 2 円C:x +2 y - 6x-2y+ 5=0 と直線:y=mx02 mは正の定数 があり,直線は円Cに接している。1 21 mの値を求めよ。 s y=mx を円Cの式に代入すると x +2 0mx -6x-2・mx+5=0 整理して 12 01+m21x +2 0-6- 2m x+5= 0 ……1 接するので,の判別式をDとすると D=0 となる。 D=0-6-2m -4・12 01+m ・521 =36+24m+4m -20-202 m =-162 m +24m+162 より -16m +24m+16=02 -802m -3m2 -2 =0 . -801 2m+1 01m-2 =0 と変形できるので1 p m=-1 2, 2 直線の方程式 傾きmで点0a, b を通る直線の方程式は1 y-b=m0x-a . y=m0x1 -a +b1 r 傾き5で点A01, - 3 を通る直線の方程式を求めよ。1 s y+3=50 x-1 . y+3=5x- 5 . y=5x-81r 2点A02, 3 ,B01 4, 1 を通る直線の方程式を求めよ。1 s 傾き=yの変化量 xの変化量= -1 3 -4 2= -2 2 = -1 よって,傾き-1で点A02, 3 を通るので1 y-3=-0x-2 整理して y=-x+ 51 次の条件を満たす直線の方程式を求めよ。 22 (1) 傾きが2aで,点01, 2-a を通る直線1 (2) 2点04, - 1 ,01 1, 5 を通る直線1 s
(1) y-02- a =2a0x1 -1 . y-2+a=2ax-2a 整理して p y=2ax-3a+ 21 (2) 傾き=yの変化量 xの変化量= --1 5 -4 1 = -6 3 =-2 よって,傾き-2で04, - 1 を通るので1
y+1=-20x-4 . y+1=-2x+8 整理して p y=-2x+ 71
ある直線に垂直な直線の傾き 2つの直線が直角に交わるとき,2つの直線の傾きをそれぞれa, b とすると ab=-1 (傾きをかけて-1) が成り立つ。 r 直線 y=2x+3 に垂直で点01, - 2 を通る直線の方程式を求めよ。1 s 求める直線の傾きをmとおくと,直線y=2x+30傾きが2の直線 に垂直なので1 2%m=-1 が成り立つ。整理してm=-1 2より,求める直線の方程式は y+2=-1 20 x-1 整理して y=-1 1 2 x-3 2 次の点を通り,与えられた直線に垂直な直線の方程式を求めよ。 23 (1) 03,-1 ,y=3x+1 (2) 01 1,4 ,2x-5y-1=01 s (1) 求める直線の傾きをmとすると,直線y=3x+1 に垂直なので m%3=-1 これを解いて m=-1 3 よって y+1=-1 30x-3 整理して p y=-1 1 3x (2) 2x-5y-1=0を整理すると y=2 5 x-1 5 これに垂直な直線の傾きmとすると m%2 5 =-1 これを解いて m=-5 2 よって y-4=-5 20x-1 整理して p y=-1 5 2x+ 13 2 r 円 x +2 y +2x-3=0の中心と半径を求めよ。2 sxとyでそれぞれ2次式を作って平方完成する。 2 x +2x+ 2 y -3=0 . 2 0x+1 -1+1 2 y -3=0 . 0x+1 +12 y =4 よって,中心2 0-1, 0 ,半径21 Oを原点とする座標平面上に円 2 x + 2 y -2ax-y+ 2 a =0 0aは定数 ……と点A1 02, 1 が1 24 ある。 (1) 円の中心の座標をaを用いて表せ。また,円の半径を求めよ。 (2) 点Aを通り直線OAに垂直な直線をとする。直線の方程式を求めよ。また,円の 中心が直線上にあるとき,aの値を求めよ。 s (1) 2 x -2ax+ 2 y -y+ 2 a =0 . 2 0x-a -1 2 a + 2
8
y-19
2 -1 4+ 2 a =0 . 0x-a +12 28
y-19
2 = 1 4 よって, p 中心8 9
a, 1 2 半径 1 2 (2) 直線OAの傾きはyの変化量 xの変化量= 1 2 より,これに垂直な直線の傾きをmとすると m%1 2=-1 整理して m=-2 よっての傾きは-2で点A02, 1 を通るので1 y-1=-20x-2 整理して p y=-2x+51 また,円の中心8 9
a, 1 2 が直線:y=-2x+5上にあるとき 1 2=-2a+5 これを整理して p a= 9 4模試対策(図形と方程式)
-1 1 -1 1 180, p 1 - 1 U2 <弧度法> 2直線の開き具合を角度ではなく 単位円(半径1の円)の円周の弧の長さで表したもの。 p (rad)=180, を基準として覚えるとよい。 r sin5 4pを求めよ。 5 4p= 5 4%180,=225, より 右図(第3象限)より sin5 = 4p -1 U2
次の h について,sin h ,cos h ,tan h の値を,それぞれ求めよ。 25 (1) h=7 6p (2) h= 5 3 p (3) h=-3 4p sin7 = 6p -1 2 sin 5 3 p=-U3 2 sin
8
-9
3 4p =-1 U2 cos7 = 6p -U3 2 cos 5 3p= 1 2 cos8
-9
3 4p =-1 U2 tan7 = 6p 1 U3 tan 5 3p=-U3 tan8
-9
3 4p =1 a b r a <三角関数の合成(加法定理の逆変形)> asin h +bcos h は 右図のように,よこa たてbの直角三角形をかき 斜辺をr,角をaとするとasin h +bcos h =rsin 0h+a1
1
U3 2
60, rsin h +U3 cos h をrsin 0h+a の形に変形せよ。1
s
よこ1,たてU3 の直角三角形は右図のような 辺の比が1:2:U3 の直角三角形になるので sin h +U3 cos h =2sin
8
h+p9
3
関数y=sin 2h -U2 0sin h-cos h があり,t=sin h -cos h とおく。1 26
(1) h=p
4のとき,yの値を求めよ。
(2) tをrsin 0h+a 10r>0, -p<a(p の形であらわせ。また、sin 2h をtを用いて表せ。1 s (1) y=sinp 2 -U2
8
sin p 4 -cos9
p 4 =1-U28
1 U2 -9
1 U2 =1-1+1=1 p y=1 1 -1 U2 -45, (2) 右図よりt=sin h -cos h = p U2 sin
8
h-p9
4 また,t =2 0sin h-cos h =12 sin h -2sin h cos h +2 cos h2
=1-2sin hcos h
整理して 2sin h cos h =1- 2
t
また,sin 2h =2sin hcos h =1-2
t p sin 2h =1- 2
t
<加法定理>
sin 0a+b =sin acos b +cos a sin b1 cos 0a+b =cos a cos b -sin a sin b1
<2倍角の公式 加法定理のbをaと置き換えただけ> sin 2a =2sin a cos a
cos 2a =cos a -2 sin a =1-22 sin a =22 cos a -12
関数y=sin 2h -U2 0sin h-cos h があり,t=sin h -cos h とおく。1 27
yをtの式で表せ。
s 全問より
y=sin 2h -U2 0sin h-cos h1 =1-t -2 U2 t =- 2 t -U2 t+1 p y=-2 t -U2 t+1 - 32p-p - p2-1 p2 p 32p 1 y h y=sin h hの値に関わらず -1(sin (h 1 , -1(cos (h 1 なので asin h およびacos h の範囲は -a(asin (h a , -a(acos (h a である。 r U2 sin h 00(h(2p の最大値,最小値を求めよ。1 s 0(h<2pの範囲では -1(sin h (1 なので,それぞれにU2 をかけると -U2 (sin (h U2 より 最大値U2 最小値-U2
関数y=sin 2h -U2 0sin h-cos h があり,t=sin h -cos h とおく。1 28 (1) tの最大値と最小値を求めよ。 (2)yの最大値と最小値を求めよ。 s (1) 全問よりt=U2 sin
8
h-p9
4 -1(sin8
h-p9
4 (1 より -U2 (U2 sin8
h-p9
4 (U2 よって, p 最大値U2 , 最小値-U2 (2)全問や(1)より y=-t -2 U2 t+10
-U2 (t(U21
平方完成すると y=-0
2+1
t U2 t +1 =->
-?
+ 28
t+U29
2 28 9
U2 2 1 =-28
t+U29
2 + 1 2+1 =-28
t+U29
2 + 3 2 よって,頂点8
-U29
2 , 3 2 で定義域が-U2 (t(U2 2次関数のグラフをかくとO
U2 -3 -U2 2 3 2 y t 右図のようになる。 よって, p t=-U2 2 のとき 最大値 3 2 t=U2 のとき 最小値-3模試対策(三角関数)
等差数列
6
a があり,n7
a +1 a =6,4 a +2 a =9 を満たしている。また,数列66 7
bn 29 -1, 0, 3, 8, 15, …… があり,その階差数列は等差数列である。 (1) 数列6
a の一般項n7
a をnを用いて表せ。n (2) 数列6 7
b の一般項n b をnを用いて表せ。n (3) a +n 1 2b の整数部分をn c とするとき,n c 2k0k=1, 2, 3, …… をkを用いて表せ。1 (1) 初項a,公差dとおいて,問題の条件式に等差数列の一般項の式を代入する。 (2) 階差数列の解き方そのまま (3) c2k0k=1, 2, 3, …… とは,1 c , 2c , 4 c6, c , ……のことである。8 数列での模試,入試問題では,実際に書き出してみると規則性が分かることが多い。 c , 2c , 4 c6, c , くらいまで,実際に求めてみよう。8 s (1) 初項a, 公差d とおくと a =a+n 0n-1 d なので1 a +1 a =6 より a+a+3d=6 整理して 2a+3d=6 ……4 a +2 a =9 より a+d+a+5d=9 整理して 2a+6d=9 ……6 ,を解いて a=3 2, d=1 よって a =n 3 2+0n-1 ・1 整理して p 1 a =n+n 1 2 (2)数列b の階差数列を書き出すとn 1, 3, 5, 7, …… より,初項1, 公差2の等差数列になっているので, 階差数列の一般項は 1+0n-1 ・2=2n-11 よって, 求める数列b の一般項はn n)2のとき b =-1+n = k 1 -n 1 P 02k-1 =-1+21 = k 1 -n 1 P k-= k 1 -n 1 P 1 =-1+2!1 20n-1 n-0n1 -1 整理して 1 b =n 2 n -2n n=1 のとき 1 -2・1=-1 より成り立つよって p 2 n b =n -2n2 (3) c =n a +n 1 2b =n+n 1 2+ 1 20
2 n -2n =1
1 2 2 n +1 2より c =2k 1 2・ 2 02k +1 1 2=2 2 k +1 2 整数部分は1 2のところは切り捨てられるから p c =22k k2 t c =2 + 2 2 1 2 = 5 2=2.5, c =4 + 2 4 1 2 = 17 2 =8.5 c =6 + 2 6 1 2 = 37 2 =18.5, c =8 + 2 8 1 2 = 65 2 =32.5 整数部分はそれぞれ2, 8, 18, 32, …… これの階差数列をとると6, 10, 14, ……と初項6,公差4の等差数列となっている。 よって,(2)のように階差数列の解き方でも出せる。 数列6
a は等差数列であり,n7
a =-11,3 a -9 a =6を満たしている。6 30 (1) 数列6
a の公差を求めよ。また,数列n7
6
a の一般項n7
a をnを用いて表せ。n (2) S =n a +1 a +2 a +……+3 an0n=1, 2, 3, …… とする。1 S を最小にするnの値を求めよ。n また,S の最小値を求めよ。n (3) = k 1 7 P 1 k aak+1 の値を求めよ。 (1) 初項a,公差dとおいて,問題の条件式に等差数列の一般項の式を代入する。 (2)a <0を満たす最大のnが求める答えである。(正の数になるn a を足すと大きくなってn しまう) n S は等差数列の和の公式か,P 計算でnで表して,そこに前述のnを代入する。 (3) やはり,具体的に書き並べてみよう。 1 k aak+1 部分分数分解を利用する問題だと気づく はず。u 部分分数分解 b>aとして, 1 ab= 1 -b a8
1 a-9
1 b が成り立つ。 s (1) 初項a,公差dとおくと a =a+n 0n-1 d なので1 a =-11 より a+2d=-11 ……3 a -9 a =6 より 6 0a+8d -0a1 +5d =6 整理して 3d=6 ……1 ,を解いてa=-15, d=2 なので p 公差 2 また,a =-15+n 0n-1 ・2 整理して p 1 a =2n-17n (2) 等差数列の初項から第n項までの和S はn S =n 1 2n0
a1+a =n1
1 2n0-15+2n-17 =1 1 2n02n-32 =1 2 n -16n また,a <0 となるnはn 2n-17<0 これを解いて n<17 2 =8.5 よって第8項までは負の数であるので,初 項から第8項までの和が最小となる。よって S =8 8 -16・8=-64 p-642 (3)an+1=20n+1 -17=2n-15 より1 1 k a ak+1 = 1 02n-17 012n-151= 1 28
1 -2n 17-9
1 -2n 15 よって = k 1 7 P 1 k aak+1 =1 28
1 -15-9
1 -13 + 1 28
1 -13-9
1 -11 +……+ 1 28
1 -3-9
1 -1 =1 28
1 -15 -1 -13+ 1 -13 -1 -11+ 1 -11-……+ 1 -3-9
1 -1 =1 28
1 -15-9
1 -1 =1 28
-1 15+19
=1 2・ 14 15= 7 15 p 7 15模試対策(数列)
x軸方向にa,y軸方向にb平行移動したグラフの式は 元のグラフの式の「x」を「x-a」,「y」を「y-b」
x
y
O
に変えたものである。 r y=-2 2 x のグラフをx軸方向に3,y軸方向に2 平行移動したグラフは y-2=-20x-3 整理して y=-212 0x-3 +212 の頂点03, 2 ,軸x=2の放物線である。1 r y= 2 x +2xのグラフを x軸方向に2a,y軸方向にa-1平行移動したグラフの方程式を求めよ。 s y-0a-1 =1 0 - 12 x 2a +20x-2a1 y-a+1= 2 x -4ax+4 2 a +2x-4a 整理して y= 2 x +0-4a+2 x+41 2 a -3a-1 放物線がx軸と交わる(交わらない)条件 (i)下に凸のグラフのとき (ii)上に凸のグラフのときx
y
O
x
y
O
正 負 頂点のy座標が負になると 頂点のy座標が正になると 異なる2点で交わる 異なる2点で交わる r 放物線 y= 2x +4ax+4 0aは定数 とx軸が異なる2点で交わるとき,aのとり得る値1 の範囲を求めよ。 s y=0x+2a -412 a +4 より 頂点2
0
-2a, -4a2+4 である。また,下に凸のグラフで1
あるので,x軸と異なる2点で交わるにはy座標がの数になっていればよいので -4 2 a +4<0 両辺を-4で割って 2 a -1>00a+1 0a1 -1 >0 よって a<-1, 1<a1 放物線C :1 y=x +4x+ 4 がある。また,2 1 C をx軸方向に2a+2,y軸方向に-2a + 3aだけ平行移動し2 31 た放物線をC :y=f0 12 x とする。ただし,aは定数とする。 (1) 放物線C の頂点の座標を求めよ。1 (2) 放物線C とx軸が異なる2点で交わるとき,aのとり得る値の範囲を求めよ。2 s (1) 平方完成すると y=0x+2 -4+4 =12 0x+2 より p 頂点012 -2, 01 (2) C の方程式は2 y-0-2a2+3a =1 6x-02a+21+2 整理して72 y=0x-2a -212 a + 3a2 下に凸のグラフより,頂点のy座標が負なら異なる2点で交わる。すなわち -2a + 3a<02 2a -3a> 02 2a0a-3 >0 よって p a< 0, 3< a1
r 2次関数 y=
x +4x-5
2 0-2a (x(a
+1 における最小値mを求めよ。ただ
1し,a>0とする。
p 平方完成すると
=
y
0x
+
2
12-
4
-
5
=
0
x
+
2
1
2-
9
よって,軸 x=-2 ( 頂点は
0-2,
-9 )
1範囲が文字なので,aの値によって最小値の場所が違ってくるので以下のよ
うな図のように3パターンに分けて考える。
a+1
-2a
-2a
a+1
-2
-2
-2
a+1
-2a
x
x
x
最小値の場所が
範囲の一番右端
になるとき
最小値の場所が
範囲の間にある
(右端でも左端で
もない)場合
最小値の場所が
範囲の一番左端
になるとき
上図のそれぞれの状態のときの条件を数式で表してみると
a+1<-2 のとき
ただし,a>0(aは正の数)なので-2より小さくなることはない。
よって,式が条件に矛盾するのでこの図の状態には絶対にならない。
-2a>-2 整理して a<1 ただし,a>0 より
「0<a<1」のとき
最小値は x=-2aの ときである。
y=
0x
+
2 -9 に x=-2a を代入すると
12y=
0-2a
+
2 -9=4
12a -8a-5
2 でもでもない場合 すなわち 「a)1」のとき
最小値は頂点のy座標である。頂点は
0-2,
-9 だったので
1最小値は-9である。
より
最小値は
>
0
<
a
<
1のとき 4
-
-2a
8a
5
)
a
1のとき
-
9
2次関数 y=x +4x-5 0-2a+1(x( a2 + 1 における最小値mを求めよ。ただし,a> 0とする。1 32 s y=0x+2 -4-512 y=0x+2 -9 より頂点0-2, 12 -9 ,軸x=-21 a+1 -2a+1 -2 x a+1 -2a+1 -2 x (i) a+ 1<-2 すなわち a< -3のとき x=a+1のとき最小となるが,問題にa> 0 とあるので,この場合は考えない (ii) -2a+1> -2 すなわち 0<a<32のとき x=-2a+ 1のとき最小となるので y=0-2a+1+2 -912 =0-2a+3 -912 =4a -12a2 a+1 -2a+1 -2 x
(iii) (i), (ii)以外,すなわちa)32のとき 頂点が最小となるので,最小値-9 (i)(ii)(iii)より p
F
< 0 a<32のとき 4a2-12a ) a 3 -2のとき 9模試対策(2次関数)
次の放物線上の与えられた点における接線の方程式を求めよ。 33 (1) y= 2 x (1,1) (2) y= 2 x -2x+1 (-1,4) y -=2x より x=1 を代入すると y -=2x-2 より x=-1 を代入すると y -=2 なので傾き2 よって y -=-2-2=-4 なので傾き-4よって y-1=20x-1 y-4=-401 x+11 y=2x-1 y=-4x p (1) y=2x-1 (2) y=-4x
x
y
O
1 1 関数 y= 3 x -3x+2 の極値を求め,グラフをかけ。 s y-=3 2 x -3=30x+1 0x1 -1 より1 30x+1 0x1 -1 =0 を満たす x=-1, 11 増減表をかくと x … -1 … 1 … y - + 0 - 0 + y 9 4 : 0 9 34 よってx
y
O
1 -1 4 2 p x=-1 で極大値 4,x=1 で極小値 0, グラフは "図# 次の関数の最大値,最小値を求めよ。 35 y= 3 x +6 2 x +9x 0-2(x(11 s y-=3x +12x+9=32 0x+3 0x1 +1 より1 30x+3 0x1 +1 =0 を満たす x=-3, -11 定義域を考慮して増減表をかくと x -2 … -1 … 1 y - - - 0 + + y -2 : -4 9 16 よって p x=1 で最大値 16,x=-1 で最小値 -4 関数f0 1x = 3 x -6 2 x +10x-3 がある。y=f0 1x のグラフをCとし,点A01, f0 11 1 36 におけるCの接線をとする。 (1) f -0 11 の値を求めよ。また,接線の方程式を求めよ。 (2) 曲線C上の点Pにおける接線をmとする。点Pが曲線C上を動くとき,mの傾きの最小値 とそのときの点Pの座標を求めよ。 (2) 点Pの座標を0t, f0 1t とおくと,接線mの傾きはf -1 0 1t である。これはtの2次式になるので, 2次関数の最小値を求める問題の要領で解く。 s (1) f -0 1x =3 2 x -12x+10 より f -0 11 =3・1 -12・1+10=1 p f -0 12 1 =1 また,x=1における接線の傾きは上記より1で f0 11 = 3 1 -6・ 2 1 +10・1-3=2より 点A01, 2 を通るのでの方程式は1 y-2=1・0x-1 整理して p y=x+11 (2) 点P0
t, t -63 x +10x2 -3 とおくと1
点Pにおける接線mの傾きは f -0 1t =3 2 t -12t+10 となる。平方完成すると 30
2 t-4t +101
=36
2 0t-21-4 +107
=3 2 0t-2 -12+101 =30t-2 -212 よって,接線mの傾きの最小値は p 2 またこのときt=2なので代入すると 点P0
2, 3 2 -6・ 2 2 +10・2-3 整理して p P01
2, 11模試対策(微分法)
平面上に OA=3, OB=2U2 , 4AOB=45,の¦OABがあり,辺ABを2:1に内分する点 37
をCとする。また,OA=a,OB=b とする。
(1) 内積a・b の値を求めよ。また,OCをa, b を用いて表せ。
(2) kは実数とする。直線OC上に OD=kOC となる点Dをとる。AD5OA であるとき,k の値を求め,ODをa,b を用いて表せ。 (3) (2)のとき,辺OAの中点をE,直線ECとBDの交点をFとする。 OFをa, b を用いて表せ。 O A B 45, a b C 2 1 s (1) a・b= a b cos 45, =3!2U2 ! 1 U2 =6 p a・b=6 また,点CはA, Bを2:1に内分する点なので p OC=1 3a+ 2 3b (2) OD=kOC=k
8
1 3a+9
2 3b = 1 3ka+ 2 3kb AD5OA のとき AD・OA=00
OD-OA ・OA=01
8
1 3ka+ 2 3kb-a ・a=09
1 3k 2 a +2 3 ka・b-2 a =0 1 3k・ 2 3 +2 3 k・6-2 3 =0 . 3k+4k-9=0 整理して p k=9 7 よって OD=1 3・ 9 7a+ 2 3・ 9 7b= 3 7a+ 6 7b p OD= 3 7a+ 6 7b O A B 45, a b C D E F (3) 題意より右図のようになる。 (i) FはDBを1-s:s に内分するとおくと OF=sOD+01-s OB1 =s8
3 7a+9
6 7b +01-s b 整理して1 OF=3 7sa+8
1-9
1 7s b …… (ii) またEF=EC とおくことができる (左辺)=EF=OF-OE=OF-1 2a (右辺)=EC=0
OC-OE =1
8
1 3a+ 2 3b-9
1 2a =-1 6a+ 2 3b より EF=EC OF-1 2 a=-1 6a+ 2 3b . OF=8
1 2-9
1 6 a+ 2 3b …… aとbは1次独立であり,よりa, b の係数に注目するとF
= 3 7s -1 2 1 6 = -1 1 7s 2 3 この連立方程式を解くと s= 7 11,= 15 11 s= 7 11をに代入すると p OF= 3 11a+ 10 11b ¦OABがあり,OA=3,OB=U3 である。辺ABの中点をC,線分OCを2:1 に内分する 38 点をDとし,OA=a,OB=b とする。(1) OC を a,b を用いて表せ。また,OD を a,b を用いて表せ。 (2) 内積 a・b=2 のとき,線分OCの長さを求めよ。 s O A B C D a 2 b 1 (1) CはABの中点01:1に内分 なので pOC=1 1 2a+ 1 2b また,OD=2 3OC より OD=2 3
8
1 2a+9
1 2b = 1 3a+ 1 3b (2) OC =2 1 + 2 2a 1 2b =1 4 2 a +1 2a・b+ 1 4 2 b =1 4・ 2 3 +1 2・2+ 1 4・ 20
U31
=16 4 =4 OC >0 より p OC =2模試対策(ベクトル)
(2x-3)06x +33 x + 2x2 -7 を展開して整理したときの,1 x の係数は 02 ア1 である。 1 2次方程式 ax +bx+ c=0 について D=2 b -4acのとき2 D>0 のとき 異なる2つの実数解をもつ D=0 のとき 重解をもつ D<0 のとき 実数解なし(異なる2つの虚数解をもつ)
r2次方程式 x +ax+4 =0 2 0aは正の定数 が重解をもつとき,a= 01 ア1 であり,そのときの重解は x= 0イ1 である。 s 重解をもつのでD=0 また D=a -4・1・4=2 a -16 より 2 a -16= 0 整理して2 a =16 aは正の定数と問題にあるので a=42 このとき,重解(2次方程式の解のこと,ただし重解は解が1つとなる)は x +4x+ 4=0 2 0x+2 = 0 より 重解は x=-212 mを正の定数とする。2次方程式 x -mx+m+3=0 が重解をもつとき,mの値は2 2 0ア1 であり,その重解はx= 0イ1 である。 2次関数 y=x +bx +c の頂点,軸を求めるには平方完成をします。2 次のような2回,簡単な計算を行います。 半分の数が入る y=x +bx +c2 2乗した数を引く =
8
x+b9
2 2 -2 b 4 +c よって,頂点8
-b 2, -2 b 4 + c 軸x=-9
b 2 2 x の係数が1ではない場合,例えばy=ax +bx +cの場合はxのついた項をaでくくる2 /aでくくった /カッコの中で平方完成(半分1 2,2乗をひく) =y ax2+bx+c =a8
x2+b9
+ ax c =a>
8
x+ b9
2-?
+ 2a 2 b 4a2 c /中カッコの中の式にaをかける(展開) =a8
x+ b9
2 2a -2 b 4a+c よって,頂点8
-b 2a, -2 b 4a+c ,軸x=-9
b 2a r y=x -6x+1の頂点と軸を求めよ。2 s y=0x-3 -9+1=12 0x-3 -8 より 頂点03, 12 - 8 ,軸x=31 r y=2x - 12x+1 の頂点と軸を求めよ。2 s y=20x2-6x +1= 21 60x-312-9 +17 =20x-3 -18+1 =212 0x-3 -17 より 頂点03, 12 - 17 ,軸x=31 a, b を定数とする。放物線y=x +ax+b の頂点の座標は2 01, 2 のとき,1 3 a= 0ア1 ,b= 0イ1 である。 ○2次不等式 2 ax +bx+c<0 や 2 ax +bx+c>0 の左辺を因数分解できた場合。 a0x-a 0x1 -b <0 の解は a<x<b1 a0x-a 0x1 -b >0 の解は x<a, b<x1 r 2 x -5x+6<0 を解け。 s 0x-2 0x1 -3 <0 より p 2<x<31 ○絶対値の不等式の解 x <a の解は -a<x<a x >a の解は x<-a, a<x r x <5を解け。 p -5<x<5 2次不等式 2 x +x-6<0 の解は 0ア1 である。また, 2 x +x-6<0 を満たすすべてのxが 4 x <a を満たすような正の定数aの最大値は 0イ1 である。 <箱ひげ図> 第1 第2 第3 1, 3, 5, 7, 8, 9, 11 上の「小さい順」に並べたデータの 最小値 「1」 第1四分位数 「3」 中央値(第2四分位数)「7」 第3四分位数 「9」 最大値「11」 である。これの5つの数を1つの図にしたものが「箱ひげ図」です。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *四分位数は真ん中の数がないときは,両隣の数の平均の値をとります。 ちょうど真ん中 がない 1, 3, 4, 5の中央値は 3+4 2 =3.5 次の 0ア1 に当てはまるものを下の~のうちから1つ選べ。 5 あるクラス25人に数学の小テストをした結果をまとめた次の資料のうち,ヒストグラムと (人数) (点) (点) (人数) (点) (点) (人数) (点) (点) (人数) (点) (点) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 箱ひげ図が同じデータの分布を表しているものは 0ア1 である。模試対策(小問集合)
r nP :n個の中からr個選んで,さらに,そのr個を並べる場合の数。 r 10人の選手の中から4人選んでリレーの走順を決めるときの場合の数 10P =10・9・8・7=5040 通り4 q10人の中から,まず4人選びますね。さらに,その4人が1走から4走まで誰が走るかまで 決めろという文章ですよね。なのでnP のニュアンスと一致しています。r r nC :n個の中からr個選ぶときの場合の数。 r 10人のグループの中から,4人代表を選ぶときの場合の数 10C =4 ・ ・ ・ 10 9 8 7 4! = ・ ・ ・ 10 9 8 7 ・ ・ ・ 4 3 2 1 =210 通り q前問の文章と似ていますが,10人の中から4人選んだあとに,その人たちを並べるよう な文はないですね。よって,nC のニュアンスと一致します。r r !:r個を並べる場合の数 r 1から4までの番号がかかれたカードを横一列に並べる並べ方 4!=4・3・2・1=24 通り qP, C と違って,選ぶというニュアンスはなく,ただ一列に並べるだけというニュアン スのときは!(階乗)です。 次のものの総数を求めよ。 6 (1) a,b,c,d,e の 5 個の文字から異なる 3 個を選んで 1 列に並べるときの並べ方 (2) triangle の 8 文字すべてを 1 列に並べるときの並べ方 (3)25 人の生徒の中から,兼任は認めないで,議長,副議長,書記を各 1 人選ぶときの選 び方 正五角形について,次の数を求めよ。 (4) 3 個の頂点でできる三角形の個数 和の法則,積の法則 問題の文章に 「または」を入れても問題の意味が成立するなら場合の数を「足す」とよい 「さらに」を入れても問題の意味が成立するなら場合の数を「かける」とよい r レストランに5種の和食メニューと4種の洋食メニューがある。1品だけ選ぶとき メニューの選び方は何通りあるか。 s メニューは 和食5種 「または」 洋食4種 あるので全部で 5+4=9 種類ある よって,9通り選べる。 r レストランのランチセットで食べ物4種類と,飲み物3種類の中からそれぞれ1種類ず つ選べる。ランチセットの注文の仕方は全部で何通りか。 s セットは 食べ物4種類の中から選んで 「さらに」 飲み物3種類の中から選ぶ よって,頼み方は全部で 4%3=12 通り 2 桁の自然数のうち,各位の数字の積が次のようになるものは何個あるか。 7 (1) 奇数になる。 (2) 偶数になる。 確率(物事が起こる頻度を表した数)の定義 該当する事象の数0問題の条件に当てはまるパターン1 全事象の数0全パターン1 r袋の中に100円硬貨が5枚と50円硬貨が3枚入っている。この袋の中から同時に4枚の硬貨 を無作為に取り出す。 取り出した4枚の硬貨が100円硬貨3枚と50円硬貨1枚である確率を求めよ。 s 分母(全パターン)は袋に入っている硬貨から4枚取り出す取り出し方である。 よって,全部で8枚の中から4枚の取り出し方8C =4 ・ ・ ・ 8 7 6 5 ・ ・ ・ 4 3 2 1=7・2・5 また,分子は 100円硬貨5枚の中から3枚選んで 「さらに」 50円硬貨3枚の中から1枚選ぶ 5C %3 3C =1 ・ ・ 5 4 3 ・ ・ 3 2 1% 3 1=5・2・3 よって,求める確率は 5C3%3C1 4 8C =5 2 3・ ・ ・ ・ 7 2 5= 3 7 上記のとき,取り出した4枚の硬貨が100円硬貨2枚と50円硬貨2枚である確率を求めよ。 8 白玉が2個入っている袋がある。コインを1枚投げて,表が出れば赤玉を1個,裏が出れば 9 白玉を1個,この袋に入れる操作を3回行い,袋の中の玉の個数を5個にする。さらに,こ の袋から3個の玉を同時に取り出し,取り出された赤玉の個数をXとする。 (1) コインを3回投げた結果,袋の中の玉が白玉5個になっている確率を求めよ。 (2)X=3である確率を求めよ。
模試対策(個数の処理!確率)
a b x 2 ax +bx+c=0の解がx=a, b のとき, ax +bx+c<0の解 . a<x<b2 a b x ax +bx+c>0の解 . x<a, b<x2 r x -3x+2<0 を解け。2 s 2 x -3x+2=0 の解は 0x-1 0x1 -2 =0 よりx=1, 21 よって,p 1<x<2 r x -4x+1>0 を解け。2 s 2 x -4x+1=0 の解は,解の公式より x=2$