1 s と Z(s)の関係 2019 年 3 月 22 日 目次へ戻る s が虚軸を含む複素平面右半面の値の時、X(s)も虚軸を含む複素平面右半面の値でなけれ ばなりません。その訳を探ります。本章では、受動回路をインピーダンス Z(s)にしていま す。リアクタンス回路の駆動点リアクタンスX(s)も Z(s)に含まれます。 1、Z(s)に正弦波電流を入れた時 「抵抗、コイル、コンデンサーで作られた受動回路の、 ラプラスの世界でのインピーダンスを Z(s)とします。そこ に最大値I の正弦波電流、
i
I
sin
ω
t
I
Im
e
jωtを流す時、 定常状態でのZ(s)の両端電圧 e を求めて下さい。」 受動回路とは内部に電源を持たない回路のことです。電流が正弦波交流ですから交流理 論になります。s＝jω を行います。s は虚軸上の値 jω となり、インピーダンスは Z(jω)です。 計算しますと、)
t
sin(
V
e
Im
)
j
(
Z
I
e
)
j
(
Z
e
Im
I
)
j
(
Z
i
e
ω
jωtω
jθω
(jωt θ)ω
θ
)
j
(
Z
I
V
ω
Z
(
j
ω
)
Re
2Z
(
j
ω
)
Im
2Z
(
j
ω
)
)
j
(
Z
Re
)
j
(
Z
Im
tan
1ω
ω
θ
になります。 Re と Im はそれぞれ複素数の実数部、虚数部を表します。定常状態で最大値 V の電圧が 生じます。θ はインピーダンス Z(jω)の偏角です。 インピーダンスの偏角が誘導性で＋の場合、電圧は電流より進みV
sin(
ω
t
θ
)
となりま す。電流基準ですので電圧が進んでいます。インピーダンスの偏角が容量性で－の場合、 電圧は電流より遅れ、V
sin(
ω
t
θ
)
となります。電流基準ですので電圧が遅れています。 この時、電力の瞬時値p は、t
sin
I
)
t
sin(
V
i
e
p
ω
θ
ω
t
sin
)
t
sin(
I
V
ω
θ
ω
t
sin
)
sin
t
cos
cos
t
(sin
I
V
ω
θ
ω
θ
ω
)
sin
t
cos
t
sin
cos
t
(sin
I
V
2ω
θ
ω
ω
θ
)
sin
t
cos
t
sin
2
cos
t
sin
2
(
2
1
I
V
2ω
θ
ω
ω
θ
}
sin
t
2
sin
cos
)
t
2
cos
1
{(
I
V
2
1
θ
ω
θ
ω
)
sin
t
2
sin
cos
t
2
cos
(cos
I
V
2
1
θ
ω
θ
ω
θ
最大値 最大値2
)}
sin
t
2
sin
cos
t
2
(cos
{cos
I
V
2
1
θ
ω
θ
ω
θ
)}
t
2
cos(
{cos
I
V
2
1
θ
ω
θ
になります。加法定理と、
2
sin
2θ
1
cos
2
θ
、2
sin
θ
cos
θ
sin
2
θ
の公式を使いました。電力は瞬時値p で表すより、瞬時電力の 1 周期（t 秒）分の平均をとり、平均電力 P で 表す方が普通です。P は有効電力、消費電力、単に電力とも呼びます。角周波数
ω
2π
f
で、 f は周波数ですから、t はf
1
秒になります。またπ
ω
2
f
ですから、ω
π
2
t
になります。 t 0pdt
t
1
P
p の 0 から t までの面積を求め、t で割れば平均が出ます。 ω πθ
ω
θ
π
ω
2 02
V
I
{cos
cos(
2
t
)}
dt
1
2
ω πθ
ω
θ
π
ω
2 0{cos
cos(
2
t
)}
dt
4
I
V
ω π ω πθ
ω
θ
π
ω
2 0 2 0dt
cos(
2
t
)
dt
cos
4
I
V
ω π ω πθ
ω
ω
θ
π
ω
2 0 2 02
sin(
2
t
)
1
cos
4
I
V
t
}
sin
)
4
{sin(
2
1
2
cos
4
I
V
θ
θ
π
ω
ω
π
θ
π
ω
θ
ω
π
π
ω
2
cos
4
I
V
θ
cos
I
V
2
1
です。1 周期分の平均をとりますと、電圧電流間の位相差が原因で電源と回路の間を倍の角 周波数で行き来している無効電力の項は消滅します。 V も I も最大値です。正弦波交流の実効値は、V も I も最大値の2
1
ですから、θ
cos
I
2
1
V
2
1
θ
cos
I
V
RMS RMS3 と変形出来ます。平均電力は、電圧の実効値VRMS×電流の実効値IRMS×力率cosθ になりま す。力率はインピーダンスZ(jω)の偏角 θ の cos です。cos は偶関数ですから、誘導性のイ ンピーダンスでも容量性のインピーダンスでも偏角θ の絶対値が同じなら、力率は同じにな ります。受動回路の力率cosθ は、0 から 1 つまり 0％から 100％までです。受動回路は電 力を消費しますが、電力を供給しません。ですから力率がマイナスになることはありませ ん。力率がマイナスになりますと、受動回路から電源へ電力を供給していることになり、 間違っています。受動回路のインピーダンスZ(jω)の偏角 θ は、
2
π
≦θ≦2
π
となります。 Z(jω)の偏角 θ が2
π
で力率 0％になるのは、抵抗成分 ReZ(jω)が 0 で、リアクタンス成分 ImZ(jω)が誘導性の場合です。 Z(jω)の偏角 θ が2
π
で力率 0％になるのは、抵抗成分 ReZ(jω)が 0 でリアクタンス成分 ImZ(jω)が容量性の場合です。 共に抵抗が無く、リアクタンスだけの回路の場合です。抵抗がある場合の力率は0％にな りません。必ず電力を消費します。2
π
≦θ≦2
π
で、θ
ω
ω
)
Z
(
j
)
cos
j
(
Z
Re
≧0 になります。Z(s)の虚軸上の値、Z(jω)の実部は負になりません。 2、Z(s)に振幅が拡大する正弦波電流を入れた時 「抵抗、コイル、コンデンサーで作られた受動回路の、ラプラスの世界でのインピーダ ンスをZ(s)とします。そこに、初期最大値 I で振幅が拡大する正弦波電流、i
I
e
σtsin
ω
t
を 流した時、Z(s)両端の電圧 e をラプラス変換を使って求めて下さい。」 L( )を括弧内関数のラプラス変換、L－1( )を括弧内関数のラプラス逆変換とします。 2 2 t)
s
(
I
)
t
sin
e
I
(
L
ω
σ
ω
ω
σ)
j
s
)(
j
s
(
I
ω
σ
ω
σ
ω
ですので、ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
j
s
B
j
s
A
)
j
s
)(
j
s
(
I
)
s
(
Z
e
Z(s)4 となります。留数を求めますと、 ω σ
ω
σ
ω
σ
ω
ω
σ
j s)
j
s
)(
j
s
(
I
)
s
(
Z
)
j
s
(
A
j
2
I
)
j
(
Z
j
2
I
)
j
(
Z
j
j
I
)
j
(
Z
σ
ω
ω
ω
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
ω
σ
ω σω
σ
ω
σ
ω
ω
σ
j s)
j
s
)(
j
s
(
I
)
s
(
Z
)
j
s
(
B
j
2
I
)
j
(
Z
j
2
I
)
j
(
Z
j
j
I
)
j
(
Z
σ
ω
ω
ω
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
ω
σ
です。)
j
(
s
B
)
j
(
s
A
j
s
B
j
s
A
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ですので、ラプラス逆変換をしますと、)
j
(
s
j
2
I
)
j
(
Z
)
j
(
s
j
2
I
)
j
(
Z
L
1ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
t ) j ( t ) j (e
j
2
1
I
)
j
(
Z
e
j
2
1
I
)
j
(
Z
σ
ω
σ ωσ
ω
σ ω t j t j t j t je
j
2
1
e
)
(
Z
I
e
j
2
1
e
)
(
Z
I
σ
ω
θ σ ωσ
ω
θ σ ω θ ω σ θ ω σt j t je
t j t jj
2
1
V
e
j
2
1
V
) t (j t ) t ( j te
e
j
2
1
V
e
e
j
2
1
V
σ ω θ σ ω θj
2
e
e
Ve
) t (j ) t (j t ω θ ω θ σ)
t
sin(
Ve
σtω
θ
5
)
j
(
Z
I
V
σ
ω
Z
(
σ
j
ω
)
Re
2Z
(
σ
j
ω
)
Im
2Z
(
σ
j
ω
)
)
j
(
Z
Re
)
j
(
Z
Im
tan
1ω
σ
ω
σ
θ
です。ラプラスの世界のインピーダンスZ(s)は、振幅が拡大する正弦波電流が流れる時、s にσ＋jω を代入した Z(σ＋jω)になります。 Z(s)の両端電圧は、振幅が拡大する正弦波電流値に、複素数 Z(σ＋jω)の絶対値を掛けた値 になります。電圧の位相は、複素数Z(σ＋jω)の偏角だけ電流の位相と違います。 次に、)
t
sin(
e
V
e
σω
θ
t
sin
e
I
i
σω
として電力を求めます。V は電圧の初期最大値、I は電流の初期最大値です。σ（シグマ）＞ 0 としますので振幅が増大して行く正弦波です。θ は電流と電圧の位相差です。位相差は、 負荷である受動回路Z(σ＋jω)の偏角と同じです。偏角はプラスの値と仮定します。電流基準 ですので電圧が進み電流が遅れています。電力の瞬時値p は、t
sin
e
I
)
t
sin(
e
V
i
e
p
t tω
θ
ω
σ σt
sin
)
t
sin(
e
I
V
2 tω
θ
ω
σt
sin
)
sin
t
cos
cos
t
(sin
e
I
V
2 tω
θ
ω
θ
ω
σ)
sin
t
cos
t
sin
cos
t
(sin
e
I
V
2σt 2ω
θ
ω
ω
θ
)
sin
t
cos
t
sin
2
cos
t
sin
2
(
2
1
e
I
V
2σt 2ω
θ
ω
ω
θ
}
sin
t
2
sin
cos
)
t
2
cos
1
{(
e
I
V
2
1
2σtω
θ
ω
θ
)
sin
t
2
sin
cos
t
2
cos
(cos
e
I
V
2
1
2σtθ
ω
θ
ω
θ
)}
sin
t
2
sin
cos
t
2
(cos
{cos
e
I
V
2
1
2σtθ
ω
θ
ω
θ
)}
t
2
cos(
{cos
e
I
V
2
1
2σtθ
ω
θ
になります。加法定理と、
2
sin
2θ
1
cos
2
θ
、2
sin
θ
cos
θ
sin
2
θ
の公式を使いまし6
}
e
Re
{cos
e
I
V
2
1
2σtθ
j(2ωt θ))}
e
e
(
Re
{cos
e
I
V
2
1
2σtθ
j2ωt jθ となります。Re は複素数の実数部です。無限の過去からある時刻 t までの、回路に流れ込 んだ電力量（電気エネルギー）を求めますと、 t 2t j2 t j tdt
)}
e
e
(
Re
{cos
e
I
V
2
1
vidt
σθ
ω θ t 2 t j2 t j
dt
)}
e
e
(
Re
{cos
e
I
V
2
1
σθ
ω θ t 2t 2t j2 t j
dt
)}
e
e
(
Re
e
cos
e
{
I
V
2
1
σθ
σω θ t 2 t j2 t j t 2 t
}
dt
)
e
e
e
(
Re
dt
cos
e
{
I
V
2
1
σ σ ω θθ
t 2( j )t j t 2 t
}
dt
}
e
e
{
Re
dt
e
{cos
I
V
2
1
θ
σσ ω θ t 2( j )t j t 2 t
}
dt
e
e
{
Re
dt
e
cos
I
V
2
1
θ
σ θ σ ω t t ) j ( 2 j t t 2)
j
(
2
e
e
Re
2
e
cos
I
V
2
1
ω
σ
σ
θ
ω σ θ σ)
j
(
2
e
e
Re
2
e
cos
I
V
2
1
2( j )t j t 2ω
σ
σ
θ
ω σ θ σ)
j
(
2
e
e
Re
2
e
cos
I
V
2
1
2 t j2 t j t 2ω
σ
σ
θ
ω σ θ σ)
j
(
2
e
e
e
Re
2
e
cos
I
V
2
1
2t j2 t j t 2ω
σ
σ
θ
ω σ θ σ)
j
(
2
e
e
Re
2
cos
e
I
V
2
1
j j2 t t 2ω
σ
σ
θ
θ ω σ7
)
j
(
2
e
Re
2
cos
e
I
V
2
1
j(2 t ) t 2ω
σ
σ
θ
ω θ σ ) t 2 ( j t 2e
)
j
(
2
1
Re
2
cos
e
I
V
2
1
σ ω θω
σ
σ
θ
2 2 j j j 2 2 j j 2 22
e
e
e
2
e
e
1
2
1
j
1
2
1
)
j
(
2
1
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
φ φ φ φ φ)
j
Re(
)
j
Im(
tan
1ω
σ
ω
σ
φ
なので、 ) t 2 ( j 2 2 j t 2e
2
e
Re
2
cos
e
I
V
2
1
σ φ ω θω
σ
σ
θ
2 2 ) t 2 ( j t 22
e
Re
2
cos
e
I
V
2
1
ω
σ
σ
θ
ω θ φ σ)
t
2
cos(
2
1
2
cos
e
I
V
2
1
2 2 t 2ω
θ
φ
ω
σ
σ
θ
σ となります。中括弧内第2 項のcos(
2
ω
t
θ
φ
)
は変数が実数ですから、＋1 から－1 の値 を取り、中括弧内第2 項は全体として、 2 22
1
ω
σ
から2
2 21
ω
σ
までの値を取ります。 これは電圧電流間の位相差が原因で、電源と回路の間を倍の角周波数で行き来している無 効電力量です。中括弧内第1 項が回路で消費する電力量の部分になります。受動回路では、 回路が消費する電力量は絶対にマイナスになりません。マイナスになりますと、受動回路 から電源へ電力を供給していたことになりますので間違っています。したがって、)
t
2
cos(
2
1
2
cos
e
I
V
2
1
2 2 t 2ω
θ
φ
ω
σ
σ
θ
σ ≧0 となります。中括弧内は0 またはプラスでなくてはなりません。σ
θ
2
cos
≧ 2 22
1
ω
σ
8 であれば、中括弧内が0 またはプラスになります。振幅が増大する正弦波は、σ＞0 ですか ら、両辺に2σ を掛けても不等号の向きは変わらず、
θ
cos
≧ 2 2ω
σ
σ
です。φ
ω
σ
σ
cos
2 2 ですから、θ
cos
≧cos
φ
となります。
cos
θ
＝cos
φ
の時はθ＝φ ですが、cos
θ
＞cos
φ
の時はθ＜φ ですので御注 意下さい。 最初にσ＞0 と決めましたので、s＝σ＋jω は複素平面の右半面の値です。2
2
π
φ
π
ですので
cos
φ
＞0 です。更にcos
θ
≧cos
φ
ですので2
2
π
θ
π
になります。s＝σ＋jω が 複素平面右反面なら、受動回路のZ(σ＋jω)も複素平面右半面です。2
π
＜θ＜2
π
で、θ
ω
σ
ω
σ
j
)
Z
(
j
)
cos
(
Z
Re
＞0 になります。Z(s)の複素平面右半面の値、Z(σ＋jω)の実部は負になりません。 例えば受動回路のZ(s)＝Ls の時、L
(
σ
j
ω
)
σ
L
j
ω
L
ですから、σ
ω
σ
ω
θ
1tan
1L
L
tan
になります。一方σ
ω
φ
tan
1 です。底辺と高さの比が同じですか ら、φ と θ は同じになります。cos も同じ値になります。 R i 0 s＝σ＋jω L(σ＋jω) φ＝θ R i 0 s＝σ＋jω cosφ cosθ Z(σ＋jω) θ φ －1 19 例えば受動回路のZ(s)＝R＋Ls の時、
R
L
(
σ
j
ω
)
(
R
σ
L
)
j
ω
L
ですから、σ
ω
σ
ω
θ
L
R
tan
L
R
L
tan
1 1 になります。一方σ
ω
φ
tan
1 です。分母が大きくなり ますので、θ は φ より小さくなります。 例えば受動回路のZ(s)＝Cs
1
の時、C
j
C
1
)
j
(
C
1
ω
σ
ω
σ
ですから、 2 2 2 2 2 2(
C
)
(
C
)
C
j
)
C
(
)
C
(
C
)
C
(
)
C
(
C
j
C
C
j
C
C
j
C
C
j
C
1
ω
σ
ω
ω
σ
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
σ
ω
σ
ω
ω
σ
σ
ω
σ
ω
θ
1 1 2 2 2 2 1tan
C
C
tan
)
C
(
)
C
(
C
)
C
(
)
C
(
C
tan
になります。 一方σ
ω
φ
tan
1 です。θ と φ の絶対値は同じです。下図になります。 R i 0 σ＋jω θ φ R＋L(σ＋jω) R i 0 s＝σ＋jω)
j
(
C
1
ω
σ
φ θ＝－φ10 例えば受動回路のZ(s)＝R＋
Cs
1
の時、C
j
C
1
R
)
j
(
C
1
R
ω
σ
ω
σ
ですから、 2 2 2 2 2 2(
C
)
(
C
)
C
j
)
C
(
)
C
(
C
R
)
C
(
)
C
(
C
j
C
R
C
j
C
C
j
C
C
j
C
1
R
ω
σ
ω
ω
σ
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
です。C
}
)
C
(
)
C
{(
R
C
tan
)
C
(
)
C
(
C
R
)
C
(
)
C
(
C
tan
1 2 2 2 2 2 2 1σ
ω
σ
ω
ω
σ
σ
ω
σ
ω
θ
C
)
(
RC
C
tan
C
)
C
C
(
R
C
tan
1 2 2 2 2 2 2 2 1σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
σ
ω
)
(
RC
tan
)
(
RC
tan
1 2 2 2 2 1 になります。一方σ
ω
φ
tan
1 です。分母が大きくなりますので、θ の絶対値は φ より小さ くなります。下図になります。 等々です。σ を正の値にしますと複素数 σ＋jω は複素平面の右半面の値です。cos
θ
≧φ
cos
ですから、複素数Z(σ＋jω)も右半面になります。 3、まとめ 1 と 2 の結果から、 R i 0 σ＋jω －θ φ ) j ( C 1 R ω σ11 Re s≧0 なる範囲で Re Z(s)≧0
であり、s が虚軸を含む複素平面右半面の値の時、Z(s)も虚軸を含む複素平面右半面の値で あることが分りました。X(s)も Z(s)に含まれます。
