有限要素法による張力場解析手法について

1

研 究 諞 文｝ UDC ：624

．

　e4 ：624

．

043

．

3 日本 建築 学 会 構 造 系 論 文 報告 集 第 351号

・

昭 和 60 年 5 月

有

限

要素

法

に

よ

る

張 力

場

解

析 手 法

に

つ

い て

正 会 員 正 会 員 正 会 員

西

登

本

村

坂

間

敏

宣

俊

雄

＊

好

＊ ＊

雄

＊ ＊ ＊ 　

1．

序 　構 造 工 学の分 野で は_， 機 能 向 上および 経 済 性などの面 か ら， 軽量化を 考 慮し た構 造 （軽構造）が重要視され て き た

。

な か でも， 薄 肉 構 造 と膜 構 造は， 新 材 料の 開 発や 工 法の急 速な進歩に伴い

，

めざ まし く発達 し

，

空 間 内に 大き な

Flexibility

を備え てい る こと も あっ て_{， 多 方 面} に応 用され ている

。

こ れ らの軽 構 造 物の力 学 的 挙 動 を特 徴づける応 力 状 態 と して

，

張 力場が存 在して い る

。

張 力 場の解 析は_， 部 材の耐 荷 能 力に関 係し て くる た め に

，

そ の解 析 法の確 立は設 計上不 可 欠であり

，

古く か ら注 目さ れ て き たL〕

一

］o）

_。

　張 力 場の概念 は 1928年

Wagnert

〕 に よ る薄い web を

持っ

plate

　

girder

の観 察か ら創 始され た

。

こ れ は_，　

plate

girderにせ ん断 荷 重 を作 用さ せ た と き

，

　web に せん断 座 屈 が た や す く起こるに も か か わ らず

，

破 壊し ない で

，

さ らに_大き な荷重に_耐え られ るとい う現 象の_{発 見}に_始ま る。 張力場と は

，

こ の よ う な現象を 理想 化し た応力状態 であ り

，

引 張 力 以 外の抵 抗 力 が ほ ぽ 無 視で き る 薄 肉 弾 性 体に おい て

，

主応 力の

一

つ が引張力

，

他方が零と み な せ る単軸 的引張応 力場の ことをい う

。

　今 日で は

，

構造 物の軽 量 化に伴い ， 張力場 とい わ れる 応 力 状 態が種々 の分 野に お け る軽 構 造に現れ

，

構 造 表 面 の しわ波 （wrinkling 　waves _＞という座 屈 現 象を通して

，

その応力状 態を 認 め ること がで き る。特に

，

大 空 間を容易 に 覆 う こ と が 可 能 と なっ た

SuspensiQn

膜 構 造 や

Pnettrnatic

構 造などは， 構 造 材の保有す る性 質と構 造 形 態か ら

，

しわ波 が 発 生す る状 況に移 り や すい

。

こ の よ う な， 張 力 場の出現に応 じて

，

張力場 解析の持つ重 要 性 が ま す ま す大き く なっ て きてい る11｝

”

21｝

_。

　

一

般に薄 肉 構 造 や 膜 構 造は張 力 場に移っ た後

，

ただ ち に荷重耐荷能 力が な く な るの で は ない

。

終 極 的 状 態に達 す る まで は

，

荷重耐荷能 力を保持し， 構造物と しての機 能を果た す。 こ の 変形特性を考慮し た軽構造物にお ける 力学的挙動の解 析に は

，

次の 2点 が 問 題 と なっ て く る

。

　 〔

1

） 構 造物に発生す る し わ波形状の把 握 　 （2 ）　し わ波発 生後の 力 学 的 挙 動の究 明 問 題 点 （1_＞は膜 構 造 物の _{形 状 決 定 問 題}に現れ る

。

ま た， 外 科 手 術に お け る

Z−

plasty　operation _{問 題}15 ｝

・

17 ）に も関 係 し て く る

。

問 題 点 （2 ＞は薄 肉構 造や膜 構 造の強 度 設 計 上に生 ずるもの であ る14 】

・

15 〕 。 　 張 力 場の解 析理論は

，

先に示 した観 察か ら大 撓み問 題 を単 純な線形 問 題に お きか え て

，Wagneri

［に よ り構 成 され た

。Reissner2

｝

，

近 藤3 ｝_{は張 力 場 を}

一

_種 の 曲線 直 交 異 方 性 板であると と らえ る ことか ら，しわ波に沿っ た方向 を示す張 力 斜 線 （tension　rays ）が

，

平 行で ない

一

般 理 論 を展 開し た

。

井 合41

，

Mansfield5）_{は そ れ} ぞれ独 自に最 大エ _ネル _ギ

ー

_{原 理 を見}い _出し

，

張 力場 解 析に利 用して い る

。

これ らの理 論 展 開に より

，

張 力場に関 する基 礎 的な 考え方が明 示 さ れたth1）

_。

_と こ ろ が， 解 析 内 容は主に平 面 張 力 場が中心で あり

，

解 析モ デル は形 状や境 界 条 件 が 単 純なもの に限 定 されてい る

。

しか も， 局 部 的に発 生す る し わ波 （部 分し わ波 ）の_解析に は適用で き ない。 曲率 を有する構 造の張 力 場 解 析や し わ波 発 生領域に注目 し た 膜 構 造 物の研 究 も ある6 ）

−

13］

_。

しか し

，

平 面 張 力 場 解 析 と 同 様に大きな制 限 条 件が付 加さ れ て い て_， 実 用 的な解 析 法と は なっ て いない。 　解 析 対 象と す る軽 構 造 物では

，

しばし ば張力場 領 域と 座屈 して いない領 域とが_，隣 接して存 在す ること が あ る

。

こ の と き

，

そ の境 界 線上で は_{， 変}位や応 力の運続条件が 課せ られ ることにな る。 し たがっ て

，

実 際の設 計に最 も 必 要と なる任 意の形 状や境 界 条 件お よ び種々 の荷 重 状 態 に対す る

，

張 力場を考 慮し た構 造 物の力 学 的 性 状に_関す る解 析 解を導び くことは

，

非 常に困 難で あり

，

ほ とん ど 不 可 能に近い とい え る

。

以上の ことか ら

，

有限要 素 法に よる数 値 解 析 法が研 究さ れ てきたLS〕

−

2］｝

_。

_{こ れ} らの研 究 　＊ 日本 大 学 　 教 授

・

工 博 桝 _日 本 大学　助教授

・

工博 ＊ ＊ ＊ 日本 大 学 　 大学 院 生 　 （昭和59年9月7日原 稿 受 理日

．

昭 和60年 1 月S日改 訂 原 稿 受理 　 　日

，

討 瞼 期 限 昭和 60 年 8 月末日） 注1） こ こ で扱っ て いる張 力場 と は

，

完全 張 力場 （comp 且ete 　 　 　tension　field_あるい は perfect　tension 　fleld_{） と 呼 ば} 　 　 　れて いるもの で

，

応 力状 態 を完 全に理想 化し た

一

軸的 　 　 　引 張 応 力場の ことをさ し てい る

。

Wagner が観 察した 　 　 　web で は

，

せん断 座屈直 前に純 粋 せ ん断 場 くpure 　 　 　share 　field_）を示し

，

座 屈 後に荷 重 耐 荷 能 力 を完 全 張 　 　 　力 場で担う前 段 階と し て

，

純 粋せ ん断場 と 張 力場の両 　 　 　方で分 担 す る と し た 不完全 張 力 場 （lnCDmplete 　 　 　tension　field_）の_実験的

，

_{理論 的}と ら え方 もあ る14 レ

・

15，

_。

は

，

従 来の弾性 体 解 析に基づ き

，

張 力 場の示す特 質を考 え るこ とに よっ て

，

新た な操 作を導入 し た解析 法であ る

。

有限 要素 法を 用い る手 法に よ る と

，

張 力 場にな ら ない部 分は

，

通常の弾性体の扱い と して解析で き る ので

，

局部 的に発生 す る し わ波の処 理 まで考 慮した

_解

析 が

，

複雑な 手 続き な しに_可能 と なっ た

。

文献 18）は

，

有限要 素法 を 適用さ せ た初めて の例であ る。 応 力状態に よ り

，

各要 素の_材料特性を変化さ せ る方法を採用 して いる が

，

前述 し た 問 題 点 （

2

）を解明 す るには

，

不十 分 な 面 が あ る

。

文献

19

）では_， 問 題 点 （2）まで考 慮し た解 析 法を提 出している。 し か し

，

非 線 形計画 法を 用い ている た めに， 解が

一

義 的に定まらない場合が起こ り うるz°1

_。

_{文 献 21）} は_， 岩 盤 工 学にお け る零 張力の_{材 料}問題 （no

・

tension問 題 ）ESIと解 析上

，

類似す る点が あ ることに着 目し

，

応 力 遷 移法th2〕_{に基づ く方 法 を提 唱}

・

_した

_。

_{た だ し}

_，

_{数 値 解 析} 上の問 題 点が存 在す るこ と や応 力 遷 移 法が張 力 場を と ら え ら れ る手 段と な り え る かの議 論 もない

。

　こ れ ら のこ と か ら分るよ うに

，

張 力 場を考慮し た実用

・

的な解 析 法は

_，

必要である にもか かわ ら ず

，

平面 張 力 場 解 析ですら確 立さ れ ていない現 状である。 本 研 究の 目的 は

，

こ の よう な張 力場に対して

，

先に示し た 二つ の_問題 点 を解 明す る立 場を と り， 任 意 形 状 物 体に対処 しう る 有 限 要素 法を応 用す ることか ら

，

しわ波 発 生 領 域および し わ波 方向の 決 定と しわ波 発 生 後の挙 動が と ら え ら れる解 析法を提案す るこ と にある

。

本 論で は

，

張 力 場の と らえ 方 を述べ ， 解 析 手 順 を明 らかにす ること よ り， 基 本 的な 張力場 解 析 法の考え方を提 出す る

。

ま た

，

有 限 要 素 法を 用い

．

た他の解 析 法と本 手法 との違い を数 値 解析上の考 察 を通して明 確に し

，

本 手 法の正当 性 を述べ る

、

解 析 例と し ては

，

張 力 場に関す る古典的な問題であ る 内外 縁に輪 のある環 形の板が回 転 変 形す ることか ら張 力 場と な る現 象2） （以 後，

Reissner

モデル の回 転変形 問 題と呼ぶ ）を 採りあげる

。

得ら れた数 値 結 果は解析解や既 往の研 究に よ る実験結果 との

_些

較を行い

，

解 析 手法の有 効 性 を示

_亨。

　これ らの ことにより

，

今 後

，

ま す ま す 発 展 し

，

利 用さ れ るこ とが予 想さ れ る薄 肉構造や膜 構 造に対する力 学 的 性状 を把 握す る た め の基 礎 的 な考 察を与え る こと ができ るもの と考え て いる

。

な お_， 本 研 究は著者等が 提 案 し

，

解 析 例 を示 し て きた

一

連の 張 力 場 解 析に関す る研 究Z3）

一

ε7 ） を 発 展 さ せ

，

手 法 内 容を再検 討す るこ とか ら改 めてデ

ー

タを整 備し

，

ま と め た もの で ある

。

　2．

張 力 場 解

析

　張 力 場 解 析 をするうえ で想定する材 料は_， 圧縮 力や曲 げ力に抵 抗せ ず

，

引 張 力の み に抵 抗す る等 質 等 方 性の弾

．

性 sheeti ］i3 ；_{と す る} 。 こ の sheet が面内の ある方 向に引 張 注2） 応 力 分配 法 または伝 遠 応 力 法と も呼ばれ て い る

。

注3） 弾 性sheet と は 圧縮 力や曲 げ力に対す る抵 抗 力 が 引 張 　　 　力に比較して無 視でき る とい う力 学 的 特 性 を有す る も 　 　 　

．

のを指す。 力を受け

，

それ に対 して sheet 面に沿っ た垂 直な方 向に 圧 縮 力が作 用 する場 合を考 察す る

．

。

．

こ の圧縮 力は

，

仮 定 し たsheet の持

、

っ性 質か ら許 容されな い。 そあた め

，

許 容さ れる方 向に内 力が再 配 分 （分 担 ）さ れ た り

，

あ るい は圧 縮 力に相 当する仕 事か ら

，

現 象 的な し わ波の発 生に つ なが り

，

単 軸 的 引 張 応 力場が出 現す ると考え られる。

、

この張 力 場の示す特 徴 として は

，

次の三つ にまとめるこ と ができる。 　

D

　主 応 力は

一

軸 的でザ張力方向が存在する

。

　

ii

） 張 力 方 向としわ波 方 向が

一

致す る。 　

iiD

　

一

軸 的 主 応 力の分布は連続 的であ る。

i

）

〜m

）の特質は

，

張力場の状 態に あ る弾 性sheet に おい て_{， 弾}性 対 称 軸と引張 主 応 力 方 向と が

，

常に

一

致 す ることを表して い る。 これ は

，

引 張 主 応 力 方 向に垂直な 方 向の剛 性が零と み な せ る非 等 方 性の物 質 （直交異 方 性 材）と し わ波が発 生 し た等 質 等方性の _{弾 性}sheet と が， 同 等に おきかえ ら れる ことを意 味 する。 　実 際の解 析 法で は

，

弾 性 理 論に基づ く有限要 素法に よ る定 式 化を採 用し て い る。 そ こ で

，

上 述の こと を考慮 す る な ら ば， 最 初に通 常の弾性 体 解 析を行い

，

得ら れ た各 始 　 め

…

_{基 硬} デ

ー

_{タ 設 定} 　 　 　 さ せ _{る か ？}

’

一

材 料 を _{変 ｛}

營

而 ▼ES

　　　　　帯

簿 質 等 方性 弾 性 係 数 行 列 構 成 直 交 異 方 性 弾 性係数 行 列 構 _衷   VES VES 瀞

…

 要 紫 剛 性 行 列 作 成

…

_{全 体 系 剛性 行 列 に} 　 　 　 組 み 込 む 　 全て の 要 素 につ い て

「

「

’

_{全 体 系 に} 　 　 　 組み 込 ん だ か ？

…

変 位

・

応力

・

主 応 力 　 主 応 力 方 向 の 餅 算

’

・

・

_{材 料 を} 　 　 変 化 させ る べ _{き か ？}

’

°

’

荷 重

・

変 位 増 分 向敏 　 　 　 判 定 髄o 眺

」

_’

怒 わ り

要 素 を代 表す る応 力 状 態か ら， 圧 縮 力 方 向の材料定 数 を 変 化 させ るとい う剛 性 変 化 法の考え方 を導入 す る

。

材 料 の性 質 を変 化させ る ときは

，

得られた圧 縮 力 方 向の材 料 定 数 をす ぐに零 とお くので は な く， 段 階的に分け て繰り 返し計 算 を行ない ながら

，

張 力斜線を追 跡し

，

張 力 場 を 決 定し てい く

。

ま た

，

操 作の手 続き上

，

しわ波の発生形 態 と発 生 後の状 態 を追う た め に， 変 位

・

荷 重増分法を 用 い ることにする。 詳 細 な 解 析 手 順は以 下に記 述す る通り である。 Fig

．

−

1に は解 析 手 法 全 体の流れ図 も載せ た

。

　 各 変 位

・

荷 重 増 分ご とに

，

次の 

〜

  の操 作 を場 合に 応じて_{実 行}さ せ る。 　   通常の弾性体解析か ら

，

各要素を代表さ せ る主 応 力 値 σ_1， σ₂（σ₁≧ a2）と その方 向を計算し

，

σ，の値に注 目 し て， 次の操 作に進む

。

　   σ

，

≦0で あるときは

，

σ，方 向の材 料 定 数 を 決め ら れ た

一

定 減少量 で，

一

段階零に近づ け，操作を  に移す

。

σ，＞

0

の と き， 材料特 性が等質 等方性を 示し てい るの で あ る な らば

，

材料定 数 をその ま まに してお き

，

操 作  に 行く。 すでに

，

材料の 性 質を変化さ せてい る な らば

，

σ2 方 向の材 料 定 数を

一

定 増分 量 で，

一

段 階 前の状態 に戻し て

，

操 作 を  に進める

。

　   　 操 作   に より

，

同

一

計 算 段 階におい てすべ ての _要 素 内の_{材 料 状 態}を変 化さ せてい ないと き は

，

次の_変位

・

荷重 増分の_段階に移す

。一

要素で も変 化が 見い出され た な ら ば

，

前段 階の変 位

・

荷 重 増分計 算によ り決 定した変 位状 態に_戻し_， 操 作は  に行く

。

　   　操 作 

〜

  の構 造 物 全 体 を通し た同

一

計 算 過 程に おい て

，

各 要 素の材 料 状 態が安 定せ ず

，

材 料 状 態の変化 に関する増 減の 方 向転 換を限りな く続け る可 能 性が あ る

。

これを防ぐ ために

，

あ らか じめ 繰り返 しを制 御 する 制 限 回 数 を 設定して お く

。

設 定 値を起え る繰 り返しが確 認 さ れ， 他要素が安定し た な ら ば， 現段階の変位

・

荷 重 増分 に お け る操 作 を打ち 切 り

，

次の変 位

・

荷重 増 分 段 階 に して

，

操 作 を  に移す

。

　  σ ，方 向の材 料 定 数が完 全に零とな っ た と き

，

そ の要 素が張 力 場になっ た と判 断す る。 張 力 場の 認定と同 時に

，

そ の要 素の領 域は 認定 時の 大き さの

一

定 値とお く。 た だし

，

張 力 場の解 除 と と もに_， 要素領域の取 り扱い も 元に戻すこ と に な る

。

　上記の操 作過程に は

，

応 力状 態の移り変わ りにより

，

材 料の性 質を さ まざまに変化さ せ る復元力の効 果 を導入 して い る。 こ の効 果は

，

し わ波 発生 後の 挙動 を漸 次 追 跡 するとい う理 由か ら必 要と な る。 ま た

，

部分 し わ波が発 生する と き に は

，

通 常の応 力 状態の領 域と張力 場の 領域 との_境界 上にあ る要 素の材 料 定 数が な か な か安 定し ない こと も ある

。

そこで， 操 作

 

で設 定 し た制 限 回数の意 味 が 出て く る し

，

計 算 時 間の 短縮化 に も有 効で ある

。

Fig．− 1

の ＊印 部は

，

こ れ らの操 作が関 係し てい る とこ ろ である。 解 析 プロ グ ラ ム の開 発は， 材料の状 態や主 応 力の大きさ と向き を管理 す る サブ プロ グラムを， 従 来の 弾 性 体 解 析 用 プログラム に組 み 込 むこ とで

，

比較 的 容易 に開 発す ることが可 能であ る。 な お

，

平面張 力場解析と 曲面 張 力 場 解 析の違いは

，

本 質的には幾何学的な関 係と 構成 方 程 式の と り方お よび 形状 関数の選 び 方に ある

。

し たがっ て

，

基 本 的な考え方は変わ らずに

，

各要 素内の弾 性 定 数の取り扱いが

，

解析上のポ イン トと な る

。

平 面 張 力 場 解 析で は （a_）平面ひずみ仮 定， （

b

）平面 応 力 仮 定 が考え ら れ る。 両 仮定に よ る弾性 係 数 行 列は

，

それ ぞれ

Table−

1に記した［

C

』

，

［

Cb

］を 用い る ことにする。　

E

‘ は縦 弾性係 数

，

Vt はボアソ ン比で ある

。

‘

＝

1は最 大 主 応 力 方 向を示し，

i＝

2は材 料 定 数 を 変 化さ せ る方 向を 意 味す る

。G

は横 弾 性 係 数であ る。 　 3

．

有限要 素法による張 力 場 解 析の計 算スキ

ー

ム 　3

−

1 本 手 法 　変 位 仮 定を用い た有限要素法に基づ く_本手法は， 剛 性 変 化 （Variable　

Stiffness

ま た は

Secant

　

Modu

且us ） 法 の考え方 を導 入して いる。こ こで は

，

基本的な計算ス キ

ー

ムを 示 すた めに

，

問 題を単 純 化し た線形弾 性 問題 を出発 点とし て_説明す る

。

　剛 性 方 程 式は

，

弾 性体の基 礎 式にエ ネル ギ

ー

原 理 を適 用す る などの通常の手 続き か ら導 びくことがで き

，

次の 連 立 線 形 代 数 方 程 式の形で得ら れ る。 　　 　κ族

・

UNκ

一

PMi＝ 0

・

…・

・

…・

・

…………・

……・

…

_（1） た だ し

，UN

κは

N

節点の

h

方 向変位，　

PMI

は

M

節点の ‘方向荷 重と す る

。

［

K

線］は 剛性 行 列で あ る

。

張 力 場 解 析で は

，

（1_＞式 を 非 線 形方程式と扱うこと に な る

。

そ の_{非 線 形}性は

，

応 力状態に よ り材料の性 質 を変 化させ る こと か ら κ繊に保 有す る次の式 とし て表せ る

。

　　 　 F耀 ≡ κ繍（

U

σ）

・

UNIt

−

P解 ‘

・

………・

…・

・

…

（2） （2 ）式の形で表 現される非線形 方程式は_{， 数 値解析}上， 繰り返し計 算 を通 し て解を決 定す ること に な る

。

そこ で

，

計 算過 程 に お け る

J

番目の近 似解 σ欺 を

U

職と お くこ と か ら_， 次の △醐 剥を定 義する

。

　　 　△ び燦1_{』 び} 雉1L _〔

₁

雛

…・

……・

………

（3） 反 復 計 算に よ る近 似 解の修正 は

，

すべ て の ム醒 評が零 と判 断さ れ る ま で続け られ る

。J

＝ 0の と き は

，

初 期_状 態にある ことを意 味する。 　実 際の_計算スキ

ー

ム は（2）式に逐 次 代 入 法 を適 用し

，

近 似 解 を 求めて い く

。

その た_φ， σ易の と きの κ瀛を κ線の と お くこと か ら，σ鴇と新しい 近似解 ひ穿 1〕_{と の} 関 係が_， 次の よ うに決 まっ て く る

。

　　 　κ謝へ _σ 雉ILP 闇尸 0

……・

………・

…・

・

（4 ） こ の式に （

3

）式 を 考 慮 することか ら， 剛性 変化 法に基 づ く次の反 復 計 算 式 を 導くこと がで き る

。

　 　 　κ綴の

・

∠

1

σ縦u需

一F

繋

・

…一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

5

） た だ し

，

F［ ． 4 ，は （2）式に お ける 」番目の近 似 解に関

す る

FMI

の残 差で あ り， 次の式 を満足 す る も の と す る。 　　 　 F犠； Kklt_．（』

・

σ簸

一

PM_‘

……・

・

………・

・

…

（6 ） （5）式 より

，

各ステ ップご とに収 束 判 定を行い な が ら

，

［　　

_K

iit（』 　　澗N ］の逆 行 列 を求め

，

修 正さ れ た新 しい近 似 解 σ騨 〕 を定めて い く。 な お

，

最初の出 発点を弾性 体の幾何学的 非 線 形問題に おい た と して も

，

同 様に説明す ること がで き る。 　 3

−

2

「

応 力遷移法との比較

・

　 有 限要 素法に よ る張力場 解 析 法と しては前述 し た よ う に

，

’

剛 性 変 化 法tS）

・

z3 ］

，

非 線 形 計 画 法19）

・

：°）

_，

_{応 力 遷 移 法}z］） の 三つ に基づ く手法に分 類する こと がで き る

。

し か し な が ら

，

非 線 形 計 画法に関して は

，

材 料 特 性の変 化を計 算 過 程で考 慮 して いないので

，一

種の応 力遷 移 法と み な せ る。 そ こ で

，

こ こで は本手法と岩盤 解析か ら応 用させ た

応 力 遷移 （Stress　Transferま た は

Constant

　Stiffness＞

法2s｝ との_数値解析上の考 察を試み ること に す る

。

比較の 方 法と して

，

3

一

ユ で使用 し た表 現 を応 力 遷移法にその ま ま適用し説明 する

。

　 応 力 遷 移 法は

，

存 在す ることので き ない応 力 量 を等 価 な節 点 力に変 換して いく解 析 手 法である。 これを

，

〔ユ） 式に あて は め る な らば

，

剛 性を変 化さ せ る こ と な く

，

節 点 力の操 作で張 力 場 を 決 定して いく た めに_， その非 線 形 性は

P

．；に あること が判る。 し た がって

，

応 力遷 移 法に 対 応す る非 線 形 方 程 式は

，

次の よ うに表すことが できる

。

　　　F

鬮尸

K

篇

・

UN

κ

一P

艇 （

U

，

．

ノ）

・

・

…・

…・

……・

…・

…

（7） こ の式に逐 次 代入法を適 用させ る た め，

UP

，の とぎの P． 、をP鴇とお くことか ら

，

び昌と新 しい近 似 解 【／官 1 】 の_関係式が得 られる。 　　 　κ詠

・

ひ織「1レ

ーP

鴇

＝0・

・

7『

7・

・

・

・

・

・

…

　

『

・

・

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

8

） ここ に （3）

層

式 を導入 す る と

，

応 力 遷 移 法に基づ く次の 反 復 計 算 式 を 導びく こ と が できる

。

　　 　κ諭 ム び鴇一

一

_{F 協}

……t・

一 ……・

一 一 …

_{（9 ）}

F

鴇は次式を満足 す る も の と す る

。

　　　

F跳

＝

K線

・

U

‘ N”h

− P

鴇

・

・

………・

……・

…・

……

（ユ

0

_） 　

一

般に与え られ た多 変 数の連立 非 線形 方 程 式 　　 　

FM

、（

UL

」）

；o− ・

一 ・

・

・

・

………・

……t；

・

・

…一 ・

（

11

） の解 を 求 め る方 法に は 種々 あ る が

，

代 表 的な数 値 解 析 法 と して_，

Newton−Raphson

_法が挙 げら れ る。こ こ に

，

（3） 式 を考 慮し た

Newton−Raphson

法 お よ び

，

こ の計 算 過 程を簡略化 し たvon 　Mises 法の反復 計 算 公 式は そ れ ぞ れ以 下の ごとく_， 漸 化 式の形で記すこ と ができ る3S） 。

　　　　の

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

の

　　 　［∂

F

“ ‘／∂

U

．日 〔』

・

△

U

雉ll_＝

− F

鴇

…………・

…

（12）

　　　　の

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

ホ

　　　

［∂Fm ／∂σ〜日 〔°  _ムσ留 」

−

F_怨

・

…・

・

…・

……

_（13_）

　　　　

t た だ し

，F

鴇は （11_）式に お け る 近似 解 【乃

3

の とき の の　　　　　　

サ

F

”iに 対す る残 差 で あ る

。

［∂

Fm

／∂

u

．

Jcj

は 」番 目の

Jacobi

行 列の要 素で あ る

。

非線形性の_弱い方 程 式に対 し て

，

両 解 法に よ る解は

一

致 す る と 考 えられ る30）

_。

_{し か} し

，

非 線 形 性の強い場 合は， （

13

）式 の計 算にょる方 法 であ る と

，

解が追い きれずに収束し ない こと も あ りう る31 ）。 　こ こで

，

（5）

，

（9） 式と （12 ）， （

13

）式を比 較す る な ら ば

，

次の よ うに み なすことが でき る

。

　　　　り

　 　 　［∂F ”t／∂

UN

κ］ （n_≡

1

（線〔」

・

・

・

…

　

t−・

・

・

・

・

・

…

　

−t・

・

・

・

・

・

…

　（14） 応 力 遷移 法で は， 剛 性 を変化 さ せ ない で κ瀛を

K

線 の と おいてい る

。

す な わ ち

，

剛性 変化 法は

Newton・

Raph−

son 法

，

応 力 遷移法はvon 　

Mises

法に_対応す る数 値解

析法であ ること が 明 ら か と なっ た。 対 象と す る 運 立非 線 形 方 程 式を解く と き

，

von 　

Mises

_法によ る

．

と毎 回 逆 行 列 を求め る必要が ないとい うことで

，

計算時 間の面で有理 と な る

。

し か し

，一

般に_非線形 方程式 （ll）を解く場合

，

両 解 法は 必 ずし も

一

致す る と は限ら ない。 さ ら に

，

Newton−Raphson

法 を 拡 張さ せ た

Newton−Raphson

法 の範 囲 まで考 慮す る な ら ば

，

v σn　

Mises

法よ り す ぐれ た 数 値 解 析 法で あ ることも よ く知ら れ てい るSD］

−

3Z）

_。

特に_， 張 力場 解 析のよ うた非 線 形 性の強い問 題に対して は_， 応 力 遷 移法 よ り もNewton

−

Raphson 法に相 当す る剛 性 変 化 法に基づ く解 法が適して いる と考え ら れ る。 　これ ら の解 法に関す る性 質か ら

，

非 線 形 計 画 法に基づ く解 析法で は

，一

義 的に解が決 定で き ない _{場 合}が 起 こ る2°〕_{こと や応 力 遷 移 法に基づ く解 法では}

_，

_{発 散 する場 合} があることも理 解で き る。 な お

，

同

一

の モデルを 用い た 剛 性 変 化 法 と応 力 遷 移 法による解 析 結 果の違い を検 討す る た め

，

著 者 等は張 力 場 解 析とno

−

tension _{解 析 を 試}み てい る。 nQ

−

tension解 析では

，

両 手 法の解がほぼ

一

致す る もの の

，

張 力 場 解 析で は

，

解が

一

致せ ず

，

し か も応 力 遷 移 法におい ては途 中で発 散 する とい う結 果 を得たZ7） 。 　

4．

Samp 「e　Problem 　本 手 法の正 当性 を示す た めに

Fig．

−

2に記す例 題を 選 ぶ ことにす る。 こ れ は

，

先に述べ た

Reissner

モ デル の 回 転 変 形 問 題2｝ とい い

，

内 側 リングと外 側 リングの 間に

sheet を固 定して

，

リングに回転 変 形 を 与えるこ とか ら

，

図に示す よ う な張 力 斜 線が

，

sheet 全 面に生 成す る状態 を とら え る問題であ る

。

こ の 問題は

，

張 力 場に関す る 理 論解析と し ては最 も古 典 的なもの に属してお り， 多くの 研究がな され て い るz ；

−

5）

。

な かでも

，

文 献

2

）で は リン グの_{回 転}に よ り発 生す る しわ 波に関しては

，

内 側 リング の半 径 方 向と張 力 斜線との な す角度β（

Fig．

−

2 参照）が， 内 側 リング半 径 rl と外 側リング半径 r2と の 比 ri／r2に 依 存し

，

材 料の持つ _{特 性}に関 係しない こ と が 示 さ れてい る

。

こ の理 論 解 析との比 較を単 純な要 素 分 割モ デル を用 いて行っ た

。

ま た

，

リング半径 比を変え た と き に発 生す る張 力 斜 線の様 子につ い ても 図 示 す る。 　計 算に は

，

一

般に利 用さ れて い る膜 材を想定し，数 ケ

ー

ス の弾 性定数を 用い て試み た

。

グラ フ や 図 に示し た数 値 結 果は

，

ヤン _グ率

E

＝

360．

Okg ／mm2

_，

ボアソ ン比 v

＝

O．

4の ケ

ー

ス を採用 して い る

。

膜 厚は単 位 長さとし た。 扱う例 題が平 面であ り

，

面 内 方 向 変 位の み を考えて いる

Fig

．

−

3　Finite　element 　 mesh 　model

Table

−

₁Elasticmatrix fororthotropic Plate

　 　 　 　 ［Ca］：plane　strain　prob【em 　 　 　 　 ［Cb］　；Plane　stress _probIe皿 E1｛1

−

vlv2 ， E

ユ

Vr n ことか ら， 要 素 形 状は三角 形 を選び形 状 関 数は

一

_{次 関 数} を使 用した。要 素 分 割モ デルは

Fig．−3

に記す節点 数

48，

要 素 数 72とし た

。

　 計 算 するうえで の各パ ラメ

ー

タの_値は_以下の よ うに設 定 し た。 変位

・

荷 重増分 回数は 10と し

，

1回 ごとの量 は最終 的に与 え る 量の 10分の 1と決め る

。

剛 性 変 化に 関 する材料 定数の_増減量は

E

_， v を等 10分割した値を 用い る。 復 元 効 果の繰り 返 し制限 回 数は

3

と している

。

　 リング半 径 rl／rt

＝

0

．

1

_，

0

．

2

_，

0

．

5

，

0

．

7の 4通 りにつ い て計 算 例 を示 す。 計 算す るにあ た り

，

r，

＝100

　mm と

、

決め

，

rl の値を変え るこ と か ら

，

そ れ らの比 を 決め て い る。 この と きの要 素 分割 は

，

すべ て の三角形 形状が崩 れ ないよ うに r，／rzの値に応じて， 各 節 点 を配 置 した

。

境 界条件は

，

内 側リン グ を固 定

，

外 側リングを リング中 心に対し

，

時 計 回り π／18rad

．

の _{回 転 変 形}を与えた。 応 力 とひずみ の関係は Table

−

1に示す もの を用い た

。

平 面ひ ずみ 仮 定

，

平 面 応 力 仮 定に対す る弾 性 係 数 行列 ［

C

量

，

［Cb ユに よる_計算結果の グラ フや図におい ては

，

例 題の場 合は ほと ん ど差が現れてい ない

。

Fig

．

−

4

，−5

は 平 面応 力仮 定による計 算 例で あ る。

Fig．−

4は

，

ReissnerZ

〕 に よる解と比 較す る ために

，

ri／rtと βの関係をグラフ に示 し た

。

横 軸， 縦 軸は そ れ ぞ れ ri／rt

，

　 sin βを採っ ている

。

●が 本 手 法に よる解

，

実 線は

Reissner

に よ る 解 析解で ある

。

本 手 法に よる _βの 値は 内側 リングに接 す る要 素につ い て の み_， 要 素 重心点で張 力 線 方 向の角 度 を評 価し た。 ほ か の材 料 定 数を用い た場 合 も

，Fig．

−4

と大き な差は現れ な か っ た。

Fig．

−

5は

，

各半 径比に対 す る張力斜 線方 向 を 意 味 す る 図であ る

。

変 形後の状 態で 示し た。 要素ご と の重心の位置 に張 力 斜 線の方 向 を示す 直線を記入 してい る

。

長さは主 応 力の大き さに比 例させ てある

。

張 力斜線が記 入さ れ て い な い ri／r：

！

・

o

．

1

，

0

．

2 の外 側 リン グ付 近ではt 張 力 場になっ て いない こと を現 　 1

．

oeQ

．

⊆≡

．

95Ut 〔1＋

り

【

〕〔1

−

Vl

−

ZVLV2 ）　 　 　 1

−

v 夏

一

Z

り

匸 り z 　 　 E2り 匸　　　　　　　E皇（1

−》

1｝ D

↑

　

．

90 　

．

85 ［C司 　

・

₁

−

_Vl

−

_2VLV2o Ei 1

曹

り

_L

−

Zv_］v） o ElVz G o

，

80

．

75 1

−

Vlv

，

E2Vl 1

−

Vlv2 　 E1 o ［Cb〕　

・

1

−

VIv2o 1

−

VlVoo G 　 　 　

．

2　　 　

．

4　 　　

．

6　　 　

．

8　　 　1

．

0

　　　　　　　

−

　

r

，

／

．

「

5

Fig

．

−4　

Comparison　of　_prese皿t　solution 　w 辻h　Reissner

’

s3）

一

₈₀

一

r

，／

r

う

＝

0

．

1

ri

／

r2

　

＝

O

．

2

ri

／

r2

＝

O

．

5

．

「 ／「セ＝

0

。

7

Fig

．

−

5　Tension　rays 　for　annular 　rnembrane

して いる

。

ほ か の材料定 数を用い た と き

，

し わ波 発 生 領 域に変 化が あっ たこと を 述べ てお く。 し か し傾 向は同じ であっ た

。

　 解 析 解で は

，

解 析 領 域 全 体 を張 力 場の支 配 方 程 式で扱 うため， 局 部 的に発 生する し わ波は考え られ ない

。

こ れ に対し

，

本手法で は_要素ご とに判 断し て い る た めに

，

よ り実 際的な解析で あ る部 分し わ波がとら え ら れて いる。 Fig

．

−

5に記し た 張 力 場の 状 態は文 献8）の資 料とし て 載せてあ る実 験結果の写真に示された部 分し わ波の様 子 と

一

致す る。 ま た

，

回転 変 位を段 階 的に与え たと き

，一

度は要 素内に圧 縮 力 が 作 用 し

，

最 終 的に_依元の材 料 状態 に戻っ てい る例が計 算 過 程で出 現し た。 こ の点 は復元 力 効 果の有 効 性が示せ たもの と して注 目さ れ る。 　

5，

結 　 　語 　本 論で は張 力場 解 析を 行 うに あ た り， 先に示し た二 つ の問 題 点を解 明す る立場 か ら， 有限要 素 法 を用い る解析 手 法を提 案した

。

手 法の正 当 性は

，

ほ か の有 限 要 素 法に よ る方法 と数 値 解 析上の考 察を行うことか ら明らか に し た。 ま た

，

古 典 的な張 力 場に関 する問 題に対して， 本 手 法を適用 さ せ ることで

，

解析 解や実 験結 果との比 較によ り

，

解析 法の有効性も示せ た。 以上に よっ て

，実

用 的で 汎 用性の あ る張 力場の_{基礎 的}な数値解析 手 法が提 案で き た と考え乱 な お

，

ほ かの張 力 場に関 する研 究との 詳 細 な解 析 結 果の比較

，

検 討や計 算上の各パ ラ メ

ー

タ の設 定 お よ び得ら れ た結 果に基づ く張 力 場の性 質につ い て は

，

平 面 張 力 場の み な らず

，

曲 面 張 力 場に本 手 法の適 用 を 広 げ

，

今

・

後 議 論 してい く

。

　 謝　 　辞 　本 研 究について

，

防 衛 大 学 校 守屋

一

政先 生

，

埼玉大 学 助 教 授 東 原 紘 道 先 生

，

横 浜 国 大 安 宅 信 行 先 生よ り 貴重な 御 意 見や資 料の供 与を受け ま し た

。

こ こ に_， 深 く感謝の 意を表し ま す。

参考 文 献

1） H

．

Wagner ；Ebe皿e　Blechwandtrager　mit 　sehr　dUnnem

　　 StegbLech

，

　ZFM

，

　Vol

．

20

，

　No

，

8 ｛pp

，

200

−

207）

，

　No

．

9 　　 〔pp

．

227

−

233）

，

　No

．

10（pp

．

256

−

262）

，

　No

．

　ll（pp

．

279

−

　　 284）

，

No

．

12 〔pp

．

306

−

314）

，

1929

2）　E

．

Reissner：On　Tension　Field　Theory

，

　Preceedings

，

　　 5th　tnternational　Congress　

for

　Applied　Mechanics

，

　 　 pp

．

88

−

92

，

　1938 3） 近 藤

一

夫 ：平 面 張 力 場の

一

般 解

，

日本 航空学 会誌

，

第5巻

．

　　 第41号

，

pp

．

285

−

299

，

昭 和 13年9月 4）井 合　毅 ：極 大エ _ネルギ

ー

の定 理による弾 性 問 題の解 法

，

　 　 日本 航 空 学 会 誌

，

第 10巻

，

第96号

，

pp

．

158

−

180

，

昭 和 　 　 18年4月

5）E

．

H

．

　Mansfield；Tension　Field　Theory

，

　Preceedings

，

　 　 12th　Intema亡ional　Congress　of　Applied　Mechanics

，

　 　 pp

．

305

−

320

，

　1968

6）H

．

Wagner　und 　W

．

　Ballerstedt　l　

Ober

　Zugfe】der　in

　　 ursprlinglich 　gekfUmmten

，

　dUnnen　Blechen　bei　Beans

−

　　 pruchung 　durch　SchubkrafLe

，

　Luftfahrtforschullg

，

　 　 VD且

．

12

，

　pp

．

70

−

74

，

　1935

7＞ 近 藤

一

夫 ：曲 面の張力場に関す る

一

般 理論に 就い て

，

日

　 　 本 航 空 学 会 誌

，

第 1Q巻

，

第98号

，

　pp

．

227

−

234

，

昭和 18

　 　 年6月

8） M

，

Stein　and　

J．

　M

，

　 Hedgepeth：Analysis　of　Partly 　　 Wrinkled　Membranes

，

　NASA 　TN　D

−

813

，

　

July，

1961

9｝　G

．

P

．

　Cherepanov：On　the　Buckling　under 　Tension　of　a 　　 Membrane　Centaining　Holes

，

　PMM

，

　Vol

．

27

，

　No

．

2

，

　 　 pp

．

275

−

286

，

　1963

10） 赤 坂　隆

，

古 賀 義郎 ：_片持ち与圧膜 柱の リ ン クリングに

　　 つ い て

，

日本航空学会 誌

，

第16巻，第17コ号

，

pp

．

101

−

108

，

　　 昭和43年4月

ll） Y

．

　Yokoo

，

　H

．

　Matsunaga 　and 　Y

．

　Yokoyarna ：Qn　the 　　 Behavior　of　Wrinkled　Regions　of　Pneumatic　Membra

・

　　 nes

，

　 in　the　Form （）f　a　Surface　of　Revo置ution 　under

　　 Symmetrical　Loading

，

　PToceedings　19711ASS 　Pacific 　　 SympesLum　Part　

H

　on 　TENS ！ON　STRUCTURES 　and 　　 SPACE 　FRAMES

，

　 Tokyo 　and　Kyoto

，

　pp

．

177

−

188

，

　 　 1972

12） C

，

H

．

　Wu ：The　Wrlnk【ed　Axisymmetric　Air　Bags　Made 　　of　lnextensible　Membrane

，

　TTansactions　of 　the　ASME

　　

Journal

　 of_{AppLied　Mechanics}

，

Vo【

．

41

，

　 No

．

4

，

　 　 pp

．

963

−

96S

_，

　Dec

．

1974

ユ3） E

．

H

．

　

Ma

ロsfield ：An　optimum　surface　ofRevo ！ution　for

　　 Pressurised　 shelts

，

　Inter

．

　

Jour．

　

Mech，

　

Soc．

，

Vol

．

23

，

　 　 pp

．

57

−

62

，

　1981

14） E

．

Schapitz

，

（石 崎 壌 雄訳）：軽量構造の力学

，

コロナ 社

，

　 　 昭 和41年

15｝林　 　毅 編 ：軽 構 造の理 論と その応 用 1上）（下 ）

，

日 科 　　 技 連 出 版 社

，

昭和41年

16｝D

．

A

．

　Danlelson；Hurnan　Skin　as　an　Elastic　Membrane

，

　　

JouT．

　Biomechanics

，

　Vol

．

6

，

　pp

．

539

−

546

，

1973

17）



D

．

A

．



Danielson



and



S

、



Natarajan

_、

：Tension



Field

　　 Theory　and 　theStressinStretchedSkin

，



JouT．

一

₈₂

一

18＞ ］9） 20｝ 21） 22） 23） 24） 25_｝ 26） 27） 28） 29_） 30） 31） 32） 33） 34＞ Biomechanics

_，

　Vol

．

8

，

　pp

．

135

−

142

，

1975

K

．

Moriya　and　M

．

Uemuta _；An　Analysis　of　the　TensLon

Field　After　Wrinkling　in　Flat　Membrane 　Structu［es

，

Proceedingsユ9711ASS 　Pacific　symposium 　Part_旺on TENSION 　STRUCTURES 　and 　SPACE 　FRAMES

，

Tokyo　and 　Kyoto

，

　pp

、

189

−

198

．

1972

安 宅 信 行

，

鈴木 茂明 ：張 力 条 件 を考 慮し た膜 構 造の解析

，

日本建 築学会 大 会 学術講演梗概集 （近畿 ）

，

pp

．

1089

−

1090

，

昭和 55年9月 安 宅 信 行

，

鈴 木 茂 明 ；Wrinkling の条件を考慮 し た 膜 構 造の変 形 解 析

，

日本 建 築 学 会 大 会 学 術 講演 梗 概 集 （九州 ＞ pp

．

1209

−

1210

_，

昭 和56年9月 東 原紘道

，

菊 地　弘 ：_{有 限 要素法}による多 面 体 膜

・

フ レ

ー

ム ド

ー

ム の_解析

，

_第32_{回応用力学連合講演会講 演抄録 集}

，

pp

、

197

−

₁₉₈

_，

昭和57年11月 S

．

A

．

　Ambartsumyan _{（神 谷 紀 生 訳}

1

：異 方 弾 性 板の理 論

，

森北 出版

，

昭和 50年 本 間 俊 雄

，

登 坂 宣 好 ：有 限 要 素 法による張 力 場 解 析

，

日 本 鋼 構 造

．

協会 第 15回 大 会 研 究集会マ トリッ ク ス解析 法 研 究発表 論文 集

，

pp

．

287

−

292

_，

昭 和56年7月 西 村 敏 雄

，

登 坂宣好

，

本 間 俊 雄 ：有 限 要 素 法に よ る曲 面 張 力 場 解 析

．

日本 建 築 学 会 大 会 学 術 講 演 梗 概 集 〔九 州 ｝

，

pp

．

1207

−

IZO8

，

昭和56年9月 本間俊雄

，

登 坂宣好

，

西村敏雄 ：_内圧 を受け る曲 面の張 力 場 解 析

，

第31回 応 用 力 学 連 合 講 演 会 講 演 抄 録 集

，

pp

．

279

−

280

，

昭 和56年］1月 西村敏 雄

，

登 坂 宣好

，

本 間俊雄：_{張 力 場に関}す る数値解 析 手 法にっ い て

，

日本 建 築 学 会 大 会 学 術 講 演 梗 概 集 （東 北 ｝

，

pp

．

1］41

−

1142

，

昭 和57年10月 本 間 俊 雄， 登 坂 宣 好

，

西 村 敏 雄 ；有 限 要 素 法に よ る張 力 場 解 析に つ い て

，

日本 鋼 構 造 協 会 第17回 大 会 研 究 集 会マ ト リッ クス解析 法 研 究 発表論 文集

，

pp

．

　55

−

60

，

昭和58 年7月

0．

C．

　

Zienkiewicz

，

　

S．

　ValliapPan　and I

．

P

．

King：

Stress　Analysis　of　Rock　as　a

’

No　Tension

’

Material

，

Geotechnique

_，

　VQ且

．

18

_，

　_pp

．

55

−

66

，

1968

川 本 眺万

，

林 正 夫 ：地 盤 工 学に おける有限要 素 法 解 析

，

培風 館

，

昭 和53年4月

C

，

S

．

　Desa　and 　

J．

　F

．

　Abe［

，

_{（山 本善}之 訳_）：マ ト リッ ク ス有 限 要 素 法

，

科 学 技 術ライ ブラリ

＝

構 造工学

，

科 学 技 術 出版社

，

p

．

　352

−

394

，

1974

M

．

Kubiこek ：Algorithm　502　Dependence　of　Sol

’

ution　of

Nenlinear　Systems　on　a　ParameLer ［C5〕

，

　ACM 　Transac

．

tio皿s　on 　Mathematical　 Software

，

Vol

．

2

，

NQ

．

1

，

pp

．

98

一

亅07

，

　Mar

．

1976

数理科学

，

特 集 「ニ ュ

ー

トン法」

，

サイm ン ス社

，

昭和

56年8月 号

J，

M

_．

　McCormick 　and 　M

．

　G

．

　Salvadori_{（清 水留}三郎 訳 ）

：FORTRAN に よ る数 値 計 算 プロ _グラム

，

サ イエ ン ス ラ

イブ ラ リ情 報 電 算

en・

・

1

_，

サ イエ ンス社

，

　p

、

53

−

61

，

1970

M

．

Kawaguchi

，

：The　Shallowest　Possible　Pneumatic

SYNOPSIS

UDC:624.041624.043.3

t

t

'

FINITE

ELEMENT

TECHNIQUES

IN

TENSION

FIELD

PROBLEMS

'

by Dr. TOSHIO NISHIMURA, Pre[, Nihon Univ., Dr.

NOBUYOSHI TOSAKA, AssistantProf., Nihon Univ.,

'

and TOSHIO _HONMA GraduateStudent Nihon _Uniy

I t

tt

.

'

Members of A.I.

J.

The

tension

field

isuni-axiai stress one occuring on the membrane and thethin walled structures. These structures mainly consist of a elastic

body

that can･resist only totensil

foTces,

but

not to any

bending

and

'

'

compresgive ones. This stress fieldis recognized

generally

throughthe_phenamena of wnnklmg waves _generating on aSurfaceof theirstructures.

0n

the uni-axial

StreSs

field

like

this,

foliowing

two _prob}ems are consideredl

(

1

)

How to _graspthe configration

6f

wrinkling whves which _grbw on the object'

(2)

How to analize the behaviorafLer they _grew

Though

many invegtigaters

have

tried studies on the tension

_field,

a successful study on these two'problems

has

no,t

been

achieved.

Ancl

that, those studies almost are inapplicableto _practicaldesigns.

Therefore, inorde'r tosolve effectively theabove _problems we intendto _propose a new approximate _procedure of thetension

field

analysis

in

thispaper.

Our

procedure

is

developed

on the variable stiffness method

ln

the

finite

element technique.

Especially,

we compare our _procedure with bther existing methodologiesi from a

'

mathematical viewpoint. Itis

'indicated

that results of our _procedure and other'methods are

hot

necessarily

tt

t

'

argreement,

Our

procedure

is

applied t6a classical tension

field

problem.

The

obtained numerical values aie compared with theorical values or the pohotography

in

Reference,

We

_{make sure of avi}ability'for.our}

,method

through

thesecompersion.

This

pr6cedure can

be

developed

tothe case of fiot only

flate

but

also

'curved

surface.

.

'

.t