仮動的実験における積分時間刻みと応答変位・速度・加速産の関係仮動的実験応答の安定と精度(梗概)

(1)

1

研究論文

】

UDG ：

624 ．

042

．

7　620

．

1

Journal

　ef　

Structural

　and 　

Construction

Engineering

　日本建築学会構造系論文報告集（

TTansactions

　of　

AIJ

）

No

．

358 ．

December

，

1985

　第

358

号

・

昭和 60 年 12 月

PART

2 _：

RELATIONSHIP

BETWEEN

．

INTEGRATION

TIME

　

INTERVAL

AND

ACCURACY

OF

DISPLACEMENT

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，

　

VELOCITY

，

AND

ACCELERATION

RESPONSES

　

IN

PSEUDO

DYNAMIC

TESTING

（

Stability

and

accuracy

behavior

of

pseudo

dynamic

response

_）

by

MASAYOSHI

NAKASHIMA

＊

，　

Member

Qf

A

．

1 ．

J

．

　　

1，

　

lntroduction

　　

Through

the

discussion

in

the

companion

paper

”

，

重

t

　was 　

found

that

the

stability

limit

of

the

central

defference

method

_（

CDM

_）

used 　

in

_pseudo

dynamic

_（

PSD

_）

test

is

ωム置

＝2

　regardiess 　of　

the

　value 　of　

the

　viscous 　

damping

coefficient

_，

　and 　

the

　error 　

is

　character 亘zed 　as　a　combined 　natura 且

_period

distortion

　and 　numerical 　

damping，

This

statement 　on　

the

　erlor 　condition 　

is

　specified 　

fQr

the

displacement

　response 　of　systems 　subjected 　

to

free

　v三

bration

．

This

paper

is

　an 　extension 　of 　

Ref．

1 ，

　and 　

the

　objective 　

is

to

　study 　

the

　reiationship 　

between

the

　selected 　

integration

巨me 　

interval

　and 　

the

　obtained 　

displacement

，　velocity ，　and 　acce 正

eration

　respon 寧es　

of

PSD

tested

　systems 　sustailling

general

　external 　

fQrces

．

The

paper

　alsQ 　

includes

　some 　numeri _ρal　results 　

that

．

support

the

findings

in

this

Study

．

Atthe

last

pa

τ

t

of

this

paper

，

comments

are

give

【

l

for

the

selebtion

of

the

time

interval

in

PSD

test

．

　　

2、

　Accuracy 　

Under

Forced

Vibration

　　

First

，

let

　us　supPose 　an　undamped 　system 　subjected 　

to

　a　normqlized 　

time

　varying 　

force

r

（

の

：

　　

　　tC

（

t

）

＋ω 2

・

コじ

＝ r

（

t

）

・

……・

一 ……・

…・

……・

………・

・

…・

………・

…・

・

……・

…………

．

一・

…………・

…一・

一

（

1 ）

If

the

　equation 　

is

　solved 　

by

CDM

，出e 　recursive 　

form

is

　as 　

given

in

Eq

β

Qf 　

Ref．

1as

．

：

　．

　　

　　n

　　

Xn

＝

An

・

Xo

十

Σ

An

一

‘

・

L

・

r

_［

4t

（

‘

−

1 ）

］

…・

…………・

・

∵

…・

一………・

…・

・

……・

…一一 ……・

……・

（

3 ，

Ref

．

1 ＞

　　　　　　　　　　　　　　　‘＝1 ・・… ・

一

［

（

2 −

_tO：

At

：

）

−

1

1

0 ］

・・

一

［

剰　　　

’

And ，

　 symbols 　are　

defined

正n　

Ref．

1 ．

The

fi

πst　

terr

ゆ oIthe 匸

ight

hand

　side 　o｛

Eq

．

_30f

Ref

．

1represents

the

free

　vibration 　response

，

　whereas 　

the

　second 　

ter

皿 shows 　

the

　response 　caused 　

by

the

　externaHorce

，

That

is

，

t

｝1e　

first

　and 　second 　

terms

　respectively 　correspond 　

to

出e complementary 　and　

particular

　solutiops 　of　

the

different

童al　equation 　of　

Eq

．

1 ．

Let

　us　

look

further

into

　one 　of　

those

forced

　vibration 　

terms

：

．

4n

−

1

・

五

・

r

_（

0 ）

．

This

term

indicates

the

　response 　at　

the

　n

−

th

time

　step 　caused 　

by

the

　external

force

　at　

the

initial

　step

．

The

　ampiifica し

ion

　matrix 　

is

decQmpQsed

　as　shown 　

in

Eq ．

50f

Ref．

1to

：

．

　　　　　An

−

1

＝

φ

’

Jn−

1

’

ip

−

1

’

「

…’

………’

…’

……’

…’

……”…鹽

…’

’

”……’

……’

…’

鹽

……’

………「

…「

’

…’

……’

…

（

5 ，

Ref

．

1 _）

In

CDM

，

these

terms

　can 　

be

　writteh

_（

symbols 　are　

defined

in

Ref．

1 ＞

as ：

　

・・一・

一

［

c

°

s

漏

△‘

ち

‘

’

s

血

th

（

n

− 11At

］

［

。。

s

。

．

1 、

。，

∴

．

。、。。

，

。

−

1 、

。，

_、

］

　

・

一

［

、

。。

S

。。、

∴

．

。

剛

（

。＿

∴

．

。、。

硼

］

…・

……・

…・

…一・

一 …………・

一・

一 ……・

…

_…

・

』

［

（

sin そ万∠

it

−

_i

・

COS 五〕△

t

）

　　　　　

i

2 ・

sin

石 △

t

2 ・

sin

石 △ 諺

（

sin

石

1

△

t

十

i。

COS

石｝△

の　　　　

一

ご

2・

．

si

皿五

iA

言　　　　　　

2 ・

sin 石

1

△

t

］

零

Production

Departfnent

，

BuHding

Research

Instit

ロte

，

Man

且scrip け ecelved 　

August

　23

，

1984

(2)

NII-Electronic Library Service

Then:

A"-'-L-r(O)=:ip.Jn-i.ip'i･L･r(e)=sin

-wnAt

sin

th4

t

sinth(n-1}At･AtZ･r(o)･･･t･････････....,....---･(3)

sin

thA

t

From

this

expression, one can

find

that

the

initial

external

force

r(O)

_produces

at

time

t

the

displacement

response of

:

Ad.:::

{ltlk!I}liYin.nWrr.nAAtt

_At:･

r(o)

=Si:

-Win-A.t

iAAtt,'ir4(O)

･････････-････････････････-････-･････-･･････...,...,.,...,...(

₄

₎

This

expression

can

be

considered

as

a

discrete

form

of

the

Duharnel

Integral,

The

corresponding

_true

Duhamel

Integral

js

written as:

dx(t)=Sina)t･dT'r(T),"-,""H".,"""v-",".,."H"h-".-"".,H"h"""v.""",."""."".""""""H.(s)

w

If

the

external

force

r(t)

is

assumed

to

be

constant

during

this

time

interval,

the

true

response at

timetis

_given

as

:

sin a,t･At･r(O)

Ax(t)=

--･--･･-･･･-･･･--･･･-････････････････-･-･-･･･-････--･･･-･･･-･･････････････--･･-･･･-･-･･･-･････(6)

tu

This

assumption

_produces

an error

in

the

solution,

because

the

external

force

most

likely

varies even

during

this

time

interval.

Reminded

that,

in

any

difference

equations,

the

external

force

is

picked

out

discretely

only at every

time

interval

and

approximated

to

be

constant

in

CDM

during

this

interval

<see

Eq.

4),

we

should

carefully

setect

the

time

interval

so

that

the

discretization

error of

the

external

force

would not

impair

the

solution.

This

is

another criterien we should not

overlook

when selecting

the

time

interval.

The

effect

of

the

discTetization

error

on

the

numerical

response

is

associated with

the

nature of

the

external

force

and was studied,

for

example,

in

Refs,

2

and-

3. As

the

discussion

in

this

study

focuses

on

the

errors characteristic

to

the

CDM

algorithm,

the

effect of

the

discretization

error

is

not

considered

;

it

is

assumed

tacitly

that

the

external

force

change

during

the

integration

time

interval

is

minimal.

With

this

reservation,

the

true

Duhamel

lntegral

is

as

_given

in

Eq.

_6.

Comparing

Eq.

₄

with

Eq.

_6,

one

can

find

that

the

naturai

circular

frequency

is

changed

from

w

te

M,

ancl

the

ratio

of

this

change

is

identical

to

the

period

distortion

ratio

in

the

numerical

free

vibration

response

(Fig.

₁

of

Ref,

1).

This

change

in

the

frequency

means

that

the

response obtained

by

CDM

is

not

the

response ef

the

analyzed system

but

the

response of a system

having

the

natural

frequency

of

"tu.

This

error

is

now

designated

the

_period

distortion.

Comparion

between

Eqs.4

and

6

also shows

that

the

numerical arnp],itude

is

not

the

sarne as

the

true

amplitude, and

the

ratio of

the

nurnerical

to

true

amplitudes

is

:

Aau=

toAtlsin

diAt=11

1'wiAt!14

''''''''''''''''･･-･-･･･････-'･''''･-････-･･･････-･･･････････････--･･･-･･･-･･･-･･･-･･<

7 )

Figure

1 (h=

O)

shows

A..

vs. wA

t

relationship

for

ctizS

t's

between

O

and

:uMtReSlcToVAaRee:ispan/actt'LAmdie:t

2,

indicating

that

the

discrepancy

between

the

true

and numerical

the

free

vibration response,

there

is

no such

discrepancy

in

amplitude oyer

the

entire stabllity range,

Characteristics

of

the

response error at

time

_t

introduced

by

the

_general

ao

t5

to

ao

Fig.1

Displaeement

Introduced

in

-36-to

Amplitude

CDM

20wAtDistortion

sinthAt･

1-h!ca2AtZ

whereas

the

corresponding

true

Duhamel

Integral

external

force

from

time

O

to

(t-At)

is

identical

with

those

_generated

by

the

external

force

from

_,o

to

_4t,

because

this

total

error

is

the

sum of･the

individual

eTrors

_generated

at each

time

interval

as shown

in

Eq.3

of

ReL

1,

and,

furthermore,

those

individual

errors

are characterized

by

the

same

_period

di'stortion

(Fig.

1

of

Ref.

1}

and amplitude

lncrease

(Fig.

1),

Discussion

on

the

accuracy condition of

forced

vibration response

is

now extended

to

_general

damped

systems.

Following

the

_procedure

expressed

in

Eqs,2

and

3,

one can obtain:

exp(-hwnAt)-sinbnAt･Att･r(O)

Ad

H""""M""-"--(8}

(3)

Eq.

6)

is

:

exp(-htot)･sin

toot･At･r(O)

"H"H-H..HLH""H"."HHHHHH"".."H-""",,"--･---･･-<9)

Ax(t)=

abp

By

comparing

Eq,9

with

Eq.8,

it

is

found

that

the

discrepa.ncy

between

the

true

ancl numerical responses

is

characterized

as

a

combination

of

1)

_period

distortion

with

the

ratio shown

in

Fig.4

of

Ref.1,

2)

damping

ratio

change

with

the

rati6 shown

in

Fig.6

of

Ref.

1,

_,and

3)

amplitude

increase

of:

Add=

a,DA

t,1{sin

diAt･

1-h2to!At')--･･-･････････-････-････-････････-･････････････-････････････-･･･-･･･････--･･････････<lo)

Figure

1

shows

A.,

vs.- toAt relationship

for

various

h's,

indicating

that

the

numerical amplitude

increases

drastically

as wAtapproaches

its

'stability

limit.

'

3. Accuracy

of

Numericat

Velocity

and

Acceleratien

Resp6nses

-Here,

discussion

is

_extended

to

the

velocity and acceleration responses with

the

application of

CDM.

First,

investigation

is

_given

into

the

velocity and aeceleration responses

of

an undamped system subjected

to

free

vibration.

Referring

to

Eq.I5

of

Re{.1,

din=2kt'(-dn-!+dn+O=21it'[-lci'cosiln-1)At+ct'sinEJ(n-1)Atl+lci･costh(n+1)At

'

+

c!･sin

E](n+1)A

tl]=lci

-(-sin

thnA

t}+

c2･cos

thnA

tl-sin

a,At

･･-･･-･･･････-･････････････････････････(11)

On

the

other

hand,

the

true

velocity

is:

.

'

X(t)=lct･(-sin

a,t}+c2･cos catFw--･----･-･---･--･･--･--･---･---･----･(12)

The

numerical velocity relative

to

the

true

velocity

is

therefore

specified

by

the

_period

distortion

with

the

ratio

_given

in

Fig.1

of

Ref.1and

amplitude

decrease

defined

by:

'

Avc=sinaAtlw=

1-wiAt!14-･･････････････････････････-･････-･････････････-･･････････L･-･････････1･･･････････-･･･-･･･(13)

Analogously,

the

numerical

acceleration response

is

:

dn=

Alt,

(dn-i-2'dn+dn+t)=

Alt,'(ci'cos

thnAt+c2'siri

thnA

t)'(cos

thAt:1}

,

-1

=At2

'{Ci'COS

dinA

t+

c2-sin

-a,nA

t)'(a,!A

ti)=-

_{a,i'(ci･cos}

thnAt+

cz･.sin

-tunA

t)････---/-･･････････04)

Here,

there

is

no, amplitucle

distortion

in

the

numerical acceleration response.

The

discrepancy

between

the

true

ancl

numerical acceleration responses

is

characterized ofily

by

the

_period

distortion

ddfined

by

Fig.1

of

Ref.1.,

Now,

let

us consider

the

velocity

and

acceleration

responses

of

a

system

sustaining

forced

vibration.

Referring

to

Eg.

8,

･

'

.

Adi2%t(-'Aan-i+Adin.i}=exp{-ETtonAt)･(cos-tunAt･SinAllAt･cosh{7idiAt)

-sin

_bnA

_t-cos

_mA

_t-Sin

h2htWA

t)

1'

sin

mAf.t!'i

rlOh-)r.,At,

_{''''''''''':'r:''-'''''I'''''''''''''"'''''(i5)}

whereas,

the

true

velocity

(with

the

condition

_that

the

external

force

remains constantduring each

time

interval)

is

:

Ath(t)

±

exp{-ha)t)･la,D･c6sa,Dt-liw･sina,DtFAtiII(O)･････････-･･--･････････････････････i･････････/･･･････rL-･･a6)

On

the

_pther

hand,

Adi.

can

be

r6written as:

'

Aa.=

exp(-7iTwAt)･R,･eoscdinAt+nO･

sin

-.AeiZ'irl02,.,At,

'''-･-''''"'''J'''"''''H'''''''''''"'''''''''"(i7)

'

in

which

:

R,=[(

SinAllAt

･cosh<7iE

At)]:+,(cos

diAt.sinh2htwAt)

}!]ii2

t

T

tt

and:cosp,=SinAl:At･cosh(71T.4t)IRi

･

Analogously

Ath(t)

ctin

be

written as:

･

`

Ath{t)=exp(-ha,t}･R,･cos(a,Dt+B2)･At'r(O}･･･-･････-･････'･･-･････････････-･･･････--････････････････-･-･-i･･-･:･Os)

tun

'

in

which

:

R,=l(ha))'+{a,p)21ii',

and

cos

_fiz==

wDIRz

As

a

result,

_the

discrepancy

between

the

true

and numerical

yelocity

responses

is

_given

as acombination of

O

_period

distortion

with

the

ratio shown'in

Fig.

4

of

Ref.

1,

2)

damping

ratio

change

with'

the

ratio

(4)

NII-Electronic Library Service

20 t

AMPLITLME

RA

T70carp)

oNumerieatlExaetVetocity

h=O,5h=O.4h=O,5h=O.2h--O.ih=O.O

as

ao

AmeLtTtME

RA

"OCAap)

t

ao

to

2o

wAt

Fig.2

Velocity

Amplitude

Distortion

Introduced

in

CDM

phase

lag

by

(t?,-P,),

and

4)

amplitude

increase

of:

t

wAt

Avp=(Ri'wo'At)l(R2'sinMAt･

1-htw2Ati)

Fig3

Acceleratien

Amplitude

Distortion

････-･'･-'''-H'-H'-'-'''-'''''''''(19)

Intreduced

in

CDM

FIgure

2 shows

A.'.

vs. aAA

t

relationship

for

various

h's,

This

figure

indicates

that

there

is

little

amplitude

distortion

appearing

in

the

numerical yelocity response except

in

the

vicinity of

the

stability

limit,

_particularly

when

the

damping

is

small,

Following

the

proce.dure

to

_obtain

the

_numerical _velocity, _{one can compute}

for

the

_nttmerical

acceleration

:

'

Aa.==exp(-hmnAt)･[2･ICOSbAt'CAOSt,h(hWAt-i)l･sin-onAt

u2-SinAVAt･SinhiihttoAt>･cos-wnAt]'sinthAl!.t'ir-<Oh),.,,At,

''-''"''''''"''H''-'''-"''-''H'''(20)

The

corresponding

true

acceleration

is

:

At･r(O>

AX(

t)

==

_exp(-

hwt)'Kh!

_to'- _a}B)'sin _wpt-2

hw'

_wD'cos _wotl'

----･----･---･(21)

top

Both

Eqs.

20

and

₂₁

can

be

transformed

to

expressions similar

to

Eqs.

17

and

_lg,

and

the

discrepancy

between

the

true

and numerical acceleration responses

is

found

to

be

characterized as

a

combination

of

1)

_period

distortion

(Fig,

4

of

Ref.1),

2)

darnping

ratio change

(Fig.6

of

Ref,1),

₃₎

_phase

lag,

and

₄₎

amplitude

increase.

The

ratio ef

the

numericai

to

true

amplitudes,

A.,,

is

shown

in

Fig.3,

which

indicates

that

the

numericai ampritude

is

signifi ¢antly

larger

than

the

true

amplitude

for

large

toAt]s.

4. Numerical

Exprimentation

To

demonstrate

the

validity

of

the

analytic

findings

obtained

in

this

_paper

and

Ref,

1,

numerical

experimentation

was carried out.

The

model used

in

this

analysis was a

two

DOF

spring-mass system

(Table1).

The

vibrational characteristics of

the

system are

listed

also

in

Table

1. The

variables used

in

the

analysis were

O

the

integration

tirne

interval,

2)

the

vibration mode, and

₃₎

the

viscous

damping

ratio.

The

system was analyzed

for

its

free

vibrational condition with

the

initial

deflection

of either

the

first

or second mode.

Two

types

of viscous

damping

were

introduced

in

the

analysis

;

one was no

damping,

the

other

Rayleigh

damping

with

_s

and

90 _percent

of

damping

ratio

for

the

first

and secend modes respectively.

The

large

damping

ratio,

O. 9,

for

the

second mode was chosen

intentionally

in

order

to

demonstrate

that

the

stability

limit

remains unchanged no matter

how

large

the

viscous

damping

is.

A

total

of seventeen

analyses

were

made.

Designation

of

individual

analyses

and

employed

vaiiables

are

listed

in

Table2.

This

table

also shows whether or not

the

response

diverged.

Some

response curves obtained

from

the

Table1

_2DOF

Medel

and

its

Vibrational

Characteri$tics

NumericatlExactAeceterotion

5 h=O.Oh=O.Ih=e.5h--O.4h=O.5

'

:

ifh.O.Aop.1-(eJAt74

'

O.O

ZO

2.0

Vibration-lade ffIFStoryMasstkg]SteryStiffness {kNlm} AodeCircularFrequency(Hl]lstStorylndStery

lstZnd2.2M2,ZM159.2156.5

lst2nd16.4Z134!.70GSO.5147121.0

1.0-O.622S61

(5)

-38-Table2Variables

andStabilityConditlon ofNumerical

Response

Deslgnat+en-ede' Oaping

lstMode2ndlt)deTimeInterveltsec.1tilht

tStabilityDisp.SAcce.

NvmericellTrueVelecityNumericallTrue RUN-1lsto o O.oo1O.D427Ves l.aooa 1,OOoo

RUU-2lste e O.O05O.214Yes

1,OOOO

O.9S92

RUN-3lsto o O.04 IJIYes 1.ooeo O.9"5

RUN-4lsto

o

e.o4s1.92Tes 1.ogoo

O.9293

RUN-5lsto o e.os 2.13ko

-r

-i

RUN-6lsto o O.04S81.999Ves

1.00co

O.9Z32

RUN-7lsto o O.0469Z.co3No

"

T-RUN-S2ndo o O.oo5O.214Tes 1.0ooO O.9943

RUN-9ZndD O O.04 IJIYes 1.0000 O.52oo

RUH-10Zndo o o.es 2.13"o

--

+T

RUN-112ndo o O.04681.999Tes 1.0coO O.03es

RUN-122nae o O.046SZoo1Ne

tt

"-RUN-ISlstO.05O.9O.oo5O.214Tes

--

-t

RUN-l4lsto.eso.go.ca IJIYes

--

--RuN-15lstO.05O.9D.05 !.13'No

-t

--RUN-ISlsto.ose.go,e46e1.999res

--

-+

RUN-11lstO.OSO.9O,0469.2.oo3to

--

--' _{CrStiealt･irme}

rwmm

interval

=

Z14Z.706S

E

pm"

lfO+sp.Hex

t

g,22

ntn

e.e46s3 sec.

ZFPisp,-i-

i

]fi.eml

･ls.oottime]

ta)RUN-6

fiptEIa

lf O/sp. Mo:

- 1i3

nyn

c

t1stHode. Hobelping, lnterval

=

O.Og6g)

ErlE(g

IFOisD. He"

-

9.2t

mup

rfM/sp.N-i

.

7a.)m1

IS.OO

IDO.OO

(b)

RUpt-1{lst-ede,koDtmpi"g Iptervil

±

QIS!IE[M

IFD,sp, Hei

a

ZO.O

mm

F

2FDrisp.M"

.

15.0im

F

--

---c[)

O,O-S9] ?FOisp.Mej

. /5.0

mm

F

---]oo.oo

RUN-16 tlst M)dt,, Oerplng, lntcrv"1

;e.04ee]

td)RVN-17.{lst Hode. Peop1"s, Intrrvtl

sO.046gl

Fig.4

Nume[icaL

Free

Vibration

Response

by

Central

Difference

Method

anhlyses are shown

in

Fig.4.

As

the

model

is

a

two

DOF

system,

the

critical

time

interval

_{(stability'limit)}

is

determined

by

Eq.

13 of

Ref.

1

with

the

second

mode

natural

circular

frequency.

Then

it

is

coinputed as

2142.

7065=

O,

04683

sec.

It

is･apparent

trom

Table

2 that

the

response of

the

system

diverged

once

the

integratiori

time

interval

exceeded

the

critical

interval.

This

statement

is

correct regardless of

the

viscous

damping

value or

the

mode of vibration.

Table

2'

also

indicates

that

the

amplitude of undamped n'umerical

displacement

and acceleration responses remains unchanged regardless of

the

integration

time

interval,

Whereas

the

amplitude of undaniped velocity responses

decreases

_with

the

increase

of

the

time

interval

in

accordance

with.

Eq.13.

5. Comments

on

Time

lnterval

Selection

in

PSD

Test

Ofie

who conducts a

PSD

test

may wish

to

refer

to

Figs.4

and

6 of

Ref.

1 and

Figs,

1,

2,

and

3 of

this

paper

tQ

estimate

the

accuracy

(error)

of

his

PSD

test

results.

Although

Leech

et

'al,

")suggested

the

use

of

ll6

of

the

critical

time

interval

_(tuAt=ll3)

or

less

of

the

time

interval

to

ensure an accurate solution,

there

is

no absolute reason

to

sup'port

this

value,

If,

ih

a

lightly

damped

system

(h

less

than

o.

O,

a

4 _percent

_period

distortion

and

10 percent

amplitude

increase

is

still considered acc'eptable

for

orie"s

PSD

test,

he

onLy needs

to

set

tiis

time

interval

at

aiz!t==

o.8.

Such

condition

is

attractive

_parti

¢ularly when we

deal

with

PSD

test

of

MDOF

systems.

A

simple

example

is

_given

below.

A

six

DOF

spring-mass system with

the

vibrati6nal

characteristics

listed

in

Table

3

was analyzed

for

its

elastic earthquake response with no viscous

damping

assumed.

The

N-S

component

of

the

acceleration record obtained at

the

Tohoku

University

during

the

₁₉₇₈

Miyagiken-Oki

earthquake was used as

the

input

_ground

motion, with

the

maximum acceleration adjusted

to

258.

51 _gal.

For

the

direct

intergration,

CDM

was employed.

The

integration

lime

interval

was selected as

O. Ol

sec. _,

Which

inclicates

that

to,At

is

e.

I

and aA,At

O. 8,

(6)

NII-Electronic Library Service

c.

Table36DOF

Fig.5

Model

and

Its

Vibratienal

Earthquake

Characteristics

c.

Response

ff-5torynass[L9)SteryStiffness (xu/m]kodeNaturalCfircultrFrequency(rad.tsec.) as19S.oo148.9 1 10.15 y 290-Sl110.5 2 25.23 ff3490.5190.Sl141.1110.1 34 19.ZlSO.67 IF590.517].el 5 64.11 677.24sG.e6 6 79.53

first

mode vibration

dominate$,

and

the

higher

mode vibrations

after

all

duced

by

setting

at

w,At

of

o.

8 de

not

haTm

the

overall

response at all.

The

entire

discussion

on

this

study

loses

its

validity

in

strict sense

if

a nonlinear system

is

to

be

analyzed.

If

nonlinearity of

the

system

is

softening

type,

which

is

the

case

in

most of our

building

structures and structural elements,

the

appatent

_period

of

the

analyzed system

inereases

with

the

increase

of

the

deformation

of

the

system,

Therefore,

it

seems

that

the

time

interval

is

effective

in

_guaranteeing

the

desired

accuracy

of

the

numerical

results

if

and only

if

it

is

selected

in

view

of

the

initiai

elastic

characteristics

of

the

system,

This

statement,

however,

is

not more

than

intuitive

and

requires

further

investigation.

6. Concluding

Remarks

The

major

findings

obtained

in

this

paper

are as

foliows.

(

1 )

If

CDM

is

employed,

the

displacement

response

of

a

system

subjected

to

forced

vibration

is

distorted,

The

error

is

characterized as

a

combination

of

₁₎

_period

distortion

(Fig.4

of

ReL

_1),

₂₎

damping

ratio

change

(Fig.6

of

Ref.1},

and

3)

amplitude

increase

(Fig.D.

(

z

)

The

veloqity amd acceletation responses

are

also

distorted.

Under

the

forced

vibration condition,

the

velocity and acceleration response

distoition

is

charactetized as a combined

_period

distortion

{Fig.4

of

Ref.

1),

damping

ratio change

(Fig.

6

of

Re

£

1>,

phase

lag,

and amplitude

distortion

shown

in

Fig.

z

(for

velocity) and

Fig.3

(for

acceleration).

(

3 )

The

_guldelin6

suggested

by

Leech

et al. may

be

too

stringent

_particularly

when one selects

the

integration

time

interval

for

his

PSD

test

of

MDOF

systems.

A

more

liberalized

interval

can

be

selected without

losing

the

overall

accuracy

if

the

magnitude

of

errors

produced

by

higher

modes

is

properly

considered

with reference

to

the

contribution of

those

mQdes

to

the

overall

response,

References

1)

Nakashima.

M.

:

Partl

:

Re]ationship

Between

Integration

Time

Interval

and

Response

Stability

in

Pseudo

Dynamic

Testing,

{Stability

and

Accuracy

Behavior

of

Pseudo

Dynamic

Response),

Jotirnal

of

Structural

and

Construetion

Engineering.

The

ATchitectuTal

Institute

of

Japan,

No.353,

July

1985,

pp.29-36,

2)

Schiff,

A.

and

Bogdanoff,

J. L,

:

Analysis

of

Current

Methods

ef

Interpreting

Strong-Motion

Accelerograms,

Bulletin

efthe

Seismological

Seciety

of

America,

Vot.57,

No.5,

October

1967,

pp.857-874.

3)

Nigam,

N.

C.

and

Jennings,

P,

C,･

:

Calculation

of

Response

Spectra

from

Strong-Motion

Earthquake

Records,

Bulletin

of

the

Seismological

Society

of

America,

Vol.59,

No.2,

April

1969,

_pP.909-922.

4)

Leeeh,

J.W.,

Hsu,

P.T.

and

Mack

E.W.

:

Stability

of a

Finite

Difference

Method

for

Selving

Matrix

Equatiens,

AIAA

Journal,

Vol.3,

No.11,

November

l965,

pp.2172h2173.

of

6DOF

System

The

displacement

response

is

shown

in

Fig.s

with

the

true

solution

(the

CDM

solution with

the

time

interval

of

O. OOI

sec,)

The

figure

reveals

that

there

is

almost

perfect

match

between

the

numerical and

true

responses;in

fact,

the

difference

between

the

two

re-sponses

is

not

distinguishable

in

the

figure.

Since

the

are

minimal

in

the

response,

errors

(7)

-40-【

研

究論文

I

UDC ；624

．

042

．

7：620

．

1 日本建築学会構造系論文報告集第

358

号

・

昭和

60

年 12 月

仮動的実験

に

おけ

る

_積

_分

_時

_間刻

みと

応答

変位

・

速度

・

加速

_摩

の

_関

_係

仮動的実験応答

の

_安定

と

精度（

梗概）

正会員

　中

島

正

愛

＊

　

1．

序

　前報（

文献

1 ）

に

引

き

続

き

本論

では

仮動的実験

に

用

いられる

_中

央差

分

法

における

積

分

時

間

刻

みと

得

られる

応答

の

精

度

の

関係を明

らかにする

。

本論

では

特

に

（

1 ）

一

般

的

な

外力を

受

ける

場合

の

応答

の

精度と（

2 ）

速度と加速

度

の

_精度

を

積

分

時

間刻

みを

関数

として

_明

らかにする

。

また

本論

で

_得

た

解

析的知

見

を数値実験

によっても

検証

する

。

最後

に

仮動的実験を逐行

する

時

の

積分時間刻

みの

選

び

_方

について

_指標

を与

える

。

　

2．

外乱を受

ける

応答

の

精度

　最初

に

式（

1 ）

に

示す非減衰系

を

考

える

。

この

式

が

中

央差

分法によって解かれるとすると

，

漸化式

は

（

文献

1 ）

の

_式

_{（3 ）}

で

_表

される

。

この

式

で

右

辺

第

一

項

は

斉次解

，

第

二

項

は

特解

に

対応

する。

特解

の

中

の

一

項

である

A”

’

i

・

L ・

r

（

0 ｝

という

項

に

着目

する。この

項

は

最

初

のステップの

外乱

r

（

O

）

による

n

ステッ

プ

の応

答

を意味する

。

この

項

のアン

_{プリ}

フィケ厂ションマトリックス

A

は

（

文

献

1 ）

の

式（

5 ）

のように

分解

される

。

中

央差分法

では

分解

された

_{各項 φ}

，

J

””1

，

di

’

1 は

式

（2 ）

で

表

される

。

ゆ

えに

初期外乱

r

（

O

｝

に

よ

るn ステッ

プ

の

応答

は

式

（

4 ）

と

書

ける

。

この

式

は

離散化

されたデュハメル

_積

分

である

。

一

_方

_で

_真

_の_デ_ュハメル

積分

は

式（

5 ）

である

。

今

外乱が

時間

0

か

_う

At

まで

一

定

であると

仮

定

すると

式

（

5 ）

は

式（

6 ）

と

な

る。

一

般

に

外

乱

は

微小区

間

内

で

も変化

し

得

るので

，

この仮定は誤差を

生

み

出

す

。

数値積分

では

外乱

を

積

分

時間刻

み

_ご

とにしか

取

り

出

せ

ず（

外乱

の

離散化

）

式（

4 ）

に

見

られるよ

う

に

中央差分法

では

各積分区間内

で

外乱

は

一

定

であるとみなしている。この

外

乱の

離散化

による

誤差

の

評価

は

例

えば

，

（

文献

2 ）

，

（

文

献

3）

に見られる。

本論

では

中

央差分

法

に

特有

な

誤

差

を

評価

すること

を目的

としているので

外乱

の

離散

化

による

誤差

はない

も

のと

仮定

しておく。と

す

ると

真

のデュハメル

積分

は

式

（

6 ）

で

あ

る。

式（

5 ）

と

式

（6 ）

を比

較

すると固

有

円

振動数

が ω から

di

に

変化

して

’

L

、_る。この

振

動

数

の

変

化

・

は

（

文

献

1 ）

に

示し

た

自由振動時

の

見

か

け

の

_{円振動数}

の寧_{建設省建築研究所　研究員}

・

Ph

．

D

．

　（昭和

59

年

S

月

23

日原槁受理日

，

昭和

60

年

7

月

6

日改訂原槁受理　日

，

討論期限昭和

61

年

3

月末日）

変化と同

一

で

あ

る

。

ω が

th

に

変

わっていることは

，

得

られた

応答

が ω の

円振動数

を

持

つ

_系

の

応答

ではなく

，

厨を

持

つ

系

の

応答

であることを

意味

する

。

ここではこの誤

差を周期

の

ず

れと

称す

る。

両式

の

分母を比

べると

見

かけの

振幅

が

変化

していること

も判

る

。

数値解

の

振幅

（

見

かけの

振幅

と

称

する

）

の

真

の

振幅

に

対

する比は

式（

7 ）

で

与

えられる

。

　

減衰

系

が

外乱

を

受

けた

時

の

応答誤差

についても

同

じ

手

順

で

評価

できる。減

衰系

に

対

する

離散

化されたデュハメル

積分

は

式

（

8 ）

で，また

対応

する

真

のデュハメル

積

分は式

〈

9 ）

で

表

される

。

両式

を

比較

することから

，

得

られた

応

答の

真

の

応答

に

対

する

誤差

は

，

（

1 ）見

かけの

周

期

の

ず

れ

_（

（

文献

1）

t 図

一

4 ）

，

（

2 ｝見

かけの

粘性減衰

の

変化（

（

文献

1 ）

，

図

一

6 ）

，

そして

（3

）見

かけの

振

幅

の

増大（

式

（

10 ））

として

_表

される。

図

一

1

は

見

かけの

振幅

の

真

の振幅に対する比を toA　

t

に対して

プ

ロットした

も

のである。

3 ．

速度

と

加

速

度

応

答

の

精度

　

中央

差

分

法を適用することによって

得

られる

速度

と

加

速度応答

の

精度

を

非減

衰系

の

自由振

動

状

態

について

考察

する。

数値解

として

得

られる

速

度

は

式（

11 ＞

で

，

真

の

速

度

は

式（

12 ）

でそれぞれ

表

される

。

両者を比

較

することから

，

得

られた

解

の

_誤

差

は

見

かけの

周

期

の

ず

れ

（

文献

1）

，

図

一

1 ）

と

見

かけの

振幅

の

減小（

式（

13 ））

で

表

される。また

中央差

分

法

により

求

められる

加速度

は

式

（

14 ）

であり

，

この

時誤差

は

変位

応

答

と

同様見

か

け

の

周期

の

ず

れとして

表

される。

　

次に

外乱

を

受

けた

状態

で

得

られる

速度応答

は

式（

8 ）

を

参照

することによって

式（

15 ）

のように

表

される

。一

方真

の

速

度

は

式

（

16 ）

で

表

現

できる

。

式

（

15 ）

は

式（

17 ）

のように

_，

式（

16 ）

は

式（

18 ）

のよ

う

に

書

き

直

せる

。

式（

17 ）

と

式

（

18 ）

を比

較

することによって

速度

の

誤差

は

（

1 ）

見

かけの

周

期

の

ず

れ

（（

文献

1 ）

，

図

一4

）

，

（

2 ）見

かけの

_粘

性

減衰

の

_変

化

（

文

献

1 ）

，

図

一6

）

，

（

3 ）

（

β

厂

β

，

）

の

_{位相}

の

ず

れ

，

そして

（4 ）

式

（

19 ）

で

_表

_現

される

振幅

の

_増

大

として

表

される

。

図

一

2

は

見

かけの

速度振幅

の

増

大を

ω

At

に

対

して

プ

ロッ

ト

した

も

ので

あ

る

。

　

加速度応答

について

も同様

に_，

中央差分

法を適

用

する

一 41 一

(8)

NII-Electronic Library Service

ことによって

得

られる応

答

は式

（

20 ）

で

，

真

の応

答

は式

　（

21 ）

で

表

される。

速度応答

の

評価

と

同

様

の

手

順

を

踏

むことによって

加

速度応

答

の

誤差

は

（

1 ）

見

かけの周

期

の

ず

れ

（（

文献

1 _）

_，図

一

4 _）

_，

（

2 ）

見かけの粘性減衰の増

大

（（

文献

1）

，図

一

6 ）

，

（3 ）

位

相

の

ず

れ，そして

（4 ）

見

か

け

の

振幅

の

変化と

して

表さ

れる。

図

一

3

は

見

かけの

加速度振幅

の

真

の

振幅

に

対

する

比

を a，

A

t

に

対

して

プ

ロットしている。 toA　

t

の

増

大に

伴

って

見

かけの

振幅

が

大

きくなることが

判

る。

　

4．

数

値実

験

　（

文献

1 ）

と本論で得られた解析的知見を数値実験を通じて

一

部

検

証

した

。

本実

験

に用いたモデルは

表

一1

に

示

す

2 質

点

系

で

あ

る

。

実

験

に

用

いた

変

数

は

（1 ）積

分

時

間刻み

，

（

2 ＞

振動モ

ー

ド

，

（

3 ）

粘性減衰比である

。

本

モデルが

1 次

もしくは

2 次

モ

ー

ドで

_自由

振

動

する

状

態

を

解析

した

。

2 種

類

の

粘性

減

衰

について

解析

した。

一

つは非減

衰

，

ほかは

1

次モ

ー

ドに

_対

して

5

％

，2

次モ

ー

ドに

対

して

90

％の

粘性減

衰

定数

を

与

えた

。90

％という

大

きな

粘性減衰

は

解

の

安定条件

が

粘性減衰

の

大

きさにかかわら

ず

一

定

である

事を明確

にするために

選

んだ

。

　計

17

の

_{数値実験}

を

実施

した。

各実験

で

選

ばれた

変数

の

値

と

解

の

安定

・

不

安定

の

_判

_別

を

表

一2

に

示

す。また

応

答

の

一

部を

図

一

4

に

示

す

。

表

一

2

から明らかなように

解

は _{ω ：}

At

が

2

を

越

えると

不安定

になり，またこの

安定条

件

はモ

ー

ドや

粘性減衰定数

の

値

にかかわら

ず

一

定

である

。

ま

た

表

一

2

から

非減衰自由振動

において

得

られる

変

位

と

加速度

の

振幅

は

_真

の

振幅

に

_等

しいが，

速

度

の

振

幅

は ω

At

が大

きくなる

程真

の

振

幅

に

比

べて

小

さくなり，またその

減小

の

度合が式（

13 ）

に

従

うこと

も判

る

。

　

5．

仮動的実験

における

積分時間刻

みの選

択

に

関

す

る　　コメント

　

仮動

_的

実験を実施

する

時

には

積分時間刻

み

を効果的

に

選択

しなければならない。

選

んだ

積分時間刻

みによって

期待

される

応答

の

_{精度（}

_{誤差）}

を

評価

するために

（

文献

1 ）

の

図

一4，

図

一6

と

本論

の

図

一1一

図

一3

を

参

照

すれ

ば

よい

。Leech

他（

文

献

4 ）

は ω

At

が

1

／

3

以下になるように

積分時間刻

み

を選

ぶこと

を推奨

しているが_，この

値

にこ

だわ

る

必要

はない

。

例

えば

粘性減衰

の

小

さな

系く

h

が

0．1

以下

）

で

4 ％

の

周期

の

ず

れと

10 ％

の

見

かけの

振幅

一

₄₂

一

の

増大程度

の

応答誤差

が

許容

できると

判

断

すれば

，

積分

時間刻

み

を

tuA　

t・

・

O．8

程度

に

と

っても

差

し

支

えないことが

判

る

。

この

よう

な

制約条件

の

緩和

は

多質

点

系

に

_{仮動}

的実験

を適

用

する

時特

に

有効

である

。

　表

一

3

に

示す

6 質点系

の

弾性地震応答解析を実施

した。

中央差

分

法

による

直

接積分

に

よ

って

非減衰応答を求

めたが

，

その

_時

の

積

分

時間刻

みを

0 ．

Ol

_秒

とした

。

表

3

に

示

す

系

の固

有振

動数

を

参

照

すると ω，

At

≒

0 ．

1

で

あ

り a，、At≒

O．

8

で

あ

る

。

図

一5

に

示

す

応答

結

果

から

明

らかなように

真値（

積

分

時

間

刻

みを

0 ．

001

秒とした

時

の

解）

と

本解析

の

解

は

殆

んど

一

致

している

。

_本

モデルの

応答

では

一

_次

_モ

ー

_ドが

_{卓越}

_し_{てい}_る_{ので} _tU6At _が

₀

_．

₈

_に_な_{るこ}

_と

に

よ

って

現

れる

誤差

は

全体

の

応答

にほとん

ど影響

していない。すなわち

本応答解析

では tUsAt

＝

0 ．

8 程

度

の

積

分

時間刻

みを

選

んで

も

まったく

差

し

支

えないこと

が判

る。

　本

研究

の

一

連

の

考察

は

厳密

には

線形系

に

対

してのみ

成

立

する

。

非弾性応答時

に

剛性

が

劣化

する

系

（

ほとん

ど

の

建築構造物

がこの

範疇

に

入

る

｝

では

非弾性域

で

見

か

け

の周

期

が延びるので

_弾性

_{応答}

に

対

して

許容

できる

積

分

時間

刻

みを選んでおけば全

体

の応

答

の

_{精度}

が

期待

した

以下

の

も

のにはならないと

考

えられる

。

この

点

については

，

今

後

さらに

検討を加

える

予定

である

。

　

6 ．

結　論

　本論

か

ら得ら

れた

主

な

知見

は

次

の

と

おりで

あ

る

。

　（

1 ）

　

中央差分法

を

用

いると

，

強制振動時

の

変位

の

誤

差

は

1）

見

かけの

周

期

の

ず

れ

（（

文献

1 ）

，

図

一

4 ）

，

2 ＞見

かけの

粘性減衰

の

増大（（

文献

1 ）

，

図

一

6 ）

，

3 ）

見

か

け

の

振幅

の

増大

（

図

一

1 ）

と

し

て

表現

で

き

る。

　（2 ）

　

中央差分法

を

用

いると

，

強制振動

における

速度

と

加速度応答

の

誤差

は

1 ）

見

かけの

周期

の

ず

れ

（

文献

1）

，

図

一

4 ）

，2

＞見

かけの

粘性減衰

の

増大（（

文献

1 ）

，

図

一

6 ）

，

3 ）位相

の

ず

れ

，

4 ）見

かけの

振幅

の

増大（

速度（

図

一

2 ）

，

加速

度

（

図

一

3 ））

として

表現

できる。

　

（

3 ）

Leech

他

によって

示

された

精度

条

件

は

時

として

厳

し

過

ぎる

。

特

に

多質点系

においては_，

高次

モ

ー

ド

による

誤

差応

答

とそれらモ

ー

ドの

全体応答

に

対

する

寄与

の

相対的関係

を正しく

把握す

れば

，

よ

り

大

きな

積分時間刻

み

を

用いても

精度

のよい

応

答

が

得

られる

。

N工工

一

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