ｽﾗｲﾄﾞ ﾀｲﾄﾙなし

第9回

情報伝送工学

情報を持った信号の加工（フィルタ）

高周波フィルタとは

フィルタとは、ある周波数の電磁波のみを通過させる回路（部品）であり、アンテナからの 微小な信号を選択増幅するために、得に初段の増幅器前のフィルタには低損失な性能が 要求される。たとえば、下図におけるアンテナ直下に配置されているフィルタは、アンテナ から入力された信号のうち、必要な周波数帯域のみを受信回路に送り、一方送信回路か ら送られてきた信号を周波数の違いにより受信回路には入れず、アンテナから放射させる ためのものであり、ダイプレクサとも呼ばれる。これに対して、LNAやミキサの後部に取り 付けられたフィルタは、非線形素子により発生する高調波を抑圧するために配置される。 Demodulator （復調器） Modulator （変調器） RFバンドパス フィルタ アイソレータ アンテナ共用器 （ダイプレクサ） アンテナ ローノイズ・ アンプ ミキサ ミキサ 図9.1 携帯電話のブロック図

高周波フィルタの種類

ローパスフィルタ （LPF） ハイパスフィルタ （HPF） バンドパスフィルタ （BPF） 低い周波数のみ通過 高い周波数のみ通過 挿入損失 挿入損失 挿入損失 ある帯域のみ通過 周波数 周波数 周波数 図9.2 高周波フィルタの分類 伝達関数としてのフィルタの種類として、低域のみを通過させるローパスフィルタ（LPF）、 高域のみを通過させるハイパスフィルタがあり、これらは集中乗数の場合にはCとLの位置 の違いにより実現される。さらにローパスとハイパスを組み合わせることにより、ある帯域の みを通過させるバンドパスフィルタ（BPF）も構成できる。

集中定数型フィルタ

集中定数型フィルタとは、集中定数素子であるL（インダクタ）およびC（キャパシタ）のみ により実現するフィルタのことであり、CとLの組み合わせによりローパスおよびハイパス フィルタとなる。 ローパスフィルタ LPF ハイパスフィルタ HPF L _L C C C C L L 図9.3 集中定数によるフィルタの実現

ローパスフィルタの考え方

ローパスフィルタ LPF 低帯域を通過させるためには 挿入損失 周波数 _L 1 L₂ C₁ C₂ 高周波でショート 低周波でオープン 高周波でオープン 低周波でショート

ローパスフィルタ（LPF）におけるL，C素子値の決定法

周波数 0 1 伝達特性 数学による伝達特性の計算 L_{1 L} 2 C₁ C₂ 伝達関数と対応するL，Cの 素子数と素子値の決定 図9.4 伝達関数（特性）と素子値との関係

Cの電流周波数特性

i

)

90

sin(

















E

C

t

i

_m c

)

sin( t

E

v



_m





Em =1.0V、c=50pFの時、iの波高値はsin（ ）=1とすれば f [Hz] 1000 Em・ω・C [A] -1～ 1 1・106 1・109 2・109 0.628 0.314 3.142・10-4 3.142・10-7 f [Hz] Em ・ω・ C 高い周波数ほど電流が流れる

Lの電流周波数特性

i

)

90

sin(

1

_

_

_

_









t

L

E

i

_m c

)

sin( t

E

v



_m





Em =1.0、L=200μHの時、sin（ ）=1とすればiの波高値は f [Hz] 1000 -1～ 1 1・106 1・109 2・109 0.796 7.958・10-4 3.979・10-7 f [Hz] Em ・ω・Ｌ 低い周波数ほど電流が流れる L E_m    1 7.958・10-7 [A] 1kHz 1MHz

周波数 0 1 伝達特性 ω 周波数 0 1 伝達特性 ω ω_c : カットオフ周波数 n : 段数

1

10

10







LAr LAr : リップル量 in dB

伝達関数の種類と特徴

高周波帯に用いられるフィルタは、一般に伝達関数と呼ばれる関数を満足するように素子 値を決定する。良く用いられる伝達関数としては、以下のバターワースやチェビシェフが有 名であるが、帯域外特性を有極に出来る楕円関数などもある。 1. バターワース関数



































n c A

log

L

2

1

10





・・・(9.1) 帯域内でのリップル 無 帯域外での減衰量 小 帯域内でのリップル 有 帯域外での減衰量 大 この特性は以下の特徴を有している。 2. チェビシェフ関数

















































 c

A

log

cos

n

cos

L







2 1

1

10







_c

















































 c

A

log

cosh

n

cosh

L







2 1

1

10

c







フィルタと伝達関数

ここで、ω_C ・・・カットオフ周波数 n ・・・段数 ここで、 1 10

10





LAr



L_ar ・・・リップル量 ω_C ω_C L A L A バターワースは中心周波数から帯域外にかけて滑らかに挿入損失が増加している特 性を有し、数学的な関数としては次式のように与えられる。 この特性は以下の特徴を有している。 チェビシェフは中心周波数から帯域外にかけ、リップルを持って挿入損失低く抑えられ、 帯域外にて急に増加する特性を有し、数学的な関数として次式のように与えられる。 2 1 2 1 LAが1/2となる角周波数

チェビシェフの場合 g 0 =1





1 1

2a

g

g n+1 = , k=1, 2, …, n 1 1 1

4

  



k k k k k

g

b

a

a

g

1 n: 奇数        4 coth2 n: 偶数 但し               37 . 17 coth ln LAr          n 2 sinh        n k a_k 2 ) 1 2 ( sin , k=1, 2, …, n           n k b_k 2 sin2 , k=1, 2, …, n R0 ’=g 0 C ₁ ’= g ₁ C ₃ ’= g ₃ Gn+1 ’=g n+1 n : 偶数 Rn+1 ’=g n+1 n : 奇数 C n ’= g n L 2 ’= g 2 L n ’= g n バターワースの場合 g 0 =1





















n

k

g

_k

2

)

1

2

(

sin

2

g n+1 =1 , k=1, 2, …, n

n段 プロトタイプLPFとそのgファクタ

gファクタ とは先の伝達関数の極より得られる伝達関数と同じ周波数特性を有する ように規格化された素子値であり、この値はそれぞれの段数に対して以下の様に与えら れる。 リップル[dB] ｎは段数

スケール係数

規格化されたLPF素子の抵抗Rの単位はΩ、インダクタンスLの単位はH、キャパシタンス Cの単位はFであり、この時の角周波数は１［rad/sec］である。ここではフィルタの定数を一 定の率で任意の値に変更することにより任意の入出力インピーダンスおよび周波数でも伝 達関数が変わらない様にするためのスケール変換について考える。そのために図のL,C回 路にZ_g なるインピーダンスを持つ電圧源V_g とRの負荷抵抗を接続した場合を考える。 まず、この回路におけるRef点から右側を見た合成インピーダンスZ(jω)は

 

C

j

L

j

R

j

Z













1

となる。ここで、伝達関数を入出力電圧の比として

 

 

 







j V j V j H i o  と定義すると および

V

_o

   

j





I

j





R

なる関係より

 

_{ }

 

_{   }

 

_{ }

C

j

L

j

R

R

j

Z

R

j

Z

j

I

R

j

I

j

V

j

V

j

H

i



















1

0



















となる。ここで、負荷インピーダンスRおよび角周波数が異なる場合にもこの条件を満足す る様な関係式を導き出してみる。そのためまず、インピーダンスZ（jω）をk_i 倍、角周波数ω を1/k_f 倍した時のインピーダンスであるk_i ・Z（jω/k_f ）をあらためてZ_T （jω_T ）と定義し、この場 合の抵抗をR₀ 、インダクタンスをL_T 、静電容量をC_T とする。すなわち、 まずZ_T （jω_T ）は Ref

   

j



Z

j



I

V

_i







 

j Z 通常は規格化されている場合には1





i f f i i T T f i

k

k

C

j

L

k

k

j

R

k

j

Z

k

j

Z

k



_















_

1















周波数の変数であるωのみk_f で規格化 となるが、これを改めて





T T T T

C

j

L

j

R

j

Z









₀





1

1ではない 分子のk_i が こちらに移 動した オームの法則から インピーダンスはk_i倍

とおくと、この様な変換を行っても伝達関数が H（jω_T ）=H（jω）になるためには

,

R

k

R

₀



_i

L

,

k

k

L

f i T



,

k

k

C

C

f i T



T T f

f

f

k









・・・(1)

,

R

R

k

_i



₀

L

j

L

,

k

k

j

_T f i







_T i f

C

j

k

k

C

j







なる関係を満足する必要がある。これを整理すれば f T

k







という定義より なる関係を得る。つまり、角周波数ω_T にて入出力インピーダンスをR_T =50Ωとするために は上記の関係よりR,LおよびCをR₀ ,L_T およびC_T に変換する必要がある。上記の式において k_i をインピーダンス・スケール係数、k_f を周波数スケール係数という。実際の伝達関数では、 入力インピーダンスが1Ωの時のgファクタが各素子値のCおよびLに対応することになる。

例題

先の図において、回路定数ならびに信号源の角周波数がR=1Ω、L＝1H、C=1F、ω_T =1 rad/secの時に負荷抵抗をR₀ =50Ω、周波数をf=1GHzとしても回路の伝達係数が変わらな いようにするためには、L_T およびC_T をいくらにすれば良いか? 式(1)よりk_i ＝R₀ /R＝R₀ /1＝R₀ 、k_f =ω/ω_T ＝ω/1＝ωなる関係があり、f=1GHzの時に はω=2πf= 6.28×109_{であるから、R} 0 =50Ωの時にはインダクタンスLT および静電容 量C_T は以下の通り計算される。

nH

.

H

.

.

L

R

L

k

k

L

f i T

1

7

96

10

7

96

10

28

6

50

₉ 9 0





















pF

.

F

.

.

R

C

k

k

C

C

f i T

3

18

10

3

18

10

28

6

50

1

12 9 0























低域通過フィルタ

下図は規格化された低域通過フィルタ（LPF）の伝達関数H_n （jω’）であり、この図は 理想的な特性にω’≦0の部分を書き加えたものである。一般的な周波数領域におけ る低域通過フィルタの角周波数ωと規格化されたLPFの角周波数ω’の関係をG(jω) で表すと

 

c

j

j

G

'

j













なる関係がある。 これが1GHzに おける入出力 が50Ωでの伝 達関数を満足 するためのL_T とC_T の値 1 1 最初の

,

'

S

'

j





j





s

とすれば次式が成り立つ。 c

s

)

s

(

G

'

S







下図の(a)は規格化された3次のLPFの構成を示したものであり、ここでのg_n はGファクタで ある。これを(b)図のような伝達関数H_l （jω）のLPFに変換すると、フィルタの素子定数は以 下の様になる。すなわち、k_f は任意の周波数に対して伝達関数を一定にする周波数スケ ール係数であるから、これをカットオフ周波数ω_c に置き換えれば良いことになる。よって規 格化されたL_n およびC_n とL_T 、C_T との関係は以下の通りとなる。

,

L

R

L

k

k

L

_n c n f i T



0





c n f f n T

R

C

k

k

C

C



0







図． 低域通過フィルタ（LPF）の伝達関数 (a) 規格化されたLPF (b) 遮断角周波数ω_c のLPF ここで、 図． 低域通過フィルタ（LPF）の構成 T T T

実際の設計

fc =300MHz, n=5, LAr =0.2dBであり、入出力インピーダンスが50オームのチェビシェ フ特性LPFの素子値（C1 ,C3 ,C5 ,L2 ,L4 ）を求めよ n=5, L_Ar =0.2dBでのgファクタは g ₀ = g ₆ = 1.0000 g 1 = g 5 = 1.3394 g 2 = g 4 = 1.3370 g 3 = 2.1660 なので、プロトタイプLPFの素子値は R0 ’=1Ω L 2 ’ L 4 ’ C 1 ’ R6 ’=1Ω C 3 ’ C 5 ’ 1.3370H 1.3370H 1.3394F 2.1660F 1.3394F となる。ここで、入出力インピーダンスが50オームでは、L n ’とL n との関係やC n ’と C _n との関係は、カットオフ周波数ωが与えられた場合には

'

L

R

L

k

k

L

_k c f i k



0





, c k f i k

R

'

C

k

k

C

C



0





なる関係式にてR₀ ,k_i および各gファクタに対応する素子値を代入すれば良い。よって これらに値を代入すれば

]

[

10

21

.

14

10

300

2

50

3394

.

1

₁₂ 6 5 1

C

F

C



















]

[

10

47

.

35

3370

.

1

10

300

2

50

9 6 4 2

L

H

L



















]

[

10

98

.

22

10

300

2

50

1660

.

2

12 6 3

F

C

















となるので、R=50Ωの場合における回路の素子値は ,

'

R

R

Z

₀



₀



₀ それぞれ(1)式に完全に対応している 0 0 _R R R k_i   c c f k    _  規格化された インダクタンス 規格化されたキャパシタンス

R6 =50Ω R0 =50Ω L 2 L 4 C 1 C 3 C 5 35.47nH 35.47nH 14.21pF 22.98pF 14.21pF となる。

プロトタイプHPF

（a）規格化された理想LPF 1 -1 +1 ω’ |H_n (jω’)| _{LPFではこの} 部分を使用 1 ω_c ω |H_h (jω)| （b）規格化された理想HPF 規格化された理想HPFである図(b)の特性は 図(b)のjω=±j∞ を 図(a)のjω’=0 図(b)のjω=＋jωc を 図(a)のjω’=±1 に写像すればよい。すなわち、規格化されたLPFの角周波数ω’とHPFの角周波数ωとは次式の関係 を満足する必要がある。













j

j

G

j

'

(

)

c ω_C を 中心に 回転 マイクロ波電子回路p.137より C n L_n L_n 図の規格化されたLPFのL_n ,C_n について、これらのイン ピーダンスZ_L （ｊω’）およびZ_C （jω’）はそれぞれ ∞ 0

なる関係がある。つまり、HPFではLPFのLとCの素子を入れ替えて k h

C

L



1

k h

L

C



1

, とすれば良いことになる。 これらの2式より、カットオフ各周波数ωCとなるHPFの素子は入出力インピーダンスRo[Ω]に対して 一般式として

'

1

0 k C k

C

R

L







,

'

1

1

0 k C k

L

R

C









_{が得られる。}

実際の設計

カットオフ周波数 1MHz 帯域外減衰量 20dB 入出力インピーダンス 500Ω を満足する5段チェビシェフHPFを設計せよ （ａ）基準化LPF （ｂ）設計したHPF n=5, LAr =0.0436[dB]でのgファクタは g 0 = g 6 = 1.0000 g 1 = g 5 = 0.97321 g 2 = g 4 = 1.37228 g 3 = 1.80317 であるから

 

n c n n c n c

C

j

L

j

L

j

L

'

j

'

j

Z





























1

1

1

 

n n c n c n c n L

j

L

C

j

C

j

C

j

C

'

j

'

j

Z



































1

1

1

1

C_n に相当するのでこれを置き換える L_n に相当するので これを置き換える

集中定数型共振器とバンドパスフィルタ

直列型共振 並列型共振 集中定数型バンドパスフィルタ 幾つかの共振器を接続することにより、任意の通過帯域幅および減衰帯域や減衰 量を設定できる“バンドパスフィルタ”を構成することが可能である。

pF

.

.

C

C

327

9731

0

1

500

10

14159

3

2

1

6 5 1















pF

.

.

C

176

80317

1

1

500

10

14159

3

2

1

6 3



_

_

_





H

.

.

L

L

58



37228

1

1

500

10

14159

3

2

500

6 4 2





_

_

_





となる。

LC

f



2

1





単一の共振器に対する共振周波数およびQ値は次式で与えられる。Q値は高いほど 損失が小さく、共振器の性能の指標となる。 f₀ -3dB f_h f_L L h

f

f

f

Q







0 ,

立体回路型共振器

ある単一の電磁波のみを閉じ込め、 エネルギーを増大させる箱や棒

電子レンジ

携帯電話の

_アンテナ

種々の共振器

空洞共振器 ４面金属 誘電体共振器 マイクロストリップ 共振器 ファブリペロー 共振器 同軸共振器 低損失 高誘電材料

複素インピーダンス

jX

R

Z





R

Z



_Z

_

_

_jX

_Z

_

_

_jX

共振器とQ

通信用のフィルタはより低損失なものが必要（高Q共振器の必要性）

伝送線路の共振条件

)

tan(

)

tan(

0 0

l

jR

Z

l

jZ

R

Z

Z

L o L in

_

_







において、R

_L

=0とおけば

)

tan(

0

l

jZ

Z

_in





となる。そこで、

l を変化させてZ

in

/Z

0

を計算すれば

図に示す様に伝送線路の終端がショートの場合のz=0点における入力イ

ンピーダンスについて考えると

終端ショート

R

_L

=0

Z

_o

β

z=0

z=l

l

Z

in

/Z

0

（虚数

）

4

g



2

g



4

3



_g g



共振条件

となる。すなわち、λg／４、

λg／２・・・の周期で規格化入力インピーダ

ンスは∞、０、∞を繰り返す。この条件においては、線路の内部にある電

磁波はz=0およびZ=lの両点において反射を繰りかえす共振状態となる。

位相定数 g





2 ［rad/m］ ショート オープン ショート オープン オープン ショート それぞれ この条件で 共振

l

Zin /Z 0 （虚数） 4 g  2 g  4 3_g g 

共振条件

となる。すなわち、λg／４、

λg／２・・・の周期で規格化入力インピー

ダンスは0、∞、0を繰り返す。この条件においては、線路の内部にあ

る電磁波はz=0およびZ=lの両点において反射を繰りかえす。

終端オープン

R

_L

=∞

Z

_o

β

z=0

z=l

)

tan(

)

tan(

0 0

l

jR

Z

l

jZ

R

Z

Z

L o L in

_

_







において、R

_L

=∞とおけば

)

cot(

0

l

jZ

Z

_in







となる。そこで、

l を変化させて

Z

_in

/Z

₀

を計算すれば

図に示すように終端オープンの場合

ショート オープン ショート オープン オープン それぞれ この条件で 共振

両端開放型共振器の共振条件

2 g n 共振器内のインピーダンス

分布定数型バンドパスフィルタ

Z

o

β

Z

o

β

MSLの通過特性シミュレーション例

両端開放型マイクロストリップ 共振器は図のとおり、開放端に おいてインピーダンス無限大と なり、電磁波が線路内にて往復 反射することにより特定の周波 数の電磁波エネルギーのみを 蓄えることが可能となる。 そこで、この共振器をギャ ップにより結合させること により、任意帯域幅のフィ ルタが実現できる。