= 弾塑性平面応力問題の考察

長野工業高等専門学校紀要 ･第

2 6

( 1 9 9 2 ) 3 9

弾塑性平面応力問題の考察

永 藤 壽 宮

Consideration Of Elasto‑Plastic Plane Stress Problem

Toshimiya NAGATO

Thi ss t ud yp r e s e n tc o n s i d e r a t i o nofe l a s t i c ･ pl a s t i cpl a nes t r e s sbyu s i n gF. E. M‥The p ur p o s eo fs t u d yi st oc o mpa r eva r i o usc a l c u l a t i n gme 仏o d so tpl a n es t r e s spr o bl e ms . Cal c u l a t i n gme t ho d sa r eNe wt on ･ Ra p h s o n ,Mo d i 丘e dNe wt o n‑ Ra p hs o n,Par t i a l s t i f f n e s s ,Hy br i d , Bl o c k .Nu me r i c a le xa mp l ei sp e r f o r a t e dpl a t el o a d e dbyun i f o m l y t e n s i l es t r e s s .

1 . ま え が さ

近年,平面問題 において,種々の方法が提案 されてきた.有限要素法の未知数の解法手法 として数学 的に Ne wt o n･ Ra phs on 法 に関 して多 く提案 されてきた.その手法 の優秀性 はプ ログラムがあま り複雑でないこと及び収束時間が短い ことそ して精度が高い ことが要求 され

本研究で数学的手法の Ne wt on‑ Raphs on 法であ る接線剛性法,初期応力法,平均剛性法,

‑イブ リッド法そして消去法の類であるユニット分割法 について比較計算が行われた.解析 計算例 としては種々の文献 で取 り上げられている均一に引張を うける有孔板 について検討 を 行 った. これらの計算 は,本研究室の OKI i f ･ 1 0 0 0 の ミニコンを使用 した.計算時間の比較

はもとよりプログラムの煩雑性 はプログラムの行数で判断 した.

2.

( 1 ) 変位関数

図 1 に示す三角形要素で平面応力問題では 1 つの節点で 2 つの変位成分を持つ と考 える.

(

d l ) T = [ △ul AvI ] 要素の全節点での変位 は

( AC) T‑ l Aul Av, AuJ AvJ A um A vm]

変位関数 として

Au=al+a2 X+a3 y Av= Pl + P 2 X + Pa y

α1 ‑a 6 を 6 個の節点変位で表現す るために節点の座標を代入すると

●土木工学科 助教授

原稿受付 平成

4

9 月 3 0

4 0

ul= al+ q2 Xl+ a3 yJ

ul=α1+ α2 XJ+ α3 yJ um= al+ a2 Xm+ a3 ym この式 より

u ‑去 (( al+b▲ Ⅹ･c

) ul+ ( a,･b, Ⅹ+c j y)uj + ( am+bmx+cmy)um)

ただ し

aJ=Xj ym Xmyj bI‑

‑ym‑ yl m

CI=Ⅹm‑ ⅩJ=Xmj A は三角形の面積

Ⅴ も同様 に

図 1

V ‑去 ( ( aJ bI X.Cl

+ ( aJ b, Ⅹ+C

( am+bmx･cmy)vm) ここで上述の 2 式を 2×2 の単位マ トリックス Ⅰを使 って

(u v) T‑ [ N]( 6)= [[

]N

]N

]Nm] ( 6) ( 2 ) ひずみ増分

Ae‑ ( △e x Ae

A exy〉 T ‑(∂Au/∂Ⅹ ∂Av/∂y ∂Au / ∂y+ ∂Au/∂Ⅹ) T 上式に代入す ると

Ag‑B u･Ads

ここで O x l s : J‑

yj O NI

o M3 y

伽 o MB o 軸 仙

恥 0 恥 ト

u

B

Ⅹα β= Ⅹα Ⅹβ

yα β‑ yα‑ yβ (

,β ‑ i , j

m,

≠β)

( 3 ) 弾性増分応力 ･増分 ひずみ関係

平面応力問題 における一般化 フックの方程式をつかい,等方性材料 とすると

A ex

l 母

A

V% ･ %

･ yx , ‑2(1 . U)

ただ し E:

上式 は

Ao ' ‑D e ･ AS

この De は,平面応力状態の弾性剛度マ ト t ) ックスで

弾塑性平面応力間題 の考察

De

T

f l : U 吉 (1

2

( 4) 降伏条件式

材料が Vo nMi s e s の降伏条件式に従 うと仮定すると F( o ･ )

‑ o T e q‑5 ,

ただし ‑ o T e q‑

o k 2 ‑o k ･O T ,+0 1 2+3 T x , 2 )1 1 2

( 5 ) 塑性化要素の応力 ･ひずみ方程式

ひずみ増分ベク トルは弾性,塑性それぞれのひずみ増分ベク トルの和であるから de‑de e+de ,

Pr a ndl ･ Re us s の仮定 に従 うと de ,紘

de ｡‑dA ･∂F/∂o ･ ただ し d lは非負債のスカラー量である 文献から

do . ‑De ｡ ･ds

D

,‑D｡‑ H D号 ( ( a aF F / /a a d d ) ) T '. ( a , Y E a qF)a D ;)

ここに H' は引張試験の応力 ･ひずみ曲線勾配 H｡ ' ( ‑dd ･ / d e) とヤソグ係数 E との関数で

H' ‑1 /E

1 /H ｡'

上述 の d 九 は

d A =

H･ .( … a a F F / / a s ≧ T . I , ? O . ' (a d ;/∂q) D ｡ ｡を具体的に計算 してみ ると平面応力状態では

( ∂F/∂o ･ )‑3/(2 ･ ‑ o T e

)

q x ';￠';2T x , )‑3/(2 ･ a e ｡ )･o ･ ' ここで 'は偏差応力である. したがって

De･( ∂F/ao ･ )‑ 3/(2 ･ ‑ d e q )･( Sx:S,;2 Sx , ) ただ し

s x

毒 ( q x ･ ⁺ v q y ･ )

s y

毒 ( 小

q x , )

Sx ,

T x ,

ま

た

( ∂F/ad) ' ･DeI( ∂F/aq)‑蕊 (

x

x ､ sy q y ･ ･2 Sx y 屯y )

∂F/

が ･De･( ∂F/aq) ]

^･s

ここで

s ‑÷ a e ｡ 2･H､ Sx q x ･ ･S

ち,

4 1

永 藤 毒 宮

De･( ∂F/∂q)･( ∂F/∂げ ･De‑毒 ･S

S‑l s s x x ; ･ x

s s x y ,

Sx

･ ^S, S y ²

Sy

i ･ y ^{2 S又y s Sx y y} Sx y s : x , ;: y y ] ここで

したがって

D｡ ｡‑De‑D｡ ただ し D｡=1 /S･S ( 6 ) ひずみの反転

前述 の非負のスカラー量 である d lをひずみの反転 の判定 に使用す ると今 までの式か ら d ^l ‑

･S . 'de .'S r ● s S dey 'SI y ●de I Y

したがって塑性変形 が持続 してい ると d入> 0 の正値 であ り ,dA< 0 ならは除荷 ,dA‑ 0 なら応力転移であると考 えられ る.

( 7 ) 節点変位増分ベ ク トル と節点力増分ベク トルの関係 有限要素 の境界辺における節点力増分 は

Af s ‑ ( Af u ,: Af u J:Af u m) ここで

△f u r‑ ( △Fx r:△F, ∫ ) ,( r ‑ i , i,m) 仮想変位 の原理 を使 って

Aq‑D ･Bu

△d s

ここで D は De ( 弾性要素) と D, ( 塑性要素)にわけて考 えられ る.

したがって

f s

△f s ‑ks s ･ Ad s+t Bu T･qd A

K

s s ニー 〜 A B

T･D ･B

ここで

変位 増分 ベ ク トル Ad s が生 じる以 前 に はつ り合 いにあ る とす る と △d s ‑ Af 5‑

0 とおき次式が成立す る.

f s‑t ‡ A Bu T･

以上 か ら

Af s‑ks s ･ △d ⁸

3.種々の解析法

( 1 ) 接線剛性法

弾性要素及び塑性要素が混 じって存在 し てい る全要素 に関 して集成す ると

0

図 2

弾塑性平面応力問題 の考察 43

AF,‑K ･AUs

図 2 に示す よ うに外力増分ベ ク ト ル △F s を小 さ くして増分法で解 くことであ る. しか し この方法の欠点 は応力 ･ひずみ曲線 の降状点での折れ曲が りに対 して上手 に追跡できず誤差 が累積 し,精度が低下す る. これを防 ぐために有限要素が 1 つづつ塑性化す るよ うに △F s ′

を決定すれば,各荷重増分区間では全体 の剛性マ トリックスはほとんど変化 しないので線形 問題 として取 り扱 うことができる. したがって十分要素分割を細か く取れは,精度を上 げる

ことができる.ただ し計算時間が増大す ることは避 けられなして‑ Y ー

AF s ′の求め るには,あ る一定 の外力増分ベ ク トル △F sを与 えて解析 を行 いそ して α ･

△Fs の外力増分で次 の新 しい要素を塑性化 した とす る要素の増分前の弾性応力を ( o T x , O T y , 7 , x y ) とす る. △Fs に対す る増分応力 を ( A o T x ,A o T , ,AT x , ) とすれば

( q x+α ･Aq x ) 2 ‑ ( q x+α ･Ao T x )･( o T ,+α ･Aqy )+ ( o T y+α ･△0 ' , ) 2 + 3( 7 , x ,+α ･△7 , x , ) 2‑o i y 2 か ら a = B+( B2+ 4･C ･( qy 2‑ ‑ o r ' e ｡ 2 )) l I 2

2･C ここで

B ‑ ‑2o T x･△o T x+ o T y ･ A o T x +o T x･△ q y‑2 o T , ･△o T y‑67 T x ,･ △1 x ,

C

‑Ao T x 2‑ △ o T x･△6 ,+Aq , 2+3 △屯, 2

‑

0･ 事eq ‑( o T x 2‑ q x･6 ,+o T , 2+3

, 2 〉 1 / 2

( 2) 初期応力法

前述の解析では塑性要素が増 えるにつれて K が変化す るので各荷重段階 ごとに連立方程式 を解かねはならなかったのに対 し, この方法は全要素が弾性 の場合 の剛性 マ トリックス K e

を

の代わ りに用いて常に一定の

を剛性マ トリックスで解析できるようにした ものであ る.

初期応力法では応力 ･ひずみ曲線上を反復を繰 り返す ことで収束が行われてい る.弾性計 算 による応力増分ベク トル △ o T e ,同様の計算によりひずみ増分 ベク トル △ Sに対す る弾塑性 を考慮 した真の応力増分ベク トルを A qとすると

△o ' =A oT e‑ A

ここで

‑

T ,が初期応力ベク トルであ る.

したがって

△f s‑KS e s )･Ads‑Af b こ こに

KSes)‑

t

A

ー

〜

A

〜

A

B uT

u

A FB

B UT

全要素に集成す ると

AF,‑K e ･AUs‑AP したがって

AUs‑K e ･( AFs+AP) ( 3 ) 平均剛性法

0

図 3

4 4

接線剛性法の誤差を生みだす原因は,

荷重増分中に塑性化す る要素が存在す る か らである. このような遷移領域 にあ る 要素の剛性マ トリックスとして以下の式 を使 って反復法を適用 させる方法である.

弾性 ( De ) ,弾塑性 ( De ｡ ) ,加重平均的 な ( De , )を用いると

i 3 e ,‑α ･De

(1‑α ) ･De , 上述 の αは接線 剛性法 の所 の αと同 じである.

αはこの場合 に遷移領域にある全要素 によって異 な り,反復計算 ごとにも異 な って くる. したが って αが一定値 にな るまで反復が実行 される必要がある.

( 4) ‑イブ リッド法 '

増分区間中に新たに塑性化す る遷移要 素のために全構造系の剛性を過大評価 し てしま うので,それを初期荷重 を用いて 調整す る方法である.

応力変化に注 目すれば弾性要素,塑性 要素,遷移要素の 3 つに分類 される.そ れぞれの要素 に対 して節点力増分ベク ト ル A ^f sと節点変位 増分 ベ ク トル Ads は 次 のようになる.

Ⅰ. 弾性要素

A f s‑KS e s )･Ads I I.塑性要素

ここで

Ⅲ. ^遷移要素 ここ に

したがって

ここで

F ヨ

0

図 4 平均剛性法

. 1

A F S △P1 0 AU8 . 0 2 AU 6 , 1

0 u8

図 5 ‑イブリッド法

Af s ‑k S t s )･ Ad s

k g t s ) ‑t Bu T ･D e ｡ ･B ｡ dA

Af s ‑k( s e s ) ･△ds‑△f b Af

(1 ‑α ) ･( k 法 L k( s t s ) ) ･△ds

Af

‑k

･Ads

k b ‑ ( 1‑α) ･B ｡ T ･D ｡ ･B ｡ ･t ･A

弾塑性平面応力問題の考察

4 5 それぞれであげた要素で集成す ると

AF

s =

･ △u s‑

したがって AP‑0 とおき AUs , o =Ko ‑ 1･ △F sか ら AU s , Oが求 ま り,次 にこの AU s , ｡を用い て各遷移要素における αを求めて,上述の

を集成 して AP lを計算す る. この増分中に 塑性化 した要素 は塑性要素 として次の反復計算のための接線剛性 マ トリックス

lを得 る.

前段階で得た △P lを用いて AUs , I‑Kl l･ AP lを計算 L AP ‑0 になるまで反復計算 を行 う.そ して次の荷重増分を行 ってい く方法である.

またひずみの反転を生 じる要素 の取 り扱いは AF sに対す る全 ひずみ増分で行 った.す なわ ち,あるつ り合い状態か ら

回反復後の全変位増分ベク トル △ ロS , .杏

AUs ; I ‑ AUs , 1+AUs , 2+AUs , ,+

･ ･

･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ + AUs , L ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ これに対す るひずみ増分で前述のひずみの反転の項で述べた方法で判定 した.

Ⅳ. ユニット分割法

消去法による方法で今 まで述べてきた反復法 とは全 く異質のや り方である.解析 は,要素 内部の節点 と外部の節点 とで剛性方程式を分割 し,要素内部の節点を消去 し外節点変位増分

と外力増分ベク トル とを結び付ける関係は

(d♂且

)‑[ KA A ]1 ( dFA+df A

‑[ KA A ]1 [ KA S ] ( d♂B 〉 ( [ KB B ]‑[ KB A ][ KA A ] ‑ 1 [ KA B ] )( dOB )‑( dFB+df B

[ KB A ][ KA A ]1 ( dFA+df A

したがって

F

I

E qy H' 7 /= =

7 /

I .@⁼¹0 n

m

I

Q̲

図 6

P

a P P P

′＼ ′ ＼ _{＼ ′} / Wヽ ＼ /

ノ′1ノイZ ′ ^/ M ヽ ノ 1

l ヽ∫＼ I W

I ＼∧ ノ し イ ノ ダ9 4 軌 . ､ . a ̲

図 7 有限要素分割

4 6

[ KB B ]‑[ KB A ][ KA A ]1 [ KA B ]‑[ A]

ただ し要素内部の節点 の添字 を A とし外部 の節点 の添字 を B とす る.

降伏 した要素 についても上記 マ トリックスが使用で き,計算中は降伏 した要素 のみ を記憶す るに とどまる.

4.

種々の解析手法の比較 を行 うため参考文献 の北 田の行 った もの と同様 な計算 を実行 した.

解析手法 は,接線剛性法,初期応力法,平均剛性法,‑ イブ リッド法及 びユニ ット分割法 で なされた.

図 6 のよ うな均一引張 を受ける有孔帯板 を解析対象 とした.

初 期 応力法 につ い て は前荷 重段階 にお いて収束 し七い ない為 にお こる不 つ りあ い力 AP

を次 の荷重増分 AF ^s に もちこむ修正増分法 で行 った.各荷重段階での収束判定 は全 塑性要素 について m‑o t y / ^すe ' qでその最大が0. 95 を越 えない ように判定 を行 った.

図 7 のように有限要素 を分割 して行 った.

塑性領域 の広が りに関 しては以下参考文献 の値 とよ く類似 しているので ここでは図は載せ なか ったが,応力集中に よ り孔 の付近 か ら塑性化 し始めて応力増加 と共 にその塑性域 は坂 の 側辺 に広がっていった.弾性域 では応力集中が顕著ではなか った.

接線剛性法,初期応力法,平均剛性法,′ ､イブ リッド法, ユニ ット分割法 の計算時間 とプ ログラムライソ数 を図 8 に示 したが, ‑イブ 1 )ッド法が計算時間 については優秀であること が確認 された.

表 1 計算時間とプログラムライン数

接線剛性法 初期応力法 平均剛性法 ′ ド法 ､イブリッ 割法 ユニット分 RUNTⅠ ME . 5' 4 5 " 6' 5 4 " 4 ' 23 " 2' 4 0 " 1 ' 34 "

ユニ ット分割法の消去法 も, プログ ラムの煩雑 さを抜 きにすれ ば余 り問題 がなく直接法で あ る消去法の特質か ら演算時間 も比較的に短 く良好 の結果が,得 られた.

参 考 文 献

1

) 小松定夫,北田俊行 :初期不整を有する圧縮坂の極限強度特性に関する研究,土木学会論文報

27 0 号 昭和5 3

2 月 P l〜P1 4

2) 北田俊行 :圧縮力を受ける鋼板及び補剛鋼板の極限強度に関する研究,大阪大学博士論文 昭

5 5 年 6 月

3) 三好俊郎,白鳥正樹.座古 勝 ,坂田信二 :有限要素法,構造要素の変形 ･破壊挙動の解析実

1 9 7 7 年 4

4 ) 鷲津久一郎,宮本 博 ,山田嘉昭,山本善之,川井忠彦 :有限要素‑ソ ド

ック ,Ⅰ基礎編

Ⅰ Ⅰ 応用編 培風館 昭和5 8

1 2 月