速度と加速度（１）
• 背景:
運動学：物体（粒子）の力学的運動を考える学問、力は明示的には考えない。
微積分：17世紀、ニュートン（英）とライプニッツ（独）により独立に発明された数学的方法。
物体（粒子）の空間的時間的変化を定量的に記述できる。
• 要点:
位置 速度 加速度
• 背後の思想
広がりをもつ現実の物体（の運動）→抽象化：（点）粒子、質点 時間の一様等質無限性
空間の一様等質無限性
時間についての微分 時間についての微分
時間についての積分 時間についての積分
運動してることが一般的、
特殊な運動としての「静止」
関数とは何だろうか
ある量（変数）を入力したときに、与えられたやり方・規則で別の量を 対応させる機能をもつ関係を関数という。
x x x
f ( ) = 2 2 + Ｘという変数（量）に対して、
例１：
という値（量）を対応させること、またはその機能を 意味する。
2x2 +x
f
x f(x)
y y y
f( )= 2 2 + f(z)=2z2 +z とも表現できる。
) ( f
さらに次のように表現することもできるだろう。
) ( ) ( 2 )
( = 2 +
f
すなわち、関数とは（ ）に何らかの量が“入力”されると
という値を“出力”する（作る･計算する）という機能を表わすのである。
) ( f
例２：
f ( x ) = ax
2+ bx , ( a , b :
一定)
この例のように関数形として、明示的には与えられていないが、変数には関係の ない定数（ ）が含まれる場合もある。もちろん、この場合にも 例１と同様に
b a,
by ay
y
f ( ) =
2+
bz az
z
f ( ) =
2+
) ( )
( )
( a
2b
f = +
とも表すことができる。さらに、次のように表してもよい。
さらに次のように表現することもできるだろう。
関数の本質はその機能（ function ）にある！
変数 ｘ の関数 ｆ （ ｘ ）をｘで微分すること
0
( ) ( ) ( )
lim
xdf x f x x f x
dx
∆ →x
+ ∆ −
≡ ∆
( ) df dx 1
f x x
dx dx
≡ → = =
2
2
(3 5 8)
( ) 3 5 8 df d x x 6 5
f x x x x
dx dx
+ +
≡ + + → = = +
(sin )
( ) sin cos ,
(cos )
( ) cos sin ,
df d x
f x x x
dx dx
df d x
f x x x
dx dx
≡ → = =
≡ → = = −
合成関数の微分
0
0
( ( )) ( ( )) ( ( ))
lim , ( ) ( )
( ) ( )
lim ( ( ))
x
x
df u x f u x x f u x
u x x u x u
dx x
f u u f u u
u x
df u x df du
dx du dx
∆ →
∆ →
+ ∆ −
≡ + ∆ ≡ + ∆
∆
+ ∆ − ⎛ ∆ ⎞
= ∆ ⋅⎜⎝ ∆ ⎟⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞
∴ = ⎜⎝ ⎟⎜⎠⎝ ⎟⎠
変数ｔ の関数 u(x) 「変数」 u(ｘ )の関数f(u)
実例
[sin(2 )] [sin( )]
( ) sin(2 ) 2 cos(2 ),
[cos(2 )] [cos( )]
( ) cos(2 ) 2 sin(2 ),
df d x d u du
f x x x
dx dx du dx
df d x d u du
f x x x
dx dx du dx
≡ → = = =
≡ → = = = −
[sin( )] [sin( )]
( ) sin( ) cos( ),
[cos( )] [cos( )]
( ) cos( ) sin( ),
df d x d u du
f x x x
dx dx du dx
df d x d u du
f x x x
dx dx du dx
ω ω ω ω
ω ω ω ω
≡ → = = =
≡ → = = = −
変数 ｔ の関数 ｆ （ ｔ ）を ｔ で微分すること
( ) df dt 1
f t t
dt dt
≡ → = =
0
( ) ( ) ( )
lim
tdf t f t t f t
dt
∆ →t
+ ∆ −
≡ ∆
2
2
(3 5 8)
( ) 3 5 8 df d t t 6 5
f t t t t
dt dt
≡ + + → = + + = + (sin )
( ) sin cos ,
(cos )
( ) cos sin ,
df d t
f t t t
dt dt
df d t
f t t t
dt dt
≡ → = =
≡ → = = −
時間 ｔ の関数としての物体（粒子）の位置 ｘ （ ｔ ）
x
t
ｔ
位置 ｘ の時間微分としての速度 vx
∆ t
∆ x
時刻ｔにおける(瞬間)速度 平均速度
時間変化 位置変化
0
( ) ( )
lim ( )
x t
x t t x t
v t
dx t x dt
∆ →
+ ∆ −
≡ ∆
≡ ≡ &
x
v x
t
≡ ∆
∆
ｔ ｘ
ｔ ｘ
速度ｖ ｘ の時間微分としての加速度 ax
∆ t v
x∆
vx
∆
時刻ｔ における(瞬間)加速度 平均加速度
時間変化 速度変化
ｔ ｘ
ｔ ｘ
x x
a v
t
≡ ∆
∆
0 2
2
( ) ( )
lim ( )
x x x
x x
t
v t t v t dv
a v
t dt
d x t dt x
∆ →
+ ∆ −
≡ = ≡
∆
≡ ≡
&
&&
速度から位置 ( 変化）へ
0 0
0
( ') ' ( ') '
'
( ) ( )
t t
t x t
v t dt dx t dt dt
x t x t
=
= −
∫ ∫
速度の時間についての積分→位置変化
加速度から速度 ( 変化）へ
0 0
0
( ') ' ( ') '
'
( ) ( )
t t
x
t x t
x x
a t dt dv t dt dt
v t v t
=
= −
∫ ∫
加速度の時間についての積分→速度変化
