有限体の理論について

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有限体の理論について

教科・領域教育専攻自然系コース(数学)

横田佳典

はじめに

整数論はいうまでもなく、整数の諸性質やそのあいだにひそんでいる諸法則を探求する学問である。

しかし、残念なことに、この整数論はこれまでの学校教育からは完全に閉め出されてしまっていた。小学校は整数の計算はいやというほど練習させられるが、整数のなかに隠されている法則に気づかせるような数え方はされてこなかった。だから、整数は子供たちにとって退屈きわまりない数にすぎなかった。

しかし、こういうやり方は誤りだと思う。整数はもっともっとおもしろいもので、子供たちを、もちろんおとなたちも、夢中にさせるだけの魅力を隠し持っているものである。

整数論は単におもしろいだけではなく、もっと重要な意義をもっている。なぜなら、それは数学の支柱となるような重要な考えはほとんどこの整数論のなかに含まれているといっても過言ではないからである。だからそれは数学概論としての役割をも果たすことができるのである。

その理由をあげてみよう。何よりもまず、帰納と演鐸の方法を学ぶことができるということである。

数学も人間の創り出した科学であるから、当然個々の特殊な事実から一般法則を抽出すること、すなわち!滞納からはじまる。ところが、学校で数学を教えるときは、この段階が抜け落ち

指導教員丸林英俊

てしまって、定理や公式がいきなり持ち出されて、すぐ証明に移るという行き方がとられている。教わる生徒は、受動的にその証明を追いかけるだけになってしまう。そのために教わる側は天下りに定理や公式を詰め込まれるだけになってしまう。

ところが、整数論では取り扱う整数が簡単であり、計算も加減乗除であるから、この大切な帰納の段階を十分に経験させることができる。

つまり、あらゆる科学にとって大切な思考法を学ぶことができるのである。それはすなわち、

( 1 )特殊の場合についての実験

( 2 )

一般法則の推測

( 3

)法則の証明

( 4 )

証明された法則の適用である。

この論文では、整数論の合同式、それの 1つの応用である有限体について記述する。

第1輩合同式.

この章では、繰り返しの定義について述べたつもりである。例えば7の周期をもっ七曜もやはりそのようなものの一つである。それを合同式で表すと例えば2つの整数 a、bが同じ曜日を表すということは、 a‑bが7の倍数であるということである。それを 7la‑bで表し、 aと bは、同じ曜日になるということを、 a=b(mod

7 )と書くことにする。言葉では、

r a

は7を法としてbに合同である」という。そして、その

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合同式の性質について述べ、剰余類のことも述べている。また次にその合同式についての算法つまり加減乗除について成り立つことを述べ、

環や体をなすことを示す(環や体については次章で述べる。)。また完全剰余系や既約剰余系のことについて触れ、その発展として、初等整数論で重要なオイレルの定理、及びその特殊な場合のフェルマーの定理について記述する。

オイレルの定理:(a，n)

=

1ならば aψ(n)三 1 (mod n)、ここで ψ(n)はlから nまでの自然数でnと互いに素な数の個数を表す。

フェルマーの定理:a^P‑¥

=

¹^皿⁽^o^d^p⁾^、

ここで、 pは素数、 aは(a，p) = 1を満たす自然数である。

第2章群・環・体

現代代数学の基礎である群・環・体の基本的理論を述べる。特に次章で必要な有限環、有限体について詳しく記述する。

第3章有限体

F_pの原始根rを選んでおく。そして、 rに関する指数が奇数であるような

F

p の元 tをとる。

このとき、 α2=tをみたす記号 αを導入する。

(b) p = 2の場合

有限体F₂ー係数方程式X2

+ x +

1 =0の根 α をつけくわえて、 4個の元、 0，1、α、 α +1からなる体F4をつくることができる:

F

₄

= { O

、

1

、α、α+

1

。}

これで、 4 =2²個の元をもっ体F₄ が構成できた。次にもっと一般に、任意の自然数nに対して、 2ⁿ個の元をもっ体 F₂nをつくりたい。

これは、

F

₂一係数の

n

次方程式であって、因数分解されないものを見つけて、その根をF₂につけ加えるという方針でやる。

そして、一般の

F

2nは、「原始元J を見つけることができれば全く n=3の場合と同様にできる。したがって、問題は「原始元」を見つけること、あるいは、それのみたす方程式を、見つけること、であるが、これに深入りすることはこの論文の範囲を超えてしまう。むしろ、ここでは、

n

が比較的小さい値のときの計算に慣この章では、有限体について記述する。 pをれることに主限をおいたのである。

任意の素数とする。最初にFp

= { o

^、¹^、²^，^・^・^・^、 ^また、 ^F2nはコンビュータの分野で盛んに応 p ‑1 }が体であることを、フェルマーの定理用されている。

を用いて証明する。次に、有限体 Fpを含んでいて、しかもあらゆる Fp一係数2次方程式が解けてしまうというきわめて有用な、 p2個の元からなる、有限体

F

p 2 を次のような方法で構成する:

(a) pが奇素数の場合

(i) p

=

³^(mo^d⁴^)の場合

Fp 2={a + b ila 、b5Fp 。}

ここでiは

F

p一方程式

x

2=‑1の根である。

(ii) p^事 3Cmod 4)の場合

F_p2 {a+b αI a、bε F p}。ここで、 α は次のようにして作る。

第

4

章代数学の基本定理についてこの章では、 Guassによって証明された代数学の基本定理、つまり、複素数体上の多項式は必ず根を複素数体の中に持つ、の詳細な証明を与えている。

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