ウェブの変形を伴うI形断面材の非弾性曲げねじれ座屈強度 利用統計を見る

ウェブの変形を伴うI形断面材の非弾性

曲げねじれ座屈強度

杉原美好 深沢泰晴

（昭和60年8月31日受理）

Inelastic Flexural-Torsional Buckling Strength

of I-Section Members with Flexible Webs

MiyoshiSUGIHARA YasuharuFUKASAWA       Abstract   This paper presentS an analysis of inelastic flexural−torsional buckling of I−section members in due consideration of the effects of web distortion． By extending the instability theory formulated by Vlazov for thin−walled members to flexural−torsional buckling of I− section members with flexible web， equations governing the problem are derived． A procedure of numerical evaluation of flexural−torsional buckling strength is demonstrated for the simply supported I−beams with typical patterns of residual stress distribution， loaded by uniform bending into the elasto−plastic range． Numerical results in the form of buckling curves， evaluated by the present method， show that the effects of web distorsion considerably reduce the elasto−plastic buckling strength as well as the elastic buckling strength in cases of the beams with particular cross−sectional proportions．

1．はじめに

 圧延1型鋼，溶接1形プレートガーターなどの1形 断面材の曲げねじれ座屈強度は，通常，断面形不変の 仮定のもとに全体座屈として解析され，同時に，特に 薄い板要素に対しては個別に局部座屈についてのチェ ックが行われている。しかしながら，これはあくまで も便宜的な近似解析法であることはいうまでもない。 そこで，解析精度をより向上させるために，断面形不 変の仮定を放棄した取り扱いが種々試みられている。 すなわち，それは断面変形を考慮した解析を行うこと であり，その結果は全体座屈のみならずフランジとウ ェブの連成効果を考慮した局部座屈の評価をも可能に する。      ，  このような断面変形を考慮した1形断面材の曲げね じれ座屈問題については，その弾性範囲内の挙動に関 するかぎり，すでにいくつかの解析結果が報告されて いる1）∼6）。著者らも，二つの異なった手法によってこの 問題に取り組み，一次元問題どしての簡便な支配方程 式の誘導と，座屈特性の検討を行った7）8）。  これらの研究成果のうち，断面変形を伴う1形断面 ばりの横倒れ弾性座屈の基本的特性としては，次のこ とが知られている。①座屈時の断面変形モードは，図 一1の3種に類別される。モードAは断面形不変の全 体座屈モードに相当する一tものであり，モードBは圧縮 フランジの面内曲げ変形が卓越するタイプである。モ ードCは圧縮フランジのねじれ変形が卓越している が見方を変えれば圧縮フランジとウェブの局部座屈モ モードA ＊土木工学科，Department of Civil Engineering モードB 図一1座屈変形のモード モードC

一ドに対応するものともみなせる。②断面変形の考慮 に伴う曲げねじれ座屈強度の低下は，モードAおよび Bをとる場合には小さいが，モードCの場合には大き な値に達することが多い。③はりのスパンが短いほ ど，ウェブおよびフランジの断面が細長いほど，座屈 変形はモードCに近づき，したがって座屈強度の低下 の度合いも大きくなる。  本研究は，上述のような断面変形を伴う1形断面材 の曲げねじれ弾性座屈の基本特性を踏まえ，その解析 をさらに非弾性域にまで発展させようとするものであ る。ここでの解析は，一次元問題として取り扱ってい る文献8）の基礎理論に基づき，それを非弾性域へ拡張 するかたちで行う。なお，非弾性領域におけるこの種 の問題の研究としては，H型鋼柱を対象に有限帯板法 によって解析したものがある9）1°）。 2． 支配方程式  解析の対象とする二軸対称の1形断面および座標系 とその断面変形を図一2に示す。座標系は次の2組を用 いる。その一つは，図心を原点O，断面の主軸をx，y 軸，母線に平行な軸をz軸とする（O−x，y，9）座標 である。他の一つは，部材の各構成薄板断面材の図心 を原点O、とし，各薄板断面材の弱軸および強軸をそれ ぞれn軸およびs軸とする右手直交座標系（O一n，s， Z）である。  非弾性横座屈の解析を行うにあたって，次のような 仮定を設ける：  ①断面変形としてはウェブの変形のみを考える。  ②はりの材料は完全弾塑性体である。  ③降伏状態は部材軸方向の直応力によって決まる。 ②と③の仮定より，応カーひずみ関係は，次のように なる。 n

 h

（a）座標系      （b）断面変形      図一2 座標系と断面変形 6z− o㌘：：≦：二， r・・−2G…， ・s−Ees        （la∼C） ここに，σyは降伏応力，εyは降伏ひずみ，Eはヤン グ係数，Gはせん断弾性係数である。  ウェブの変形を伴う一軸対称の1形断面ばりの弾性 横座屈変形の支配方程式は，座屈変形前の状態で作用 している軸力をN（°），x軸まわりの曲げモーメントを My（°）， y軸方向荷重をqッ〈°）とすれば，図心0のx軸方 向変位za，断面全体のねじれ角q，および上，下フラン ジの独自のねじれ角ψ1，ψ2に関して次のように表すこ とができる8）。  El。x za””一｛N（°）（u＋y、q）’｝’＋（れ（°）q）”＝O  EIωωq””−Gノ。q”＋EIωωf’iPi””＋ EI、，ωf 2 ip、’”’   −G／sf i iPi”−G／sf 2 ip， 「「＋ys（N（°）Z∠）’＋Mッ（°）U”   一（K（O）q’＋K，（°）ψ、’＋K，（0）ψ2’y   旬、（°）y、￠＝0 Elωωプ1（ψ＋ψ1）””−G／sf 1（ψ＋ψ1）” ＋2w”（2ip，＋・b2）一｛Kl…（・刷γ一・ Elω ．f 2（ψ＋ψ2）””−G／rsf 2（q−Fψ2）” ＋2凬ﾕ（ψ1一ト2ψ2）一｛K，（o）（q−←ψ2）ノ｝・一・       （2a∼d） ここに，Elw（＝Et 3／12）はウェブの単位幅あたりのz 軸まわりの曲げ剛性，Elxx， EIωω， Gノ、はそれぞれ有 効断面のy軸まわりの曲げ剛性，反り剛性，およびSt． Venantのねじり剛性を表す。さらに，上添字fl， f2は それぞれ上，下フランジに関する量であることを表す。 また，ys，y，はそれぞれせん断中心およびσyωの作用 点のy座標である。なお，K（°）， K，（°）， K，（0）は  K（°）＝∫A（σ。（°）＋σr）｛（κ一XS）2＋（y−ys）2｝dA  K，（o）＝∫Af i（σz（o）一十一σr）（x−xs）2dA      （3a∼c）  κ，（°）＝∫。ノ，（σ。（°）＋σ。）（X−X、）2dA ここに，κsはせん断中心のx座標，cr。（°）は座屈変形前 の状態での直応力，σrは部材軸方向の残留応力，Afl， Af2はそれぞれ上，下フランジの断面積である。  式（2）は，ウラゾフによって定式化された薄肉ばりの 3次元不安定問題の理論における断面形不変の仮定を 放棄し，さらに残留応力の影響項を付加することによ って導かれたものである。  以下では具体的な解析として，スパンLで単純支持 され，一定曲げモーメント払が作用する一軸対称1 形断面ばりについて，ウェブの変形を考慮した横座屈 荷重を求める。

 この場合，次式が成り立っ。  qッ（o）＝N（o）＝0，ノlfv（o）＝ノぼy      （4a， b） また，式（3a∼c）の値をそれぞれ次のように書くことに する。  K（o）＝K，．κ1（o）＝K1， K，（o）＝K，       （5a∼c） 式（4），（5）を式（2）に代入すると座屈変形の支配方程式が 次のように求められる。  Elxx u””十（Myq）”＝O EZωωψ””−G／sq”＋ Elωωf ’ ip，””   ＋Eノ『ωωプ2ψ、””−Gノ、ゾ1ψ1”−Gノ、プ2ψ、”   ＋M，U”一（κψ”＋κ1ψ、”＋K、ψ、”）＝0 EIωωf 1（ψ＋ψ1）””−Gノ、ア1（9Z）＋ψ1）” ＋2w〃（2ip・＋￠・）−k，（・＋・b1）tr−・（6・一・）  Elωωf2（ψ＋ψ、）””−G／sf2（ψ＋ψ、）”   ＋−Z・tlii；（1・’w（・bi＋2吻）一瓦（・・＋・ip・・）・・一・        （6a∼6d） 境界条件としては，次式が成り立つ場合を考える。

 z＝0，z＝L；u＝μ”；ψ＝q”

  ＝ ψ1 ＝ ψ1” ＝ ψ2＝ ψ2” ＝0      （7） このときの座屈形は，C，（i＝1，2，3，4）を任意定数と して 〔・・ψ1ψ・〕一〔CIC・C・C・〕・i・竿  （8） と表すことができる。ここに，nはモード次数である。式 （8）を式（6）に代入することによって，次のような固有値 方程式が得られる。

〆空y

一庇

叫誓y＋Gみ

SYM． 0

   臨・巴y＋G㍗＋k，

鋼（碧＋G躍＋瓦＋顎㌃‡

0 E・・…vf2

i三『y＋G賠長

2警（姦y

E・w・ノ・

Ory＋G九≡＋4乎（姦y

＝0  （9） 上式を解いて，スパンLの限界値を求めることができ る。なお，残留応力がy軸に関して対称に分布すると すれば，一定曲げモーメントMyのみが作用するとき の応力分布はy軸について対称となる。 3．弾塑性横座屈値の算定 3．1 降伏領域の決定と弾塑性曲げモーメントの算定  弾塑性座屈解析を行う場合，まず最初に降伏領域の 決定が必要となる。本研究では，1形断面を微小要素に 分割し，力の釣り合いからそれぞれの微小要素の直応 力を求め，降伏領域を決定する。  図一3のように1形断面ばりの構成薄板要素をそれ ぞれ2m個の微小要素に分割する。なお，ここでは， 板厚は他の断面寸法に較べ小さいものとして，板厚方 向には分割しないこととする。  微小要素の図心の直応力をσとすれば  σ＝σφ十σo十σr        （10） ここに，σφは断面全体の図心からの距離に比例する応 力，σ。は断面に一様に生ずる応力，σrは残留応力であ る。降伏応力σy，降伏曲率φy，曲率φを用いて式（10） を変形すれば

舌一2島＋：i＋篇    （11）

軸方向に力が作用しないとすれば，力のつり合いより  P＝∫． odA＝ΣoAA＝0        （12） ここに，AAは微小要素の断面積である。これより ￡一丁（Σ −9−∠A  σy）−i（鷲崩＋習∠A） したがって  Σ一q4．4＋Σ∠．4＝0        （13）  E σy     P 図一3 構成薄板要素   の分割

ここに，Σ，Σはそれぞれ弾性微小要素，塑性微小要     E   P 素についての和を表す。式⑬に式（11）を代入すると

；（2島情＋：1）aA＋：i； aA−・（14）

上式により，与えられた曲率，残留応力に対するσ。を 求めることができる。すなわち，式⑫を満足する応力 分布が求められ，断面の降伏状態を定めることができ る。このときの曲げモーメントは次式により求められ る。  My＝∫A oydA＝Σ⑳、4A＋ΣσyyAA   個          E      P  3．2断面定数の計算  2．における仮定より断面の塑性領域は外力に対して 抵抗しないものとすれば，断面定数は弾性領域（有効 断面）に対するものとして定義することができる。ま た，有効断面に対する図心およびせん断中心の位置は 断面の降伏状態により異なることから，それぞれの降 伏状態に応じた図心およびせん断中心を求め，それら に基づいた断面定数の計算を行う。  このとき，断面の降伏による図心の移動量liyは

Ay一

蝿齬?@   （16）

      E また，下フランジの板厚中心線よりせん断中心までの 距離y、’は次式によって求められる11）。 ys’一

?ﾇ力    （17）

ここに，ム1，ム2はそれぞれ上，下フランジのy軸に関 する断面二次モーメントであり，次式により求められ る。  Ixi＝∫AfiX2dA＝Σκ2∠A          Ef 1  ム2；∫Af 2x2dA＝Σx2∠．4    （18a， b）          Ef 2  また，式（9）で用いた断面定数は次のように表すこと ができる。

 ムx＝∫AX2dA＝Σx2AA

         E  Iωωf1＝ム1（h−y、’）2，1ω、、f2＝ム、y’。2  1ωω＝1、、ωf 1＋1ωωf2＝ム、（h一ヅ8）2＋1。2y’、2 …’−f・・1（2・・）・・dA一譜∠6 （19・−9） ・・f・−f・f・（2醐一隠∠b ノ、＝ノsf 1＋ノ、プ2＋ノsw

  一景穿∠6＋星害∠6＋誌巫

ここに，Σ，Σ，Σはそれぞれ上，下フランジ，ウェ     Ef 1 Ef 2 Ew ブの弾性微小要素についての和を表す。また，∠b，∠〃 は次式によって表される。

Ab−

?D， Ah−k   （2・a，・b）

 以上により，式（9）をスパンLについて解けば，与え られた1形断面はりについて弾塑性横座屈曲線を描く ことができる。 4．数値計算結果と考察  4．1 弾性横座屈  文献7），8）では1次モードに対する結果のみを示し たが，モード次数κを変化させた結果の一例を図一4， 5に示す。いずれも，縦軸は式（9）のM．に対応する横座 0．10 0．05 O．02 ξ1岡 0．01 0．005 0．002 0．001    s ぐNNCcNf−i…i

＼蟻認

’＼’

  」

｝断酸形を舗 断面形不変 0．5   1．0    2．0      5．0    10     20          L／b   図一4 弾性横座屈曲線（その1） 50 0．10 O．05 0．02 ξi頃 0・01 0．005 0．002 O．OOI  ＼       、

▽三1＼＼

  、

＝｝断面麹を鯖 一・一 f面形不変 d     、     ＼        s

べ＼一＼

ヱL150 オ ん T＝3・0 旦＝15 ∂ 2  “s−”te・ ” ’N

   ＼＼

    ＼＼

     ＼

0．5    1．0    2．0      5．0    10     20          L／b    図一5 弾性横座屈曲線（その2） 50

屈モーメントM。rによる縁応力σ，rとヤング係数E の比σ。r／E，横軸はスパンLとフランジ幅bの比L／b を両対数目盛で示した。  図一4は，圧延H形鋼モデルについて計算を行った ものである。いずれのモードにおいても，座屈応力の 極小値は極大値に対して約68％の低下を示している。 さて，実際の座屈は最小荷重で生ずることから2次以 上の高次モードの座屈を考慮すれば，座屈応力曲線は 結局図中の実線のようになる。この断面の場合には， （L／b）＞10では，断面変形を考慮したものと考慮しな いものとの差は極めて小さいが，一方（L／b）＜10では L／bの減少とともに両者の差は大きく拡大していくこ とがわかる。  図一5は，溶接1型鋼（1形プレートガーダー）モデル についての計算結果である。各モードにおける座屈応 力の極大値に対する極小値の低下は約7％であり図一4 の場合に較べてはるかに小さい。この断面の場合にも， （L／b）＜10において断面変形を考慮したものと考慮 しないものとの差が，L／bの減少とともに非常に大き くなっている。  図一4および図一5において，断面変形を考慮したも のと考慮しないものとの差が顕著となっているL／b の領域（両者に対して（L／b）＜10）においては，その 座屈変形モードは，図一1のモードCに相当しており， 圧縮フランジとウェブの連成した局部座屈としての色 彩が濃くなっている。なお，ここで得られた座屈強度 はL／bの広い範囲で鋼材の降伏応力をはるかに上ま わっているので，実用面からは弾塑性解析が必要とな る。  4．2 弾塑性座屈  次に，1形断面ばりに対して図一6のような2種の残 留応力分布モデルを設定し，弾塑性座屈解析を行った。  図一7，8は，それぞれ図一4，5と同じ断面のはりにつ 20 10 5．0 宰，．。

、。八

   一断面変形を考慮（弾塑性） O．5       （5単  1生）    一一・一断面形不変（弾塑性） O．2  1．0    2．0       5．0     10     20       50     100          L／b   （残留応力分布モデル：圧延1型鋼）      図一7 弾塑性座屈曲線 20 10 5．0 t L ミ逗2．0 1．0 0．5 0．2  1．0   2．0      5．0    10     20       50    100       L／b   （残留応力分布モデル：溶接1型鋼）      図一e 弾塑性座屈曲線 σr：降伏応力 σ。。：圧縮残留応力 σ。t：引張残留応力 Orc＝0．3σ｝ σアt＝σrc Zl σアc σTt （a） 圧延1型鋼 σrtσrc

唾二1

σ。c＝0．3a， σTt＝σ、 （b） 溶接1型鋼 図一6 残留応力の分布モデル いて弾塑性座屈解析を行ったものである。図一7は圧延 1型鋼（図一6（a）），図一8は溶接1型鋼（図一6（b））の残留 応力分布モデルを用いて解析した。縦軸は横座屈モー メントM、rと塑性モーメントMpとの比M、r／Mp，横 軸はスパンLとフランジ幅bとの比L／ろを両対数目 盛で示した。どちらの1形ばりにおいても，断面変形を 考慮した場合の弾塑性座屈曲線は断面形不変の場合と ほとんど変わらず，L／bの全領域において断面変形の 影響は現れていない。また図中には2次モードの曲線 も示したが，これらの断面の弾塑性座屈解析では1次 モードについてのみ検討すればよいことがわかる。  以上より，断面変形の影響が顕著に現れるL／bの範

10 5．0 2．0 ミ』1．・ 0．5 0．2 0．1

涜ヂ 一べ

｝断酸形を縮（弾塑性）       （弾 性） 断面形不変（弾塑性） 0．5    1．0    2．0      5．0    10     20      50          L／b   （残留応力分布モデル：圧延1型鋼）  図一9 弾塑性横座屈への断面変形の影響 10 5．0 2．0 泰1．・     °べぐ∼・＼   O．5 0．2 0．1 ｝断唖形を鴇（弾塑1生）       （弾性） 断面形不変（弾塑性） 0．5   1．0    2．0      5．0    10     20      50         、L／b  （残留応力分布モデル：溶接1型鋼） 図一10 弾塑性横座屈への断面変形の影響 囲における弾塑性座屈強度がはりの塑性モーメントを 上まわるはりでは，弾塑性座屈解析においては断面変 形の影響はほとんど現れず，また，1次モードについて のみ検討すればよいことがわかる。  次に，断面寸法を変えて，断面変形の影響が，顕著 に現れるL／bの範囲での弾性座屈強度が塑性モーメ ントを下まわるはりについて同様の計算を行った。  図一9は圧延1型鋼（図一6（a））の残留応力分布モデル を用いた場合の計算結果である。図中には1次モード と2次モードの結果を示したが，さらに，高次のモー ドでの座屈も考慮すれば座屈曲線は実線のようにな る。また，L／bの広い範囲にわたって断面変形の影響が みられる。  図一10は図一9と同一の断面に対して溶接1型鋼（図一 6（b））残留応力分布モデルを用いた場合の計算結果で ある。図一9と同様に，L／bの広い範囲にわたって断面 変形の影響が現れることがわかると同時に，図一9との 比較で，圧延形残留応力と溶接形残留応力の違いを読 みとることができる。  以上より，断面変形の影響が顕著に出現するL／bの 範囲における弾性座屈強度が，塑性モーメントを下ま わる場合には，弾塑性座屈においても，断面変形の影 響がみられ，また，2次以上の座屈も考慮しなければな らないことがわかる。 5． ま と め  本研究は，鋼構造物の終局耐力の評価方法の確立の 一環として，断面変形を伴う1形断面材の曲げねじれ 座屈に関する著者らの前研究8）を発展させ，非弾性座 屈問題等の解明を行ったものである。その結果，以下 に記すような諸点を明らかにすることができた。  （1）1形断面材の弾性曲げねじれ座屈曲線（座屈荷 重一L／b関係）において，断面変形を考慮した場合，L／ b（L：部材長，b：フランジ幅）の一定範囲内では2 次以上の高次モードの影響が現れること，断面変形を 考慮しないものとの顕著な差が生ずるのは，座屈モー ドが圧縮フランジとウェブの連成した局部座屈に相当 している場合であること，などが確認された。  （2）断面変形を伴う1形断面材の弾塑性域における 曲げねじれ座屈問題の支配方程式を，一定曲げモーメ ントを受ける場合について導き，残留応力の考慮のも とに数値解析する手順を示した。  （3）圧延1型鋼と溶接1型鋼の代表的なモデルにつ いて，弾塑性曲げねじれ座屈強度の数値解析を断面変 形を考慮して行った結果，座屈曲線において断面変形 の影響が顕著に現れるL／bの範囲での弾性座屈強度 が，塑性モーメント以下の場合には，弾塑性座屈強度 にも断面変形の有意な影響が生じうること，その場合， 2次以上の座屈も考慮する必要があること，などがわ かった。

参考文献

1）Rajasekaran， S． and Murry， D．W．：Coupled Local Buckl−  ing of Wide−Flange Beam−Column， Journal of the Struc−  tural Division， ASCE， Vo1．99， No． ST6， pp．1003∼1023，  （June 1973） 2）Johnson， C．P． and Will， K．M．：Beam Buckling of Finite  Element Procedure， Journal of the Structural Division，  ASCE， Vo1．100， No． ST3， pp．669∼683，（March 1974）

3）Hancock， GJ．：Local， Distortional， Lateral Buckling of I  −Beams， Journal of the Structural Division， ASCE， VoL  104，No． STII， pp．1787∼1798，（November 1978） 4）Hancock， GJ．， Bradford， M．A． and Trahair， N，S．：Web  Distortion and Flexural−Torsional Buckling， Journal of  the Structural Division， ASCE， Vol．106， No． ST7， pp．  1557∼1571，（July 1980） 5）Bradford， M．A．， and Trahair， N，S．：Distortinal Buckling  of I−Beams， Journal of the Structural Division， ASCE，  VoL 107， No． ST2， pp．355∼377．（February 1981） 6）薄木征三，長谷部薫：二次の変位場理論に基づく薄肉断面ば  りの局部および全体座屈解析，土木学会論文報告集，第344  号／1−1，pp． 357 一一 366，（1984年4月） 7）杉原美好，深沢泰晴：ウェブの変形を伴う1形断面材の弾性   曲げねじれ座屈，山梨大学工学部研究報告，第35号，pp．75   ∼84，（1984年12月） 8）深沢泰晴，杉原美好：1形ばりの弾性横座屈に及ぼすウェブ   の変形の影響，構造工学論文集，Vol．31A， pp．15∼23，（1985   年3月） 9）吉田 博：H型鋼柱の局部座屈と曲げ座屈の連成座屈強度，   土木学会論文報告集，第243号，pp．19∼32，（1975年11月） 10）Hancock， GJ．：Inelastic Buckling in I−Section Columns，   Journal of the Structural Division， ASCE， Vo1．107， No．   ST1， pp．166∼179，（January 1981） 11）Bleich， F．： Buckling Strength of Me tal Structures，   Mcgrow−hill，（1952）