H23 コマの物理から素粒子のスピン

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剛体の力学

コマはなぜ倒れないのか?

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色々なコマ

コマの軸は『枠』に接している

・ 歳差運動

・ 自立する（極端なものは　『眠りコマ』）

・ 起き上がるものもあるし、不思議な動きをするものもある

・ 歳差運動

・ 自立する（極端なものは　『眠りコマ』）

・ 起き上がるものもあるし、不思議な動きをするものもある

回転体の力学　→　『地球ゴマ』 コマは　『枠』　の中に設置。

コマの回転軸と、床などが直接接しない。 回転体の力学　→　『地球ゴマ』

コマは　『枠』　の中に設置。

コマの回転軸と、床などが直接接しない。

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コマの運動：　歳差運動

z

x

y

固定点

I

=I

= I I

コマには　『安定な回転軸』　がある。

重力

重力によるモーメントが発生

コマを水平な床の上に置く 重力が働く

重力のモーメントによりコマはどのように運動するか?

重力のモーメントによりコマはどのように運動するか?

N ⃗

N ⃗

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水平に倒した地球ゴマの運動

固定点

z

x y

地球ゴマの回転軸を水平に倒した場合 糸で吊す

棒で支える

回転軸の一端を空間に『固定』する

重力によるモーメント 重力

N ⃗

N ⃗

コマに張り付けた軸（慣性主軸）の動きを

静止系から考える

この条件の下で、コマの運動を

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水平に固定したコマの運動

⃗e_r

l

N 

M _⃗g ω⃗ =_{ω ⃗er}

N ⃗ =l M _⃗e

× _⃗g

コマが高速で回転

⃗L = I _{ω ⃗e}

固定点と重心との距離 _l

回転の角速度

_{ω ⃗ = ω ⃗e}

_⃗e

r

コマの質量 _M

によるモーメント

コマの慣性モーメント _I

角運動量 重力

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上から見ると

ジャイロスコープ効果

d 

⃗e_r

l

N 

M _⃗g ω⃗ =_{ω ⃗er}

N ⃗ =l M _⃗e

× _⃗g

重力によるモーメント

⃗L ₌ I _{ω ⃗e}

角運動量

⃗L

N ⃗

角運動量の変化 角運動量の変化

d ⃗L

dt ^=N⃗

^{d ⃗ L = N ⃗ dt}

d ⃗ L

角運動量の回転の　『角速度』 角運動量の回転の　『角速度』

= ^{∣⃗ N ∣dt}

∣⃗L∣ ^{ω '=}

d ϕ

dt ⁼

∣⃗ N ∣

∣⃗L∣

モーメントと角運動量が直交 モーメントと角運動量が直交

『ジャイロスコープ効果』

→　角運動量は大きさを変えず、円運動

d ϕ= ^{∣d ⃗L∣}

∣⃗L∣

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ジャイロスコープ効果による歳差運動の角速度

d 

⃗L

N ⃗

d ⃗ L

N ⃗ =l M _⃗e

× _⃗g

重力によるモーメント

⃗L = I _{ω ⃗e}

角運動量

角運動量の回転の　『角速度』 角運動量の回転の　『角速度』

= ^{∣⃗ N ∣dt}

∣⃗L∣ ^{ω '=}

d ϕ

dt ⁼

∣⃗ N ∣

d ϕ= ^{∣d ⃗L∣} ∣⃗L∣

∣⃗L∣

ω '= ^{∣⃗ N ∣}

∣⃗L∣ ⁼

l M g

I ω ⁼

l M

I ^g

ω 1

コマの形状

歳差運動の角速度が決まる 歳差運動の角速度が決まる

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地球ゴマを使った実験

歳差運動の周期（秒）

歳差運動の角速度（radian/s）

ω ' = T ^{2 π}

T

ω '= ^{l M g}

I ω

運動方程式から

測定により決定

測定結果と比較

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地球ゴマの質量・サイズ

コマ 直径 枠 合計

大 _{60.1 g 5.5 cm 18.8 g 78.9 g} 小 _{26.6 g 4.0 cm 9.9 g 36.5 g}

コマ 直径 枠 合計

大 _{60.1 g 5.5 cm 18.8 g 78.9 g} 小 _{26.6 g 4.0 cm 9.9 g 36.5 g}

ほとんどが円板のの質量だと仮定 コマの軸周りの慣性モーメント

大 60 g × (2.8 cm)² / 2 = 235 g cm² 小 26.6 g × (2.0 cm)² / 2 = 53.2 g cm² ほとんどが円板のの質量だと仮定

コマの軸周りの慣性モーメント

大 60 g × (2.8 cm)² / 2 = 235 g cm² 小 26.6 g × (2.0 cm)² / 2 = 53.2 g cm²

半径 r₀、質量 M の円板の慣性モーメント I は

I = ¹

2 ^{M r}

2

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歳差運動の角速度を求める

支点から重心までの距離 大 ^{l ~ 4.5 cm}

小 ^{l ~ 3.2 cm}

支点から重心までの距離 大 ^{l ~ 4.5 cm}

小 ^{l ~ 3.2 cm}

コマの回転の角速度 ω

こまの軸の直径 _{4.5 mm}

→　円周は π×4.5 mm ~ 14 mm こまを回すのにつかった紐の長さ 約 60cm

紐を引くと軸は 600 / 14 = 42.9 回転 紐を引くのにかかる時間 _~1s

軸の角速度 ω = 42.9 × 2π / (1 s) ~ 270 radian/s コマの回転の角速度 ω

こまの軸の直径 _{4.5 mm}

→　円周は π×4.5 mm ~ 14 mm こまを回すのにつかった紐の長さ 約 60cm

紐を引くと軸は 600 / 14 = 42.9 回転 紐を引くのにかかる時間 _~1s

軸の角速度 ω = 42.9 × 2π / (1 s) ~ 270 radian/s

コマ 直径 枠 合計 慣性モーメント

大 _{60.1 g 5.5 cm 18.8 g 78.9 g 235 g cm}² 小 _{26.6 g 4.0 cm 9.9 g 36.5 g 53.2 g cm}²

コマ 直径 枠 合計 慣性モーメント 大 _{60.1 g} 5.5 cm 18.8 g 78.9 g 235 g cm² 小 _{26.6 g} 4.0 cm 9.9 g 36.5 g 53.2 g cm²

ω '= ^{l M g}

I ω

それぞれのコマの 歳差運動の角速度 を求める

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コマの歳差運動：　斜めの場合

N ⃗

⃗L ₌ I ω ⃗

N ⃗ =⃗l× W ^⃗

⃗L= I ω ⃗

dL = N ^⃗ dt

W ⃗



コマの軸が角度 θ 傾いている場合 慣性モーメント _I

角速度 _ω

横から

上から

重力によるモーメント |N| = lWsinθ

角速度ベクトルの変化

_{dL = N} ^⃗ _dt

ω '= ^{l W sin θ}

I ω

ω '= ^{d ϕ}

dt ⁼

∣⃗ N ∣

∣⃗L∣

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剛体の運動エネルギー

並進運動による運動エネルギー

R

r

r

K = ¹

2 ^∑

N

m

_{ ˙r}



K = ¹

2 ^∑

N

m

_{ ˙R ˙r}



K = ¹

2 ^{M ˙⃗ R}

2

+ _{( ∑}

i=1 N

m

_˙⃗r

₎ ⋅ ˙⃗R+ _∑

i=1

N

1

2 ^m

^˙⃗r

' 2

=0

K ₌ ¹

2 ^{M ˙⃗ R}

2

回転による運動エネルギー 回転による運動エネルギー

T ₌ ¹

2 ^∑

N

m

_v

_⋅v

T = ¹

2 ^∑

N

m

_{ ×r}

_ ⋅ _{ ×r}

_

T = ¹

2 ^{⋅ } _ ^∑

N

m

_r

× _{ ×r }

_{ }

=⃗L

T = ¹

2 ^{⋅L }

回転していなければ 回転していなければ

˙⃗r '=0

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剛体の運動：　まとめ

1

2 ^{M ˙⃗ R}

2 1

2 ^{ω⋅⃗L ⃗}

重心にある質量Mの 質点の並進運動

重心にある質量Mの 質点の並進運動

運動エネルギー 運動エネルギー

重心まわりの回転運動 重心まわりの回転運動

運動方程式 運動方程式

= ^p

2

˙⃗p= ⃗F ^{˙⃗L= ⃗N}

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r

コマの運動：　３つの角度と回転軸

⃗n

⃗e

e

l

r

⃗e

⃗e

ψ

ω= ⃗

ϕ

 _⃗j= ^⃗e

^{× ⃗n}

∣ _⃗e

× _⃗n ∣

⃗j

⃗e

⃗n

上から見た図 上から見た図

横から見た図

横から見た図 回転軸に沿って見た図_{回転軸に沿って見た図}

水平面内 の回転

+ ˙ϕ _⃗n

回転軸まわりの高速回転

˙ψ _{⃗e z}

上下方向への回転

+˙θ ⃗j

慣性主軸慣性主軸

⃗e

e

e

⃗n

⃗e

^⃗j

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慣性主軸に角速度を分解 _{ω= ˙ψ ⃗ ⃗e}

z

^{+ ˙θ ⃗j + ˙ϕ ⃗n}

⃗n

e

l

r

⃗j



⃗n=sin θ⃗e_z^{+cos θ} ⃗e^'

e

e

⃗e'

⃗j

⃗e '^{=cos ψ}⃗e_x^{−sin ψ}⃗e_y

ω= ⃗ ₍ ˙θsin ψ+ ˙ϕ cosθcos ψ _{) ⃗e}

+ ₍ ˙θcos ψ− ˙ϕ cosθsin ψ _{) ⃗e}

⃗j=sin ψ⃗e_x+cos ψ⃗e_y

⃗n^{=sin θ}⃗e_z^{+cos θ}

₍

₎

⃗e'

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角速度ベクトル　→　角運動量ベクトル

回転体の慣性主軸 回転軸を z 軸

z 軸に垂直に x, y 軸

慣性乗積 0 慣性テンソル

I_zz ( x 軸) I = I_xx = I_yy( y, z 軸) 回転体の慣性主軸

回転軸を z 軸

z 軸に垂直に x, y 軸

慣性乗積 0 慣性テンソル

I_zz ( x 軸) I = I_xx = I_yy( y, z 軸)

⃗L= ^I ω ⃗

= ₍ ˙θsin ψ+ ˙ϕcosθ cos ψ ₎ I _⃗e

+ ₍ ˙θcos ψ− ˙ϕ cosθsin ψ ₎ I _⃗e

+ ₍ ˙ψ+ ˙ϕsin θ ₎ I

_⃗e

ω= ⃗ ₍ ˙θsin ψ+ ˙ϕ cosθcos ψ _{) ⃗e}

+ ₍ ˙θcos ψ− ˙ϕ cosθsin ψ _{) ⃗e}

+ ₍ ˙ψ+ ˙ϕsin θ _{) ⃗e}

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力学的エネルギーの保存

ω=⃗ ₍˙θsin ψ+ ˙ϕ cosθcos ψ_)⃗ex ω=⃗ +₍˙θcos ψ− ˙ϕcos θsin ψ_)⃗ey ω=⃗ +₍ ˙ψ+ ˙ϕ sin θ_)⃗ez

L=^I 

⃗L=(˙θsin ψ+ ˙ϕ cosθcos ψ)I ⃗e_x

⃗L+(˙θcos ψ− ˙ϕcosθ sin ψ)I _⃗ey

%L+⃗ ₍ ˙ψ+ ˙ϕ sin θ₎I_zz⃗ez

E = ¹

2 ^{( (} ˙ψ+ ˙ϕsin θ )

^I

⁺ ₍ ^˙θ

^{+ ˙ϕ}

^cos

^θ ₎ ^I ₎ ^{+Mgl sin θ}

=

^=

^

力学的エネルギーの保存より 力学的エネルギーの保存より

⃗n

e

l

r

⃗j



力学的エネルギー 力学的エネルギー

E =

回転の運動エネルギー

1

2 ^{ω⋅⃗L ⃗}

円板の位置エネルギー

+Mgl sin θ

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剛体の運動方程式

n

e_z

e_x

l r₀

O

j



M _g

N ⃗ =(l _⃗e

_{)×(M ⃗g)}

重力による支点まわりのモーメント

N⃗ ⊥_⃗ez N⃗ _{⊥ ⃗n}

空間に固定された系 n では ˙L_i=Ni N _z=0 N_n=0

˙L_n=0 水平周りの回転は等角速度

=(l _⃗e

)×(−M g _⃗n )

コマに固定された系（慣性主軸） コマに固定された系（慣性主軸）

L

_=L⋅n

一定

ω=⃗ ₍˙θsin ψ+ ˙ϕ cosθcos ψ₎⃗e_x ω=⃗ +₍˙θcos ψ− ˙ϕcos θsin ψ₎⃗e_y ω=⃗ +₍ ˙ψ+ ˙ϕ sin θ₎⃗e_z

L=^I 

⃗L=(˙θsin ψ+ ˙ϕ cosθcos ψ)I ⃗e_x

⃗L+(˙θcos ψ− ˙ϕcosθ sin ψ)I_⃗ey

%L+⃗ ₍ ˙ψ+ ˙ϕ sin θ₎I_zz⃗ez

L

= I

₍ ˙ψ+ ˙ϕ sin θ ₎ sin θ+I ˙ϕ cos

θ

N ⃗

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剛体の運動方程式

n

e_z

e_x

l r₀

O

j



M _g

剛体に固定された系 e_z では 剛体に固定された系 _e

z ^では

オイラーの方程式

N

₌ I

_{ ˙}

_ I

₋ I

_{ }

_

=0

˙ω z ⁼⁰

一定

ω=⃗

₍

₎

₍

₎

ω=⃗ +

₍

₎

_



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三個の保存量

E=¹

2

⁽

₍

₎

₎

L_n= I _zz

(

₎

ω_z=

₍

₎

初期条件 ( t = 0 ) θ=0

˙ϕ=0

回転軸が水平

水平方向に回転していない

n

e_z

e_x

l r₀

O

j



L

(t=0)= I

ω

sin (θ)+ I ˙ϕ cos

(θ)

力学的エネルギー

水平回転の角運動量

コマの回転軸周りの角速度

L

(t=0)=0 ^{˙ϕ= −I}

^ω

^{sin θ}

I cos

θ

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水平方向への回転

ex

e_y

ψ

n

ϕ

n

e_z j

n

e_z

e_x

l r₀

O

j



=0 ^˙ϕ=0

n 軸まわりの角速度

回転軸の水平からの傾きが大 →　角速度　大 回転軸まわりの角速度大 →　角速度　大

˙ϕ= ^−I

^ω

^{sin θ}

I cos

θ

角速度なし　→　回転しない

水平の場合は角速度が生まれない

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回転軸の水平に対する角度の時間的変化

E=¹

2

⁽

₎

エネルギー・n軸周りの角運動量は保存

L_n= I _zz

₍

₎

I ¨ θ=− ₍ M g l −I

ω

˙ϕ+I ˙ϕ

sin θ ₎ cos θ

ω_z: 一定 ω_z: 一定

→　時間微分すると 0

I ˙ θ ¨θ+ I ˙ϕ ¨ϕcos

θ− I ˙ϕ

˙θcosθsin θ+ M g l ˙θ cosθ=0

I ¨ ϕcos

θ−2 I ˙θ ˙ϕ cos θsin θ+I

ω

˙θcos θ=0

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コマの歳差運動

e_x

e_y



n



n

e_z j

n

e_z

e_x

l r₀

O

j



I ¨ θ=− ₍ M g l −I

ω

˙ϕ+I ˙ϕ

sin θ ₎ cos θ

˙ϕ= ^−I

^ω

^{sin θ}

I cos

θ

数値計算の例

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参考資料

●

_{比較的簡単な読み物}

●

「コマの不思議」　黒須　茂　著

– 山文社

– ISBN-10: 4879260762

– ISBN-13: 978-4879260765

●

演習問題として、コマの力学を解いてみたい人向け

●

「こまはなぜ倒れないか」　大槻義彦・小牧研一郎　編

– 物理学 One Point、　共立出版株式会社

– ISBN-10: 4320033620

– ISBN-13: 978-4320033627