koubaisuu kouyakusuu test

(1)

公倍数と公約数

(2)

1 ^倍数. . . 1

1.1 [^復習] ^{奇数と偶数} . . . 1

1.2 ^倍数とは . . . 2

1.3 ^{倍数の問題}. . . 3

2 ^{共通の倍数} ^公倍数, ^{最小公倍数}. . . 4

2.1 「公倍数」の中でもっとも小さな「最小公倍数」 . . . 4

2.2 ^倍数, ^公倍数, 最小公倍数を利用した問題 . . . 5

3 ^{割り切る数} ^約数 . . . 8

3.1 ^約数とは . . . 8

3.2 ^{約数の問題}. . . 10

4 ^{確認問題その１} . . . 11

5 ^{共通の約数} ^公約数, ^{最大公約数}. . . 13

5.1 「公約数」の中でもっとも大きな「最大公約数」 . . . 13

5.2 ^約数, ^公約数, 最大公約数を利用した問題 . . . 14

6 ^{確認問題その２} . . . 15

7 ^{大きな数同士の}, 最大公約数と最小公倍数の求め方 . . . 17

7.1 ^{最大公約数の求め方} . . . 17

7.2 ^{最小公倍数の求め方} . . . 18

7.3 ^まとめ . . . 19

7.4 [^発展] 3つの数の最大公約数と最小公倍数の求め方 . . . 20

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(3)

13th-note 1 ^倍数

₁

1 ^倍数

1.1 [ ^復習 ] ^{奇数と偶数}

1.

^{次の文章について}^, ^{正しい言葉を選び}^, ^{○ をつけましょう}^.

• ₁₂は₂で

( 割り切れる割り切れない

)

ので_{, 12}は偶数である_.

• ₂₅_は₂_で

) ので

(偶数である_. 奇数である_.

)

• また_, 奇数の (15

16 )

と_, 偶数の (23

24 )

を足すと_,

(偶数になる_. 奇数である_.

)

2.

^{次の文章について}^, ^{正しい言葉を選び}^, ^{○ をつけましょう}^.

また_, には正しい数字を入れましょう_. （これは_, この先の問題でも同じです）

• ₁₃₄は₂で

) ので

(偶数奇数

)

• ₁₃₄_の₁_の位は _であり

(偶数奇数

)

• ₈₅は₂で

) ので

(偶数奇数

)

• ₈₅の₁の位はであり

(偶数奇数

)

奇数と偶数を見分ける方法

どんな整数も_,







１の位が奇数ならば_, 元の数も奇数_. １の位が偶数（₀もＯＫ）ならば_,

元の数も偶数_.







3.

^{次の数字の中から}^, 偶数だけに ○ をつけましょう_.

24 _, 13 _, 16 _, 8 _, 29 _, 45 _, 47 _, 74 _, 136 _, 57 _, 219

4.

^{次の文章について}^, 正しいものをすべて選びましょう_.

（ア）₃₅人のクラスで₂人₁組のペアを作ったら_, 誰もあまらなかった_.

（イ）お父さんのお土産は₁₅個入りのお菓子だった_{. 1}人で₂個ずつ食べたら_{, 1}つあまった_.

（ウ）₄月には_, 奇数回_, 一日がやってくる_.

（エ）奇数と奇数を足すと_, 必ず偶数になる_.

（オ）_345621930は偶数だ_.

(4)

1.2 ^倍数とは

■₃の倍数

3 _{の倍数とは} _{, 3} _{で割り切れる数のこと} _.

（₀は考えない）

1.

^{次の数字の中から}^{, 3}の倍数だけに ○ をつけましょう_.

24 _, 15 _, 12 _, 8 _, 29 _, 45 _, 47 _, 73

2.

^{一番小さい}³^の倍数は

³

^です^.

2^{番目に小さい}3^の倍数は , 3^{番目に小さい}3^の倍数は ^です.

■₄の倍数

4 _{の倍数とは} _{, 4} _{で割り切れる数のこと} _.

（₀は考えない）

3.

^{次の数字の中から}^{, 4}の倍数だけに ○ をつけましょう_.

24 _, 15 _, 12 _, 8 _, 29 _, 45 _, 47 _, 73

4.

^{一番小さい}⁴^の倍数は ^です^.

■₅の倍数_{, 6}の倍数_{, 7}の倍数_{, · · ·}

5 _{の倍数とは} _{, 5} _{で割り切れる数のこと} _{. 6} _の倍数 _{, 7} _の倍数 _{, · · ·} _も同じ _.

5.

^{次の数字の中から}^{, 5}の倍数に ○ をつけましょう_{. 8}の倍数に△をつけましょう_.

24 _, 15 _, 12 _, 8 _, 29 _, 45 _, 47 _, 73

6.

^{一番小さい}⁶^の倍数は ^です^.

2^{番目に小さい}6^の倍数は _{, 3}^{番目に小さい}6^の倍数は ^です_.

7.

^{一番小さい}¹⁰^の倍数は ^です^.

(5)

13th-note 1 ^倍数

₃

■倍数の作り方

1.

⁽¹⁾ ⁷^の倍数を^, ^{小さい順に}³^{つ書きましょう}^. ^µ ^¶

(2) 11^の倍数を, ^{小さい順に}3^{つ書きましょう}.

µ ¶

もとの数を１倍 _, ２倍 _, ３倍 _{, · · ·} としていくと _,

その数の倍数を作ることができます _.

^{（小さい順にできる）}

これが倍数という名前の由来です_.

2.

⁽¹⁾ ¹⁶^の倍数を^, ^{小さい順に}⁵^{つ書きましょう}^. ^µ ^¶

(2) 25^の倍数を, ^{小さい順に}5^{つ書きましょう}.

µ ¶

1.3 ^{倍数の問題}

1.

^{次の文章について}^, ^{正しければ ○ を}^, ^{間違っていれば}^×^{をつけなさい}^.

(1) ^³ ^´ ⁴⁰^{個のクッキーを}⁵人で同じ個数ずつ分けると_, クッキーは全部なくなった_. (2) ^³ ^´ ^{クッキーを}10^{枚ずつ焼いて}, ^今, 52^{枚焼きおわった}.

(3) ^³ ^´ 30^は, 5^{の倍数でも}, 6^{の倍数でもある}.

2.

⁽¹⁾ ^今月は⁷^{日が土曜日だった}^. ^{次の土曜は} ^日で^, ^{その次の土曜は} ^日になる^.

つまり今月の土曜の日にちはの倍数になっている_.

(2) ともえさんの家の前の線路は_{, 15}分おきに貨物列車が通過する_. 今_, 貨物列車が通過したので_, こ

れから（時間の早い順に）分後_, 分後_, 分後_, 分後にも貨物列車が通

過する_.

(3) 6^{で割り切れる数を（}0以外で）小さい順に書くと _, _, _{, · · ·} になる_.

6^で割って1余る数を小さい順に書くと

1

_, _, _, _, · · · になる_.

6^で割って2余る数を小さい順に書くと

²

, , , , ^{· · ·} になる_.

3.

⁽¹⁾ ¹⁰⁰^{より小さい}⁷^{の倍数のうち}^,

一番大きな数を答えなさい_.

(2) 100^{より小さい}7の倍数は何個あるだろうか_.

(6)

2 ^{共通の倍数} ^公倍数 , ^{最小公倍数}

2.1 「公倍数」の中でもっとも小さな「最小公倍数」

1.

⁽¹⁾ ²^{の倍数を小さい順に}¹⁰^こ書くと^, ^³ ^´ ^です^.

(2) 3^{の倍数を小さい順に}10^こ書くと, ^³ ^´ ^です. (3) 2^{の倍数であり}3^{の倍数でもある数を}, ^{小さい順に}3^つ書くと , , ^です.

これら₃つの数はすべての倍数になっています_.

2^{の倍数であり}3^{の倍数である数を}

^{２と３の公倍数}

^{と言います}.

また_, ２と３の公倍数のうち_, 一番小さな6を

_{２と３の最小公倍数}

と言います_.

2.

⁽¹⁾ ⁴^{の倍数を小さい順に}¹⁰^こ書くと^, ^³ ^´ ^です^.

(2) 6^{の倍数を小さい順に}10^こ書くと, ^³ ^´ ^です. (3) 4^{の倍数であり}6^{の倍数でもある数を}, ^{小さい順に}3^つ書くと , , ^です.

これら₃つの数はすべての倍数になっています_.

4^{の倍数であり}6^{の倍数である数を}

４と６の公倍数

^{と言います}_.

また_, ４と６の公倍数のうち_, 一番小さな¹²を

４と６の最小公倍数

と言います_.

3.

⁽¹⁾ ⁶^{の倍数を小さい順に}³^こ書くと^, ^³ ^´ ^{, 9}^{の倍数を小さい順に} ³^こ書く

と_, ^³ ^´ です_. だから₆と₉の最小公倍数はです_.

また_{, 6}と₉の公倍数を小さい順に₃つ書くと _, _, です_.

(2) 3^{の倍数を小さい順に}4^こ書くと ^³ ^´ , 4^{の倍数を小さい順に}4^こ書くと

³ ´

です_. だから_{, 3}と₄の最小公倍数はです_.

また_{, 3}と₄の公倍数を小さい順に₃つ書くと _, _, です_.

2^{つ以上の整数の}, ^{共通の倍数を}

^公倍数

^といい, ^{一番小さい公倍数を}

^{最小公倍数}

^という.

公倍数を求めるには _, 最小公倍数を１倍 _, ２倍 _, ３倍 _{, · · ·}

すればよい_.

(7)

13th-note 2 ^{共通の倍数} ^公倍数, ^{最小公倍数}

₅

4.

^次の²^{つの数の公倍数を}^, ^{小さいほうから}³^{つ書きなさい}^.

(1) (6^, 8) (2) (2^, 8)

(3) (5^, 7) (4) (12^, 15)

(5) ^(10, ²⁰⁾ (6) ^(4, ^9, ⁶⁾

5.

⁽¹⁾ ¹⁰⁰ ^{より小さい}²⁴^{の倍数をすべて答えな}

さい_.

(2) ¹⁰⁰^{より小さい}⁸^と⁶^{の公倍数をすべて答} えなさい_.

(3) 100^{より小さい}5^と6^{の公倍数をすべて答} えなさい_.

(4) 100^{より小さい}6^と9^{の公倍数はいくつあ} るだろうか_.

2.2 ^倍数 , ^公倍数 , 最小公倍数を利用した問題

1.

⁽¹⁾ ^（¹^以上で）⁸で割り切れる数を小さい順に₄つ書くと_, _, _, _, です_. (2) ^（1^以上で）10で割り切れる数を小さい順に₄つ書くと_, _, _, _, です_.

(3) ^（1^以上で）8^でも10でも割り切れる一番小さな数はです_.

2.

⁽¹⁾ ^（¹^以上で）¹²^でも⁹でも割り切れる一番小さな数はです_. (2) ^（1^以上で）20^でも12でも割り切れる一番小さな数はです_.

(8)

3.

^{ものさしを使って}^{, 0cm}^{から始めて}^{, 5cm}^{ごとに赤い線を引いた}^.

また_, 同じように₀_cmから始めて_{, 3cm}ごとに青い線を引いた_. (1) ^赤い線は, 40cm^{のところに}

(引いてある引いてない

)

. ^青い線は, 40cm^{のところに}

(引いてある引いてない

) .

(2) 100cm^までで, 青い線の引いてある最後の場所は_, _cmのところです_.

(3) ⁴⁸cm^{のところには},











赤い線も青い線も引いてある赤い線だけ引いてある青い線だけ引いてある赤い線も青い線も引いてない









 .

(4) 0cmの次に赤い線も青い線も引いてある場所は_, _cmです_.

4.

なおとくんの家の最寄のバス停からは_, 京都駅行きのバスが₆分おきに_, 宇治駅行きのバスが₁₀分おきに出ている_. 今_{, 2}時ちょうどに京都駅行き_, 宇治駅行きのバスが同時に出発した_.

(1) 2^{時より後に}, ^{京都駅行きのバスは}, ^{（時間の早い順に）}2^時 ^分, ^分, ^分,

· · · _{に出発する}_.

(2) ²^{時より後に}, ^{宇治駅行きのバスは}, ^{（時間の早い順に）}²^時 ^分, ^分, ^分,

· · · に出発する_.

(3) ２つのバスが次に同時に出発するのは_{, 2}時から分後_,つまり時分です_.

(4) (3)^の次に, ２つのバスが同時に出発するのは_, 時分です_.

5.

あきらくんの持っているお金は₃₀₀円より少ない_.

(1) ^{あきらくんは１本}40円の鉛筆をできるだけたくさん買うと_, 一文無しになるという_. あきらくんの持っているお金は_, いくらの可能性があるか_. すべて答えよ_.

(2) ^{あきらくんは１本}⁶⁰円の鉛筆をできるだけたくさん買っても_, 一文無しになるという_. あきらくんの持っているお金は_, いくらの可能性があるか_. すべて答えよ_.

(3) あきらくんの持っているお金が₂₀₀円より多いとき_, あきらくんの持っているお金を答えなさい_.

(9)

13th-note 2 ^{共通の倍数} ^公倍数, ^{最小公倍数}

₇

6.

以下の問いに答えなさい_.

(1) 100^{より小さく}12^{で割り切れる数のうち}, 一番大きな数を答えなさい_.

(2) 100^{より小さく}6^でも4^{でも割り切れる数} のうち_, 一番大きな数を答えなさい_.

(3) 100^{より小さく}10^でも15でも割り切れる数のうち_, 一番大きな数を答えなさい_.

(4) 100 ^{より小さく}18^{で割り切れる数は何個} あるか_.

(5) 100^{より小さく}, 6^でも9^{でも割り切れる数} は何個あるか_.

(6) 100^{より小さく}, 8^でも12でも割り切れる数は何個あるか_.

7.

^{クッキーが何個かあり}^{, 3}^{人で同じずつ分けても}^{, 4}^{人で同じずつ分けても}^{, 1}^{個余るという}^.

(1) ^余った¹^{個を除けば}, ^{クッキーの枚数は} ^でも ^{でも割り切れる}. ^つまり, ^クッキー

の枚数から₁を引くと_, との公倍数になる_.

(2) ^{クッキーが}⁴⁰^{枚より少ないとき}. ^可能性のある個数を全て答えなさい_.

(3) ³^{で割っても} ⁴^{で割っても}²^余り, 40^より小さな₂けたの数をすべて答えなさい_.

8.

⁽¹⁾ ⁵^{で割っても}⁶^{で割っても}²^{余る数のうち}^,

100^{より小さい}2桁の数をすべて答えなさい_.

(2) 8 ^{で割っても} 12^{で割っても} 3 ^{余る数のう} ち_{, 3}の次に一番小さいものを答えなさい_.

(10)

3 ^{割り切る数} ^約数

3.1 ^約数とは

■₆の約数 ₆の約数とは_{, 6}を割り切ることができる数のことです_.

1.

⁽¹⁾ ^• ⁶^は¹^で⁽_{割り切れない}^{割り切れる} ⁾ ^ので^{, 1}^は⁽₆_{の約数ではありません}⁶^{の約数です}^. _. ⁾

• ₆は₆で

)

ので_{, 6}は

( 6^{の約数です}_. 6^{の約数ではありません}.

)

(2) 6^は2^{で割り切れるので}, 2^は

( 6^{の約数です}. 6^{の約数ではありません}_.

)

さらに_{, 6 ÷ 2}の答えは

( 6^{の約数です}_. 6^{の約数ではありません}_.

)

(3) ^• ⁶^は⁴^で

)

ので_{, 4}は

( 6^{の約数です}. 6^{の約数ではありません}.

)

• ₆は₅で

)

ので_{, 5}は

)

(4) ^• ⁶^は⁷^で

)

ので_{, 7}は

)

• ₆は₈で

)

ので_{, 8}は

)

(5) 6の約数を小さい順にすべて書くと_,

µ ¶

です_.

■₁₅の約数 ₁₅の約数とは_{, 15}を割り切ることができる数のことです_.

2.

⁽¹⁾ ^• ¹⁵^は¹^で⁽_{割り切れない}^{割り切れる} ⁾ ^ので^{, 1}^は⁽₁₅_{の約数ではありません}¹⁵^{の約数です}^. _. ⁾

• ₁₅は₁₅で

)

ので_{, 15}は

)

(2) ¹⁵^は²^で

)

ので_{, 2}は

)

(3) 15の約数を小さい順にすべて書くと_,

µ ¶

です_.

(11)

13th-note 3 ^{割り切る数} ^約数

₉

■いろいろな数の約数 ₀と₁以外のどんな整数でも_, 約数を考えることができます_.

約数の簡単な見つけ方

_{約数で割った答えも} _, _{やはり約数になる} _.

3.

^• ¹^と²⁴^は⁽₂₄_{の約数ではありません}²⁴^{の約数です} ⁾^.

• ₂_は

( 24^{の約数です} 24^{の約数ではありません}

)

. 24 ÷ 2^の答え ^は

) .

• ₃は

)

. 24 ÷ 3^の答え ^は

) .

• ₄は

)

. 24 ÷ 4^の答え ^は

) .

• ₅は

)

. 6^が24^{の約数になることは}, ^{もう確かめました}.

• ₂₄の約数を小さい順にすべて書くと_,

µ ¶

です_.

4.

次の数の約数を全て書きなさい_.

(1) 20 (2) 18

(3) 30 (4) 36

5.

^{どんな数も}^, ^必ず ^{は約数になります}^.

また_, どんな数も最低個の約数を持っています（_0,₁の約数は考えないことに注意）_.

6.

⁷^の約数は ^µ ^¶ ^しかなく^{, 11}^の約数は ^µ ^¶ ^{しかありません}^.

このように_{, 1}とその数自身しか約数でない数のことを素数といいます_.

とりあえずは_,「約数が₂つしかないなら素数」と覚えて構いません（₁を素数には含めません）_.

7.

₍₁₎ ₅は

( 素数_.

素数ではない_. )

(2) 9^は

( 素数_.

(3) 2^は

( 素数_.

(12)

3.2 ^{約数の問題}

1.

⁽¹⁾ ²⁸^{個のクッキーを、}³人で同じ個数ずつ分けることは

( できる

できない )

.

28^{個のクッキーを、}4人で同じ個数ずつ分けることは

( できる

できない )

.

(2) 20^{本のえんぴつを}, 全員同じ本数ずつ分けることができるのは_,

（₁人_, ）人_, 人_, 人_, 人_, 人で分けるときしかない_.

つまり_, 人数がの

(倍数約数

)

になればよい_.

(3) ²⁵枚の紙を何人かで分けたら₁枚余った_. 結局枚の紙を平等に分けたことになるので_,

グループの人数はの約数でないといけない_. つまりグループの人数は人_,

人_, 人_, 人_, 人_, 人_, 人のいずれかである_.

2.

⁽¹⁾ ³^{より大きな}¹⁸^の約数は^, ^, ^, ^である^.

(2) ^{あるグループで}, 30個のクッキーを分けたら_{, 3}個余りました_. グループの人数はの約数にならないといけない_.

また_, クッキーが₃個余ったので_,グループの人数は人以下でないといけない_.

つまり_, グループの人数は人か人でないといけない_.

(3) ⁴⁰本のえんぴつを同じ本数ずつ分けたら_{, 2}本余った_.

えんぴつを分け合った人数は_, 人_, 人のいずれかである_.

(4) ⁴⁰^{を割ると余りが}²^{になる数は}, ^か ^しかない.

(5) 35^{を割って余りが}5^{になる数を全て書くと},

µ ¶

である_.

(6) ⁵⁰^{を割ると余りが}⁶^{になる数を全て書くと},

µ ¶

である_.

(13)

13th-note 4 ^{確認問題その１}

₁₁

4 ^{確認問題その１}

1.

^{次の数の倍数を}^, ^{小さい順に}⁵^{つ書きなさい}^.

(1) ⁹ (2) ¹²

(3) ³⁰ (4) ²⁴

2.

次の数の約数を全て書きなさい_.

(1) ¹⁰ (2) ¹⁵

(3) 18 (4) 28

(5) 32 (6) 50

3.

^次の数の¹⁰⁰より小さい倍数を全て書きなさい_. また_, 約数も全て書きなさい_. (1) 22

100^{より小さい倍数} ^約数

(2) ³⁶

(3) ⁴⁰

(14)

4.

^{次の数の公倍数を}^, ^{小さい順に}³^{つ書きなさい}^.

(1) (15^,6) (2) (7^,2)

(3) ^(10,⁵⁾ (4) ^(25,¹⁰⁾

(5) (18,12) (6) (14,4)

(7) (10^,8) (8) (14^,8)

5.

^• ⁸^は²^の⁽^倍数_約数⁾^{, 2}^は⁸^の⁽^倍数_約数⁾^になる^{. 5}^は¹⁵^の⁽^倍数_約数⁾^{, 15}^は⁵^の⁽^倍数_約数⁾^になる^.

• ₁₈は

(9^と6 3^と4

)

の公倍数_,

(9^も6^も 3^も4^も

) 18^の

(倍数約数

) .

• ₆_は₂₄_{の約数である}_{, 6}_{の約数はすべて}_{, 24}_の約数に

( なる

ならない )

.

6.

⁽¹⁾ まさおくんのクラスでは_{, 42}本のえんぴつを平等に分けることができました_. まさおくんのクラスの人数は_{, 42}の

(倍数約数

)

でないといけない_. もしクラスの人数が₂₀人以上

29^{人以下ならば}, ^{まさおくんのクラスは} ^人です.

(2) あきらくんのクラスには₉つの班があり_, どの班も人数が同じです_. あきらくんのクラスの人数は_{, 9}の

(倍数約数

)

でないといけない_. もしクラスの人数が₂₀人以上

40^{人以下ならば}, ^{あきらくんのクラスは} ^人か ^人です.

さらに_{, 6}グループある給食当番もすべて人数が同じなら_,あきらくんのクラスは人です_.

(15)

13th-note 5 ^{共通の約数} ^公約数, ^{最大公約数}

₁₃

5 ^{共通の約数} ^公約数 , ^{最大公約数}

5.1 「公約数」の中でもっとも大きな「最大公約数」

1.

^• ¹²^{の約数をすべて書くと}^³ ^´ ^です^.

• ₉の約数をすべて書くと^³ ^´ です_.

• ₁₂の約数であり₉の約数でもある数は_, すべて書くと

µ ¶

です_. これを₁₂と₉の公約数と言います_.

• ₁₂ _と₉の公約数で一番大きな数はです_. これを₁₂と₉ のと言います_.

2.

^• ²⁰^{の約数をすべて書くと}^³ ^´ ^です^.

• ₁₆の約数をすべて書くと^³ ^´ です_.

• ₂₀と₁₆の公約数をすべて書くと

µ ¶

, ^{最大公約数は} ^です.

3.

^{どんな２つの数でも}^, ^{は公約数になります}^. だから「最小公約数」は考えません_.

4.

^• ¹⁸^と¹²^{の公約数を全て書くと} ^³ ^´^です^.

18^と12^{の最大公約数は}6^で_{, 6}^の約数は ^³ ^´ ^です_.

• ₂₇と₁₈の公約数を全て書くと ^³ ^´です_.

27^と18^{の最大公約数は}9^で_{, 9}^の約数は ^³ ^´ ^です_.

2つ以上の数の共通の約数を

公約数

_, そのうち一番大きい値を

最大公約数

と言います_.

最大公約数の約数を全て書くこと

^と_,

公約数を全て書くこと

^は

同じ

です_.

5.

^次の²つの数の公約数をすべて書きなさい_.

(1) ^(10, ¹⁵⁾ (2) ^(18, ³⁰⁾

(3) (21^, 14) (4) (20^, 32)

(16)

5.2 ^約数 , ^公約数 , 最大公約数を利用した問題

1.

^{バタークッキーが}²⁴^枚^, チョコレートクッキーが₃₂枚ある_. これを_, 全員同じ枚数ずつに分けたい_. (1) 4^{人で分けると},

バタークッキーは₁人枚ずつ_, チョコレートクッキーは₁人枚ずつもらえる_.

(2) 3^{人で分けることを}, ^{バタークッキーは}

( でき

できず )

, チョコレートクッキーは

( できる

できない )

.

(3) ^人数が ^の

(倍数約数

)

ならば_, バタークッキーを同じ枚数ずつ分けられる_.

また_, 人数がの

(倍数約数

)

ならば_, チョコレートクッキーを同じ枚数ずつ分けられる_.

だから_, どちらも同じ枚数ずつに分けるためには_, 人数がでないと

いけない_. それができる最大の人数は_, 人である_.

2.

³⁰^{冊のノートと}⁵⁰本のえんぴつを平等に分けることができる_, 最大の人数を答えなさい_. また_, そのときもらえるノートとえんぴつは_, 一人でいくつか_.

3.

⁽¹⁾ ^{あるグループで}^{, 26}^{枚のカードを配ると}²^枚余り^{, 30}^{枚のカードを配っても}²^枚余った^.

• ₂₆_{枚のカードで}₂_{枚余ったので}_, _{グループの人数は} _{の約数になる}_.

• ₃₀枚のカードで₂枚余ったので_, グループの人数はの約数になる_.

• カードが₂枚余ったので_, グループの人数は人以下ではない_.

• _{グループの人数は} _と _{の公約数であるので}_, _{グループの人数は} _人_.

• ₂₆で割っても₃₀で割っても₂余る数は、である_. (2) ³⁸^{を割っても}⁴⁵^{を割っても}³余る数はいくつでしょう_.

(3) ³⁷^を割ると¹^余り, 46^を割ると⁴余る数を全て答えなさい_.

(17)

13th-note 6 ^{確認問題その２}

₁₅

6 ^{確認問題その２}

1.

次の数の倍数を小さいほうから₃つ書きなさい_. また_, 約数を全て書きなさい_. (1) ²⁰

倍数

約数

(2) ²⁴

倍数

約数

(3) ³³

倍数

約数

2.

^次の²^{つの数の公倍数を}^, ^{小さいほうから}³^{つ書きなさい}^. ^また^, 公約数を全て書きなさい_. (1) (12^, 16)

公倍数公約数

(2) (20^, 40)

公倍数公約数

3.

^次の²つの数の最小公倍数と最大公約数を書きなさい_. (1) (15^, 20)

最小公倍数最大公約数

(2) (30^, 40)

最小公倍数最大公約数

4.

^{次の問いに答えなさい}^.

(1) ¹⁰⁰^{より小さい}⁸^{の倍数のうち}, ^{最大の数を} 答えよ_.

(2) ¹⁰⁰^{より小さい}⁶^{の倍数は何個あるか}.

(3) ⁵⁰を割り切る数を全て答えなさい_. ₍₄₎ ₉と₁₂ の公倍数のうち_{, 100} より小さい数は何個あるか_.

(18)

5.

^{正方形の壁に}^, ^たてが^8cm, ^横が^12cm^{の長方形のタイルを}^,

右の図のようにしきつめました_. 次の問いに答えなさい_.

8cm

(1) ^次のうち, 正しいものを全て選びなさい_.

（ア）壁の一辺が₄₀_cmなら_, タイルはぴったりおさまる_.

（イ）壁の一辺が₈の倍数にならないと_, タイルがたてにちょうどおさまることはない_.

（ウ）壁の一辺が₁₂の倍数になっても_, 横方向にタイルがおさまらないことがある_.

（エ）壁の一辺が₈の倍数にも_{, 12}の倍数にもならないと_, タイルはぴったりおさまらない_. (2) タイルをぴったりしきつめられる正方形の壁のうち_{, 1}辺が最小のものは_{, 1}辺何_cmか_.

また_, そのとき必要なタイルは_, 何枚か_.

6.

^たてが^24cm, ^横が^36cm ^{の長方形の紙を}^, ^{右の図のように同じ}

大きさの正方形に分けました_.

36_cm

24_cm (1) ^次のうち, 正しいものを全て選びなさい_.

（ア）正方形の一辺を_4cmにすると_, 紙は余らない_.

（イ）_{36 ÷}（正方形の一辺の長さ）が割り切れるなら_, 紙は余らない_.

（ウ）正方形の一辺の長さが₂₄の約数でも_, 紙は余ることがある_.

（エ）正方形の一辺を₂₄と₃₆の公約数にすれば_, 紙は余らない_.

(2) 紙が余らないような分け方のうち_, 正方形の₁辺が最大のものは_{, 1}辺何_cmか_. また_, そのとき紙は何枚に分かれるか_.

7.

⁶^{で割っても}⁹^{で割っても}²^{余る数のうち}^{, 100}^{より小さい}²桁の数を全て書きなさい_.

8.

⁴⁰^を割ると⁴^余り^{, 50}^を割ると²余る数を全て書きなさい_.

(19)

13th-note 7 ^{大きな数同士の}, 最大公約数と最小公倍数の求め方

₁₇

7 ^{大きな数同士の} , 最大公約数と最小公倍数の求め方

7.1 ^{最大公約数の求め方}

準備「ある数」の約数を掛け合わせても_, やっぱりもとの「ある数」の約数になる_. このことを確かめなさい_.

• ₃₆は₂でも₃でも

( 割りきれる割りきれない

)

. ^だから^{2 × 3 =} ^でも

) .

• ₆₀は₃でも₅でも

)

. ^だから3 × 5 = ^でも

) .

最大公約数の求め方 ₃₀と₄₅の最大公約数を求めてみよう_. 5

´ 30 45 ⇐ 30^も45^も5^で割れる_, ^{割った結果を下に書く}_.

3

´

6 9 ^⇐6^も9^も3^で割れる, ^{割った結果を下に書く}. 2 3 ^⇐2^と3^{の公約数は}1^{しかないので}_, ^おしまい_.

30^も45^も_{, 5}^と3^{で割れるが}_, それ以上は一緒に割れない_. つまり最大公約数は_{5 × 3 = 15}_.

[ ^結論 ]

^{上のような表を書き}^,

左に並んだ数を掛け合わせる

^と_, ^{最大公約数になる}_.

• ₁₂と₁₈の最大公約数を求めなさい_.

2 ^´ 12 18 ^⇐12^も18^も2^で割れる_, ^{割った結果を下に書く}_. 3 ^´ ^⇐ ^も ^も3^で割れる, ^{割った結果を下に書く}.

⇐ との公約数は₁しかないので_, おしまい_. 12^も18^も_{, 2}^と3^{で割れるが}_, それ以上は一緒に割れない_.

つまり最大公約数は ^× ₌ _.

• ₄₂と₆₀の最大公約数を求めなさい_.

2 ^´ 42 60

^´

42^と66^{の最大公約数は} ^× = .

• ₈₄と₁₂₆の最大公約数を求めなさい_. ^´ ₈₄ ₁₂₆

^´ ^´

84^と126^{の最大公約数は}

^× ^× ₌ _.

• ₆₆と₇₈の最大公約数を求めなさい_.

(20)

左側に同じ数字が出てきても_, 一緒_. 2 ^´_{24 36}

2

´12 18

3

´

6 9

2 3

24^も36^も, 2^で2^回, 3^で1^{回割れるが}, それ以上は一緒に割れない_.

つまり最大公約数は2 × 2 × 3 = 12.

また_, 素数で割らなくても_, よい_. 10 ^´_{60 80}

2

´ 6 8

3 4

最大公約数は10 × 2 = 20_.

• ₄₅と₉₀の最大公約数を求めなさい_. 3 ^´ 45 90

3 ^´

^´

45^と90^{の最大公約数は} 3 × 3 × = _.

• ₃₆と₄₈の最大公約数を求めなさい_.

• ₄₈_と₆₄の最大公約数を求めなさい_.

7.2 ^{最小公倍数の求め方}

準備「ある数」の倍数の倍数は_, やっぱりもとの「ある数」の倍数になる_. このことを確かめなさい_.

• ₈_は₄_の倍数_{, 24}_は₈_の倍数_. _だから_, _も₄_{の倍数になる}_.

4 ^倍数 8 ^倍数 24

倍数

• ₄を₃倍すると_12, さらに₃倍すると₃₆で_, ももの倍数になる_.

• ₆と₈の最大公約数は _{, 6}と₈の最小公倍数は _.

最小公倍数は_, 最大公約数の

(倍数約数

)

になっている_.

2

6

8 倍数 24

倍数

最小公倍数の求め方 ₃₀と₄₂の最小公倍数を求めてみよう_.

2

´ 30 42

3

´ 15 21

5 7

30^と42^{の公倍数は}, 2 × 3 = 6の倍数でなければならない_. しかし_, さらに₅倍しないと₃₀の倍数にならないし_, さらに₇倍しないと₄₂の倍数にならない_.

つまり_{, 30}と₄₂の公倍数は_{, 6}の倍数の₅倍の_{, 7}倍になる_.

そのような数のうち一番小さいのは, 6 × 5 × 7 = 210. ^つまり³⁰^と⁴²^{の最小公倍数は}²¹⁰.

[ ^結論 ]

^{上のような表を書き}^,

左と下に並んだ数を全て掛け

^ると_, ^{最小公倍数になる}_.

(21)

13th-note 7 ^{大きな数同士の}, 最大公約数と最小公倍数の求め方

₁₉

• ₂₄_と₃₀の最小公倍数を求めなさい_. 2 ^´ 24 30

3 ^´

これより_, 最小公倍数を計算すると_, 2 × 3 × ^× = ^となる.

• ₃₆_と₄₅の最小公倍数を求めなさい_. 3 ^´ 36 45

^´

これより_, 最小公倍数を計算すると_,

3 × ^× ^× = ^となる.

• ₃₂と₄₀の最小公倍数を求めなさい_. • ₄₀と₅₆の最小公倍数を求めなさい_.

7.3 ^まとめ

1.

^次の²数の最小公倍数と最大公約数を求めなさい_. (1) ^(36, ⁴⁸⁾

最小公倍数

最大公約数

(2) ^(60, ⁷⁵⁾

最小公倍数

最大公約数

2.

^• ⁸^と⁹の公約数をすべて書くと

µ ¶

, ^{最大公約数は} ^です.

• ₈_と₉_{の最小公倍数は} _です_, _これは₈_と₉_を _{算した答えと同じです}_.

3.

^次の ^ア ^から ^カに当てはまる数字を答えなさい_. 9

´ 54 72

2

´ 6 8 3 4

• ₅₄と₇₂の最大公約数はアであり_,

54 = ^ア ^× ^イ , 72 = ^ア ^× ^ウ

• ₅₄_と₇₂_{の最小公倍数は} _エ _であり_,

エ _{= 54 ×} オ , エ _{= 72 ×} カ

アイウエオカ

(22)

7.4 [ ^発展 ] 3 つの数の最大公約数と最小公倍数の求め方

最大公約数の求め方は同じ ₃₀と₄₈と₆₀の最大公約数を求めてみよう_. 3つとも割れる数だけで割ればよい_.

2

´ 30 48 60 ^⇐^すべて2^{で割り切れる}

3

´

15 24 30 ^⇐^すべて3^{で割り切れる}

5 8 10 ^⇐5^と8^と10を同時に割り切るような数は₁しかないので_, これでおしまい_. 左に並んだ数字を掛け合わせて_, 最大公約数は_{2 × 3 = 6}

• ₅₄と₇₂と₉₀の最大公約数を求めなさい_. • ₁₁₂と₁₄₀と₁₅₄の最大公約数を求めなさい_.

最小公倍数の求め方は_, 少し違う ₃₀と₄₈と₆₀の最小公倍数を求めてみよう_. 2^{つ割れるだけでも割る}. 3つ全部割れなくてもよい_.

2

´ 30 48 60

3

´

15 24 30

5 ^´ _{5 8 10} ⇐₅と₁₀はどちらも₅で割れる（₈は割れないのでそのままにしておく）

2

´ 1 8 2 ^⇐8^と2^{はどちらも}2^{で割れる（}1は割れないのでそのままにしておく）

1 4 1

左と下に並んだ数字を全て掛け合わせて_, 最小公倍数は2 × 3 × 5 × 2 × 1 × 4 × 1 = 240

なぜ_, 上のように求められるか？左下の式を見ながら考えてみよう_. 30 = 2 × 3 × 5

48 = 2 × 3 ^×

e^{2 × 2 × 2} 60 = 2 × 3 × 5 ×

e² 6 = 2 × 3

240 = 2 × 3 × 5 × 2 × 2 × 2

左のように_, 素数だけの掛け算に分解することを「素因数分解」という_. どの数も_, 素因数分解は₁通りしかない（ ₁は素数でないことに注意）_.

素因数分解をすると_, ある数が何の倍数なのか_, や_, 公倍数・公約数などが簡単に分かる_.

• ₅₄_と₇₂_と₉₀の最小公倍数を求めなさい_. ^• ₁₁₂と₁₄₀と₁₅₄の最小公倍数を求めなさい_.

koubaisuu kouyakusuu test

公倍数と公約数

1

1 倍数

1.1 [ 復習 ] 奇数と偶数

1.

2.

奇数と偶数を見分ける方法

3.

24 , 13 , 16 , 8 , 29 , 45 , 47 , 74 , 136 , 57 , 219

4.

1.2 倍数とは

3 の倍数とは , 3 で割り切れる数のこと .

1.

24 , 15 , 12 , 8 , 29 , 45 , 47 , 73

2.

3

4 の倍数とは , 4 で割り切れる数のこと .

3.

24 , 15 , 12 , 8 , 29 , 45 , 47 , 73

4.

5 の倍数とは , 5 で割り切れる数のこと . 6 の倍数 , 7 の倍数 , · · · も同じ .

5.

24 , 15 , 12 , 8 , 29 , 45 , 47 , 73

6.

7.

3

1.

もとの数を１倍 , ２倍 , ３倍 , · · · としていくと ,

その数の倍数を作ることができます .

2.

1.3 倍数の問題

1.

2.

1

2

3.

2 共通の倍数  公倍数 , 最小公倍数

2.1 「公倍数」の中でもっとも小さな「最小公倍数」

1.

２と３の公倍数

２と３の最小公倍数

2.

４と６の公倍数

４と６の最小公倍数

3.

公倍数

最小公倍数

公倍数を求めるには , 最小公倍数を１倍 , ２倍 , ３倍 , · · ·

5

4.

5.

2.2 倍数 , 公倍数 , 最小公倍数を利用した問題

1.

2.

3.

4.

5.

7

6.

7.

8.

3 割り切る数  約数

3.1 約数とは

1.

2.

9

約数で割った答えも , やはり約数になる .

3.

4.

5.

6.

7.

3.2 約数の問題

1.

2.

11

4 確認問題その１

1.

2.

₁

1 ^倍数

1.1 [ ^復習 ] ^{奇数と偶数}

24 _, 13 _, 16 _, 8 _, 29 _, 45 _, 47 _, 74 _, 136 _, 57 _, 219

1.2 ^倍数とは

3 _{の倍数とは} _{, 3} _{で割り切れる数のこと} _.

24 _, 15 _, 12 _, 8 _, 29 _, 45 _, 47 _, 73

³

4 _{の倍数とは} _{, 4} _{で割り切れる数のこと} _.

24 _, 15 _, 12 _, 8 _, 29 _, 45 _, 47 _, 73

5 _{の倍数とは} _{, 5} _{で割り切れる数のこと} _{. 6} _の倍数 _{, 7} _の倍数 _{, · · ·} _も同じ _.

24 _, 15 _, 12 _, 8 _, 29 _, 45 _, 47 _, 73

₃

もとの数を１倍 _, ２倍 _, ３倍 _{, · · ·} としていくと _,

その数の倍数を作ることができます _.

1.3 ^{倍数の問題}

²

2 ^{共通の倍数} ^公倍数 , ^{最小公倍数}

^{２と３の公倍数}

_{２と３の最小公倍数}

^公倍数

^{最小公倍数}

公倍数を求めるには _, 最小公倍数を１倍 _, ２倍 _, ３倍 _{, · · ·}

₅

2.2 ^倍数 , ^公倍数 , 最小公倍数を利用した問題

₇

3 ^{割り切る数} ^約数

3.1 ^約数とは

₉

_{約数で割った答えも} _, _{やはり約数になる} _.

3.2 ^{約数の問題}

₁₁

4 ^{確認問題その１}

₁₃

5 ^{共通の約数} ^公約数 , ^{最大公約数}

5.2 ^約数 , ^公約数 , 最大公約数を利用した問題

₁₅

6 ^{確認問題その２}

₁₇

7 ^{大きな数同士の} , 最大公約数と最小公倍数の求め方

7.1 ^{最大公約数の求め方}

[ ^結論 ]

7.2 ^{最小公倍数の求め方}

[ ^結論 ]

₁₉

7.3 ^まとめ

7.4 [ ^発展 ] 3 つの数の最大公約数と最小公倍数の求め方