経済学 C
練習問題 2 ( 解答付 )
記号の要約
• xhi ≥ 0:消費者 h の第 i 財消費量 (i = 1, 2, h = 1, 2) xh= (xh1, xh2) ∈ R2+:消費者 h の消費ベクトル (h = 1, 2)
• ehi ≥ 0:消費者 h の第 i 財初期保有量 (i = 1, 2, h = 1, 2) eh= (eh1, eh2) ∈ R2+;消費者 h の初期保有ベクトル (h = 1, 2)
• pi>0:第 i 財価格 (i = 1, 2) p= (p1, p2) ∈ R2++:価格ベクトル
問題
問題 1. 2 人の消費者が 2 種類の財を消費する状況を考える. 消費者 h の効用 関数を uh: R2+→ Rで表す.
問 1 配分 x が実現可能であることの定義を述べよ.
問 2 配分 x が配分 ¯xを Pareto 支配することの定義を述べよ. 問 3 配分 x が Pareto 効率的であることの定義を述べよ. 問 4 完全競争市場での競争均衡の定義を述べよ.
問題 2. 2 人の消費者が 2 種類の財を消費する状況を考える. 消費者 1 の効用 関数は
u1(x1) = x11x12 で表され, 消費者 2 の効用関数は
u2(x2) = x21x22
で表される. また, 消費者 1 の初期保有ベクトルは e1= (e11, e12) = (10, 20)で あり, 消費者 2 の初期保有ベクトルは e2= (e21, e22) = (50, 10)である. 問 1 Edgeworth の箱の中に契約曲線を図示せよ.
問 2 次の 4 つの配分を考える.
• {e1, e2} = {(10, 20), (50, 10)}
(各々の消費者が初期保有として与えられている財をそのまま消費 するような配分)
• { ¯x1,x¯2} = {(20, 10), (40, 20)}
• { ˆx1,xˆ2} = {(20, 15), (40, 15)}
• { ˜x1,x˜2} = {(40, 20), (20, 10)} 以下の問に答えよ.
(a) 配分 {¯x1,x¯2}は配分 {e1, e2}を Pareto 支配していることを示せ. (b) 配分 {ˆx1,xˆ2}は配分 {e1, e2}を Pareto 支配していることを示せ. (c) 配分 {˜x1,x˜2}は配分 {e1, e2}を Pareto 支配していないことを示せ. 問題 3. 2 人の消費者が 2 種類の財を消費する純粋交換経済を考える. 消費者 1の効用関数は
u1(x1) = 3(x11)13(x12)23 で表され, 消費者 2 の効用関数は
u2(x2) = 3(x21)23(x22)13
で表される. また, 消費者 1 の初期保有ベクトルは e1= (e11, e12) = (6, 3)であ り, 消費者 2 の初期保有ベクトルは e2= (e21, e22) = (3, 6)である.
問 1 消費者 h の第 i 財の需要関数を求めよ (i = 1, 2, h = 1, 2). 問 2 (市場全体での) 第 i 財の需要関数を求めよ (i = 1, 2).
問 3 消費者 h の第 i 財の超過需要関数を求めよ (i = 1, 2, h = 1, 2). 問 4 (市場全体での) 第 i 財の超過需要関数を求めよ (i = 1, 2). 問 5 Walras 法則が成り立っていることを確認せよ.
問 6 競争均衡での価格比と消費者 h の消費ベクトルを全て求めよ (h = 1, 2). 問 7 Edgeworth の箱の中に契約曲線を描け. また, 均衡配分が契約曲線上に あること (すなわち, 競争均衡が Pareto 効率的であること) を確認せよ.
解答
解答 1. 問 1 配分 x が
x1i + x2i = e1i + e2i i= 1, 2 を満たすとき, x は実現可能であるという. 問 2 全ての h = 1, 2 に対して,
uh(xh) ≥ uh( ¯xh)
が成り立ち, かつ少なくとも 1 人の消費者については上式が厳密な不等 号で成り立つとき, 配分 x は配分 ¯xを Pareto 支配するという.
問 3 配分 x が実現可能であり, かつ x を Pareto 支配する実現可能な配分が 存在しないとき, x は Pareto 効率的であるという.
問 4 以下の条件を満たす配分 x∗と価格ベクトル p∗の組を競争均衡という.
• 全ての h = 1, 2 について, xh∗は p∗を所与としたときの消費者 h の効用最大化問題
max
xh∈R2+ u h(xh)
subject to p∗· xh≤ p∗· eh の解である.
• 全ての i = 1, 2 について, 市場が清算している. x1∗i + x2∗i = e1i + e2i i= 1, 2 解答 2.
問 1 消費者 1 の第 1 財の限界効用と第 2 財の限界効用はそれぞれ
M U11(x1) =∂u
1
∂x11(x
1) = x1
2, M U21(x1) =
∂u1
∂x12(x
1) = x1 1
と表されるから, 消費者 1 の限界代替率は次のように表される.
M RS1(x1) = M U
11(x1)
M U21(x1) = x12 x11
また, 消費者 2 の第 1 財の限界効用と第 2 財の限界効用はそれぞれ
M U12(x2) =∂u
2
∂x21(x
2) = x2
2, M U22(x2) =
∂u2
∂x22(x
2) = x2 1
と表されるから, 消費者 2 の限界代替率は次のように表される. M RS2(x2) = M U
12(x2)
M U22(x2) = x22 x21
したがって, Pareto 効率性の限界代替率均等化条件は次のように表さ れる.
x12 x11
|{z}
M RS1(x1)
= x
22
x21
|{z}
M RS2(x2)
また, 配分の実現可能性条件は次のとおりである. x11+ x21= e11
|{z}
10
+ e21
|{z}
50
= 60 ⇔ x21= 60 − x11
x12+ x22= e12
|{z}
20
+ e22
|{z}
10
= 30 ⇔ x22= 30 − x12 限界代替率均等化条件と実現可能性条件より,
x12 x11 =
30 − x12
60 − x11 ⇔ x
1 2=
1 2x
1
1≡ f (x11)
ここで, 関数 f は契約曲線を表す関数である. 図 1 で描かれているよう に, 契約曲線は消費者 1 にとっての原点 O1と消費者 2 にとっての原点 O2を結ぶ線分 (Edgeworth の箱の対角線) で表される.
契約曲線 x12= f (x11) =12x11
O1
O2
図 1:
問 2 (a) 配分 {e1, e2}の下での両消費者の効用水準はそれぞれ u1(e1) = 10 × 20 = 200, u2(e2) = 50 × 10 = 500
である. 一方, 配分 {¯x1,x¯2}の下での両消費者の効用水準はそれぞれ u1( ¯x1) = 20 × 10 = 200, u2( ¯x2) = 40 × 20 = 800 である. 配分 {¯x1,x¯2}は実現可能であり, かつ
u1( ¯x1) = u1(¯e1), u2( ¯x2) > u2(¯e2)
が成り立つから, 配分 {¯x1,x¯2}は配分 {e1, e2}を Pareto 支配する.
(b) 配分 {ˆx1,xˆ2}の下での両消費者の効用水準はそれぞれ u1( ˆx1) = 20 × 15 = 300, u2( ˆx2) = 40 × 15 = 600 である. 配分 {ˆx1,xˆ2}は実現可能であり, かつ
u1( ˆx1) > u1(e1), u2( ˆx2) > u2(e2)
が成り立つから, 配分 {ˆx1,xˆ2}は配分 {e1, e2}を Pareto 支配する. (c) 配分 {˜x1,x˜2}の下での両消費者の効用水準はそれぞれ
u1( ˜x1) = 40 × 20 = 800, u2( ˜x2) = 20 × 10 = 200 である. ここで,
u2( ˜x2) < u2(e2)
となることより, 配分 {˜x1,x˜2}は配分 {e1, e2}を Pareto 支配しない. コメント
• x1= e1に対応する消費者 1 の無差別曲線 I1(e1)と x2= e2に対 応する消費者 2 の無差別曲線 I2(e2)で挟まれたレンズ状の領域が 存在することに注意する (図 2 を参照).
– 配分 {¯x1,x¯2}と配分 {ˆx1,xˆ2}はレンズ状の領域に含まれてお り, {¯x1,x¯2}と {ˆx1,xˆ2}はともに {e1, e2}を Pareto 支配する. – 配分 {˜x1,x˜2}はレンズ状の領域に含まれておらず, {˜x1,x˜2}は
{e1, e2}を Pareto 支配しない.
• 4つの配分のうち,
– 配分 {¯x1,x¯2}と配分 {˜x1,x˜2}は契約曲線上に位置しており, Pareto効率的である.
– 配分 {e1, e2}と配分 {ˆx1,xˆ2}は契約曲線上に位置しておらず, Pareto効率的でない.
O1
O2
契約曲線 x12= f (x11) = 12x11 {e1, e2}
{ ¯x1,x¯2}
{ ˆx1,xˆ2}
{ ˜x1,x˜2} I1(e1)
I2(e2)
10 20 40
10 15 20
20 50 40
10 15 20
図 2:
解答 3.
問 1 まず, 消費者 1 の需要関数を導出する. 消費者 1 の第 1 財の限界効用と 第 2 財の限界効用はそれぞれ
M U11(x1) = ∂u
1
∂x11(x
1) = (x1 1)
−2
3(x1
2)
2 3
M U21(x1) =∂u
1
∂x12(x
1) = 2(x1 1)
1 3(x1
2)
−1
3
で表されるから, 消費者 1 の限界代替率は
M RS1(x1) = M U
11(x1)
M U21(x1) =
(x11)−23(x12)23 2(x11)13(x12)−13 =
1 2
x12 x11 で表される. また, 消費者 1 の予算制約は
p1x11+ p2x12= 6p1+ 3p2
で表される. 消費者 1 の効用最大化問題の接線条件は次のとおりである. 1
2 x12 x11
| {z }
M RS1(x1)
= p1 p2
⇔ x12= 2p1 p2
x11
x12= 2pp1
2x
11を消費者 1 の予算制約に代入することで, 消費者 1 の第 1 財 の需要関数が次のように求められる.
p1x11+ p2× 2p1 p2
x11= 6p1+ 3p2 ⇔ x11= 2 + p2 p1
≡ x11(p) x11= 2 +pp2
1 を消費者 1 の効用最大化問題の接線条件に代入することで, 消費者 1 の第 2 財の需要関数が次のように求められる.
x12= 2p1 p2
× (
2 +p2 p1
)
= 4p1 p2
+ 2 ≡ x12(p)
次に, 消費者 2 の需要関数を導出する. 消費者 2 の第 1 財の限界効用と 第 2 財の限界効用はそれぞれ
M U12(x2) =∂u
2
∂x21(x
2) = 2(x2 1)
−13
(x22)13
M U22(x2) = ∂u
2
∂x22(x
2) = (x2 1)
2 3(x2
2)
−23
で表されるから, 消費者 2 の限界代替率は次のように表される.
M RS2(x2) = M U
12(x2)
M U22(x2)=
2(x21)−13(x22)13 (x21)23(x22)−23 = 2
x22 x21
また, 消費者 2 の予算制約は
p1x21+ p2x22= 3p1+ 6p2
で表される. 消費者 2 の効用最大化問題の接線条件は次のとおりである. 2x
22
x21
|{z}
M RS2(x2)
=p1 p2
⇔ x22=1 2
p1
p2
x21
x22= 12pp1
2x
21を消費者 2 の予算制約に代入することで, 消費者 2 の第 1 財 の需要関数が次のように求められる.
p1x21+ p2×1 2
p1
p2
x21= 3p1+ 6p2 ⇔ x21= 2 + 4p2 p1
≡ x21(p) x21 = 2 + 4pp2
1 を消費者 2 の効用最大化問題の接線条件に代入すること で, 消費者 2 の第 2 財の需要関数が次のように求められる.
x22=1 2
p1
p2
× (
2 + 4p2 p1
)
=p1 p2
+ 2 ≡ x22(p)
問 2 第 1 財の需要関数と第 2 財の需要関数はそれぞれ次のように表される. x1(p) = x11(p) + x21(p) = 2 +p2
p1
+ 2 + 4p2 p1
= 4 + 5p2 p1
x2(p) = x12(p) + x22(p) = 4p1 p2
+ 2 +p1 p2
+ 2 = 5p1 p2
+ 4
問 3 消費者 1 の第 1 財の超過需要関数と第 2 財の超過需要関数はそれぞれ次 のように表される.
z11(p) = x11(p) − e11= 2 +p2 p1 − 6 =
p2
p1 − 4
z21(p) = x12(p) − e12= 4p1
p2+ 2 − 3 = 4p1 p2 − 1
また, 消費者 2 の第 1 財の超過需要関数と第 2 財の超過需要関数はそれ ぞれ次のように表される.
z12(p) = x21(p) − e21= 2 + 4p2 p1
− 3 = 4p2 p1
− 1
z22(p) = x22(p) − e22=p1 p2
+ 2 − 6 = p1 p2
− 4
問 4 第 1 財の超過需要関数と第 2 財の超過需要関数はそれぞれ次のように表 される.
z1(p) = z11(p) + z21(p) = p2 p1
− 4 + 4p2 p1
− 1 = 5p2 p1
− 5
z2(p) = z12(p) + z22(p) = 4p1 p2
− 1 + p1 p2
− 4 = 5p1 p2
− 5
問 5
p1z1(p) + p2z2(p) = p1
( 5p2
p1
− 5 )
+ p2
( 5p1
p2
− 5 )
= 0 となるから, Walras 法則が成り立っていることを確認できる.
問 6 均衡配分を {x1∗, x2∗} = {(x1∗1 , x1∗2 ), (x2∗1 , x2∗2 )},均衡価格を p∗= (p∗1, p∗2) で表す. 第 1 財の市場清算条件より, 均衡価格比pp∗1∗
2 が
2 + p
∗ 2
p∗1
| {z }
x11(p∗)
+ 2 + 4p
∗ 2
p∗1
| {z }
x21(p∗)
= 6|{z}
e11
+ 3|{z}
e21
⇔ p
∗ 1
p∗2 = 1
と求められる.1 pp∗1∗
2 = 1を消費者 1 と消費者 2 の需要関数にそれぞれ代 入すると,
x1∗1 = x11(p∗) = 2 +p
∗ 2
p∗1 = 3 x1∗2 = x12(p∗) = 4p
∗ 1
p∗2 + 2 = 6 x2∗1 = x21(p∗) = 2 + 4p
∗ 2
p∗1 = 6 x2∗2 = x22(p∗) = p
∗ 1
p∗2 + 2 = 3
となるから, 競争均衡での消費者 1 の消費ベクトルと消費者 2 の消費ベ クトルはそれぞれ
x1∗= (x1∗1 , x1∗2 ) = (3, 6) x2∗= (x2∗1 , x2∗2 ) = (6, 3) である (図 3 を参照)
1第 1 財の市場清算条件は「第 1 財の超過需要 = 0」と同値だから,
−5 + 5p
∗2
p∗1
| {z }
z1(p∗)
= 0 ⇔ p
∗1
p∗2
= 1
のように価格比を求めることもできる. また, 第 2 財の市場清算条件からも, 価格比pp∗1∗
2 を次の
ように求めることができる. 4p
∗1
p∗2 + 2
| {z }
x12(p∗)
+p
∗1
p∗2 + 2
| {z }
x22(p∗)
= 3
|{z}
e12
+ 6
|{z}
e22
⇔ p
∗1
p∗2
= 1
O1
O2
6 3
3 6
3 6
3
6 I1 I2
初期保有点 {e1, e2} = {(6, 3), (3, 6)} {x1∗, x2∗} = {(3, 6), (6, 3)}
−pp∗1∗ 2 = −1
両消費者共通の予算線
図 3:
問 7 Pareto 効率性の限界代替率均等化条件は次のように表される. 1
2 x12 x11
| {z }
M RS1(x1)
= 2x
22
x21
|{z}
M RS2(x2)
また, 実現可能性条件は次のとおりである.
x11+ x21= e11+ e21= 9 ⇔ x21= 9 − x11 x12+ x22= e12+ e22= 9 ⇔ x22= 9 − x12 限界代替率均等化条件と実現可能性条件より,
1 2
x12 x11 = 2
9 − x12
9 − x11 ⇔ x
1 2=
12x11
3 + x11 ≡ f (x
1 1)
ここで, 関数 f は契約曲線を表す関数である. 関数 f を微分すると,
df
dx(x) > 0, ddx2f2(x) < 0となることが簡単に示されるから, 関数 f は厳密 な増加関数かつ厳密な凹関数である. また,
f(3) =12 × 3 3 + 3 = 6
であることから, 均衡配分が契約曲線上にあることを確認できる (図 4 を参照).
O1
O2
6 3
3 6
3 6
3 6 I1 I2
初期保有点 {e1, e2} = {(6, 3), (3, 6)} 競争均衡配分 {x1∗, x2∗} = {(3, 6), (6, 3)}
両消費者共通の予算線 契約曲線 x12= f (x11)
図 4: