平成23年度 原子核物理学

原子核の

基本的な性質

https://sites.google.com/site/genshikakubutsurigaku/

Nuclear Chart

Table of Isotope より抜粋

原子核の基本的性質

●

_{原子核の構成}

●

_{原子核の大きさ}

●

_{原子核内で働く力}

原子(核)の構成

原子核の大きさ ₁₀^-14 _{～ 10}^-15 _m

水素原子核の重さ _{938 MeV/c}²= 1.67 × 10^-27 kg

水素原子核の密度 ₍₁₀^-24 _g)/(10^-13 _cm)³ _{〜 10}¹⁵ _g/cm³

～　中性子星の密度

電子の重さ _{0.51 MeV/c}² = 9.1 × 10^-31 kg

通常の物質 1 ～ 10 g/cm³

10^-5 10^-0 10^-5 10^-10 eV 1 K 300 K ^太陽の

中心温度 固体・化学

原子

原子核

素粒子

1 keV 100 MeV

ラザフォード散乱

+ ほとんどが原子核の

まわりを周回している 電子と散乱

時々原子核と衝突

H. Geiger and E. Marsden,

Proceedings of the Royal Society of London, A82, 495-500 (1909) 辻　哲夫　訳　 物理学古典論文叢書９　原子模型　より

原子核の構造

原子核の構造に関する手掛かり

原子の質量（原子量） おおよそ水素原子の質量が基準

原子番号 原子核中にふくまれる陽子の数

原子番号は原子量のおおよそ半分

1920^{年　チャドウィック}

原子番号は原子核の電荷の数と等しい

原子番号＝原子量 →　原子核は陽子でできている

原子番号＜原子量 →　原子核は陽子以外べつの粒子を含む

中性の粒子が、

陽子と同じくらいの質量分存在する

ベリリウム線の発見

1930年　ボーテ、ベッカー

ベリリウム線の発見

ベリリウムにアルファ線を照射すると透過性の強い放射線が放射する

ベリリウム線 電気的に中性（電荷をもたない）

高エネルギーのガンマ線？

（中性のガンマ線はラザフォードにより分類されていた）

Be アルファ線

Be

ベリリウム線

ベリリウム線の正体

イレーヌ・ジョリオ＝キュリー フレデリック・ジョリオ＝キュリー

ベリリウム線をパラフィンに当てると陽子が放出される事を発見

Be

ベリリウム線

パラフィン

パラフィン

陽子が飛び出す

問題： ガンマ線(質量0)で陽子放出を引き起こすには 非常に大きなエネルギー　＋　大強度

である事が必要。

中性子の発見: チャドウィック (1932年)

1935年　ジェームス・チャドウィック 中性子の発見

ベリリウム線を様々な原子核に衝突させ、ベリリウム線が

陽子とほぼ同じ質量

中性電荷

を持つこと、

このような中性粒子が原子核中に存在する事を発見。

中性子

と名付けた。

イレーヌ・ジョリオ＝キュリー、フレデリック・ジョリオ＝キュリー

ベリリウム線をパラフィンに当てると陽子が放出される事を発見

問題： ガンマ線で陽子放出 → 高エネルギー＆大強度

原子核の表記方

A 質量数（陽子数＋中性子数） ～　質量数

Z ^陽子数 ＝　原子番号、電荷 -Z e N 中性子数（ N = A – Z ）

Z

A _元素記号

例）

6

12 C

同位体： 原子番号 Z が同じ核種 同重核： 質量数 A が同じ核種 同中性子核： 中性子数 N が同じ核種

鏡映核： Z と N が互いに逆になっている核種対

Table of Isotopes (1998) より

http://nucleardata.nuclear.lu.se/NuclearData/toi/pdf/chart.pdf

同位体： 原子番号 Z が同じ核種 同重核： 質量数 A が同じ核種 同中性子核： 中性子数 N が同じ核種

鏡映核： Z と N が互いに逆になっている核種対

中性子数 N

原子番号（陽子数） Z

原子質量の基準

6

12C の質量を　12 atomic mass unit (amu： ^{原子質量単位})　とする

1 mol で 12 g なので、

^{1 amu = 1 g} _N

A

=1.66054×10

kg

原子核物理では 1 amu = 931.494 MeV/c

原子核の束縛エネルギー

陽子と中性子が束縛され原子核を作る　→　束縛状態がより安定

原子核の束縛エネルギーの大きさと、その源（相互作用）を考える 核子をつなぎ止める力とは?

クーロン力： 反発 or 作用しない

陽子と中性子をまとめて　 _『核子』 　 と呼ぶ

原子核の束縛エネルギー

n ^{中性子質量}

M_nucl(A,Z) ^{原子核の質量}

電子の質量・束縛エネルギー(~eV)を無視し、^原子質量 M(A,Z) を使って書き直す

B  Z , A=Z M

N M

−M  A , Z 

M  A , Z =M

 A , Z Z M

−B Z 

M_e ^電子質量

B(Z) ^{電子の束縛エネルギー}

B  Z , A=Z M

 A−Z  M

−M

 A , Z 

陽子の数 中性子の数

束縛されていない時の質量 原子核の質量

原子核の束縛エネルギ(~MeV)と比べて十分小さい

束縛エネルギーの計算

 =M  A , Z − A u

Table of Isotope をつかって核種の性質を調べる事が多い。

束縛エネルギーではなくて、質量偏差( Mass excess, Δ )^{が示されている。}

（アメリシウム） 原子質量単位からのずれ

束縛エネルギーの計算：　 ^{質量偏差から換算}

 =M  A , Z − A u

B (Z , A)=Z M

+N M

−M ( A , Z )

=Z M

 N M

−  Au 

=Z  M

−uN  M

−u−

（アメリシウム） 束縛エネルギー

A=Z +N

束縛エネルギーの計算：　 ^{質量偏差から換算}

B (Z , A)=Z (M

−u)+N ( M

−u)−Δ

241

Amの場合: Z=95, A=241

B (95,241)=95⋅(7.3 MeV/c

)+146⋅(8.1 MeV /c

)−52.93 MeV/c

B 95,241/241=7.6 MeV /c

B (95,241)=1823 MeV/c

１核子あたりの束縛エネルギー

質量偏差の例

26 Fe

47 Ag

93 Np

95 Am

A Δ (keV)

http://www.nndc.bnl.gov/wallet/

原子核の束縛エネルギー

B (Z ,A ) / A

A~60 で最大

~ 8.7 MeV

~ 7.6 MeV

B  Z , A=Z M _H N M _n −M  A , Z 

核子当たりの束縛エネルギー B(Z,A) / A

・ _{A ~ 60} あたりで最大

・ _{A > 16} で約 _{8 MeV}

7.6 < B/A < 8.7 MeV

原子核の大きさ

アルファ線

反対方向に散乱される場合

r₀ の位置でアルファ線の運動エネルギーとクーロンポテンシャルが釣り合う

r

2 e Z e

E ~5 MeV

E = ¹

4  

2 Z e

r

^=⋅

2 Z ℏ c

r

2

4 ₀ℏ c⁼ 1

137 ^{微細構造定数}

Z

=79

E

=5 MeV

ℏ c=197 MeV⋅fm

r ₀ =45.4 fm

散乱 _{断面積 σ [m} ² _]

断面積の単位

1 barn = 10^-28 m²

ℏ c

=197 MeV fm 

=3.89 ×10

GeV

fm

=0.389 GeV

mb

1 mb =10

m

=0.1 fm

散乱断面積：　固定標的

弾性散乱断面積

_{a b ab}



[ m

]

粒子_a からみた粒子_b の「大きさ」 粒子_a と 粒子 _b の散乱断面積

I [ N/s ]

 [N /m

]

Y [events/s]=I⋅⋅

標的「面」密度 ビーム強度

厚さ

_{d [m]}

=d [m]⋅

[ N/ m

]

単位面積あたりの標的粒子 _b の数

粒子 _a からみると　　単位面積あたりの標的粒子 _b の個数は それぞれが断面積

粒子 _a が　”標的”　と散乱する回数は

ビーム _a が　標的　_b と散乱する回数は

 [N /m

]

⋅

[ N]

微分断面積

断面積：　

_

例）　単位立体角あたりの断面積

^{d }

d 

dY = I⋅⋅ _ ^{d  }

d  _ ^{d }

d  

d  ⁼

dY

I⋅⋅d 

立体角：　距離　L　離れた場所にある半径　R　の円板を見込む立体角

L

R

=4  ^{ R}

2

4  L

⁼

 R

L

d 

θ

a +b → a ' + X

a

a '

b

粒子 _a が粒子 _b と散乱し、

立体角 _dΩ の検出器で_a' を検出

d   , 

d 





Polar angle

Azimuthal angle ^{（方位角）}

d 



a b  a '  X

a

a '



d  ^{ d }

d 

d  sin d 

d  ^d =d  sin  d 

 = _∫ d   ,  d 

= _∫

0 2

d  _∫

0



d   ,  sin  d 

微小立体角は_θと_ϕでこのようにかける

立体角

立体角：　別の解釈

O ¹

1

1

半径１の球の中心 O から物体を見たとき、 球の表面に投影された物体の影の大きさ 半径１の球の表面積 =

点状粒子との散乱断面積





=4





2

qc²

^

2sin^{2 } 2

_





=^{4 m}

2





q⁴ ラザフォード散乱

α線（スピン０）と原子核との散乱

モット散乱

電子（スピン1/2）と原子核との散乱

電子の磁気能率と原子核の磁場との相互作用

シンチレータ

金の薄膜 アルファ線

(⁴He^原子核)

ほとんどが突き抜ける アルファ線が金の薄膜で大角度に散乱される

→　原子中の重い点状の粒子存在

原子中に均一に分布している場合（トムソン模型）は大角度に散乱されない

d 

d  ⁼

4 m

_ Z

Z e

_

q

入射粒子の運動量 _p

実験室系での散乱角 _θ 入射粒子の電荷 _Z1e

入射粒子の質量 _m

標的粒子の電荷 _Ze

原子の構造：　ラザフォード散乱

p

p'

θ

q= p− p '

ラザフォード散乱

d 

d  ⁼

4 m

_ Z

Z e

_

q

p

p'

θ

q= p− p '

q= p− p '



p '

p

原子核の反跳を無視する。アルファ線の弾性散乱

_{∣ p ∣=∣ p ' ∣}

∣ q∣=2∣ p ∣sin ^

2

d σ

d Ω ⁼

m

₍ Z

Z e

₎

4 p

sin

^θ

2

ラザフォード散乱

ラザフォード散乱

Introduction to High Energy Physics D. H. Perkins より

散乱断面積と散乱振幅

p

p'

θ

q= p− p '

一般に

^{d σ}

d _Ω ^{= ∣ f (q ) ∣}

2

散乱振幅

平面波の散乱では

_{f ( q )=−} ^m

2 π ℏ

^{∫ V (r ) e}

iq⋅r

ℏ

d

r

散乱ポテンシャル

ラザフォード散乱 ＝ 原子核の電荷によるクーロン散乱

V (r)= ^e

2

4 π ε

Z

Z

r ^{=α ( ℏ c )}

Z

Z

r

 ^{d d  } 

= ^{4 m}

2

 ^Z

^{Z  ℏ c} 

q

ラザフォード散乱断面積の導出

d σ

d Ω ^{= ∣ f ( q ) ∣}

2

f ( q )=− ^m

2 π ℏ

^{∫ V (r ) e}

iq⋅r

ℏ

d

r

V (r)=α ( ℏ c ) ^Z

^Z

r

∫ ^{V (r) e}

^d

^{r =} ∫

^{d ϕ} ∫

^r

^{dr V (r )} ∫

^{d (cos θ)e}

∫ ^{V (r) e}

^d

^{r =2π⋅} ∫

^{dr r}

^{V (r ) ℏ} _{∣q∣∣r∣} ^{( e}

^−e

⁾

∫ ^{V (r) e}

^d

^{r = 4 π ℏ} _q ∫

^{dr r V (r )sin qr} _ℏ

∫ ^{V (r) e}

^d

^{r = 4 π ℏ} _q ^{α ( ℏ c ) q}

^q

∫

^{dr e}

^{sin qr} _ℏ

V (r)=α ( ℏ c ) ^Z

^Z

r ^e

−κr

この項を入れ、_{κ→0 を取る}

ラザフォード散乱断面積の導出

∫

^{dr e}

^{sin qr}

( ^e

^{sin qr} ) ^{' =−κe}

^{sin qr +qe}

^{cos qr}

( ^e

^{cos qr} ) ^{' =−κe}

^{cos qr −q e}

^{sin qr}

I

= _∫

dr e

sin qr

I

= _∫

dr e

cos qr

[ ^e

^{sin qr} ]

∞

=−κ I

+q I

[ ^e

^{cos qr} ]

∞

=−κ I

−q I

( ^{0 1} ) ^{= ( κ −q q κ )} ₍ ^{I I}

₎

( ^{I I}

) ^{= κ}

^{+q 1}

^{( −q κ κ q ) ( 0 1 )}

I

= _∫

0

∞

dr e

sin qr = ^q

q

+κ

ラザフォード散乱断面積の導出

∫

q²+(κℏ)²

∫ ^{V (r) e}

^d

^{r = 4 π ℏ}

^{α ( ℏ c ) Z}

^Z

q

+(κℏ)

f ( q )=− ^m

2 π ℏ

^{∫ V (r ) e}

iq⋅r

ℏ

d

r

f (q)=− ^m

2 π ℏ

4 π ℏ

α ( ℏ c ) ^Z

^Z

q

+(κ ℏ)

∫ ^{V (r) e}

^d

^{r = 4 π ℏ} _q ^{α ( ℏ c ) Z}

^Z ∫

^{dr e}

^{sin qr} _ℏ

f (q)=− ^{2 m α ( ℏ c ) Z}

^Z

q

+(κℏ)

d σ

d Ω ^{= ∣ f (q ) ∣}

2

= ^{4 m}

2

( ^Z

^{Z α ℏ c} )

( ^q

^+(κℏ)

)

d σ

d Ω ⁼

4 m ² ₍ Z ₁ Z α ℏ c ₎ ²

q ⁴

κ → 0

ラザフォード散乱断面積の考え方

V (r)=α ( ℏ c ) ^Z

^Z

r ^e

−κr

この項を入れ、_{κ→0 を取る}

ポテンシャルの到達距離

有限な到達距離を持たせておき、

到達距離が無限の極限(κ→0)での振る舞いを見る

1 _{/ κ}

湯川ポテンシャル

問　ラザフォード全断面積

d 

d  ⁼

m

_ Z

Z e

_

4 p

sin

^

2

σ= _∫ ^{d σ}

d Ω ^{d Ω=m}

2

( ^Z

^{Z e}

)

4p

^∫

2π

d ϕ _∫

d (cosθ) ¹

sin

^θ

2

全断面積を求めるには、微分断面積を積分する。 問１ラザフォード散乱の全断面積を求めよ。 問２その結果を考察せよ。

光の波長と解像度

波長 エネルギー

可視光 _{> 300nm < 10 eV}

X^線 1 pm ^～ 10 nm eV ^～ keV

電子線

線形加速器 数_{10 fm} 以下 _MeV ～ _GeV

可視光

短波長 →　高解像度

短波長 →　高エネルギー

※　ラザフォード散乱

アルファ線の典型的なエネルギーは 数MeV → 数10 fm の物体を見る事が出来た

原子核の大きさ 数10 fm

高エネルギー電子散乱

数百 _MeV から 数 _GeV に加速した電子を

・　水素、炭素等の標的に照射

・　散乱される電子を測定

1961年　

ロバート・ホフスタッター 線形加速器による高エネルギー電子散乱の研究と 核子の構造に関する発見

電子のエネルギーが低い 時は、『点状』の粒子との 散乱しているように見える。

エネルギーが高くなると、

『点状』の粒子との散乱から 次第にずれてくる

大角度に散乱する粒子が減少 大角度に散乱する粒子が減少

F (q) = _∫ dV ρ(r ) e ^{−i ⃗q⋅⃗r}

形状因子と電荷分布

d σ

d Ω

d σ

d Ω ^{= ∣ F (q) ∣}

2

d σ

d Ω

ρ(r )

点状粒子による散乱

広がりを持った粒子 による散乱

電荷分布

形状因子

点状粒子からのずれ

形状因子と電荷分布の関係

問　X線回折による結晶構造解析

X線回折により、物質の結晶構造を調べる事ができる。

『X線解析による結晶構造解析』と、『形状因子と電荷分布の関係』 にみられる類似点はなにか？

陽子は「大きさ _(~fm)」をもつ 電荷分布 _ρ(r)

点状粒子との散乱からのずれ 陽子の形状因子 _F(q)

d  =d ₀⋅_∣F q _∣² F q=

_∫

電荷分布

電子

陽子 ~ fm

The structure of the nucleon,

A. W. Thomas, W, Weise, Wiley-Vch

F q~



^

^



^{ r ~e}

~e

r 0.28 fm

陽子の形状因子：

フーリエ 変換

精度（fm)

→　数_{百MeVの光で測定}

陽子・中性子（核子）の構造：　形状因子

Fq=

_∫

∫^dV=2∫−1 1

dcos _∫0^∞dr r²

=2

_∫

_∫

1

dcos  r e−i r q cos

=2π

_∫

0

∞

dr r²ρ(r)

_[

−i r q ^e

−i r q cos θ

_]

cosθ=−1 cosθ=1

=2

_∫

0

∞

dr r²r  ¹

−i r q ^e

−i r q

−e^{i r q}_

∫

∞dr r r e^iqr=−

_∫

= ^2

−iq

^∫

∞

dr rr  e^{−i r q}

xⁿ f  x   i^{n d}

n _{f  p}

dpⁿ

=^2

−q

d q  dq

e^−ax → ^{2 a} a²+ p² フーリエ変換

 r ~e

 F q~ ¹

 ^{1Q/a }



電荷分布は他の形をとれば、形状因子も変化

 r ~r   F q~C

形状因子と電荷密度

原子核の形状因子

ρ(r )= ^ρ(0)

1+e

r−c a ウッズ－サクソン型形状因子

c 原子核の表面密度が半分になる半径 a diffuseness parameter

裳華房テキストシリーズ　原子核物理学より

特徴：　

重い原子核は一様な密度分布を持つ

原子核が重くなるにつれ、原子核半径が増加する

原子核の形状因子：　原子核の半径

平均２乗半径 〈r²〉^1/2=

₍ ^∫

2ρ(r)

∫

₎

1/ 2

=r₀A^{1/ 3}

原子核を半径　R　の一様球体と考えると

_R

₌ ⁵

3 ^〈r

2

〉

 r = ^{ 0}

1e

r− c a

∫

∫

∫

∫

〈r²〉=

^∫

2r 

∫

3 5 ^R

2

dV =dr r d r sin  d   4  r²dr

 r = ^{ 0}

1e

r− c a

原子核の半径

R _{=1.21 A} ^{1 / 3} fm

r

=0.94 fm

実験結果より

_〈r

_〉

_=r

0

^A