E in SM02 最近の更新履歴 物理学ノート

統計力学演習 No.2 (October 24, 2013) ⁷

2 量子論と状態数

2.1

量子系のハミルトニアンHˆについての固有値方程式

Hˆ_{ϕ = Eϕ (2.1)}

を時間に依存しないシュレーディンガー方程式という。また，その解_{ϕ ̸= 0}をエネルギー固有状態，その固有 値をエネルギー固有値または固有エネルギーと呼ぶ。

今，ある量子系のエネルギー固有値問題が完全に解けたとする。すなわち ˆ

H_{ϕi= Eiϕi (2.2)}

を満たす全ての_ϕiと_Eiが得られた事になる。ここでi = 1, 2, · · · は，エネルギーの低い順序に定める_:

0 ≤ E1_{≤ E}2_{≤ . . . .} (2.3)

最左辺の₀は基底状態のエネルギーを表す^*7。このとき，エネルギーが_E以下であるエネルギー固有状態の 総数を状態数_Ω(E)という。状態数は

Ω(E) := ^∑

0≤Ei≤E

1 (2.4)

のように階段的に₁ずつ増加する関数であり^*8，_Eの増加関数である。

例題1. ₁次元空間中を運動する₁個の自由粒子からなる系。長さ_Lの箱(0 ≤ x ≤ L)^{に閉じ込められ，その} 中を自由に運動する質量_mの自由粒子を考える。この系のシュレーディンガー方程式は

−^ℏ

2

2m d²

dx²ϕ(x) = Eϕ(x). (2.5)

境界条件はϕ(0) = ϕ(L) = 0なので，規格化されたエネルギー固有状態₍波動関数₎は ϕn(x) =^{√ 2}

L^sin (_nπ

L ^x

) (2.6)

となる。この波動関数の波数_kは，_kn=

nπ

L なので，そのエネルギー固有値は En= ^ℏ

2_k2

2m ⁼ π^2ℏ2 2mL²ⁿ

2_{= E}

0n², (n = 1, 2, . . . ) (2.7) E0:= ^π

2_ℏ2

2mL^{2 (2.8)}

である。従って状態数_Ω(E)は

Ω(E) = (En_{≤ E}^{を満たす自然数}n^の総数) = (n²_≤ ^E E0

を満たす 〃 ₎

=⁽_{n ≤}^{√ E} E0

満たす 〃

)=^{(√ E} E0

を超えない最大の自然数

) (2.9)

となる^*9。よって不等式

√ E

E0 − 1 < Ω(E) ≤^{√ E}_E

0

(2.10)

*7

基底状態とは，エネルギーが最低の状態のこと。つまり，基底状態のエネルギーを₀と選んだのである。

*8エネルギー固有値に縮退があれば，その縮退度d_iだけまとめて増える。

*9

実数xに対してxを超えない最大の整数を与える関数を床関数といい，_⌊x⌋または_[x]と書く。後者はガウス記号とも呼ばれる。

8 ₂ 量子論と状態数 が成り立つ。特にマクロの系では_{E ≫ E0}なので

Ω(E) ≃^{√ E} E0

=

√2m πℏ ^LE

1

2 _(2.11)

とエネルギー_Eの滑らかな関数となる。また状態数は系の大きさ_Lに比例する。 問題5. ₃次元空間中を運動する₁個の自由粒子からなる系の状態数を求める。

5-1.₃次元空間中の一辺_L，体積_{V = L}

3

の立方体中の領域(0 ≤ x, y, z ≤ L, )^{だけを運動する1個の自由} 粒子に対して，そのエネルギー固有状態とエネルギー固有値を求めよ。

5-2.この系の状態数_Ω(E)を求めよ。系のマクロ性に対する近似_{(E ≫ E0)}を用いてよい。

例題2. ₃次元空間中の一辺_L，体積_{V = L}³の立方体中の領域(0 ≤ x, y, z ≤ L)^{だけを運動するN個の自} 由粒子からなる系について，系のエネルギー固有状態とエネルギー固有値，状態数_Ω(E)を求めよ。

自習2. ₂次元空間中の一辺_Lの箱(0 ≤ x, y ≤ L)の中だけを自由に運動する質量_mの自由粒子に対して， エネルギー固有状態とエネルギー固有値を求めよ。また状態数_Ω(E)が

Ω(E) = ^m 2πℏ^2L

2_{E (2.12)}

となることを確かめよ。系のマクロ性に対する近似_{(E ≫ E0)}を用いてよい。

自習3. 問題₅で，周期的境界条件ϕ(x + L, y, z) = ϕ(x, y + L, z) = ϕ(x, y, z + L) = ϕ(x, y, z)^{を課した場} 合，系のエネルギー固有状態とエネルギー固有値，状態数_Ω(E)を求めよ。境界条件を変えても状態数_Ω(E) が変化しないことを確かめよ。

自習4. 角振動数が_ωで，互いに独立な_N 個の量子力学的な調和振動子からなる系の状態数_Ω(E)が Ω(E) = ¹

N ! ( E

ℏ_ω )N

(2.13)

となることを確かめよ。公式_(2.35)を用いる。

2.2

体積_V，粒子数_N の系の基底エネルギーを_EGSとする。₍粒子₎数密度_{ρ =} ^N

V ^{> 0を任意の値に保ってV}

と_Nを大きくしたとき，基底エネルギー密度に極限 ε0= lim

V →∞

EGS(V, N )

V ^(2.14)

が存在する。また，数密度_ρとエネルギー密度_{ε =}

E

V ^{> ε0を一定に保ってV とNを大きくしたとき，}

σ(ε, ρ) := lim

V →∞

1

V ^{log ΩV,N(E) (2.15)}

なる極限が存在する。これより状態数_ΩV,N(E)は

ΩV,N(E) ∼ exp[V σ(ε, ρ)] ^(2.16)

と書かれる。関数_{σ(ε, ρ)}は_εの増加関数であり，_{ε, ρ}に関して上に凸である。また_{σ > 0}である_: σ(ε, ρ) > 0, ^{∂σ(ε, ρ)}

∂ε ^{> 0,}

∂²σ(ε, ρ)

∂ε^{2 < 0,}

∂²σ(ε, ρ)

∂ρ^{2 < 0. (2.17)} 通常の熱力学的な系では以上が成り立つ^*10。以後，これらの性質が成り立つ系を熱力学的に正常な系と呼び，

状態数は_(2.16)式のように書けると考える。

*10これらは，温度と比熱が正であるための条件や正常なゆらぎが定義できるための条件と関係する。₂番目の条件が成り立たない場 合に負の温度が生じることを二準位系で考察する。

2.3 ^{数学公式 9}

2.3

自習5. ガウス積分と関連する以下の積分公式を証明せよ。ただし_{a > 0}，_nは自然数とする。

∫ ∞

−∞

e^−x2dx =^√π, (2.18)

∫ ∞

−∞

exp [

−^x

2

2a ]

dx =^√2πa, (2.19)

∫ ∞

−∞

xⁿexp [

−^x

2

2a ]

dx = (n − 1) a

∫ ∞

−∞

xⁿ⁻²exp [

−^x

2

2a ]

, (2.20)

∫ ∞

−∞

xⁿexp [

−^x

2

2a ]

dx =

{(n − 1)!! a^{n2√2πa nが偶数のとき,}

0 n^{が奇数のとき}. ^(2.21)

ここで二重階乗（一つおきの階乗）は m!! :=

{m × (m − 1) × (m − 4) × · · · × 4 × 2 m^{が偶数のとき,}

m × (m − 1) × (m − 4) × · · · × 3 × 1 m^{が奇数のとき (2.22)}

である。_(2.18)式では左辺の₂乗を₂次元極座標系で計算してから平方根をとる。_(2.19)式では変数変換を，

(2.20)式では部分積分を用いる。_(2.21)式では部分積分をくり返す。

自習6. _ν 次元のガウス積分_Iν が Iν :=

∫ ∞

−∞

e^{−(x21+···+x2ν)}dx1. . . dxν= π^ν2 (2.23)

であることを証明せよ。この式で

∫∞

−∞^{は，x1, . . . xν全ての積分範囲が}−∞^から+∞^{であることを表す。}

自習7. 正の実数_xについて

Γ(x) :=

∫ ∞ 0

e^−tt^x−1dt (2.24)

を_Γ関数と定義する^*11。以下の式を確認せよ。 Γ(1) =

∫ ∞ 0

e^−tdt = 1, (2.25)

Γ^{( 1} 2

)

=

∫ ∞ 0

e^−tt⁻¹²dt =

∫ ∞ 0

2e^−s2ds =^√π, (2.26)

Γ(x + 1) =

∫ ∞ 0

e^−tt^xdt =

∫ ∞ 0 ^(−e

−t^)′ _tx

dt = −

∫ ∞ 0

de^−t dt ^t

xdt = xΓ(x), (2.27)

正の整数_nについて

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = · · · = n!, ^(2.28) Γ

( n +¹

2 )

= (

n − ¹₂ )

Γ (

n −¹₂ )

= (

n −¹₂ ) (

n −³₂ )

Γ (

n −³₂ )

= . . .

= (

n − ¹₂ ) (

n −³₂ ) (

n −⁵₂ )

. . .¹ 2^Γ

( 1 2

)

=^{(2n − 1)!!} 2ⁿ

√π. (2.29)

*11_{Γ関数は特殊関数の1}つで，一般には複素数に対して定義される。_(2.24)の定義は，実部が正である複素数にzに対してそのまま 拡張できる。

10 ₂ 量子論と状態数 (2.27), (2.28)^{式から分かるように，}Γ(x + 1)は階乗を正の実数に拡張した_x!だと考えることができる。

自習8. 半径_rの_ν次元球の体積は

Vν(r) :=

∫

√x²₁+···+x²ν≤r

dx1. . . dxν (2.30)

と定義される。

8-1._ν 次元単位球の体積_Vν(1)を単に_Vνと記す。_{yi= xi/r}と変数変換し

Vν(r) = Vν(1)r^ν (2.31)

となることを示せ。

8-2._{r ≥ 0}で定義される任意の関数_{f (r)}に対して

∫ ∞

−∞

f (√

x²₁+ · · · + x²ν

)

dx1. . . dxν=

∫ ∞ 0

νVνr^ν−1f (r)dr (2.32)

が成り立つことを示せ。

8-3.前問の結果を用いて_(2.23)の左辺を計算し

Iν=

∫ ∞

−∞

e^{−(x21+···+x2ν)}dx1. . . dxν=

∫ ∞ 0

νVνr^ν−1e^−r2dr = Vν^ν

2

∫ ∞ 0

t^(ν−2)/2e^−tdt

= Vν

ν 2^Γ

(_ν 2

)= VνΓ^(ν 2 ^{+ 1}

) (2.33)

となることを確かめよ。

8-4._ν 次元単位球の体積_Vνが

Vν= ^π

ν 2

Γ^(ν₂+ 1^{) (2.34)}

となることを示せ。

自習9. _(x1, . . . , xν)^をν 次元空間の直交座標とする。i = 1, . . . , ν^についてxi _{≥ 0}^かつ∑ν_i=1xi_{≤ R}^で指

定される_ν次元三角錐の体積_Cν(R)が

Cν(R) = ^R

ν

ν! ^(2.35)

となることを示せ。

問題6. 例題₂を古典的に考えてみる。古典論における状態数は，_3N 次元の相空間_(Γ空間₎における積分 Ω(E) := ¹

h^3NN !

∫

H ≤Eˆ

dΓ (2.36)

で与えられる。ここで積分測度_dΓは，_N 個の自由粒子の一般化座標_qiと一般化運動量_pi (i = 1, 2, . . . 3N ) に関する積分を意味する_:

dΓ := dq1dq2. . . dq3Ndp1dp2 . . . dp3N =: dq dp . (2.37)

この系のエネルギーがHˆ₌^∑3N

i=1 p²i

2m^{である事と演習7}の結果を用いて状態数を計算せよ。

自習10.角振動数が_ωで互いに独立な_N個の調和振動子からなる系を古典的に扱い，状態数_Ω(E)を求めよ。