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(1)

統計力学演習 No.2 (October 24, 2013) 7

2

量子論と状態数

2.1

エネルギー固有状態と状態数

量子系のハミルトニアンHˆについての固有値方程式

ˆ

Hϕ= (2.1)

を時間に依存しないシュレーディンガー方程式という。また,その解ϕ̸= 0をエネルギー固有状態,その固有 値をエネルギー固有値または固有エネルギーと呼ぶ。

今,ある量子系のエネルギー固有値問題が完全に解けたとする。すなわち

ˆ

Hϕi=Eiϕi (2.2)

を満たす全てのϕiとEiが得られた事になる。ここでi= 1,2,· · · は,エネルギーの低い順序に定める:

0E1≤E2≤. . . . (2.3)

最左辺の0は基底状態のエネルギーを表す*7。このとき,エネルギーがE以下であるエネルギー固有状態の

総数を状態数Ω(E)という。状態数は

Ω(E) := ∑

0≤Ei≤E

1 (2.4)

のように階段的に1ずつ増加する関数であり*8,Eの増加関数である。

例題1. 1次元空間中を運動する1個の自由粒子からなる系。長さLの箱(0≤x≤L)に閉じ込められ,その 中を自由に運動する質量mの自由粒子を考える。この系のシュレーディンガー方程式は

−ℏ

2

2m d2

dx2ϕ(x) =Eϕ(x). (2.5)

境界条件はϕ(0) =ϕ(L) = 0なので,規格化されたエネルギー固有状態(波動関数)は

ϕn(x) =

2 Lsin

(nπ

L x

)

(2.6)

となる。この波動関数の波数kは,kn=

L なので,そのエネルギー固有値は

En=

ℏ2k2

2m = π22

2mL2n 2=E

0n2, (n= 1,2, . . .) (2.7)

E0:= π 22

2mL2 (2.8)

である。従って状態数Ω(E)は

Ω(E) = (En≤Eを満たす自然数nの総数) = (n

2

EE

0

を満たす 〃 )

=(n

E E0

満たす 〃

)

=(

E E0

を超えない最大の自然数

)

(2.9)

となる*9。よって不等式

E E0 −

1<Ω(E)

E E0

(2.10)

*7

基底状態とは,エネルギーが最低の状態のこと。つまり,基底状態のエネルギーを0と選んだのである。

*8エネルギー固有値に縮退があれば,その縮退度diだけまとめて増える。

*9

(2)

8 2 量子論と状態数

が成り立つ。特にマクロの系ではE≫E0なので

Ω(E)

E E0

=

2m πℏ LE

1

2 (2.11)

とエネルギーEの滑らかな関数となる。また状態数は系の大きさLに比例する。

問題5. 3次元空間中を運動する1個の自由粒子からなる系の状態数を求める。 5-1.3次元空間中の一辺L,体積V =L

3

の立方体中の領域(0≤x, y, z≤L,)だけを運動する1個の自由

粒子に対して,そのエネルギー固有状態とエネルギー固有値を求めよ。

5-2.この系の状態数Ω(E)を求めよ。系のマクロ性に対する近似(E≫E0)を用いてよい。

例題2. 3次元空間中の一辺L,体積V =L3の立方体中の領域(0≤x, y, z≤L)だけを運動するN個の自 由粒子からなる系について,系のエネルギー固有状態とエネルギー固有値,状態数Ω(E)を求めよ。

自習2. 2次元空間中の一辺Lの箱(0≤x, y ≤L)の中だけを自由に運動する質量mの自由粒子に対して, エネルギー固有状態とエネルギー固有値を求めよ。また状態数Ω(E)が

Ω(E) = m 2πℏ2L

2E (2.12)

となることを確かめよ。系のマクロ性に対する近似(E≫E0)を用いてよい。

自習3. 問題5で,周期的境界条件ϕ(x+L, y, z) =ϕ(x, y+L, z) =ϕ(x, y, z+L) =ϕ(x, y, z)を課した場 合,系のエネルギー固有状態とエネルギー固有値,状態数Ω(E)を求めよ。境界条件を変えても状態数Ω(E)

が変化しないことを確かめよ。

自習4. 角振動数がωで,互いに独立なN 個の量子力学的な調和振動子からなる系の状態数Ω(E)が

Ω(E) = 1 N!

(E

ω )N

(2.13)

となることを確かめよ。公式(2.35)を用いる。

2.2

マクロな系における基底エネルギーと状態数

体積V,粒子数N の系の基底エネルギーをEGSとする。(粒子)数密度ρ=N

V >0を任意の値に保ってV

とNを大きくしたとき,基底エネルギー密度に極限

ε0= lim

V→∞

EGS(V, N)

V (2.14)

が存在する。また,数密度ρとエネルギー密度ε=

E

V > ε0を一定に保ってV とNを大きくしたとき,

σ(ε, ρ) := lim V→∞

1

V log ΩV,N(E) (2.15)

なる極限が存在する。これより状態数ΩV,N(E)は

ΩV,N(E)∼exp[V σ(ε, ρ)] (2.16)

と書かれる。関数σ(ε, ρ)はεの増加関数であり,ε, ρに関して上に凸である。またσ >0である:

σ(ε, ρ)>0, ∂σ(ε, ρ) ∂ε >0,

∂2σ(ε, ρ)

∂ε2 <0,

∂2σ(ε, ρ)

∂ρ2 <0. (2.17)

通常の熱力学的な系では以上が成り立つ*10。以後,これらの性質が成り立つ系を熱力学的に正常な系と呼び, 状態数は(2.16)式のように書けると考える。

(3)

2.3 数学公式 9

2.3

数学公式

自習5. ガウス積分と関連する以下の積分公式を証明せよ。ただしa >0,nは自然数とする。

∫ ∞

−∞

e−x2dx=√π, (2.18)

∫ ∞ −∞ exp [ −x 2 2a ]

dx=√2πa, (2.19)

∫ ∞

−∞

xnexp

[

−x

2

2a

]

dx= (n1)a

∫ ∞

−∞

xn−2exp

[ −x 2 2a ] , (2.20) ∫ ∞ −∞

xnexp

[ −x 2 2a ] dx= {

(n1)!!an2√2πa nが偶数のとき,

0 nが奇数のとき.

(2.21)

ここで二重階乗(一つおきの階乗)は

m!! :=

{

m×(m−1)×(m−4)× · · · ×4×2 mが偶数のとき, m×(m−1)×(m−4)× · · · ×3×1 mが奇数のとき

(2.22)

である。(2.18)式では左辺の2乗を2次元極座標系で計算してから平方根をとる。(2.19)式では変数変換を, (2.20)式では部分積分を用いる。(2.21)式では部分積分をくり返す。

自習6. ν 次元のガウス積分Iν が Iν :=

∫ ∞

−∞

e−(x2

1+···+x2ν)dx

1. . . dxν=π

ν

2 (2.23)

であることを証明せよ。この式で

∫∞

−∞は,x1, . . . xν全ての積分範囲が−∞から+∞であることを表す。

自習7. 正の実数xについて

Γ(x) :=

∫ ∞

0

e−ttx−1dt (2.24)

をΓ関数と定義する*11。以下の式を確認せよ。

Γ(1) =

∫ ∞

0

e−tdt= 1, (2.25)

Γ ( 1 2 ) = ∫ ∞ 0

e−tt−1 2dt=

∫ ∞

0

2e−s2ds=√π, (2.26)

Γ(x+ 1) =

∫ ∞

0

e−ttxdt=

∫ ∞

0 (

−e−t)′

txdt=−

∫ ∞

0

de−t

dt t

xdt=xΓ(x), (2.27)

正の整数nについて

Γ(n+ 1) =nΓ(n) =n(n−1)Γ(n−1) =· · ·=n!, (2.28)

Γ

(

n+1 2

)

=

(

n−12

)

Γ

(

n−12

)

=

(

n−12

) (

n−32

)

Γ

(

n−32

)

=. . .

=

(

n−12

) (

n−32

) (

n−52

)

. . .1 2Γ

(1

2

)

=(2n−1)!! 2n

π. (2.29)

(4)

10 2 量子論と状態数

(2.27), (2.28)式から分かるように,Γ(x+ 1)は階乗を正の実数に拡張したx!だと考えることができる。

自習8. 半径rのν次元球の体積は

Vν(r) :=

x2

1+···+x2ν≤r

dx1. . . dxν (2.30)

と定義される。

8-1.ν 次元単位球の体積Vν(1)を単にVνと記す。yi=xi/rと変数変換し

Vν(r) =Vν(1)rν (2.31)

となることを示せ。

8-2.r0で定義される任意の関数f(r)に対して

∫ ∞

−∞

f

(√

x2

1+· · ·+x2ν

)

dx1. . . dxν=

∫ ∞

0

νVνrν−1f(r)dr (2.32)

が成り立つことを示せ。

8-3.前問の結果を用いて(2.23)の左辺を計算し

Iν=

∫ ∞

−∞

e−(x2

1+···+x2ν)dx

1. . . dxν=

∫ ∞

0

νVνrν−1e−r

2

dr=Vνν 2

∫ ∞

0

t(ν−2)/2e−tdt

=Vν

ν 2Γ

2

)

=VνΓ

2 + 1

)

(2.33)

となることを確かめよ。

8-4.ν 次元単位球の体積Vνが

Vν=

πν2

Γ(ν

2+ 1

) (2.34)

となることを示せ。

自習9. (x1, . . . , xν)をν 次元空間の直交座標とする。i= 1, . . . , νについてxi ≥0かつ

∑ν

i=1xi≤Rで指

定されるν次元三角錐の体積Cν(R)が

Cν(R) = R ν

ν! (2.35)

となることを示せ。

問題6. 例題2を古典的に考えてみる。古典論における状態数は,3N次元の相空間(Γ空間)における積分

Ω(E) := 1 h3NN!

ˆ

H≤E

dΓ (2.36)

で与えられる。ここで積分測度dΓは,N 個の自由粒子の一般化座標qiと一般化運動量pi (i= 1,2, . . .3N)

に関する積分を意味する:

dΓ :=dq1dq2. . . dq3Ndp1dp2 . . . dp3N =:dq dp . (2.37)

この系のエネルギーがHˆ=

∑3N

i=1

p2

i

2mである事と演習7の結果を用いて状態数を計算せよ。

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