補助資料スライド lecture Shinya Sugawara（菅原慎矢）

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統計学 I および演習 第 13 回 推定 補助資料

菅原慎矢

July, 2016

実際の推定

(例題 9.1.)

母平均 µ, 母分布 σ²の母集団からの大きさ n = 10 の無作為標本として、 {x^{1, ..., x10}} = {3.4, 4.5, 1.9, −1.6, 4.4, 0.8, 3.2, −0.3, 0.8, 3.7} が得られたとする (注意: 観測値は実数なので、小文字 xⁱで表記)

点推定値

母平均 µ, 母分散 σ²の点推定を考える

µと σ²推定量(確率変数) として、標本平均 ¯Xと標本分散 S²を考える (共 に不偏性を満たす)

推定値(確率変数に、実数データを代入したもの) 母平均の推定値:

¯

x = (1/n)

10

∑

i=1

xi= (3.4+4.5+1.9−1.6+4.4+0.8+3.2−0.3+0.8+3.7)/10 = 2.08 (1) 母分散の推定値

1 n − 1

10

∑

i=1

(xi_{− ¯}x)²= 4.375 (2) 注意: ここまでは分布の仮定を必要としない

区間推定 1.

点推定の仮定に加え、母分布を N(µ, σ²)と仮定

まず σ²が既知であったと仮定し、母平均 µ の信頼係数 0.95 の (両側) 区間 推定問題を考える

信頼係数 0.95 の信頼区間の推定量の構成 (復習):

{X^{1, ..., Xn}} ∼ N(µ, σ^2)より、X ∼ N(µ, σ^{¯ 2/n) (ここに母分布の仮定が} 必要)

Z = ( ¯_{X − µ)/(σ/}^√n)とすると、_{X ∼ N(µ, σ}^{¯ 2}/n)よりZ ∼ N(0, 1)

信頼区間 1: 続き 1

まず P (−z ≤ Z ≤ z) = 0.95 となる z を求める。この z について

0.95 = P (−z ≤ Z ≤ z) ⁽³⁾

= P (Z ≤ z) − P (Z ≤ −z) ⁽⁴⁾

= P (Z ≤ z) − [1 − P (Z ≤ z)] ⁽⁵⁾

= 2P (Z ≤ z) − 1 ⁽⁶⁾

⇒ P (Z ≤ z) = 1.95/2 = 0.975 ⁽⁷⁾ 一般的に、両側区間推定で 1 − α = P (−z ≤ Z ≤ z) を満たす z について、 1 − α/2 = P (Z ≤ z) が成立

(上記だと 1 − α = 0.95 なので α = 0.5, 1 − α/2 = 0.975) 標準正規分布表より、これを満たすのは z = 1.96

信頼区間 1, 続き 2

今

0.95 = P (−1.96 ≤ Z ≤ 1.96) ⁽⁸⁾

= P⁽_{−1.96 ≤} ^{X − µ¯} σ/^√n ^{≤ 1.96}

) (9)

= P^{( ¯}_{X − 1.96}√^σ

n ^{≤ µ ≤ ¯X + 1.96}

√σ n

) (10)

(9)式から (10) 式を求める際は、(9) 式右の不等号と左の不等号を分けて計 算すること:

左 − 1.96 ≤ ^{X − µ}_σ/^¯ √

n ⁽¹¹⁾

⇔ −1.96σ/^√n ≤ X − µ^{¯ (12)}

⇔ µ ≤ ^{X + 1.96σ/¯ √n (13)} 右 1.96 ≥ ^{X − µ}_σ/^¯ √

n ⁽¹⁴⁾

⇔ 1.96σ/^√n ≥ X − µ^{¯ (15)}

⇔ µ ≥ X − 1.96σ/^{¯ √n (16)}

信頼区間 1, 続き 3

求める信頼区間の推定量は

[ ¯_{X − 1.96√}^σ

n^{, ¯X + 1.96}

√σ n

] (17)

推定値は, [_{x − 1.96}¯ _√^σ

10^{, ¯x + 1.96}

√σ 10

]=^[2.08 − 1.96√^σ

10, 2.08 + 1.96_√^σ 10

] (18)

区間推定 2

実際には, σ²が既知という仮定は置きにくい。以下 σ²は未知とする 信頼係数 0.95 の信頼区間の推定量の構成 (復習):

S²を標本分散とする

{X^{1, ..., Xn}} ∼ N(µ, σ^{2)より、T = ( ¯}X − µ)/^{√S2/nとすると、}T ∼ t(n − 1)

信頼区間 2: 続き 1

ここまでの議論: n = 10, T ∼ t(n − 1)

この時 P (−a ≤ T ≤ a) = 0.95 となる a を求める。この a について, t 分布 も標準正規分布同様に平均で左右対称な分布なので、下記が成立

0.95 = P (−a ≤ T ≤ a) ⁽¹⁹⁾

⇒ P (T ≤ a) = 0.975 ⁽²⁰⁾

自由度 n − 1 でこれを満たす a を t^{0.025とおく}

信頼区間 2, 続き 2

今

0.95 = _{P (−t}^0.025_{≤ T ≤ t}^0.025) (21)

= P⁽t^0.025 _≤ ^{T − µ}

√S²/n ^{≤ t0.025}

) (22)

= P^{( ¯}_{X − t}^0.025√S²_{/n ≤ µ ≤ ¯}X + t^0.025√S²/n⁾ (23) よって求める信頼区間の推定量は

[ ¯_{X − t}0.025√S²/n, ¯X + t0.025√S²/n] (24)

信頼区間 2, 続き 3

今自由度について n − 1 = 10 − 1 = 9

今 t^0.025について, P (T ≤ t^0.025) = 0.975, T ∼ (9) を満たすものを t 分布表 から探すと、t^0.025 = 2.26

よって求める信頼区間の推定値は, s²を確率変数 S²の実現値とすると [¯_{x − t}^0.025√s²/n, ¯x + t^0.025√s²/n]

= [2.08 − 2.26√4.375/10, 2.08 + 2.26√4.375/10] (25)

≃ [0.5852, 3.5748] ⁽²⁶⁾

{x^{1, ..., x10}} = {3.4, 4.5, 1.9, −1.6, 4.4, 0.8, 3.2, −0.3, 0.8, 3.7} の平均の 95%区間だが、結構広い. n = 10 では足りないか

区間推定 3.

区間推定 2 の仮定を用いて、母分散 σ²の信頼係数 0.95 の (両側) 区間推定 問題を考える

信頼係数 0.95 の信頼区間の推定量の構成 (復習): U = (n − 1)S^2/σ2とすると、U ∼ χ(n − 1)

信頼区間 3: 続き 1

ここまでの議論: n = 10, U ∼ χ(n − 1)

この時 P (a ≤ T ≤ b) = 0.95 となる a, b を求める。χ^{2分布は左右非対称な} 分布なのだが、以下を用いる (これが良いことの証明はしていない)

0.975 = _{P (U ≤ a)} (27) 0.025 = _{P (U ≤ b)} (28) 自由度 n − 1 でこれを満たす a, b を U^{0.975, U0.275とおく}

信頼区間 2, 続き 2

今

0.95 = P (U0.975_{≤ U ≤ t}0.025) (29)

= P (U^0.975_{≤ (n − 1)S}²/σ²_{≤ t}^0.025) (30)

= P^{((n − 1)S}

2

U^{0.025 ≤ σ}

2≤^{(n − 1)S}

2

U^0.975

) (31)

(32) よって求める信頼区間の推定量は

[^{(n − 1)S}

2

U0.025

, ^{(n − 1)S}

2

U0.975

] (33)

信頼区間 2, 続き 3

今自由度について n − 1 = 10 − 1 = 9

今 U^0.975, U^0.025を χ²分布表から探すと、U^0.975= 2.7, U^0.025 = 19.02 よって求める信頼区間の推定値は, s²を確率変数 S²の実現値とすると

[^{(n − 1)s}

2

U^{0.025 ,}

(n − 1)s² U^{0.975 ]}

= [^{9 × 4.375} 19.02 ^,

9 × 4.375

1.7 ^{] (34)}

≃ [2.070, 14.583] ⁽³⁵⁾