補助資料スライド lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢)

15 

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全文

(1)

.

...

統計学

I

および演習 第

13

回 推定 補助資料

菅原慎矢

(2)

実際の推定

(例題9.1.)

母平均µ,母分布σ2の母集団からの大きさ

n= 10の無作為標本として、

{x1, ..., x10}={3.4,4.5,1.9,−1.6,4.4,0.8,3.2,−0.3,0.8,3.7}が得られたとする

(3)

点推定値

母平均µ,母分散σ2の点推定を考える

µとσ2推定量

(確率変数)として、標本平均X¯ と標本分散S2を考える

(共

に不偏性を満たす)

推定値(確率変数に、実数データを代入したもの)

母平均の推定値:

¯

x= (1/n) 10 ∑

i=1

xi= (3.4+4.5+1.9−1.6+4.4+0.8+3.2−0.3+0.8+3.7)/10 = 2.08

(1)

母分散の推定値

1

n−1 10 ∑

i=1

(xi−x¯)2

= 4.375 (2)

(4)

区間推定

1.

点推定の仮定に加え、母分布をN(µ, σ2

)と仮定

まずσ2が既知であったと仮定し、母平均

µの信頼係数0.95の(両側)区間 推定問題を考える

信頼係数0.95の信頼区間の推定量の構成(復習):

{X1, ..., Xn} ∼N(µ, σ

2

)より、X¯ N(µ, σ2

/n)(ここに母分布の仮定が

必要)

Z= ( ¯X−µ)/(σ/√n)とすると、X¯N(µ, σ2

(5)

信頼区間

1:

続き

1

まずP(−z≤Z≤z) = 0.95となるzを求める。このzについて

0.95 = P(−z≤Z≤z) (3)

= P(Z≤z)−P(Z≤ −z) (4)

= P(Z≤z)−[1−P(Z≤z)] (5)

= 2P(Z ≤z)−1 (6)

⇒P(Z≤z) = 1.95/2 = 0.975 (7)

一般的に、両側区間推定で1−α=P(−z≤Z≤z)を満たすz について、 1−α/2 =P(Z≤z)が成立

(上記だと1−α= 0.95なのでα= 0.5,1−α/2 = 0.975)

(6)

信頼区間

1,

続き

2

0.95 = P(−1.96≤Z ≤1.96) (8)

= P(−1.96≤ X¯ −µ σ/√n ≤1.96

)

(9)

= P(X¯ −1.96√σ

n ≤µ≤X¯+ 1.96 σ √

n )

(10)

(9)式から(10)式を求める際は、(9)式右の不等号と左の不等号を分けて計

算すること:

左 −1.96 ≤ Xσ/¯−√µ

n (11)

⇔ −1.96σ/√n ≤ X¯ −µ (12)

⇔ µ ≤ X¯ + 1.96σ/√n (13)

右 1.96 ≥ Xσ/¯−√µ

n (14)

⇔ 1.96σ/√n ≥ X¯ −µ (15)

(7)

信頼区間

1,

続き

3

求める信頼区間の推定量は [

¯

X−1.96√σ

n, X¯ + 1.96 σ √

n ]

(17)

推定値は,

[ ¯

x−1.96√σ

10, x¯+ 1.96 σ √

10 ]

=[2.08−1.96√σ

10, 2.08 + 1.96 σ √

10 ]

(8)

区間推定

2

実際には,σ2が既知という仮定は置きにくい。以下

σ2は未知とする

信頼係数0.95の信頼区間の推定量の構成(復習):

S2

を標本分散とする

{X1, ..., Xn} ∼N(µ, σ 2

)より、T= ( ¯X−µ)/√

S2/nとすると、T

(9)

信頼区間

2:

続き

1

ここまでの議論: n= 10,T ∼t(n−1)

この時P(−a≤T ≤a) = 0.95となるaを求める。このaについて,t分布 も標準正規分布同様に平均で左右対称な分布なので、下記が成立

0.95 = P(−a≤T ≤a) (19)

⇒P(T ≤a) = 0.975 (20)

(10)

信頼区間

2,

続き

2

0.95 = P(−t0.025≤T ≤t0.025) (21)

= P(t0.025≤

T−µ √

S2/n ≤t0.025

)

(22)

= P(X¯ −t0.025

√ S2

/n≤µ≤X¯+t0.025

√ S2

/n) (23)

よって求める信頼区間の推定量は

[ ¯X−t0.025

S2/n, X¯ +t 0.025

(11)

信頼区間

2,

続き

3

今自由度についてn−1 = 10−1 = 9

今t0.025について, P(T ≤t0.025) = 0.975,T ∼(9)を満たすものをt分布表

から探すと、t0.025= 2.26

よって求める信頼区間の推定値は,s2を確率変数

S2の実現値とすると

[¯x−t0.025

s2/n, x¯+t 0.025

√ s2/n]

= [2.08−2.26√4.375/10, 2.08 + 2.26√4.375/10] (25)

≃ [0.5852,3.5748] (26)

{x1, ..., x10}={3.4,4.5,1.9,−1.6,4.4,0.8,3.2,−0.3,0.8,3.7}の平均の

(12)

区間推定

3.

区間推定2の仮定を用いて、母分散σ2の信頼係数

0.95の(両側)区間推定 問題を考える

信頼係数0.95の信頼区間の推定量の構成(復習):

U= (n−1)S2

/σ2

(13)

信頼区間

3:

続き

1

ここまでの議論: n= 10,U ∼χ(n−1)

この時P(a≤T ≤b) = 0.95となるa, bを求める。χ2

分布は左右非対称な

分布なのだが、以下を用いる(これが良いことの証明はしていない)

0.975 = P(U ≤a) (27)

0.025 = P(U ≤b) (28)

(14)

信頼区間

2,

続き

2

0.95 = P(U0.975≤U ≤t0.025) (29)

= P(U0.975≤(n−1)S 2

/σ2

≤t0.025) (30)

= P((n−1)S

2

U0.025 ≤

σ2

≤(n−1)S

2

U0.975

)

(31)

(32)

よって求める信頼区間の推定量は

[(n−1)S

2

U0.025

, (n−1)S

2

U0.975

(15)

信頼区間

2,

続き

3

今自由度についてn−1 = 10−1 = 9

今U0.975, U0.025をχ2分布表から探すと、U0.975= 2.7,U0.025= 19.02

よって求める信頼区間の推定値は,s2を確率変数

S2の実現値とすると

[(n−1)s

2

U0.025

, (n−1)s

2

U0.975

]

= [9×4.375 19.02 ,

9×4.375

1.7 ] (34)

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参照

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