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「_{1996年度 九}

州 地 区 地域研 究 会 ：量 子重力と量子 宇宙論」 _{一 D79 一}

数 _値 的 量 _子 重 _力

湯川 哲之 （総研大 _）

^・

津 田 憲 次 （ KEK ）

　 　 　 　

Abstract

　

^{重 力場の}量 子 化 は 素 粒_{子 論}に_残さ れ た_最も_{基 本 的 な}問題^の一つ である。 _大げ さに

言 えば そ れは_宇宙の _{始まりや、 自然界のす}べ _ての_力の_統^一_{に本 質 的な関わりを持}つ と 考 えられ る か らである。 こ の_問題の_困難さは_、本質的に_{非摂 動 的}な と^ころ に_ある。 _最

近、 _{時 空}を_格子状に_分割するこ_とにより

、 _{非 摂 動}的 な 量 子 化 を 数 値 的に_実行す る_{研 究} が_盛ん に_{行わ れて}い_{る。 そ}の_{現状と問題 点 を紹介 する}

。

1  重 力場 を量 子 化 す る _必要性

　 時^{空 と}物 質^の相^互作 用^を記 述 す^る

Einstein

方^程式^は局 所 的^に時 空^の曲率^{テ ン ソ ル} と_{物 質}の^エ ネルギ_{ー ・運動量}テ^{ン ソ ル} とが 比 例_関係にあ ること を_表している。 た だ_そ の_{比例 係 数}があま りに も小 さ く、 重_力が_{素粒 子}現_象^に_影響を_及ぼ して^い ると して も、

そ れ を観 測 する^こ とは現在 あ^る実 験 装 置^では と うて^い 不可能である。 重_力の_影響は_小 さ^い とはい_え

、 ^{こ の}_{方程 式}は ミ ク^ロ _な世 界 でも成り立^つ は_ずであ る。 当然^、 物 質場^と 同 じ く重_力場 も量_子化さ れ る の が_自然で _あろ _う。 しか し標_準的 な 摂_{動 論}による重_{力 場}

の _{量子 化に は繰 り込み の不 可能性が大 きな 障 害 となっ ている}

。

　

^{そこで非 摂 動 論 的に量 子 化を試み る わ ｝ナだが 、その方 法 と して標 鮒 な}

^Fey

  ^an

の_{経 路 積分 法で は積分領 域を指定 す る必要が ある}

。 そ^のた めに は_{時 空}の トポ^ロ ジ^ーが

判ら な ければ ならな^い が_、経 路_積分^の精_神か ら すれば 全て の _可能なト ポ^ロ ジ^ーを_考え る^べ きである。 そ^の場合、 開^い た空_間^{で は}_{積 分}^の_自明な_{発 散}を_避ける た めに_有限の_空

間^に積 分領 域^を限 り^、 境界条件を与える_{必 要}が_ある。 ^{こ こ}で は_{境 界条件}と^い _う不_定性 が 理_論に入って くる こ と は_{避 け}たいとの_{立 場}にた_ち、 閉 じた トポ ロ_ジ^ー_{だ け を考える。}

　 ^{も ちろ ん}高^エ ネ^ルギ^ー物 理_{学 者}に と^っ て も、 重_{力 場}の_{量子 化}を_{真 面目}に_{考 え}る_機 運 も 出てき た。 それ は _、標 準 摸 型^の成 功 と、大_統^一_{模 型}の可能性^{へ の}期待^か ら来^る。 強 ^・弱 ・電 磁^の三^{つ の}相互_{作 用}は、^エ ネ^ルギ^ーが _{10i6GeV 程度}で^一つ の _力に統^一_さ れ る と理論 的に予想さ れて^い る。 さ らに^エ _ネルギ _{ー を}ほ んの

₂

_{桁程上げると重力も他} の

₃

つ の_{力と 同 じ程度の強 さになる}

。 こ_{れは、力の大 統}^一_{が重力 も関わ} っ た形で_成立

す^る可_能性を示唆して^い る。

　 ^重力^を含^む

4

^つ の相 互作用 を 統^一する量_{子 力 学 的模 型}とし て の_{超 弦模 型}は_{魅 力 的} で は_あるが、理_論と して_{無矛 盾 な時 空}の_次元が

₁₀

とい _{う非現実さ を無くするた めの} コ ンパ _{ク ト化の問題に は}

、 不 定 な 要 素 が_多 く、今^の と^ころ理_論の正し さ は_示さ れてい

な^{い 。} し か し、こ の_{模 型 自体、発散}の_困難は_{無く量子 力 学 的に は明確に定 義さ れ て}い

る^こと か ら、 ^コ ン パ ク ト_化^の _問題も_原理_的に は_新し^い 仮 定 を^つ け加 えること な く_{解 決} 出来 る も^の と_{期 待}される。 _{即 ち}、 _次元の^コ ン パ _{ク ト化の}ヒ ン _{トはこ の模 型の力 学 的 な}

性 質^の中にあると_考え られ て^い る。



Einstein重_力に しろ超_{弦模 型}に し ろ、 _{量子 化}の

困 難さ^の直 接 的 な 原_因は_{問 題}の_{非摂動性にある}。 現_{在 、}^この よ_うな_問題に_{対 す}る_唯^一 の実 践 的 な 研 究 手 段は_{計算 機}に よ る数 値 シミュ レ^ーシ ョン _{である。 本日}の_話はこれ ら

一 D80 一 地 域^{ス クール}報 告

の_{問題を ど}のよ_うな_方法で_{数値 的}に_解こ_うと して^い る^のか、ま た、 その_{問 題 点}はなに か を、 _主に_我^々 _（川合^、 津田、 羽倉^、 江 川、小 田、湯 川_）^の

Einstein

重_力、 _及び_弦模 型^の数値^{シ ミュ レーシ ョ ン}をも^とに紹 介 す る。

2 _{数値 的量 子 重 力}

　 古 典 電磁 気 学^の場 合と同^{じ よ}う^に量 子_論におい _て も場 を_{具 体}的に_{構 築 す}る^ことは

非摂 動 的^な要 素^が本 質 的な場合^には必 須^の こ と であ る。重_{力 場}^の量_子化で も

_QCD

と 同じ よ_うに_{時空を格 子化 する}こ_とにより理論 を正 規化 す^る方法が適用できる。 す な わ ち、

Einstein

^重力^{で は}

4

次元時 空^を、 弦 模 型^{で は}

2

次元 世_界面 を そ れ ぞ れ_{格 子 化}し、

自由度^を有 限^{に し て}場を具体的に_{構 築 す}る。 ただし、

_QCD

では 空 間^の分_割に正_{則 格} 子^を用^{い たの に}対し、 _{重力 場}の_{場 合}は_単体 分_{割 （}例えば

2

次^元では三角 形 分割 ）^{に よ} り格子 化す^る。 単体 分 割 した 時 空で_{古 典}重_{力 場}の_{研 究}を_{す す}める ことは_すで に 1961 年

Regge

に よ り_提案 さ れて^い る。 重_力理_論は_{時 空}の _幾何を_定め る_理論だか ら_{先 験 的} に座_標を_{導 入}する^こと な_{く定 式化}で _きると^い _うのが

_Regge

の_考えで_あっ _た。 こ の _方法 は _、

_Einstein

_{方程 式が非 線形}で _ある ことよ り、 _{古 典}的 な 重_力場が_強い _{場 合、 例}え ばブ

ラッ ク ホ^ール_{近 傍 、}の_解の _{数 値計算にそ}の_{威力を発揮 する。 しか し}

、 こ の_{理 論}が _重力

の_{量子化に も有用である ことが再 認識 され たの はずい ぶ ん後の}

₁₉₈₄

_{年頃 である}

。

　 ^{まず 空 間の格 子 化の 方 法 を}簡単^に説 明^{し よ}う^。 次元が

d

の閉じ た_空間を_{考 え 、}こ れ を

_d

_{単体 （}

_d

^＝

_O

_，

₁

_，

₂

_，

₃

は_各^々_{頂 点}、 辺、 三_{角 形}、 四面 体^とも呼^{ばれ る}）^で分割す る。

_d

_単体は _（

_d

＋ 1_）個^の_{頂 点}で_{指 定}さ れる。 _{分 割}は _（d − 1_）単体で_出来た面 を_境^に し た

₂

つ _の

_d

_{単 体の}全て の_組み を_{指 定 す}る ことで_{完 全}に _{決 ま}る。

₁

^つ の

_d

_単体は（

_d

_＋

₁

_）

個^の

d

単体 と繋 が^{っ てい} る。 _単体 分_割され た 空_間が 正 し^い _{多 様 体}を な_{す 条 件}は、

一

つ _{の頂 点を 共有す る}

₄

_{単体 が （}

_d

−

₁

_{）次 元球を形成 してい る ことである}

。 _{各 単体}は_平

坦 な 空間^の要 素 と_考えられて^い る^ので 、空_間の ゆがみ_すな わ_{ち 曲率}は_{単 体}の_{結節 部 分}

（^{ヒ ン} ジ_）に集 中 して^い る。

_d

_{次 元}空_間の ヒ ンジは _（

d

− 2_）単 体^で あ^る。 例え^ば

2

次元 面の ^{ヒ ン}ジ は_{頂 点}、

3

、

4

次元で はそれぞれ辺、三角形である。 曲 率 は_各^{ヒ ン}ジで^の

欠損 角^に比 例 す^る。 単 体 分割され た_空間^の幾 何は_、どの_頂点の_{組が 互} い _{に 辺 で結}ばれ て^い る か _（も し くは、 どの_{単 体}が _{隣 り合}っ てい _{る か ）をあらわす連結行列と}

、 各辺^の

長さ を与 えるこ_{と に}よ り決ま る。

　

^{つ ぎに量子 化につ い て考え よう。 構 成 的場の理論で は}

^Feynman

^{の経 路 積分法によ}

る_量子 化 が よ く_使わ

_れ

る。 ある状_態か ら_別の_{状 態}^へ の_{遷 移確 率}はそれ ら二^つ の_状態を

結^ぶ可_能な す^べ て の_{経 路}に^{つ い} て_{適 当 な重}みをつ _{けて足しあげること によ り求め ら れ}

る。 _{通 常}、 _{保 存系}では カ ノ^ニ カル_{座標で書か れ た作用 関数の時 間座標を}

_Wick

_{回 転し} た Boltzma   ^の重みが_用^い ら れる。 量 子^重力^{で は}時 空^のす^{べ ての}可能な状態に^{つ い} ての_{和 を}とる_{必 要}があるが、 _境界条件^の_{不 定 性}を_{避 け}る た め に は閉 じ た 空 間 に 限 らざ る を_得な^い。

　 単 体分割した_{空 間}^の状態は_{連結 行 列}と_辺の_長さ を_{指定 す}る ことで_{完 全}に決^め られる が_、多様体^の条件を満たす_連結_行列と辺^の_長さ^の全て の可能^な組^み合^{わ せ} を 足 し上 げる と_十分す ぎる_と考えられて^い る。 _現在

一_{般に採 用されて い る方法と して は、辺の} 長^{さ を}

固_定して異 なる_{連 結 状 態}を_足し_{あ げ}る_力学的_{単体分割法（}

dynamical

triangulation^＝

DT

）^と、 連 結状態を^一つ に限 り辺^の長 さに^{つ い}て_{積 分す}る

Regge

_{計算 法 （}

Regge

calculUS_）が _ある。 _{後 者}の _{場 合、積分}の_{測度を与え る 必要が あるが}^一_{般 座標 変換に対} し て不変^な測度^は知られてい _ない 。 最 近^の_計算では^ス ケ^ール不_変な_測度を_{採 用}した_今 まで の_計算で_{作 ら}れ た 面は_単純な

2

次元 面であ り理_{論 的}に_知ら れ た 正し^い フラ ク タ ル を_持つ _面を_{作 らな}い と_{報 告されて}い _る。 これ は

Hausdorff

次 元^や

iSing

スピンを_乗せ た と_きの_{臨 界指 数}が

2

次元 平 坦 面 と同 じであ る^こ とか ら_結論さ れて^い る。 こ れか らの

「_{1996 年 度九 州地区地域 研 究会：量 子重力と量 子宇 宙 論」 一 D81 一}

議論^は

2

次元では_解析 的に_求め た_解と^一_{致 す}る ことが_知られ て い るDT _法で_進める 。

　 話^を簡 明^にす^るため

2

次元面 （

2

次元重力 ま た は_弦模 型_）を 例に と り_、計算^の過 程 を描写する。 _求め る^べ きは_分配_{関数 （真 空}^一_{真 空　遷 移確 率 ）}

Z

_（

A

_）^＝＝

Xg

Σ_X　exp _（⁻

_Sg

　^一　

_SX

^一λ

A

_）

である。 こ こ で _g、 _及び x に^つ い ての_和は_各々_ある_決ま^った トポロジ^ー_と面積

_A

の _も

とで許 され る 三_角分割 、及び物_質場^の配 位に^{つ い} て と る^。 ま た

_Sg

_及び

_5x

は 空_間と 物 質^の作用 関 数、^λは宇宙 定 数 を_表す。 一般には トポロ ジ^ーに^{つ い} て^の _和も とる必_要 が_あるが、異なる_位相の_{空 間は各}々_{独立である として トポ}ロ ジ^ーは_決めて_{計 算}した後 トポ^ロ ジ^ーに^{つ い} て和^をとる。 （実^{は 、}

3

^、

4

次元で これを^{どの よ} うに_実行 する^の か は_{誰 も知}ら な^い 。 今は主 に 最 も単 純 な

d

次 元_球で_{計 算}されて^い る。_）

_DT

_法では 通_常 す^{べ て の}辺^の 長 さ を^一定に し、面 を 正_{多角 形}で分_割する。 空_間^の_{作 用}関数^は連 続^理論

で は Einstein−Hilbert竹^三用

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ^s

^・，



^一

 _fd2

^ξ

^vYR

だが 、 ^これ を_単体 分割され た面^で 表わすと

2

^κΣ】_hδ_ゐ

と_書ける _（κ^＝ 重_力定_数^の逆_{数 ）}。 た だ しδ_hは^{ヒ ン}ジ

_h

で^の_{欠 損角}である^。

2

次^元

DT

法で は _qhを_{頂 点}

_h

を_{共 有}する 三_{角 形}の_{数 （}coordination ^・number _）と_する と正 三_{角 形} の_内角はπ

₁₃

だ か らδ_h ^＝

2

^{π 一}

_{詈 qt}

_い こ こ で_{頂 点}

h

に^つ い て の_{和 を実 行 す}ると

　 　 　 　 　1 4π_晒 ^一

_SN

・_）

と なる。 た だ_{し N ，}は 三_角分割された_面の

_i

_単体の _数で _ある_。 さら^{に Eulerの} 関係式

（

^N2

⁻

^Nl

^＋

^No

^・

²

）^{と三角 分 割の}関係 式 （

^2N2

^＝

^31V3

）^{を使え ば}

Sg

^＝ 4πrc_）

_c

と_{書 き換}え られ、 _作用は 三_角形^の数 と面^の ト ポ^ロ ジ^ー_{に よ る}

_EUIer

_指標_Xに比例した

定数^{と なる。}

　 物 質場^の作 用関数と し て

d

個^の 自 由^ス カ ラ^ー場^の作用

s

・ ^一 ・・

_1d2

_ξ・

₉

_・

”^・

_a

・

^x

（^・’

_a

・

xl

^・）

を考える。 ス_{カ ラ}^ー_場

_X

（^a）_（α＝ ₁

，

2

，．．，

d

_）を_各三_{角 形}^の _中心に_乗せ た_{場 合}^の _{格 子化}し た_{作 用 関数}は

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

^{・・ −}

₁

^{£ a・・ゆ 【・}

^{辞L 檸 112}

で_{与 え ら}れ る。 こ こ で^の和く ¢_，ゴ〉は 隣_接する_単体の_組に^{つ い} て とる。

　 ^{さて これ か らが}計 算機^{シ ミュ レーシ ョ ンである。} 決^{まっ た トポロ ジーを}持^つ 面^の、 可_能な_{単 体 分 割}^の_配位の_数は_その_面を_{構 成 す}る_単体の_数と_共に_{指数 的}に増 え^てゆ く^。

（^{これ が}

2

次 元^だけ^でなく

3

^{お よ び}

4

次元^で も正 しそうな^ことは最近数値的に_確認され た。 _）この よ_うな系^{のシ ミェ レーシ ョ ン}では、重み関 数に比 例 した 確_率で互^い に十 分 異 なる_{代 表 的}な 配位^{をラン ダム} に^{選び 出 すモ ンテ カル ロ 法} （

^important

^sampling

^Monte

CaJrlo

^・method ）^が標準的^であ^る。 系を 十 分 に 撹 拌 し熱 平 衡 状 態 にす れ ば^{エ ル ゴ ー}ド 的 な_系では_{配 位}を 正_しい _{重み で選}び_出せ る。

一 D82一 _地域ス ク^ール_{報 告}

図

1

：_重心細分

_{（ 1}

⁻

₃

、

₃

⁻

_1mOve

_）。

図

2

： フ リッ プ _（

2

⁻

2move

_）。

　

^{具 体 的な処 方 を}

²

^{次元の場 合につ い て考えて み る。 まず 初め に}

⁴

^{つ の 正 三}角 形^で 構 成され た正四_面体を_作る。 三_角形^の数 を増や し、よ り_{大 き}い_{面 を作るには 図 工で示}

さ れ た_重心 細_{分 （}

₁

⁻

_3mQve

と_も呼ぶ _）によ り三_{角 形}の_数を

2

個^{つ つ} 増 や す。 _目的と_す る_{大 き}さ^の面 が_得られた_{な ら図}

₂

の フ_{リップ （}

₂

−

_2move

_{とも呼ぶ）に よ り面}の _攪拌を

おこなう^。 フ リップは 三_角形^の数 を変 え な^い 。 _{同 じ面 積}の どの よ _うな

₂

つ の_状態もフ

リップ を重 ねる ことで 互 いに_移りあう^ことがで きる _（^エ ル ゴ ^ード性）^{。 こ}れ は 三_角分 割^の デ^ュ ア^ル _図

3

で_見れば_{す ぐ}に わか る。 こ の _{図 （漁 網}に_似て い _るため

_fishnet

_{図 と}

も呼^ぶ 〉で フ _リッ _プは_結び目^の 入 れ_替えになっ ている。 _どの _{ような結び方 をし た漁網}

も

₂

_{次 元 的}で_ある_{限り結び 目}の_{入 れ替 えだ けで作れる}

。 ま たこれ ら^の ム^ーブ は

EUIer

指標 x ^{を変えない か ら面の ト ポロ ジーは変 わ ら ない 。}

　

^{これとは別に、 分 配関数を直 接求め る方法とし て は 三角形の数 を}変^{え る グラン ド・}

カ ノ^ニ カ^ル_法が_{便 利}で_ある。 図

₄

^の よ_うに三_{角 形}の_{放 数 を}

₂

_枚増 や すア ップ と_逆に

2

枚 減^らすダ ウ^{ン の}

2

^{つ の move を}ランダ ム に_組み 合 わ せると^エ ル ゴ ^ード_{性 を持}つ こ_と は デュ ア ル _{図で見 れ ば明らかで ある}

。 シ ミュ レ^ー_シ ョ ンで^一_{番 手 間取る の は move に} よ り出 来 た_新し^い _配位が 正 し^い_{多様 体}を_作っ て^い る こ _{と を確 か める部 分である。 また}

通常^{デュ アル} 図で セ^ルフ ^・エ _ネル ギ ^ーやタドポ^ール _{は計算 速度を早め るた め に許さ な} い _{こ とに す る。 以 上の ような方法で独 立 と考え られ る配位 を}

₁

₋

₁

_{万 個作りい ろい ろ}

な_観測 量の_{測 定結}果 を平均する^。