中学数学風みどりの玉子焼 H17adachi2

(1)

数学中学₂年 1-1 式の計算

第

1

章式の計算 1-1 式の計算

1 次の式の同類項をまとめなさい。

⇒教p11例1

(1) 4x − 5 + 3x + 2

(2) 7x + 5y − 3x + 2y

(3) 3a − 5b − 2a + 4b

(4) 6x − 4y + 9x − 7y

(5) 5a + 4b − 5b − 4a

(6) 3x²+ 4x − x²−7x

(7) ab − a − 4ab − 3a

(8) x − y + 3 − 2x − y − 2

(9) x²+ 2x − 5 − 3x − x²+ 3

(10) 2x + 6y + 5x − y ^大阪⁰⁴

2 次の計算をしなさい。 ⇒教p12例2

(1) (3x − 5) + (2x − 3)

(2) (2x + 3y) + (3x − 4y)

(3) (4a + b) + (3a − 4b)

(4) (−4m − n) + (3m − 2n)

(5) _(4x²−5x) + (−3x²−x)

(6) (5x − 3y) − (4x − 5y)

(7) (3a − 5b) − (4a − 6b)

(8) (x − y) − (x − 2y)

(9) (xy − x²y) − (x²y + 2xy)

(10) (9x − 2y) − (5x + y) ^和歌山⁰⁴

(2)

1-1 式の計算数学中学₂年

3 次の計算をしなさい。 ⇒教p13例3-4

(1) _{5(3x − 6)}

(2) 2(3a − 2b)

(3) −3(5x − 2y)

(4) (2m − 6n + 8) ×^³− 1 2

´

(5) (18x − 12y) ÷ 6

(6) (−21a + 49b) ÷ (−7)

(7) (20a − 15b) ÷ 5 ^青森⁰⁴

4 次の計算をしなさい。 ⇒教_p14例_5-6

(1) a + 7b − 2(3a − b) ^東京⁰⁵

(2) 2(3x + 2y) + 3(x − 2y)

(3) 3(3a − b) − 5(2a + b)

(4) 3(a + 2) + 2(a − 1) ^岩手⁰⁴

(5) 3(4a − 5b) − 2(7a + b) ^千葉⁰⁴

(6) 2(x + y) − (x − y) ^沖縄⁰⁴

(7) 7(4a − 1) − 3(9a − 5) ^鹿児島⁰⁴

(8) 3(a + 2b) − 4(a − b) ^宮崎⁰⁴

(9) 3(2a − 1) − 2(a + 3) ^長崎⁰⁴

(10) 3(a + 5) − (a − 2) ^福岡⁰⁴

(11) 2(−x + y) + 5(x + y − 1) ^島根⁰⁴

(12) 1

4(x + 2) + 1

8^{(5x − 4)} ^神奈川⁰⁴

(13) 2(2x − y) − 3(x + y) ^福井⁰⁵

(3)

数学中学₂年 1-1 式の計算 5 次の計算をしなさい。 ⇒教p15例1-2

(1) _{7x × (−3y)}

(2) _{−6a × 7b}

(3) _{x × xy}

(4) (−4ab) × (−7b)

(5) _4x²×3x

(6) 9xy × (−3xy)

(7) _(−5a)²

(8) _(−3a)³

(9) (−a)²×2a ^沖縄⁰⁴

(10) 3x × 5xy ^広島⁰⁵

(1) 12ab ÷ (−4b)

(2) 18a²b ÷ (−6ab) ^兵庫⁰⁴

(3) 9x²y²÷3x²y ^山梨⁰⁴

(4) 18a³b ÷ 3ab ^神奈川⁰⁴

(5) 1 3^x

2y ÷ 3 2^xy

(6) xy ÷ xy²

(7) _3ab³÷6ab ^群馬⁰⁵

(8) 20a²b³÷(−5ab²) ^神奈川⁰⁵

(9) 4xy ÷ 2

3^x ^岐阜⁰⁵

(10) 6a³b ÷ 2 3^a

2

鳥取04

(4)

1-1 式の計算数学中学₂年

(1) _81a²b ÷ 3a ÷ 9b

(2) _x²×(−3xy)²÷xy² ^鹿児島⁰⁴

(3) 1 2^a

2b × 6a ÷ 1

3^ab ^熊本⁰⁴

(4) (−3a) × 4b ÷ (−4a) ^佐賀⁰⁴

(5) 6ab ÷ 3b × 2a ^高知⁰⁴

(6) _3ab²×4a²b ÷^³− 1 2^b

2^´

香川04

(7) _12a²×4ab²÷(−6a²b) ^滋賀⁰⁴

(8) _8x²×xy ÷ (−2x) ^大分⁰⁵

(9) 4a²b × 3ab ÷ 6ab² ^北海道⁰⁵

(10) 3a²b ÷ 6a³b²×(−2ab)³ ^都立高専⁰⁵

8 次の問いに答えなさい。 ⇒教p18例1

(1) _{x = 4}のとき，次の式の値を求めなさ

い。 x²−3x

(2) x = 3^，y = −2^{のとき，次の式の値を} 求めなさい。

3x + 4y

(3) x = −5^，y = −3^{のとき，次の式の値} を求めなさい。

−x + y²

(4) a = 3^，b = −2^{のとき，次の式の値を} 求めなさい。

2a − b² ^長崎⁰⁴

(5) x = 5^，y = −2^{のとき，次の式の値を} 求めなさい。

2xy + y² ^高知⁰⁴

(6) x = −4^，y = −6^{のとき，次の式の値} を求めなさい。

x²

y ^栃木⁰⁴

(7) x = −4^，y = 3^{のとき，次の式の値を} 求めなさい。

2(x − 3y) + (x + 5y)

(5)

数学中学₂年 1-2 文字式の利用 1-2 文字式の利用

9 次の文章のに当てはまる式を書きな

さい。 ⇒教p20例1

3つの連続した整数を文字式で表しなさいという問題を英男君と美子さんが考えました。英男くんは，先頭の数をnとして，連続する 3つの整数を次のように表しました。

n^，

，

美子さんは，中央の数をnとすることにしました。そして，連続する₃整数を次のように表しました。

，_n，

10 次の文章のに当てはまる式を書きなさい。 ⇒教p21例2 数字の書かれたカードを₂枚並べて₂

けた

桁の自然数を作ります。たとえば_{3 4} で ₃₄を表します。

ここに文字が入ってくると注意が必要です。例えば，十の位が₃，一の位が_xである₂

けた

桁の自然数_{3 x} を文字式で表すと，_3xでも

3 + xでもありません。正しくは

(1)

です。

文字が ₂ つ入ってきても

ようりょう

要領は同じです。十の位が_x,一の位が_y である₂

けた

桁の自然数 x y ^{を式で表すと，}

(2)

^となり，^十の

位と一の位を入れ替えた_{y x} を式で表すと，

(3)

となります。

11 次の問いに答えよ。 ⇒教p23例1

(1) 図の三角形の面積 _S cm²^{は次の式で表さ} れる。

S = ah

2

この式を_hについて

解きなさい。 ^{a cm}

h cm

青森04改

(2) ^等式 x − 2y + 2 = 0 ^を y ^{について解}

きなさい。沖縄04

(3) 等式 2x − 4y = 3^を y ^{について解きな}

さい。大分04

(4) ^等式 c = a⁻^9b

2 ^を^a^{について解きな}

さい。栃木04

12 ^∗ ある自然数を₁₀で割ったときの商から余りの₂倍を引いた数が₇の倍数であった。このとき，この自然数は₇の倍数であることを説明しなさい。 ⇒教p20-21 1-2 群馬05

(6)

2-1 連立方程式数学中学₂年

第

2

章連立方程式 2-1 連立方程式

13 次の連立方程式を解きなさい。

⇒教p33例2

(1)

½_{x + y = 4}

3x − y = 8 ^沖縄⁰⁴

(2)

½2x + y = 13

x − y = 8 ^奈良⁰⁴

⇒教p31例1

(1)

½5x + y = −5 2x + y = 1

(2)

½3x − 2y = 19 7x − 2y = 31

⇒教p34-35例3-4

(1)

½x − 4y = 11

5x + 3y = 9 ^熊本⁰⁴

(2)

½_{2x + y = 5}

x − 3y = 6 ^広島⁰⁴

(3)

½3x + 4y = 16

x − 2y = 2 ^京都⁰⁴

(4)

½2x + 3y = 5

x − 2y = −8 ^滋賀⁰⁴

(5)

½_{2x + y = 2}

x − 5y = 23 ^新潟⁰⁴

(7)

数学中学₂年 2-1 連立方程式 16 次の連立方程式を解きなさい。

⇒教p34-35例3-4

(1)

½_{x + 2y = 1}

3x − 4y = −7 ^千葉⁰⁴

(2)

½x + 6y = −4

2x − 3y = 7 ^埼玉⁰⁴

(3)

½2x + 3y = 3

4x − y = −8 ^{都立墨田川}⁰⁴

(4)

½3x + 2y = 4

2x − 3y = 7 ^三重⁰⁴

⇒教p34-35 3-4

(1)

½3x − 4y = 17

4x + 7y = −2 ^愛知⁰⁴

(2)

½3x − 2y = 13

4x + 5y = 2 ^石川⁰⁴

(3)

½3x + 2y = 0

2x − 3y = −13 ^茨城⁰⁴

(4)

½3x − 2y = 4

7x − 3y = 1 ^神奈川⁰⁴

(8)

2-1 連立方程式数学中学₂年

⇒教p36例5

(1)

½2x − 3y = −5

x = 3y − 16 ^北海道⁰⁴

(2)

½_{x = 2y + 5}

y = x − 3 ^青森⁰⁴

(3)

½_{x = 5 − 2y}

2x − 3y = −4 ^和歌山⁰⁴

(4)

½3x + 2y = −7

y = x + 9 ^東京⁰⁴

19 ^∗ 次の連立方程式を解きなさい。

⇒教p38例6-7

(1)

½2x + y = 3x + 2

2x − y = 3y + 2 ^{都立国分寺}⁰⁴

(2)

(3x − 2y + 2 = 0 y = −3x + 5

2

都立八王子04

(3)

( x − 2

6 ⁼

2x + 5y 3 x + 5y = 1

都立戸山04

(9)

数学中学₂年 2-2 連立方程式の利用 2-2 連立方程式の利用

20 _Aさんの中学校ではお世話になった方々へ礼状と感想文を郵送した。封書は全部で₆₀ 通で，₁通の郵便料金が₈₀円のものと₉₀円のものがあり，支払った金額は合計₅₀₀₀円であった。

郵送料が₈₀円の封書，₉₀円の封書はそれぞれ何通か求めなさい。 ⇒教p41例1 兵庫05

21 ₃₀₀₀円を持ってバラとかすみ草を買いに行った。バラ₉本とかすみ草₃本では₁₂₀ 円足りず，バラ₇本とかすみ草₄本では₁₉₀円余る。バラ₁本，かすみ草₁本の値段はそれぞれいくらか求めなさい。 ⇒教_p41例₁ 兵庫04

22 ₂つの容器_A，_Bに，あわせて_85ℓ の水が入っています。容器_Aの水の量を容器_Bの水の量の₄倍にするには，容器_Bから水を_5ℓ とって容器_Aに入れればよいことがわかっています。容器_A，_Bにはそれぞれ何_ℓの水が入っていますか。 ⇒教p41例1 北海道05

23 _Aさんは自宅から_12km

はな

離れた図書館に行くため，自転車で午前₉時に自宅を出発し，時速_20kmで進んだ。途中，_Aさんは_Bさんに出会い，その場で自転車を降りて₁₂分間話をした後，そこから_Bさんと一緒に時速_4km で歩き，午前₁₀時に図書館に着いた。自転車で進んだ道のり，歩いた道のりをそれぞれ求めなさい。 ⇒教p42例2 愛媛04

24 弁当と飲み物の合計の値段は，定価では 750円である。弁当は定価の_10%引き，飲み物は定価の_20%引きで買ったら，合計の値段は₆₆₀円であった。弁当と飲み物の定価は，それぞれ何円か。 ⇒教p43例3 愛知B05

25 ある動物園の大人と子どもをあわせた入園者数は，昨日が₃₃₀人であり，今日は昨日と比べて，大人の入園者数が_10%増え，子どもの入園者数が _5% 減って，今日の大人と子どもをあわせた入園者数は ₃₃₆人であった。昨日の大人の入園者数と昨日の子どもの入園者数をそれぞれ求めよ。 ⇒教p43例3 愛媛05

(10)

3-1 1次関数数学中学₂年

第

3

章

1

次関数 3-1 1次関数

26 次の中から ₁次関数をすべて選びなさ

い。 ⇒教p52例1

y = 3x − 5 y = x + 4 y = −3x y = 2

x ^{y = x}2 ^{y = x}

2₋₁

27 ₁次関数 _{y = 2x + 1} について次の問い

に答えなさい。 ⇒教_p52

(1) x = 3 ^のときのy^{の値を求めなさい。}

(2) x = −2^のときのy^{の値を求めなさい。}

(3) ^{表を完成させなさい。}

x −2 −1 0 1 2 3

y

(4) _{y = 23}となる_xの値を求めなさい。

28 ₁次関数y = −3x + 11 ^{について次の問} いに答えなさい。 ⇒教_p52

(1) x = 3 ^のときのy^{の値を求めなさい。}

(2) _{x = −2}のときの_yの値を求めなさい。

(3) ^{表を完成させなさい。}

x −2 −1 0 1 2 3

y

(4) y = 23^となるx^{の値を求めなさい。}

29 次の表はどれも ₁ 次関数を表しています。それぞれ関数の式を求めなさい。

⇒教p54

(1) ^x ⁻² ⁻¹ ⁰ ¹ ² ³

y −5 −3 −1 1 3 5

(2) ^x ⁻² ⁻¹ ⁰ ¹ ² ³

y 5 4 3 2 1 0

30 次のグラフを描きなさい。 ⇒教p55

(1)y = 2x (2)y = 2x − 3

x y

O ₂ ₄

−2

−4

2 4

−2

−4

(3)y = 6 x

x y

O 5

−5

5

−5

31 次の問いに答えなさい。 ⇒教_p55-57

(1) y = 2x^{のグラフと平行で点}(0^，3)^を通る直線の式を求めなさい。

(2) y = 1

3^{x − 5} ^{のグラフは} ^{y = 1}3^x のグラフを _y 軸の正の方向に

だけ平行移動したもの

である。

(3) 1 ^{次関数} y = ax − 1 ^{のグラフが} 点₍₂，₇₎を通るとき，_aの値を求めな

さい。山梨05

(11)

数学中学₂年 3-1 1次関数 32 次の ₁ 次関数の変化の割合を求めなさ

い。 ⇒教p53例1

(1) y = 2x − 3 (2) y = x + 3 (3) y = 1

2^{x − 1} (4) y = 2

3^{x + 2} (5) y = −x − 4

33 変化の割合を利用して，表を完成させな

さい。 ⇒教p54

(1) y = 2x − 3

x −2 −1 0 1 2 3

y −3

(2) y = x + 3

x −2 −1 0 1 2 3

y 3

(3) y = 1 2^{x − 1}

x −2 −1 0 1 2 3

y −1

(4) y = 2 3^{x + 2}

x −2 −1 0 1 2 3

y 2

(5) y = −x − 4

x −2 −1 0 1 2 3

y −4

34 次の₁次関数の傾きと切片をそれぞれ求めなさい。 ⇒教p59例1

(1) y = 2x − 3 (2) y = x + 5 (3) y = 1

2^{x − 1} (4) y = 2

3^{x + 2} (5) y = −x − 4

35 次の₁次関数のグラフを，傾きを利用して，描きなさい。 ⇒教p60例2

(1) y = 2x − 3

x y

O ₂ ₄

−2

−4

2 4

−2

−4

(2) y = x + 3

x y

O ₂ ₄

−2

−4

2 4

−2

−4

(3) y = 1 2^{x − 1}

x y

O ₂ ₄

−2

−4

2 4

−2

−4

(12)

3-1 1次関数数学中学₂年

(4) y = 2 3^{x + 2}

x y

O ₂ ₄

−2

−4

2 4

−2

−4

(5) y = −x − 4

x y

O ₂ ₄

−2

−4

2 4

−2

−4

36 図の直線(1)∼(4)の式を求めなさい。

⇒教p61問9

x y

O ₂ ₄

−2

−4

2 4

−2

−4

(1) (2)

(3)

(4)

(1) y = (2) y = (3) y = (4) y =

37 次の₁次関数のうち_xが増加すると_yの値も増加するものはどれかすべて選びなさい。

⇒教p61

y = 3x − 5 y = x + 4 y = −x y = 1

4^{x + 1}3 y = 0.1x − 1 y = 2 3^x

38 _{次の} に当てはまる不等号や言葉を書き入れなさい。 ⇒教p61

1^次関数y = ax + bでは，次のことが言える。 1 a

0 ^{のとき，}

x が増加すれば _y

も

する。グラフは

の直

線となる。

x y

O 2 a

0^のとき，x

が増加すれば _y は減少する。グラフは

の直

線となる。

x y

O

39 ₁次関数 y = −2x + 5 ^{で，}x^{の変域を}

−2 <_{= x <}_{= 4} ^{とするとき，}y^{の変域を不等号を} 使って表しなさい。 ⇒教p62 茨城05

40 ₁次関数_{y = − 2}

3^{x + 4} ^{について，}^x^の変域が_{−3 <}_{= x <}_{= 6} であるとき，_yの変域を求めなさい。 ⇒教_p62 都立立川05改

(13)

数学中学₂年 3-1 1次関数 41 次の問いに答えなさい。 ⇒教p63例1

(1) 変化の割合が₅で，_{x = 0}のとき_{y = 3} である₁次関数の式を求めなさい。

(2) 傾きが_{− 2}

3 ^{で，切片が} 1

2 ^{である直線} の式を求めなさい。

(3) 点₍₀，₋₃₎を通り，傾きが 1

2 ^{の直線} の式を求めなさい。広島04

(4) 傾きが₋₂ で，点₍₇，₀₎を通る直線の式を求めなさい。

(5) y ^は x ^の 1 次関数で，そのグラフが点₍₂，₇₎を通り，傾き ₃の直線であるとき，この₁次関数の式を求めなさい。

福岡05

(6) 傾きが ₃で点₍₋₁，₅₎を通る直線の式を求めなさい。島根05

(1) _y が_xの₁次関数で，そのグラフが₂ 点₍₁，₃₎，₍₅，₇₎を通るとき，この₁ 次関数の式を求めなさい。

(2) 2^点(2^，−1)^，(4^，3)^{を通る直線の式を} 求めなさい。

(3) y ^はx ^の 1 ^{次関数で，}x = 2 ^{のとき} y = 1^，x = 5^のときy = −8^になる。この₁次関数の式を求めなさい。

(4) y ^はx^の1^{次関数で，}x = −3^のとき y = 1^，x = 5^のときy = 5^{になる。こ} の₁次関数の式を求めなさい。

(5) A(−2^，2)^，B(4^，8) ^{とするとき，直線} AB^{の式を求めなさい。} ^新潟⁰⁴^改

43 ^∗ ₁次関数_{y = ax + 3} において，_xの変域が_{−1 <}_{= x <}_{= 2} のとき，_yの変域が_{−1 <}₌ y <_{= 5} となる。このとき，_aの値を求めよ。

⇒教_p62-63 和洋国府台女子04

(14)

3-2 1次関数と方程式数学中学₂年

3-2 1次関数と方程式

44 次の方程式のグラフを描きなさい。

⇒教_p67例_1-2

(1)2x + y = 3 (2)2x − 3y + 3 = 0

x y

O ₂ ₄

−2

−4

2 4

−2

−4

45 次の連立方程式の解をグラフを描いて求

めよ。 ⇒教p69

(1)

½x + 2y = 10

x − y − 1 = 0 ⁽²⁾

½_{2x + y = 0} x − y = −3

x y

O ₂ ₄

−2

−4

2 4

−2

−4

46 下の図の₂直線の交点の座標を求めよ。

⇒教p70

(1)

x y

O ₂ ₄

−2

−4

2 4

−2

−4

(2)

x y

O ₂ ₄

−2

−4

2 4

−2

−4

47 ある自動車が同じ速度で _{x km}走ったときの残りのガソリンの量を _{y ℓ} としたら，次の表のようになった。

x 0 10 20 30 40 · · · y 40 38 36 34 32 · · · 次の問いに答えよ。 ⇒教p71例1

(1) y ^は x ^の1次関数であると言えるか。

(2) ^{はじめにガソリンは何} ℓ^{あったか。}

(3) 1km 走ったときのガソリンの消費量は何_ℓ か。

(4) y ^を x ^{の式で表せ。}

(5) _{70 km}走ったときの残りのガソリンの

量を求めよ。

(6) ガソリンが空になるまでに何_km 走れるかを求めよ。

(15)

数学中学₂年 3-2 1次関数と方程式 48 風呂に水を入れた所，水の温度は ₁₅℃

であった。ガス釜に火をつけて，沸かし始めてから₅分後に水温を計ったら，₁₈℃になっていた。

水温 _y ℃ は，沸かし始めてからの時間 _x 分の₁次関数であるとして，次の問いに答えよ。

⇒教p71

(1) y ^を x^{の式で表せ。}

(2) 30^{分後の水温を求めよ。}

(3) 42℃になるのは何分後か求めよ。

(4) なかなか沸かないので，途中から火力をあげた所，₁分間に₁℃の割合で水温が上がるようになった。すると，沸かし始めてから₄₀分後には₄₅℃になった。火力をあげたのは沸かし始めてから何分後か。^*1

10 20 30 40 _{50 (}分₎

０ 10 20 30 40 50 (^℃)

49 図の長方形_ABCDで，点_Pは_Aを出発して辺上を_B，_Cを通って_Dまで秒速_1cmの速さで動きます。点_Pが_Aを出発してから_x 秒後の_△APDの面積を_{y cm}² として，グラフを描きなさい。 ⇒教_p72

A

B C

6cm D P 4cm

2 4 6 8 10 12 14 ^x(^秒⁾ 2

4 6 8 10 12 y (cm²)

A

B C

6cm D

4cm

P

A

B C

6cm D

4cm P

50 太郎さんは，全長が_14kmのコースを，スタートの_A地から途中の_B地までは毎時 12km^{の速さで走り，}10^{分間の休憩をとって} から，_B地からゴールの_C地までは自転車に乗って時速_24kmの速さで走った。スタートからゴールまで₁時間かかった。

スタートしてから _x 分後の _A 地点からの道のり_{y km} の関係をグラフに描きなさい。

⇒教p74愛媛05

x y

O 10 20 30 40 50 60 2

4 6 8 10 12 14

(^分) (km)

(16)

4-1 平行線と角数学中学₂年

第

4

章平行と合同 4-1 平行線と角

51 次の問いに答えなさい。 ⇒教p83

(1) ₅角形の内角の和を求めなさい。

(2) 7角形の内角の和を求めなさい。

(3) n 角形の内角の和が ₁₀₈₀° であるとき，_nの値を求めなさい。青森04

52 美紀さんたちは数学の授業で，₈ 角形の内角の和の求め方を学習しました。次の文は，それぞれ₄ 人の考え方をまとめたものです。次のに数や式を書きなさい。

⇒教p83和歌山05

＜美紀さん＞

図のように₁つの頂点_Pからひいた対角線によって₈角形は₆個の三角形に分けられる。したがって，₈ 角形の内角の和は

ア

° となる。

P

＜和也さん＞

図のように，内部に点_Pをとり，_Pから頂点に線を引くと，₈角形は ₈個の三角形に分けられる。これら₈個の三角形の内角の和の全体から，_Pのまわりに集まる角の和をひくことで，₈角形の内角の和を求めることができる。したがって，求

める式は

イ

と

なる。

P

＜紀夫さん＞

図のように，₁つの辺上に点_Pをとり，_P から頂点に線を引くと，₈角形は₇個の三角形に分けられる。これら₇個の三角形の内角の和の全体から，_Pのまわりに集まる角の和をひくことで，₈角形の内角の和を求めることができる。したがって，

求める式は

ウ

となる。

P

53 図の6 _xの大きさを求めなさい。⇒教_p84

x 87^° 88^°

57^°

(17)

数学中学₂年 4-1 平行線と角 54 図の6 _xは何度か求めなさい。 ⇒教p86

x

36^° 41^°

(1) 図で_{ℓ // m}のとき，6 _x，6 _yの大きさを求めなさい。

ℓ

m

x y

53^°

(2) ^{図で}AB//CD であるとき，6 _PQRの大きさを求めなさい。宮崎05

A

C D

45^° B

65^° x P

Q

R

(3) 図で_{ℓ // m}のとき，_xで示した角の大きさは何度か。東京05

ℓ

m

150^° x

68^°

(4) 図で_{ℓ // m}のとき，6 _xの大きさを求め

なさい。石川05

ℓ

m ⁴⁰^°

x 15^°

(5) ^{図で}ℓ // m ^{である。}⁶ xの大きさを求

めなさい。兵庫05

ℓ m

136^° x

54^°

(6) ^図で2^直線ℓ,m^{は平行である。このと} き，6 _aの大きさを求めなさい。秋田05

76^° a 24^°

33^° ℓ

m

56 下の図で，6 _a∼6 _dの大きさを求めなさ

い。 ⇒教p92

61^° 38^°

a

^b

63^°

c

68^° 70^°

^d

110^° 47^°

57 次の問題をいろいろな補助線を用いて解いてみよう。 ⇒教p82-93

45^°

x 35^° 20^°

45^°

x 35^° 20^°

45

x 35 20^°

45

x 35 20^°

(18)

4-2 合同な図形数学中学₂年

4-2 合同な図形

58 下の図で，合同な三角形はどれとどれですか。記号≡を使って表しなさい。また，そのときに使った合同条件をいいなさい。

⇒教_p97-98

A

B C

D

E ^F

G

H I

J

K L

M

N

O P

Q

R

S

T U

V

W ^X

5cm

4^cm

3cm

4^cm 5cm

55^° ₃₀_°

55^°

30^°

6cm

6^cm

4^cm 5^cm

4cm

5cm

55^°

40^° 6cm

6cm

80^° ₄₀_°

60^°

△ ^≡ △^（ ^）

59 次の図から合同な三角形を見つけて式で表しなさい。また，使用した合同条件をいい

なさい。 ⇒教_p97,99

(1) ^A

B C

D (2)

A

B C

D O

60 次の文章について，

かてい

仮定の部分を仮定のように囲み，

けつろん

結論の部分に結論のように下線を引きなさい。 ⇒教p101

(1) 2直線が平行ならば同位角は等しい。 (2) 2直線が平行ならば錯角は等しい。 (3) ^{同位角が等しいならば}2^{直線は平行で}

ある。

(4) 錯角が等しい₂直線は平行である。 (5) ₃辺がそれぞれ等しいならば₂つの三

角形は合同である。

(6) 2辺とその間の角がそれぞれ等しいならば₂つの三角形は合同である。 (7) 1辺とその両端の角がそれぞれ等しい

ならば₂つの三角形は合同である。 (8) 合同な図形では対応する線分の長さは

等しい。

(9) 合同な図形では対応する角の大きさは等しい。

61 「垂直二等分線上の点は線分の両端からの距離が等しい」ことを次のように証明した。

を埋めなさい。 ⇒教p102

✓ ✏

PM^⊥AB AM = BM

ならば _{PA = PB}

✒ ✑

P

A B

M

△PAM^と

において











AM = BM ^（仮定）

6 _PMA ₌

^（

^）

PM = PM ^（共通）

∴_△PAM≡

µ 2^{角とその間の角} が等しい

¶

∴_{PA =}

µ

対応する辺は等しい

¶

(19)

数学中学₂年 5-1 三角形

第

5

章図形の性質 5-1 三角形

62 次の6 _a∼6 _dの大きさを求めなさい。ただし，図の三角形はいずれも_AB=ACである二等辺三角形である。 ⇒教p116

A

B C

76^° a

A

B C

73^° b

A

B ^C

c

42^°

A

B

C d

106^°

63 図で，_△ABCと_△ADEは正三角形で，頂点_Eは辺_BCの延長線上にあり，_B,C,Eの順に並んでいます。6 _BAD=25° のとき，6 _AEC

の大きさ_xを求めなさい。 ⇒教p116埼玉05

x 25^°

A

B ^C

D

E

64 図で，OA = AB = BC = CD ^である。6 _XOY の大きさを _a° とするとき，

6 _XCD の大きさを _a を用いて表しなさい。

⇒教p116 秋田04

O a

A

B D

C ^X

Y

65 次の文章のを埋めなさい。

⇒教_{p 119}

✓ ✏

三角形の₂つの角が等しければ，その三角形は等しい ₂ つの角を

とする

三角形である。

三角形の₃つの角が等しければその三角形は

である。

✒ ✑

66 紙テープを折ったときにできる重なった部分が二等辺三角形であることを次のように証明した。を埋めなさい。⇒教p118-119

A

B C

X 折り返したのであるから

6 _{ABC =}

. . . 1^° 平行線の錯角は等しいので

6 _{ACB =}

. . . 2^° 1

°^，°2^より⁶ ABC = ⁶ ACB 2^{角が等しいので}AB =

67 次の文章の逆をいいなさい。また，それは正しいかどうかをいいなさい。 ⇒教p120

(1) △ABC^と△DEF^で，△ABC^≡△DEF ならば6 _BAC=6 _EDF

(2) ^長方形の4^{つの角は等しい。}

(3) _xが ₆の約数ならば_x は₁₈の約数である。

(20)

5-2 平行四辺形数学中学₂年

68 _△ABCの6 _Bと6 _Cの二等分線の交点を I^とする。I^から3^{辺に垂線をおろし，}AI^を

結ぶ。 ⇒教p122-123問3

A

B C

E D F

I

(1) △IBD^と△IBE^{において，}

IB =

^（共通）

6 _{IBD =}

^（仮定）

6 _{IDB =}

^{= 90}^° ^（仮定）

斜辺と₁つの鋭角がそれぞれ等しい直角三角形なので

△IBD ^≡△IBE

対応する辺は等しいので ID =

. . . 1^° (2) IE=IF. . . 2^° ^{を証明しなさい。}

(3) 1^°, 2^°^{より，}^ID=IF になることを利用し，6 _IAD=6 _IAFを証明しなさい。

69 図のように，_{AB = AC}，_{AB > BC} である二等辺三角形_ABC がある。頂点 _Cを中心として，辺 _BC が辺 _ACと重なるまで

△ABCを回転させて作った三角形を_△DEC とする。また，頂点 _B と点 _E を結んだ線分 _BE の延長上に点 _F をとる。このとき，

6 _{AEF =} 6 _DEFであることを証明しなさい。

⇒教p112-123 新潟05

A F

E

B _C

D

5-2 平行四辺形

70 次のを埋めなさい。 ⇒教_p124

✓ ✏

平行四辺形では

• 2 ^{組の}

はそれぞれ

等しい。

• 2 ^{組の}

はそれぞれ

等しい。

• ^対 ^角 ^線 ^は ^そ ^れ ^ぞ ^れ ^の

で交わる。

「₂組の対辺が平行である」というのは，平行四辺形の性質ではなく，

である。

(21)

数学中学₂年 5-2 平行四辺形 71 図で四角形 _ABCD は平行四辺形であ

り，対角線の交点を_Oとする。辺 _BC 上に点_E,Fがあって，_AO=EO，_OF//DCである。

6 _CAD=35° ，6 _ACD=70° のとき，6 _EOFの大きさを求めなさい。 ⇒教_p116,124 千葉05

A

B C

35^° D

70^°

E F

O

72 図のように平行四辺形_ABCDの対角線 BD^上にBE = DF ^{となるような，}2^点E,F をとる。このとき，_△AED≡_△CFBであることを証明しなさい。 ⇒教p124 栃木05

A

B C

D

E F

73 平行四辺形になるための条件を₅つ書

きなさい。 ⇒教p131

• . . . . .^定義

•

74 ₂つの四角形_ABCD,BEFCが，ともに平行四辺形のとき，四角形_AEFDも平行四辺形であることを証明したい。ア _,イをうめて証明を完成させなさい。 ⇒教_p131,138 愛知05

A

B C

D

E F

四角形_ABCDは平行四辺形だから，

ア

^//BC^，^ア =BC . . . 1^° 四角形_BEFCは平行四辺形だから，

BC // _イ

^，BC = ^イ . . . 2^° 1

°_{, 2}°^から，

ア _// イ，ア ₌ イ

したがって，₁組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので，四角形_AEFDは平行四辺形である。

75 平行四辺形_ABCDの辺_AD,BCの中点をそれぞれ_M,Nとする。このとき，四角形 MPNQが平行四辺形になることを証明しな

さい。 ⇒教p133

A M D

B _N _C

P ^Q

(22)

5-2 平行四辺形数学中学₂年

76 次の文章のを埋めなさい。

⇒教_p134

(1) 2 組の対辺の長さが等しい四角形は

である。

(2) 4 辺の長さが等しい四角形のことを

という。

(3) ^{平行四辺形の}4^{つの角のうち，どれか} 1つの角を直角にすると，この四角形

は

になる。

(4) 長方形のうち対角線が直角に交わるものを

という。

(5) 4つの角がすべて等しい大きさを持つ四角形のことを

という。

(6)

は長方形でもあり，かつ

ひし形でもあるといえる。

(7) ^{台形の平行な}2辺の長さが等しい場合，この四角形は

とよばれる。

(8) 平行四辺形のうち，対角線が垂直に交わる平行四辺形は

である。

77 ^∗次の問いに答えなさい。 ⇒教p134-135

(1) 平行四辺形が長方形になるための条件をいくつかあげなさい。

(2) ひし形が正方形になるための条件をいくつかあげなさい。

(1) △ABC = △PQR ^は2 つの三角形の

が等しいことを表して

いる。

(2) ^{図は} AD//BC である台形である。この図の中に面積の等しい三角形が₃組ある。それらを見つけて，式で表しなさい。_A

B ^C

D E

△

_{= △}

△

_{= △}

△

_{= △}

(3) ^{四角形} ABCD は平行四辺形である。 AC//EF^{である。このとき，}△ABE^と面積が等しい三角形を₃つ書きなさい。

秋田04

A

B ^C

E D

F

△ ^，△ ^，△ 79 各辺の中点とそれぞれ向かい合った頂点を結ぶと^*2₁点で交差することが知られています。このとき，次の問いに答えなさい。

⇒教_p136

A

B C

M

L

N G

(23)

数学中学₂年 5-3 三角形と円 (1) ^面積が ¹

2^△ABCに等しい三角形をすべて見つけなさい。

(2) ^面積が ¹

(3) ^面積が ¹

80 図の三角形の面積を二等分する直線を作

図しなさい ⇒教p137

(1) ^頂点Aを通る直線で二等分しなさい。 A

B C

(2) 点_Pを通る直線で二等分しなさい。 A

B C

P

5-3 三角形と円

81 次の6 _a∼6 _jの大きさを求めなさい。

⇒教_p143

O a

96^°

O b 88^°

O c

86^°

O d

210^°

O 46^°

e

O 48^°

f

57^° O g

O 116^°

h

O 150^° i

O

j 210^°

(24)

5-3 三角形と円数学中学₂年

82 次の6 _a∼6 _dの大きさを求めなさい。

⇒教p143

O a 32^°

b O 16^°

18^°

O c 46^°

26^°

O _d

32^°

100^°

⇒教_p143

O a

b O

63^°

O c 29^°

25^°

O d

57^° 23^°

⇒教p143

O a

109^°

O b

86^°

O c

119^°

O d

79^°

85 次の6 _a∼6 _dの大きさを求めなさい。ただし円周上の点は円周を等分割した点である。

⇒教p143

O a

O b

c O

O d

(25)

数学中学₂年 5-3 三角形と円 86 次の6 _xの大きさを求めなさい。

⇒教p139-146

(1)

O ⁵⁰^° x

島根05

(2) CA//OB

C O

A ^B

25^° x

香川05

(3) ^辺BCの長さがこの円の半径に等しい。

O A

B C

x

佐賀05

(4) AB = AC

O

B C

x 40^° A

福岡05

(5)

O 53^°

74^°

x

広島05

87 次の6 _xの大きさを求めなさい。

⇒教p139-146

(1)

O 43^° x

滋賀05

(2)

O 18^°

40^° ^x

鳥取05

(3)

O 30^°

x

茨城05

(4) AO//BC

O ^x

50^° A

B C

D

岩手05

(5) AB,

^⌢

BC

^⌢

の長さ円周の長さの 1 5 ^{倍，} CD

⌢

^{の長さは円周の長さの} ¹

6 ^倍

O A

B

C ^D

E x

都立墨田川05

(26)

6-1 確率数学中学₂年

第

6

章確率 6-1 確率

(1) さいころを₁回振ったとき，出た目の数が₅以上になる確率を求めなさい。

(2) ジョーカーを除く₅₂ 枚のトランプから₁枚を引くとき，次の確率をそれぞれ求めなさい。

1

° ^{ハートである確率}

2

° ^{エースである確率}

3

° ^絵札(J,Q,K)^{である確率}

(3) A^君，B^君，C^君の男子3^人とD^さん， E^{さんの女子}2^{人がチームを組んで駅} 伝競走に選手として参加する。ただし，男子→女子→男子→女子→男子の順で走るものとする。青森05

°1 5 人の走る順番は全部で何通りあるか求めなさい。

°2 くじ引きで走る順番を決めるとき， C君が最終走者になる確率を求めなさい。

(4) ^赤玉4^個，白玉5^個，青玉6^個が入っている袋の中から₁個を取り出すとき，もっとも出やすい色の玉が出る確率を

求めよ。鹿児島05

(5) 袋の中に，同じ大きさの白玉と赤玉が，合わせて₁₂ 個入っています。この袋の中から₁個の玉を取り出すとき，それが赤玉である確率を求めると ¹

3 ^になります。この袋の中に入っている赤玉の個数を求めなさい。北海道05

(1) ₂枚の₁₀円硬貨を同時に投げるとき， 1^{枚は表，もう}1枚は裏になる確率を求めなさい。

(2) 3^枚の100円硬貨を投げるときについて，次の問いに答えなさい。

°1 ^{樹形図を描きなさい。}

°2 2^枚が表，1^{枚が裏になる確率を求} めなさい。

(1) ₂つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和が₆より小さい数である確率はいくらですか。大阪05

(2) ^箱A^には 1 ^，2 ^，3^の3^{枚のカード，} 箱_Bには ₁，₂ の₂枚のカードが入っている。箱_A,Bそれぞれから₁枚ずつカードを取り出すとき，取り出した₂ 枚のカードに書かれている数の和が₃ 以下になる確率を求めなさい。山梨05

(3) 1^から6^{までの目が出る}2^{つのさいこ} ろ_A，_Bを同時に投げるとき，出る目の数の積が₄になる確率を求めなさい。

福岡04

(27)

数学中学₂年 6-1 確率 (4) 1^から6までの目のある赤と白のさい

ころを同時に投げる。赤いさいころの目の数が，白いさいころの目の数の約数になる確率を求めなさい。茨城05

(5) 袋の中に，₁から₆ までの数字が書かれた同じ大きさの玉が₁個ずつ入っている。この袋の中から玉を₁個取り出して数字を調べ，それを袋に戻してから，また玉を₁個取り出す。このとき， 1^回目と2回目に取り出した玉に書かれた数の積が₁₆ 以上になる確率を求

めなさい。和歌山05

(6) ある店が次のようなサービスを商品購入者に対して行うことにした。大小₂ つのさいころを同時に振り，大きいさいころの出る目の数を_a，小さいさいころの出る目の数を_bとするとき，_a枚の₁₀₀円硬貨と_b枚の₅₀円硬貨を返金する。

このとき，返金する金額が₇₀₀円以上になる確率を求めよ。都立墨田川05

(7) 大小₂つのさいころを同時にふり，大きいさいころの出る目の数を十の位，小さいさいころの出る目の数を一の位として，₂けたの整数を作る。この₂けたの整数が，₄の倍数になる確率を求

めなさい。千葉05

(1) ₁， ₂ ， ₃， ₄ の₄枚のカードがある。このカードをよくきって，続けて 2枚ひき，左から順に並べる。富山05

1

° カードの並べ方は全部で何通りあるか求めなさい。

°2 ^並べた2枚のカードの和が奇数となる確率を求めなさい。

(2) ^{箱の中に，}1,2,3,4,5^{と書かれたカード} が₁枚ずつ，合計₅枚入っている。この箱から₁枚のカードを取り出し，箱に戻さずにもう₁枚のカードを取り出

す。福井05

°1 ^{取り出した}2^{枚のカードに書かれ} ている数が，どちらも奇数である確率を求めよ。

2

°^∗ ^{取り出した}2^{枚のカードに書かれ} ている₂つの数の積も，残っている₃ 枚のカードに書かれている₃ つの数の積も，どちらも偶数となる確率を求めよ。

(3) 袋の中に，赤玉，青玉，黒玉，白玉がそれぞれ₁個ずつ入っています。この袋の中から玉を₁ 個ずつ₂個取り出し，取り出した順に並べます。岩手04

°1 玉の並び方は全部で何通りありますか。

°2 ^{取り出した}2^{個の玉の中に，赤玉} が含まれる確率を求めなさい。

(28)

6-1 確率数学中学₂年

(1) 袋の中に，赤玉が₃個，白玉が₂個，合わせて₅個の玉が入っている。この袋の中から同時に₂個の玉を取り出すとき，取り出した₂個の玉がともに赤玉である確率を求めなさい。静岡05

(2) ^{袋の中に，}^赤玉が3^個，^白玉が3^個，^合わせて₆個の玉が入っている。この袋の中から同時に₂個の玉を取り出すとき，₂個とも赤玉である確率を求めよ。

東京05

(3) ^袋の中に1,2,3,4,5,6,7^の数字を1^つずつ書いた₇ 枚のカードが入っている。この袋の中から同時に₂枚のカードを取り出したとき，取り出した₂枚のカードに書いてある数の積が偶数になる確率を求めよ。都立立川05

(4) 1^，1 ^，2 ^，2 ^，3 ^，5^の6^枚のカードから同時に₂枚取り出すとき，書かれている数の和が₄の倍数になる確率

を求めよ。愛知05

93 次の問いに答えなさい。 ⇒教p154-160

(1) ₂つの袋_A，_Bがあり，どちらの袋にもあたりくじが₂本とはずれくじが₄本入っている。このとき，次の確率を求

めよ。愛媛05

1

° ^袋A^{の中から同時にくじを}2^本引くとき，あたりくじとはずれくじが₁本ずつ出る確率。

2

° 2^{つの袋}A^，Bのそれぞれの中から同時にくじを₁本ずつ引くとき，あたりくじとはずれくじが₁本ずつでる確率。

(2) 1^，2 ^，3 ^の3^{枚のカードがある。こ} れらのカードをよくきって₁枚のカードを引き，カードに書いてある数を記録して元に戻す。このことを₃回繰り返し，₁回目に記録した数字を百の位， 2回目に記録した数字を十の位，₃回目に記録した数字を一の位とする₃けたの整数を作る。栃木05

1

° 300より大きい整数になるのは何通りあるか。

2

° 百の位，十の位，一の位の数字がすべて異なる確率を求めなさい。

(3) 2^， 5 ^， ^， ^の4^{枚のカードがあ} り，そのうちの₂枚には_2,5の数字が₁ つずつ書かれている。何も書かれていない₂枚のカードには，さいころを₂ 回投げて出た目の数字を書き込む。この₄枚のカードを横に一列に並べてできる₄けたの整数のうち，もっとも小さい整数を_nとする。熊本05

1

° 1^回目に4^{の目が出て，}2^回目に2 の目が出るときの_nを求めなさい。

2

° n^{のうちで，十の位が}3^であるものを₁つ答えなさい。

°3 n^{の十の位は}1,2,3,4,5,6^のどの数字になることが最も起こりやすいか答えなさい。また，その確率を答えなさい。

(29)

数学中学₂年 1-1 式の計算

第

1

章式の計算 1-1 式の計算

1 . . . .(p 1) (1) 7x − 3

(2) 4x + 7y (3) a − b (4) 15x − 11y (5) a − b (6) 2x²−3x (7) _{−3ab − 4a} (8) −x − 2y + 1 (9) −x − 2 (10) 7x + 5y

2 . . . .(p 1) (1) 5x − 8

(2) _{5x − y} (3) 7a − 3b (4) −m − 3n (5) x²−6x (6) x + 2y (7) −a + b (8) y

(9) −2x²y − xy (10) 4x − 3y

3 . . . .(p 2) (1) 15x − 30

(2) 6a − 4b (3) −15x + 6y (4) −m + 3n − 4 (5) 3x − 2y (6) _{3a − 7b} (7) 4a − 3b

4 . . . .(p 2) (1) −5a + 9b

(2) 9x − 2y (3) −a − 8b (4) _{5a + 4} (5) −2a − 17b

(7) a + 8 (8) _{−a + 10b} (9) 4a − 9 (10) 2a + 17 (11) 3x + 7y − 5 (12) 7

8^x (13) x − 5y

5 . . . .(p 3) (1) −21xy

(2) −42ab (3) x²y (4) 28ab² (5) 12x³ (6) −27x²y² (7) 25a² (8) −27a³ (9) 2a³ (10) 15x²y

6 . . . .(p 3) (1) −3a

(2) −3a (3) 3y (4) 6a² (5) 2

9^x (6) 1

y (7) b

2

2 (8) −4ab (9) 6y (10) 9ab

7 . . . .(p 4) (1) 3a

(2) 9x³ (3) 9a² (4) 3b (5) 4a² (6) −24a³b (7) −8ab

(9) 2a² (10) −4a²b²

8 . . . .(p 4) (1) 4

(2) 1 (3) 14 (4) ₂ (5) −16 (6) − 8

3 (7) −15 1-2 文字式の利用

9 . . . .(p 5) 英男君：n + 1, n + 2 美子さん：n − 1, n + 1 10 . . . .(p 5)

(1) _{30 + x} (2) 10x + y (3) 10y + x

11 . . . .(p 5) (1) h = 2S

a (2) y = x + 2

2 (3) y = 2x⁻³

4 (4) a = 2c + 9b

12 . . . .(p 5) ある自然数を _n，₁₀で割ったときの商を_x，余りを_yとすると，n = 10x + y また商から余りの₂ 倍を引いた数が₇の倍数だということは，_mを自然数とすると，x − 2y = 7m

これを先の式に代入すると， n = 10(2y + 7m) + y

= 21y + 7m

= 7(3y + m)

ここで_{(3y + m)}は自然数であるから，_nは ₇の倍数で

中学数学 風みどりの玉子焼 H17adachi2

1

2

3

1

4

5

△

= △

△

= △

△

= △

⌢

⌢

⌢

6

1

中学数学風みどりの玉子焼 H17adachi2

_{= △}

_{= △}

_{= △}

^⌢

^⌢