H23 コマの物理から素粒子のスピン

問１ ベクトルの内積

問１ ベクトルの内積

x

F 



物体を外力 F で x の距離移動させた。 外力による仕事 W をあらわせ。

W _{=x F cos W =x⋅F}

外力と移動方向とのなす角をθとすると、 外力による仕事は以下のように書ける・・・

問２ ベクトルの内積

問２ ベクトルの内積

W 



N 

斜面の角度を θ とすると、 垂直抗力の大きさは・・・

∣ ^N ∣ ⁼ ∣ ^W ∣ ^{cos θ}

n

法線ベクトル

面に垂直で大きさが１のベクトル

N ⃗ _{= ( ⃗n ⋅} W ^⃗ _{) ⃗n}

斜面に置かれた物体が、

斜面から受ける垂直抗力をあらわせ。

垂直抗力は

斜面の法線ベクトルに平行

N ⃗ = _∣ N _{∣ ⃗n}

問３　３次元の基本ベクトルの外積

問３　３次元の基本ベクトルの外積

A

 B

C

∣ ^C ∣=∣A∣∣B∣sin 



i

j

k

k ₌ i _× j

i ₌ j _× k

j =k ×i

k = _∣

i j k

1 0 0

0 1 0 _∣

= _

0

0

1 _

j= _∣ ^{i j k 0 0 1} _∣ = _

0

1 _

i = _∣

i j k

0 1 0

0 0 1 _∣

= _

1

0

0 _

問４ 平行六面体の体積と外積

問４ 平行六面体の体積と外積

B A

C 





二つのベクトルAとBで作られる平行四辺形の面積 S

ベクトルAとBの間の角度 _θ

平面ABの法線ベクトルとベクトルCの間の角度 _ϕ

S = _∣ A _{∣ ∣} B _∣ ^sin 

図のように、３つのベクトルA、B、Cで 作られる平行六面体の体積を求めよ

問４　つづき

問４　つづき

ベクトルA、Bで作られる面を底面とした時の 立体の高さ h

平行六面体の体積 V

h = _∣ C ^ _∣ ^cos 

V =S h

V = _∣ A _{∣ ∣} B _∣ ^sin  _∣ C ^ _∣ ^cos 

ベクトルの内積、外積で表現すると

V _{=  A× B  ⋅} C

問５　ベクトルの外積

問５　ベクトルの外積

フレミング左手の法則

ローレンツ力

F  = ^I × ^B

一様な磁束密度 B 中を、

磁束に対して角度 θ の傾きで張られた 電線に電流 I が流れるとき、

電線の単位長さあたりにかかる力 F

_{I =q v}

 B

F

∣ ^F ∣=∣I∣∣B∣sin 



F =I B sin 

F =q v B sin 

F  _{=q v ×} B

問６　球の体積：　関数の積分

問６　球の体積：　関数の積分

r

厚さ dr の表面積 4πr^{2 の微小体積の積算}

dr '

S =4  r '

r '

半径 r' の球の表面積

球が厚さ dr' の殻状の物体の体積 dV は

dV =4  r '

dr '

半径が r になるまで、内側から殻を積み上げていくと 物体全体の体積は

V _{= ∫}

r '=0 r '=r

dV

V _{= ∫}

⁴ _{ r '}

dr ' ₌ ⁴ _{ r}