経済学 C
練習問題 3 ( 解答付 )
記号の要約
• xht:消費者 h の第 t 期の消費量 (t = 0, 1, h = 1, 2) xh= (xh0, xh1):消費者 h の消費ベクトル (h = 1, 2)
• sh0:消費者 h の貯蓄 (h = 1, 2)
• eht:消費者 h の第 t 期の初期保有量 (t = 0, 1, h = 1, 2) eh= (eh0, eh1);消費者 h の初期保有ベクトル (h = 1, 2)
• rt:第 0 期から第 1 期にかけての実質利子率 (債権収益率)
• gt:第 t 期の政府支出 (t = 0, 1) g= (g0, g1):政府支出ベクトル
• τt:第 t 期の税 (t = 0, 1) τ = (τ0, τ1):税ベクトル
• b1:公債発行量
問題
問題 1. 2 人の消費者が 2 期間生きる状況を考える. 経済には毎期 1 種類の財 が存在するが, 財を貯蔵することはできない (財はその期のうちに腐ってしま う). 消費者 1 の初期保有ベクトルは e1 = (e10, e11) = (60, 20)であり, 消費者 2の初期保有ベクトルは e2= (e20, e21) = (20, 20)である. また, 瞬時的効用関 数は両消費者とも共通で U(x) = log x で表され, 割引因子も両消費者共通で β = 1である. このとき, 消費者 h の効用関数は
uh(xh) = log xh0+ log xh1
で表される (h = 1, 2). 逐次的市場経済を想定する. 資産市場では「第 0 期の 財を 1 単位貸し出すと, その見返りとして第 1 期の財を 1 + r1単位受け取る ことが約束される」という債権が取引される (実質利子率は r1である). 以下 の問に答えよ.
問 1 Edgeworth の箱の中に契約曲線を表せ.
問 2 消費者 h の第 t 期の予算制約をそれぞれ表せ (t = 0, 1, h = 1, 2).
問 3 消費者 h の生涯予算制約を表せ (h = 1, 2). 問 4 消費者 h の Euler 方程式を表せ (h = 1, 2).
問 5 消費者 h の第 t 期の消費関数と貯蓄関数を全て求めよ (t = 0, 1, h = 1, 2). 問 6 逐次的均衡を求めよ.
問題 2. 1 人の消費者が 2 期間生き, 同時に政府も存在する状況を考える. 経済 には毎期 1 種類の財が存在するが, 財を貯蔵することはできない (財はその期の うちに腐ってしまう). 消費者の初期保有ベクトルは e = (e0, e1) = (120, 120) である. 消費者の瞬時的効用関数は U(x) = log x で表され, 割引因子は β = 1 である. このとき, 消費者の効用関数は
u(x) = log x0+ log x1
で表される. 政府支出ベクトルは g = (g0, g1) = (20, 20)である. また, 税ベ クトルを τ = (τ0, τ1),公債発行量を b1で表す.
問 1 消費者の第 t 期の予算制約をそれぞれ表せ (t = 0, 1). 問 2 消費者の生涯予算制約を表せ.
問 3 消費者の Euler 方程式を表せ.
問 4 消費者の第 t 期の消費関数及び貯蓄関数を求めよ (t = 0, 1). 問 5 政府の第 t 期の予算制約をそれぞれ表せ (t = 0, 1).
問 6 政府の生涯予算制約を表せ.
問 7 政府が公債を一切発行せず, 第 t 期の政府支出の財源を第 t 期の税で賄 う状況 (均衡財政の状況) での均衡配分と均衡実質利子率をそれぞれ求 めよ.
問 8 政府が公債を b1 = 20発行し, 第 0 期の政府支出の財源を公債発行で賄 う状況での均衡配分と均衡実質利子率をそれぞれ求めよ.
解答
解答 1.
問 1 まず, 実現可能性条件は次のように表される. x10+ x20= 80
|{z}
e10+e20
⇔ x20= 80 − x10
x11+ x21= 40
|{z}
e11+e21
⇔ x21= 40 − x11
また, 消費者 h の第 0 期の限界効用と第 1 期の限界効用はそれぞれ M U0h(xh) = ∂u
h
∂xh0(x
h) = 1
xh0 M U1h(xh) = ∂u
h
∂xh1(x
h) = 1
xh1
で表されるから, 消費者 h の限界代替率は次のように表される. M RSh(xh) = M U
h 0(xh)
M U1h(xh) = 1/xh0 1/xh1 =
xh1 xh0 Pareto効率性の限界代替率均等化条件は次のように表される.
x11 x10
|{z}
M RS1(x1)
= x
21
x20
|{z}
M RS2(x2)
限界代替率均等化条件と実現可能性条件より, x11
x10 =
40 − x11
80 − x10 ⇔ x
1 1=
1 2x
1
0≡ f (x10)
ここで, 関数 f は契約曲線を表す関数である. 図 1 に描かれているよう に, 契約曲線は, 消費者 1 にとっての原点 O1と消費者 2 にとっての原点 O2を結ぶ線分で表される.
O1
O2
e10+ e20= 80 e11+ e21= 40
I11
I21
I31
I12
I22
I32 契約曲線
図 1:
問 2 消費者 h の第 0 期と第 1 期の予算制約はそれぞれ次のように表される. xh0+ sh0 = eh0 (第 0 期)
xh1 = (1 + r1)sh0+ eh1 (第 1 期) 具体的には,
• 消費者 1 の第 0 期と第 1 期における予算制約は次のとおりである. x10+ s10= 60 (第 0 期)
x11= (1 + r1)s10+ 20 (第 1 期)
• 消費者 2 の第 0 期と第 1 期における予算制約は次のとおりである. x20+ s20= 20 (第 0 期)
x21= (1 + r1)s20+ 20 (第 1 期) 問 3 消費者 h の生涯予算制約は次のように表される.
xh0 + x
h1
1 + r1
= eh0+ e
h1
1 + r1
具体的には,
• 消費者 1 の生涯予算制約は次のとおりである. x10+ x
11
1 + r1
= 60 + 20 1 + r1
• 消費者 2 の生涯予算制約は次のとおりである. x20+ x
21
1 + r1 = 20 +
20 1 + r1
問 4 消費者 h の Euler 方程式は次のように表される. xh1
xh0
|{z}
M RSh(xh)
= 1 + r1
問 5 消費者 h の Euler 方程式 xh1
xh0 = 1 + r1 ⇔ x
h
1 = (1 + r1)xh0
を消費者 h の生涯予算制約に代入し, その式を xh0 について解くことで, 消費者 h の第 0 期の消費関数が次のように求められる.
xh0+(1 + r1)x
h 0 = eh
0+
eh1
⇔ xh0 = 1 (
eh0+ e
h 1
)
≡ xh0(r1)
また, xh0 = 12(eh0+ e
h 1
1+r1
)を消費者 h の Euler 方程式に代入することで, 消費者 h の第 1 期の消費関数が次のように求められる.
xh1= 1 + r1 2
(
eh0 + e
h 1
1 + r1
)
= 1 2
[(1 + r1)eh0+ eh1]≡ xh1(r1)
さらに, xh0 =12(eh0+ e
h 1
1+r1
)を消費者 h の第 0 期における予算制約に代 入することで, 消費者 h の貯蓄関数が次のように求められる.
sh0= eh0−1 2
(
eh0+ e
h1
1 + r1
)
=1 2
(
eh0− e
h1
1 + r1
)
≡ sh0(r1)
具体的には,
• 消費者 1 の第 0 期と第 1 期の消費関数と貯蓄関数はそれぞれ次の ように表される.
x10(r1) =1 2
(
60 + 20 1 + r1
)
= 30 + 10 1 + r1
x11(r1) =1
2[60(1 + r1) + 20] = 30(1 + r1) + 10 s10(r1) = 1
2 (
60 − 20 1 + r1
)
= 30 − 10 1 + r1
• 消費者 2 の第 0 期と第 1 期の消費関数と貯蓄関数はそれぞれ次の ように表される.
x20(r1) =1 2
(
20 + 20 1 + r1
)
= 10 + 10 1 + r1
x21(r1) =1
2[20(1 + r1) + 20] = 10(1 + r1) + 10 s20(r1) = 1
2 (
20 − 20 1 + r1
)
= 10 − 10 1 + r1
問 6 均衡配分を {x1∗, x2∗},均衡貯蓄を {s1∗0 , s2∗0 },均衡実質利子率を r1∗でそ れぞれ表す.
まず, 資産市場の清算条件を実質利子率 r∗1について解くことで, 均衡実 質利子率が次のように求められる.
30 − 10 1 + r1∗
| {z }
s10(r∗1)
+ 10 − 10 1 + r∗1
| {z }
s20(r∗1)
= 0 ⇔ r∗1= −1 2
次に, r1∗= −12を消費者の消費関数と貯蓄関数に代入すると,
• 逐次的均衡での消費者 1 の第 0 期と第 1 期の消費及び貯蓄は次の
ように求められる. x1∗0 = x10
(
−1 2
)
= 30 + 10 1/2 = 50 x1∗1 = x11
(
−1 2
)
= 30 ×1
2+ 10 = 25 s1∗0 = s10
(
−1 2
)
= 30 − 10 1/2 = 10
• 逐次的均衡での消費者 2 のだ 0 期と第 1 期の消費及び貯蓄は次の ように求められる.
x2∗0 = x20 (
−1 2
)
= 10 + 10 1/2 = 30 x2∗1 = x21
(
−1 2
)
= 10 ×1
2+ 10 = 15 s2∗0 = s20
(
−1 2
)
= 10 − 10
1/2 = −10 したがって, 逐次的均衡は
• 配分 {x1∗, x2∗} = {(x1∗0 , x1∗1 ), (x2∗0 , x2∗1 )} = {(50, 25), (30, 15)}
• 貯蓄 {s1∗0 , s2∗0 } = {10, −10}
• 実質利子率 r∗1= −12 の組である (図 2 を参照).
O1
O2
60 20
20
20
両消費者に共通の生涯予算線
50 25
30
15
消費者 1 の貯蓄は s1∗0 = 10 (10単位の財の貸出) 消費者 2 の貯蓄は s2∗0 = −10 (10単位の財の借入)
初期保有点 {e1, e2} = {(60, 20), (20, 20)} {x1∗, x2∗} = {(50, 25), (30, 15)}
I1 I2
−(1 + r1∗) = −12 契約曲線
図 2:
コメント
2期間モデルにおける均衡配分は Pareto 効率的であることを (大まかに) 説明する. 逐次的均衡においては, 消費者 1 と消費者 2 がともに効用を 最大化するように消費や貯蓄を選択しているから, Euler 方程式より,
1 1∗ 2 2∗
が成り立っている (限界代替率均等化条件). したがって, 均衡配分は Pareto効率的である (均衡配分は契約曲線上にあることからも, 均衡配 分が Pareto 効率的であることを確認できる).
解答 2.
問 1 消費者の第 0 期と第 1 期の予算制約はそれぞれ次のように表される. x0+ s0= 120
|{z}
e0
−τ0 (第 0 期) x1= (1 + r1)s0+ 120
|{z}
e1
−τ1 (第 1 期)
問 2 消費者の生涯予算制約は次のように表される. x0+ x1
1 + r1 = 120 − τ0+
120 − τ1
1 + r1
問 3 消費者の第 0 期の限界効用と第 1 期の限界効用はそれぞれ M U0(x) = ∂u
∂x0
(x) = 1 x0
M U1(x) = ∂u
∂x1
(x) = 1 x1
で表されるから, 消費者の限界代替率は次のように表される. M RS(x) =M U0(x)
M U1(x) = 1/x0
1/x1
=x1 x0
消費者の Euler 方程式は次のように表される. x1
x0
|{z}
M RS(x)
= 1 + r1
問 4 消費者の Euler 方程式 x1 = (1 + r1)x0を消費者の生涯予算制約に代入 し, その式を x0について解くことで, 消費者の第 0 期の消費関数が次の ように求められる.
x0+(1 + r1)x0 1 + r1
= 120−τ0+120 − τ1 1 + r1
⇔ x0=1 2
(
120 − τ0+120 − τ1 1 + r1
)
また, x0 = 12(120 − τ0+120−τ1+r11)を消費者の Euler 方程式に代入する ことで, 消費者の第 1 期の消費関数が次のように求められる.
x1= 1 + r1 2
(
120 − τ0+120 − τ1 1 + r1
)
=1
2[(1 + r1)(120 − τ0) + 120 − τ1] さらに, x0 = 12(120 − τ0+120−τ1+r11)を消費者の第 0 期における予算制 約に代入することで, 消費者の貯蓄関数が次のように求められる. s0= 120 − τ0−1
2 (
120 − τ0+120 − τ1 1 + r1
)
= 1 2
(
120 − τ0−120 − τ1 1 + r1
)
問 5 政府の第 0 期と第 1 期の予算制約はそれぞれ次のように表される. τ0+ b1= 20
|{z}
g0
(第 0 期) τ1= (1 + r1)b1+ 20
|{z}
g1
(第 1 期)
問 6 政府の生涯予算制約は次のように表される. τ0+ τ1
1 + r1
= 20 + 20 1 + r1
問 7 均衡財政の下での均衡配分を x∗, 均衡貯蓄を s∗0, 均衡実質利子率を r∗1 でそれぞれ表す. まず, 均衡財政の状況では,
τ0= 20
|{z}
g0
, τ1= 20
|{z}
g1
, b1= 0
が成り立つことに注意する. τ0 = 20, τ1= 20を消費者の貯蓄関数に代 入すると,
s0= 1 2
(
120 − 20 −120 − 20 1 + r1
)
= 50 − 50 1 + r1
となる. 資産市場の清算条件を r∗1について解くことで, 均衡実質利子率 が次のように求められる.
50 − 50 1 + r∗1
| {z }
s0
= 0 ⇔ r∗1= 0
また, r1∗= 0, τ0= 20, τ1= 20を消費者の消費関数に代入すると,
x∗0 =1 2
(
120 − 20 +120 − 20 1 + 0
)
= 100 x∗1 =1
2[(1 + 0)(120 − 20) + 120 − 20] = 100
となる. 以上より, 均衡配分は x∗ = (x∗0, x∗1) = (100, 100)であり, 均衡 実質利子率は r1∗= 0である.
問 8 公債を b1 = 20だけ発行する状況での均衡配分を x∗∗, 均衡貯蓄を s∗∗0 , 均衡実質利子率を r∗∗1 でそれぞれ表す. 政府の第 0 期と第 1 期の予算制 約はそれぞれ次のように表される.
τ0+ 20
|{z}
b1
= 20|{z}
g0
⇔ τ0= 0 (第 0 期) τ1= 20
|{z}(1 + r1) + 20|{z} (第 1 期)
τ0= 0, τ1= 20(1 + r1) + 20を消費者の貯蓄関数に代入すると, s0=1
2 (
120 − 0 −120 − 20(1 + r1) − 20 1 + r1
)
=1 2
(
140 − 100 1 + r1
)
= 70 − 50 1 + r1
となる. 資産市場の清算条件を r∗∗1 について解くことで, 均衡実質利子 率が次のように求められる.
70 − 50 1 + r∗∗1
| {z }
s0
= 20|{z}
b1
⇔ r∗∗1 = 0
r1∗∗= 0, τ0= 0, τ1= 20 + 20(1 + r1) = 40を消費者の消費関数に代入 すると,
x∗∗0 = 1 2
(
120 − 0 +120 − 40 1 + 0
)
= 100 x∗∗1 = 1
2[(1 + 0)(120 − 0) + 120 − 40] = 100
となる. 以上より, 均衡配分は x∗∗= (x∗∗0 , x∗∗1 ) = (100, 100)であり, 均 衡実質利子率は r∗∗1 = 0である.
コメント
問 7 と問 8 の両ケースにおいて, 均衡配分と均衡実質利子率が完全に一 致している. すなわち, 政府支出財源を税で賄うか公債発行で賄うかとい う政策の違いは均衡配分や均衡実質利子率に全く影響を及ぼさない (公 債の中立命題).